Nilai minimum dan maksimum untuk fungsi z 2x 3y yang memenuhi gambar tanpa teks

Home / Matematika / Soal IPA / Soal IPS

Newer Posts Older Posts

Mentok ngerjain soal? Foto aja pake aplikasi CoLearn. Anti ribet ✅Cobain, yuk!

disini kita akan mencari titik potong pada fungsi kendalanya terlebih dahulu yaitu untuk fungsi kendala pertama ketika nilai x yang bernilai nol maka nilainya itu = 9 kemudian ketika nilainya sama dengan nol maka nilai x nya itu sama dengan 9 per 3 atau sama dengan 3 untuk fungsi yang kedua ketika nilai x yang sama dengan nol maka nilainya yaitu = 12 per 2 atau sama dengan 6 kemudian ketika nilai n yang bernilai nol maka nilai x nya itu sama dengan 12 per 3 atau sama dengan 4 Nah selanjutnya dengan menggunakan titik-titik ini kita akan gambar grafiknya pada koordinat cartesius yaitu kurang lebih seperti ini di mana di sini merupakan garis yaitu garis tegas karena terdapat tanda sama denganuntuk pertidaksamaannya Kemudian untuk penentuan daerahnya yaitu kita bisa lakukan dengan menggunakan hasil kali daripada koefisien y dengan tanda pertidaksamaannya di sini tanda daripada koefisien yaitu adalah positif dikalikan dengan tanda pertidaksamaan y lebih besar sama dengan berarti positif kali Positif itu nilainya adalah positif kemudian disini dihasilkan positif kemudian dikalikan dengan tanda pertidaksamaannya yaitu lebih kecil sama dengan yang berarti negatif berarti positif dikali negatif itu nilainya adalah negatif ketika dihasilkan nilainya positif maka daerahnya berada di atas garis tersebut berarti kita bisa arsir seperti ini kemudian ketika didapatkan hasilnya adalah negatif maka daerahnya berada digaris tersebut berarti kita bisa arsir seperti ini nah, kemudian dilihat bahwa pada fungsi kendalanya itu terdapat syarat X dan y nya bernilai positif dengan demikian kita bisa lihat bahwa irisan dari pada kedua garis tersebut berada pada daerah yang ini dan ketika dibatasi oleh X dan Y positif atau berada pada kuadran 1 maka daerahnya berbentuk segitiga seperti ini dengan 3 titik pojok nya yaitu ada titik 3,0 4,0 dan ada satu titik di sini yang belum diketahui kita bisa dapatkan titik tersebut dengan cara mengeliminasi kedua persamaan ini karena titik ini terbentuk dari perpotongan kedua garis tersebut yaitu kitabTuliskan 3 x + y = 9 kemudian 3 x + 2 Y = 12 kita bisa kurangkan agar variabel x nya di sini hilang menjadi minus di sini = minus 3 a sehingga y itu nilainya sama dengan 3 Kemudian untuk mendapatkan nilai x kita bisa subtitusi ke persamaan yang pertama di sini menjadi 3 x + 3 = 9 3x = 9 kurang 3 yaitu nilainya adalah 6 dengan demikian x = 6 per 3 yaitu 2 sehingga titik ini merupakan titik koordinat yaitu 2,3 Kemudian untuk menentukan nilai maksimumnya yaitu kita bisa menggunakantujuannya yaitu f x koma Y = 2 X + 3 Y Nah kita mensubtitusi ketiga titik pojok tersebut ke tujuan yaitu 3,04 koma 0 dan 2 koma 3 untuk 3,0 maka kita subtitusi x y = 3 dan y = 0 sehingga ini diperoleh = 6 Kemudian untuk 4,0 kita ganti x-nya jadi 4 dan y 0 sehingga didapatkan nilainya yaitu 8 Kemudian untuk yang ketiga kita ganti nilainya X itu menjadi dua dan y nya menjadi 3 sehingga diperoleh = 4 ditambah dengan 9 yaitu nilainya sama dengan 13 dari sini kita bisa lihat bahwayang paling besar atau yang maksimum itu adalah 13 dengan demikian opsi yang benar itu adalah optik C sekian sampai jumpa di soal berikutnya

