© PT Zona Edukasi Nusantara, 2021. Kebijakan Privasi Ketentuan Penggunaan
Konsep barisan numerik menyiratkan bahwa setiap bilangan asli sesuai dengan beberapa nilai nyata. Serangkaian angka seperti itu dapat berupa arbitrer atau memiliki sifat tertentu - sebuah perkembangan. Dalam kasus terakhir, setiap elemen (anggota) berikutnya dari urutan dapat dihitung menggunakan yang sebelumnya. Deret aritmatika adalah urutan nilai numerik di mana anggota tetangganya berbeda satu sama lain dengan angka yang sama (semua elemen deret, mulai dari yang kedua, memiliki properti yang serupa). Angka ini - selisih antara suku sebelumnya dan suku berikutnya - adalah konstan dan disebut selisih perkembangan. Perkembangan perbedaan: definisiPerhatikan barisan yang terdiri dari nilai j A = a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j termasuk himpunan bilangan asli N. Menurut definisinya, barisan aritmatika adalah barisan , di mana a (3) - a (2) = a (4) - a (3) = a (5) - a (4) =… = a (j) - a (j-1) = d. Nilai d adalah perbedaan yang diperlukan dari perkembangan yang diberikan. d = a (j) - a (j-1). Alokasikan:
Perbedaan perkembangan dan elemen arbitrernyaJika 2 anggota perkembangan yang berubah-ubah (i-th, k-th) diketahui, maka perbedaan untuk barisan ini dapat ditentukan berdasarkan rasio: a (i) = a (k) + (i - k) * d, jadi d = (a (i) - a (k)) / (i-k). Selisih barisan dan suku pertamanyaEkspresi ini akan membantu untuk menentukan nilai yang tidak diketahui hanya dalam kasus ketika jumlah elemen urutan diketahui. Selisih progresi dan penjumlahannyaJumlah kemajuan adalah jumlah anggotanya. Untuk menghitung nilai total elemen j pertamanya, gunakan rumus yang sesuai: S (j) = ((a (1) + a (j)) / 2) * j, tetapi karena a (j) = a (1) + d (j - 1), maka S (j) = ((a (1) + a (1) + d (j - 1)) / 2) * j = (( 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j. Ketika mempelajari aljabar di sekolah pendidikan umum (kelas 9), salah satu topik penting adalah studi tentang barisan bilangan, yang meliputi deret - geometris dan aritmatika. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan perkembangan aritmatika dan contoh dengan solusi. Apa itu barisan aritmatika?Untuk memahami hal ini, perlu diberikan definisi tentang perkembangan yang dipertimbangkan, serta memberikan rumus-rumus dasar yang akan digunakan lebih lanjut dalam memecahkan masalah. Deret aritmatika atau aljabar adalah himpunan bilangan rasional terurut, yang setiap sukunya berbeda dari suku sebelumnya dengan jumlah konstan. Nilai ini disebut selisih. Artinya, mengetahui anggota deret bilangan yang diurutkan dan selisihnya, Anda dapat memulihkan seluruh deret aritmatika. Mari kita beri contoh. Barisan bilangan berikut akan menjadi barisan aritmatika: 4, 8, 12, 16, ..., karena selisihnya dalam hal ini adalah 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tetapi kumpulan angka 3, 5, 8, 12, 17 tidak dapat lagi dikaitkan dengan jenis perkembangan yang dipertimbangkan, karena perbedaannya bukan nilai konstan (5 - 3 8 - 5 12 - 8 17 - 12).  Rumus pentingSekarang mari kita berikan rumus dasar yang akan diperlukan untuk menyelesaikan masalah menggunakan deret aritmatika. Mari kita nyatakan dengan n suku ke-n dari barisan, di mana n adalah bilangan bulat. Perbedaannya dilambangkan dengan huruf latin d. Maka ekspresi berikut ini valid:
Untuk memahami contoh deret aritmatika apa pun dengan solusi di kelas 9, cukup mengingat dua rumus ini, karena masalah jenis apa pun yang dipertimbangkan dibangun berdasarkan penggunaannya. Anda juga harus ingat bahwa perbedaan perkembangan ditentukan oleh rumus: d = a n - a n-1. Contoh #1: menemukan anggota yang tidak dikenalMari kita berikan contoh sederhana dari deret aritmatika dan rumus yang harus digunakan untuk menyelesaikannya. Biarkan urutan 10, 8, 6, 4, ... diberikan, perlu untuk menemukan lima suku di dalamnya. Itu sudah mengikuti dari pernyataan masalah bahwa 4 istilah pertama diketahui. Kelima dapat didefinisikan dalam dua cara:
