Sebuah barisan U1 U2 U3 titik titik Un disebut barisan aritmatika jika untuk setiap n berlaku

Di dalam Matematika, materi barisan dan deret bukanlah hal yang asing serta kerap ditemukan di dalam soal ujian. Mungkin beberapa siswa masih sulit untuk membedakan antara barisan dan deret.

Pembahasan berikut akan mengulas lebih jauh tentang deret aritmatika beserta contoh soalnya yang dikutip dari ISOLASI Matematika SMP Kelas 1, 2, dan 3 milik Herlik Wibowo, S.Si (2006:297).

Deret bilangan merupakan penjumlahan dari suku-suku suatu barisan bilangan. Bentuk umum deret bilangan ialah:

U1 + U2 + U3 + U4 +U5 + … + Un-1 + Un = Sn

Dengan Sn= jumlah deret sampai suku ke-n dan n = 1 , 2, 3, …

Terdapat dua jenis deret bilangan, yaitu deret aritmatika dan deret geometri. Deret aritmatika (deret hitung) adalah penjumlahan dari suku-suku dari barisan aritmatika.

Secara konsep, sebenarnya deret aritmatika tergolong cukup sederhana karena hanya menjumlahkan sebuah barisan aritmatika sampai dengan suku ke-n (bergantung apa yang diperintahkan). Tetapi, bagaimana ketika ingin menjumlahkan barisan aritmatika sampai pada suku ke 100? Pasti sangat sulit ketika harus menjumlahkannya satu per satu.

Oleh karena itu, untuk mempermudah menghitung deret aritmatika ini digunakan sebuah rumus praktis. Misalkan deret aritmatikanya U1 + U2 + U3 + U4 +U5 + … + Un-1 + Un = Sn, maka berlaku rumus:

Agar lebih memahami materi tersebut, simak contoh soal deret aritmatika berikut ini.

Contoh Soal Deret Aritmatika

1. Suatu bentuk deret aritmatika adalah 5, 15, 25, 35, …

Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika tersebut?

b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10

S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)

Jumlah S10 dalam deret tersebut adalah 500.

2. Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku pertamanya adalah 10 dan suku ke-enam adalah 20. Lalu, tentukan:

• Beda deret aritmetika tersebut.

• Tuliskan deret aritmetika tersebut.

• Jumlah enam suku pertama deret aritmetika tersebut.

• Beda deret aritmatika tersebut:

Sehingga, beda deret aritmatika tersebut adalah 2.

• Deret aritmatikanya adalah:

• Jumlah suku ke-enam, S6 adalah:

Jadi, jumlah Suku ke-enam deret tersebut adalah 90.

Gunakan rumus menentukan suku ke-n barisan aritmetika berikut.

Berdasarkan barisan , diperoleh  dan  , maka diperoleh:

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah .

tentukan rumus suku ke -n barisan aritmatika

a. -15, -7, 1, 9, ...

b. 7, 10, 13, 16, ...

jawab:

a. Un = 8n - 23

b. Un = 3n + 4

Penjelasan dengan langkah-langkah:

~Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap [konstan]. Selisih yang tetap ini disebut beda [b].

contoh:

1. Pola bilangan ganjil

1, 3, 5, 7, 9, ... → beda = [3 - 1] = [5 - 3] = 2

3, 7, 11, 15, ... → beda = [11 - 7] = [7 - 3] = 4

2. Pola bilangan genap

2, 4, 6, 8, ... →beda = [4 - 2] = [6 - 4] = 2

6, 10, 14, 18, ... → beda = [10 - 6] = [14 - 10] = 4

Barisan U1, U2, U3, U4, ... Un disebut barisan aritmetika jika dan hanya jika untuk setiap n berlaku Un – Un-1 = b, b adalah suatu konstanta.

Jika suku pertama [U1] barisan aritmetika dinyatakan dengan a dan beda dinyatakan dengan b, suku-suku barisan aritmetika U1, U2, U3, ..., Un dapat dituliskan sebagai berikut.

U1 = a

U2 = a + b

U3 = [a + b] + b = a + 2b

U4 = [a + 2b] + b = a + 3b

.........................................

Un = a + [n - 1] b

Jadi, Rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika sebagai berikut.

dengan keterangan,

a = suku pertama

n = banyak suku

b = beda

Un = suku ke-n

contoh:

1] Tentukan suku ke-9 dari barisan 2, 5, 8, 11, ...

Jawab:

a = 2

b = U2 - U1 = 5 - 2 = 3

Un = a + [n - 1]b

U9 = 2 + [9 - 1]3

U9 = 2 + [8]3

U9 = 2 + 24

U9 = 26

Jadi, suku ke-9 adalah 26.

2] Diketahui suku ke-10 dan suku ke-15 suatu barisan aritmetika adalah 48 dan 68, tentukan:

a] suku pertama dan bedanya;

b] rumus suku ke-n;

c] suku ke-30.

Jawab:

a] suku pertama dan bedanya:

Un = a + [n - 1]b

Un = a + [10 - 1]b

48 = a + 9b ..... [1]

U15 = a + [15 - 1]b

68 = a + 14b ..... [2]

Dari persamaan [1] dan [2]

a + 14b = 68

a + 9b = 48

____________–

5b = 20 → b = 4

- - -

a + 9b = 48

a + 9[4] = 48

a + 36 = 48

a = 48 - 36

a = 12

Jadi, suku pertama = 12 dan beda = 4.

b] Rumus suku ke-n:

Un = a + [n - 1]b

Un = 12 + [n - 1]4

Un = 12 + 4n - 4

Un = 4n + 8

Jadi, rumus suku ke-n adalah Un = 4n + 8.

c] Suku ke-30:

Un = 4n + 8

U30 = 4[30] + 8

U30 = 120 + 8 = 128 l

Jadi, beda suku ke-30 adalah 128.

tentukan rumus suku ke-n barisan aritmatika

a. -15, -7, 1, 9, ...

b. 7, 10, 13, 16, ...

diketahui:

barisan a = -15, -7, 1, 9, ..., ...

barisan b = 7, 10, 13, 16, ..., ...

barisan = U1, U2, U3, U4, ..., ...

ditanya:

tentukan rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut!

dijawab:

• barisan a = -15, -7, 1, 9, ..., ...

a = U1 = – 15

b = U2 - U1 = [-7] – [-15] = - 7 + 15 = 8

suku ke-n

Un = a + [n - 1]b

Un = - 15 + [n - 1] × 8

Un = - 15 + 8n - 8

Un = 8n - 23

• barisan b = 7, 10, 13, 16, ..., ...

a = U1 = 7

b = U2 - U1 = 10 – 7 = 3

suku ke-n

Un = a + [n - 1]b

Un = 7 + [n - 1] × 3

Un = 7 + 3n - 3

Un = 3n + 4

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika bagian;

a. Un = 8n - 23

b. Un = 3n + 4

==========

[ﾉ◕ヮ◕]ﾉ*.✧

Video yang berhubungan