Pembahasan

Berdasarkan grafik diatas diperoleh persamaan garis sebagai berikut:

• 4x + 3y ≤ 12 … [persamaan 1]
• 2x + 6y ≤ 12 atau x + 3y ≤ 6 [persamaan 2]

Cara menentukan persamaan garis diatas sebagai berikut:

Menentukan persamaan garis pertidaksamaan

Kemudian tentukan titik potong kedua garis dengan cara subtitusi persamaan 2 ke persamaan 1:

• x + 3y = 6 atau x = 6 – 3y
• 4x + 3y = 12
• 4 [6 – 3y] + 3y = 12
• 24 – 12y + 3y = 12
• -9y = 12 – 24 = -12
• y = =
• x = 6 – 3y = 6 – 3 . = 6 – 4 = 2

Titik potong daerah yang diarsir sebagai berikut [0,0] ; [0,2] ; [3,0] dan [2,]. Kemudian subtitusi titik-titik potong tersebut ke fungsi objektif sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

Nilai terbesar data diatas adalah 9. Jadi nilai maksimumnya 9. Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 2

Nilai minimum fungsi f[x,y] = 8x + 6y pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear 2x + y ≥ 30, x + 2y ≥ 24, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah…A. 192B. 180C. 142D. 132

E. 72

Pembahasan

Buat titik koordinat persamaan 2x + y = 30 dan x + 2y = 24 dengan cara subtitusi x = 0 dan y = 0.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan diatas ditunjukkan gambar dibawah ini:

Himpunan penyelesaian soal nilai optimum

Berdasarkan gambar tersebut, HP diliputi 3 titik yaitu [12, 6], [0, 30] dan [24, 0]. Titik-titik tersebut disubtitusi ke fungsi objektif f[x,y] = 8x + 6y dan diperoleh data sebagai berikut:

Nilai minimumnya = 180 karena nilai terkecil. Jadi soal ini jawabannya B.

Contoh soal 3

Nilai maksimum fungsi objektif z = 4x + 5y dengan syarat x, y ≥ 0, x + 2y ≤ 10, x + y ≤ 7 adalah…A. 34B. 33C. 32D. 31

E. 30

Pembahasan

Tentukan titik koordinat persamaan x + 2y = 10 dan x + y = 7 dengan cara subtitusi x = 0 dan y = 0 dan diperoleh data sebagai berikut:

• x + 2y = 10 titik koordinatnya [0, 5] dan [10, 0]
• x + y = 7 titik koordinatnya [0, 7] dan [7 , 0]

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.

Pembahasan soal 3 nilai optimum

Titik koordinat himpunan penyelesaian adalah [0, 0] ; [0 , 5] ; [7 , 0] dan [4 , 3] lalu subtitusikan ke z = 4x + 5y sehingga diperoleh data sebagai berikut:

Jadi nilai maksimumnya = 31 karena yang terbesar. Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 4

Nilai maksimum z = 3x + 6y yang memenuhi 4x + y ≥ 20, x + y ≤ 20, x + y ≥ 10, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah…A. 180B. 150C. 120 D. 60

E. 50

Pembahasan

Buat titik koordinat ketiga persamaan diatas dengan cara subtitusi x = 0 dan y = 0 dan diperoleh hasil:

• 4x + y = 20 titik koordinatnya [0, 20] dan [5, 0]
• x + y = 20 titik koordinatnya [0, 20] dan [20, 0]
• x + y = 10 titik koordinatnya [0, 10] dan [10, 0]

Himpunan penyelesaian ketiga pertidaksamaan sebagai berikut.

Pembahasan soal 4 nilai optimum

Titik koordinat himpunan penyelesaian yaitu [0 , 20] ; [10 , 0] ; [20 , 0] dan [10/3 ; 20/3]. Subtitusikan titik titik tersebut ke fungsi objektif z = 3x + 6y dan diperoleh data sebagai berikut:

Nilai maksimum berdasarkan data diatas = 120. Soal ini jawabannya C.