Seperti yang Anda lihat, kedua metode solusi menghasilkan hasil yang sama. Perhatikan bahwa dalam contoh ini, perbedaan d dari progresi adalah negatif. Barisan seperti itu disebut menurun, karena setiap suku berikutnya lebih kecil dari suku sebelumnya. Contoh # 2: Perbedaan ProgresiSekarang mari kita sedikit memperumit tugas, mari kita beri contoh caranya Diketahui bahwa pada beberapa suku ke-1 sama dengan 6, dan suku ke-7 sama dengan 18. Perlu dicari selisihnya dan mengembalikan barisan ini ke suku ke-7. Mari kita gunakan rumus untuk menentukan suku yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1. Kami menggantinya dengan data yang diketahui dari kondisi, yaitu, angka a 1 dan a 7, kami memiliki: 18 = 6 + 6 * d. Dari ekspresi ini, Anda dapat dengan mudah menghitung selisihnya: d = (18 - 6) / 6 = 2. Jadi, jawaban untuk bagian pertama dari masalah. Untuk memulihkan barisan hingga 7 suku, Anda harus menggunakan definisi deret aljabar, yaitu, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, dan seterusnya. Akibatnya, kami mengembalikan seluruh urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18. Contoh # 3: membuat kemajuanMari kita semakin memperumit kondisi masalah. Sekarang perlu untuk menjawab pertanyaan tentang bagaimana menemukan deret aritmatika. Anda dapat memberikan contoh berikut: diberikan dua angka, misalnya, - 4 dan 5. Hal ini diperlukan untuk menyusun perkembangan aljabar sehingga tiga istilah lagi cocok antara ini. Sebelum mulai memecahkan masalah ini, perlu untuk memahami tempat apa yang akan ditempati oleh angka-angka yang diberikan dalam perkembangan di masa depan. Karena akan ada tiga suku lagi di antara mereka, maka a 1 = -4 dan a 5 = 5. Setelah menetapkan ini, kami melanjutkan ke masalah, yang mirip dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk suku ke-n, kita menggunakan rumus, kita mendapatkan: a 5 = a 1 + 4 * d. Dari mana: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Di sini kita tidak menerima nilai integer dari selisihnya, tetapi merupakan bilangan rasional, sehingga rumus untuk deret aljabar tetap sama. Sekarang tambahkan perbedaan yang ditemukan ke 1 dan pulihkan anggota perkembangan yang hilang. Kita mendapatkan: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, yang bertepatan dengan kondisi masalah. Contoh #4: suku pertama dari progresiMari kita lanjutkan memberikan contoh deret aritmatika dengan solusi. Pada semua soal sebelumnya, bilangan pertama dari deret aljabar diketahui. Sekarang pertimbangkan masalah dari jenis yang berbeda: biarkan diberikan dua angka, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Penting untuk menemukan nomor dari mana urutan ini dimulai. Rumus yang digunakan sejauh ini mengasumsikan pengetahuan tentang a 1 dan d. Tidak ada yang diketahui tentang angka-angka ini dalam pernyataan masalah. Namun demikian, kami menulis ekspresi untuk setiap anggota yang informasinya ada: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Menerima dua persamaan, di mana 2 besaran yang tidak diketahui (a 1 dan d). Ini berarti bahwa masalahnya direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linier. Sistem ini paling mudah untuk diselesaikan jika Anda mengekspresikan 1 dalam setiap persamaan, dan kemudian membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, dari mana selisih d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (hanya 3 tempat desimal yang diberikan). Mengetahui d, Anda dapat menggunakan salah satu dari 2 ekspresi di atas untuk 1. Misalnya, yang pertama: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496. Jika Anda ragu dengan hasilnya, Anda dapat memeriksanya, misalnya, menentukan suku ke-43 dari perkembangan, yang ditentukan dalam kondisi. Kita mendapatkan: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Kesalahan kecil disebabkan oleh fakta bahwa perhitungan menggunakan pembulatan ke seperseribu. Contoh # 5: jumlahSekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan solusi untuk jumlah deret aritmatika. Biarkan deret angka dari bentuk berikut diberikan: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana cara menghitung jumlah 100 bilangan tersebut? Berkat perkembangan teknologi komputer, masalah ini dapat diselesaikan, yaitu, menjumlahkan semua angka secara berurutan, yang akan dilakukan komputer segera setelah seseorang menekan tombol Enter. Namun, masalah tersebut dapat diselesaikan dalam pikiran, jika kita memperhatikan bahwa deret bilangan yang disajikan adalah deret aljabar, dan selisihnya adalah 1. Dengan menerapkan rumus jumlah, kita