Selanjutnya dibawah ini diberikan beberapa contoh soal nilai optimum lainnya tetapi tanpa pembahasan, sebagai latihan soal.

Soal 1 – Nilai minimum fungsi objektif f[x,y] = 20.000x + 10.000y yang memenuhi x + 2y ≥ 10, 3x + y ≥ 15, x,y ≥ 0 adalah …A. 0B. 30.000C. 140.000D. 110.000

E. 150.000

Soal 2 – Nilai maksimum fungsi objektif z = 8x + 6y, dengan syarat 4x + 2y ≤ 60, 2x + 4y ≤ 48. x ≥ 0, y ≥ 0 adalah…A. 132B. 134C. 136D. 144

E. 164

Soal 3 – Nilai maksimum fungsi tujuan z = 8x + y dengan syarat 4x + 2y ≤ 60, 2x + 4y ≤ 48, x ≤ 0, y ≥ 0 adalah…A. 120B. 108C. 102D. 64

E. 12

Soal 4 – Nilai maksimum fungsi z = 400x + 300y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 5x + 2y ≤ 30, 2x + 4y ≤ 28, y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah…A. 3.000B. 3.100C. 3.200D. 3.300

E. 3.400

Soal 5 – Jika A = x + y dan B = 5x + y, nilai maksimum A dan B yang memenuhi sistem pertidaksamaan x + 2y ≤ 12, 2x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 berturut-turut adalah…A. 8 dan 30B. 6 dan 6C. 6 dan 24D. 30 dan 6

E. 8 dan 24

Video yang berhubungan

Postingan ini membahas contoh soal nilai optimum fungsi objektif dan pembahasannya. Nilai optimum adalah nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi yang diberikan dalam suatu daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Untuk memahami bagaimana cara menentukan nilai optimum fungsi objektif, perhatikan daerah penyelesaian (daerah yang diarsir) sistem pertidaksamaan linear x + 2y ≤ 10, x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 dibawah ini.

Daerah penyelesaian pertidaksamaan

Misalkan fungsi objektif f (x,y) = 3x + 4y, maka untuk menentukan nilai optimum subtitusikan titik-titik O (0,0); A (8,0); B (6,2) dan C (0,5) ke fungsi f(x,y) = 3x + 4y dan diperoleh data sebagai berikut:

Cara menentukan nilai optimum

Berdasarkan tabel diatas diperoleh nilai minimum f(x,y) = 0 dan nilai maksimum f(x,y) = 26. Jadi nilai optimum fungsi objektif tersebut adalah 0 dan 26. Untuk lebih jelasnya, dibawah ini diberikan beberapa contoh soal nilai optimum dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut.

Contoh soal 1 nilai optimum fungsi objektif

Nilai maksimum fungsi objektif f(x,y) = 3x + 2y untuk daerah yang diarsir diatas adalah…A. 0B. 18

C. 8

D. 9

E. 8

Pembahasan

Berdasarkan grafik diatas diperoleh persamaan garis sebagai berikut:

• 4x + 3y ≤ 12 … (persamaan 1)
• 2x + 6y ≤ 12 atau x + 3y ≤ 6 (persamaan 2)

Cara menentukan persamaan garis diatas sebagai berikut:

Kemudian tentukan titik potong kedua garis dengan cara subtitusi persamaan 2 ke persamaan 1:

• x + 3y = 6 atau x = 6 – 3y
• 4x + 3y = 12
• 4 (6 – 3y) + 3y = 12
• 24 – 12y + 3y = 12
• -9y = 12 – 24 = -12
• y =
  
  =
  
• x = 6 – 3y = 6 – 3 .
  
  = 6 – 4 = 2

Titik potong daerah yang diarsir sebagai berikut (0,0) ; (0,2) ; (3,0) dan (2,

Nilai terbesar data diatas adalah 9. Jadi nilai maksimumnya 9. Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 2

Nilai minimum fungsi f(x,y) = 8x + 6y pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear 2x + y ≥ 30, x + 2y ≥ 24, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah…A. 192B. 180C. 142D. 132

E. 72

Pembahasan

Buat titik koordinat persamaan 2x + y = 30 dan x + 2y = 24 dengan cara subtitusi x = 0 dan y = 0.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan diatas ditunjukkan gambar dibawah ini:

Berdasarkan gambar tersebut, HP diliputi 3 titik yaitu (12, 6), (0, 30) dan (24, 0). Titik-titik tersebut disubtitusi ke fungsi objektif f(x,y) = 8x + 6y dan diperoleh data sebagai berikut:

Nilai minimumnya = 180 karena nilai terkecil. Jadi soal ini jawabannya B.

Contoh soal 3

Nilai maksimum fungsi objektif z = 4x + 5y dengan syarat x, y ≥ 0, x + 2y ≤ 10, x + y ≤ 7 adalah…A. 34B. 33C. 32D. 31

E. 30

Pembahasan

Tentukan titik koordinat persamaan x + 2y = 10 dan x + y = 7 dengan cara subtitusi x = 0 dan y = 0 dan diperoleh data sebagai berikut:

• x + 2y = 10 titik koordinatnya (0, 5) dan (10, 0)
• x + y = 7 titik koordinatnya (0, 7) dan (7 , 0)

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.

Titik koordinat himpunan penyelesaian adalah (0, 0) ; (0 , 5) ; (7 , 0) dan (4 , 3) lalu subtitusikan ke z = 4x + 5y sehingga diperoleh data sebagai berikut:

Jadi nilai maksimumnya = 31 karena yang terbesar. Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 4

Nilai maksimum z = 3x + 6y yang memenuhi 4x + y ≥ 20, x + y ≤ 20, x + y ≥ 10, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah…A. 180B. 150C. 120 D. 60

E. 50

Pembahasan

Buat titik koordinat ketiga persamaan diatas dengan cara subtitusi x = 0 dan y = 0 dan diperoleh hasil:

• 4x + y = 20 titik koordinatnya (0, 20) dan (5, 0)
• x + y = 20 titik koordinatnya (0, 20) dan (20, 0)
• x + y = 10 titik koordinatnya (0, 10) dan (10, 0)

Himpunan penyelesaian ketiga pertidaksamaan sebagai berikut.

Titik koordinat himpunan penyelesaian yaitu (0 , 20) ; (10 , 0) ; (20 , 0) dan (10/3 ; 20/3). Subtitusikan titik titik tersebut ke fungsi objektif z = 3x + 6y dan diperoleh data sebagai berikut:

Nilai maksimum berdasarkan data diatas = 120. Soal ini jawabannya C.

Selanjutnya dibawah ini diberikan beberapa contoh soal nilai optimum lainnya tetapi tanpa pembahasan, sebagai latihan soal.

Soal 1 – Nilai minimum fungsi objektif f(x,y) = 20.000x + 10.000y yang memenuhi x + 2y ≥ 10, 3x + y ≥ 15, x,y ≥ 0 adalah …A. 0B. 30.000C. 140.000D. 110.000

E. 150.000

Soal 2 – Nilai maksimum fungsi objektif z = 8x + 6y, dengan syarat 4x + 2y ≤ 60, 2x + 4y ≤ 48. x ≥ 0, y ≥ 0 adalah…A. 132B. 134C. 136D. 144

E. 164

Soal 3 – Nilai maksimum fungsi tujuan z = 8x + y dengan syarat 4x + 2y ≤ 60, 2x + 4y ≤ 48, x ≤ 0, y ≥ 0 adalah…A. 120B. 108C. 102D. 64

E. 12

Soal 4 – Nilai maksimum fungsi z = 400x + 300y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 5x + 2y ≤ 30, 2x + 4y ≤ 28, y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah…A. 3.000B. 3.100C. 3.200D. 3.300

E. 3.400

Soal 5 – Jika A = x + y dan B = 5x + y, nilai maksimum A dan B yang memenuhi sistem pertidaksamaan x + 2y ≤ 12, 2x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 berturut-turut adalah…A. 8 dan 30B. 6 dan 6C. 6 dan 24D. 30 dan 6

E. 8 dan 24