mendapatkan: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050. Sangat menarik untuk dicatat bahwa masalah ini disebut "Gaussian", karena pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, saat masih berusia 10 tahun, mampu menyelesaikannya di kepalanya dalam beberapa detik. Anak laki-laki itu tidak mengetahui rumus jumlah suatu deret aljabar, tetapi dia memperhatikan bahwa jika Anda menjumlahkan angka-angka di tepi barisan, Anda selalu mendapatkan satu hasil, yaitu, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan karena jumlah ini akan tepat 50 (100/2), maka untuk mendapatkan jawaban yang benar, cukup dengan mengalikan 50 dengan 101. Contoh # 6: jumlah anggota dari n ke mContoh tipikal lain dari jumlah deret aritmatika adalah sebagai berikut: diberikan serangkaian angka: 3, 7, 11, 15, ..., Anda perlu menemukan jumlah anggotanya dari 8 hingga 14 akan sama. Masalahnya diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan menemukan istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menambahkannya secara berurutan. Karena ada beberapa istilah, metode ini tidak cukup melelahkan. Namun demikian, diusulkan untuk memecahkan masalah ini dengan metode kedua, yang lebih universal. Idenya adalah untuk mendapatkan rumus untuk jumlah deret aljabar antara suku m dan n, di mana n> m adalah bilangan bulat. Mari kita menulis dua ekspresi untuk jumlah untuk kedua kasus:
Karena n > m, jelaslah bahwa jumlah 2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir berarti bahwa jika kita mengambil selisih antara jumlah-jumlah ini, dan menambahkannya ke suku a m (dalam hal mengambil selisih, itu dikurangkan dari jumlah S n), maka kita mendapatkan jawaban yang diperlukan untuk soal tersebut. Kami memiliki: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + pagi * (1- m / 2). Dalam ekspresi ini perlu untuk mengganti rumus untuk n dan a m. Maka kita mendapatkan: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2. Rumus yang dihasilkan agak rumit; namun demikian, jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kasus kami, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Mensubstitusikan angka-angka ini, kita mendapatkan: S mn = 301. Seperti yang dapat dilihat dari solusi yang disajikan, semua masalah didasarkan pada pengetahuan tentang ekspresi suku ke-n dan rumus jumlah himpunan suku pertama. Sebelum melanjutkan dengan solusi dari salah satu masalah ini, disarankan untuk membaca kondisinya dengan cermat, memahami dengan jelas apa yang perlu ditemukan, dan baru kemudian melanjutkan ke solusi. Tip lain adalah berusaha untuk kesederhanaan, yaitu, jika Anda dapat menjawab pertanyaan tanpa menggunakan perhitungan matematika yang rumit, maka Anda perlu melakukan hal itu, karena dalam hal ini kemungkinan membuat kesalahan lebih kecil. Misalnya, dalam contoh deret aritmatika dengan solusi # 6, seseorang dapat berhenti pada rumus S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am, dan break masalah umum menjadi subtugas yang terpisah (dalam hal ini, pertama-tama temukan anggota an dan am). Jika ada keraguan tentang hasil yang diperoleh, disarankan untuk memeriksanya, seperti yang dilakukan pada beberapa contoh di atas. Kami menemukan cara untuk menemukan perkembangan aritmatika. Jika Anda mengetahuinya, itu tidak terlalu sulit. Jumlah dari barisan aritmatika.Jumlah dari deret aritmatika adalah hal yang sederhana. Baik dalam arti maupun dalam rumus. Tetapi ada segala macam tugas tentang topik ini. Dari dasar hingga cukup padat. Pertama, mari kita cari tahu arti dan rumus jumlah. Dan kemudian kami akan memperbaikinya. Untuk kesenangan Anda.) Arti dari penjumlahan sederhana, seperti dengungan. Untuk menemukan jumlah deret aritmatika, Anda hanya perlu menambahkan semua anggotanya dengan hati-hati. Jika istilah ini sedikit, Anda dapat menambahkan tanpa rumus apa pun. Tetapi jika ada banyak, atau banyak ... penambahan itu mengganggu.) Dalam hal ini, rumusnya disimpan. Rumus jumlah terlihat sederhana: Mari kita cari tahu huruf apa yang termasuk dalam rumus. Ini akan banyak menjelaskan. S n - jumlah dari perkembangan aritmatika. Hasil tambahan dari semua anggota dengan pertama pada terakhir. Itu penting. Tambahkan dengan tepat semua anggota berturut-turut, tanpa celah dan lompatan. Dan, yaitu, dimulai dengan pertama. Dalam tugas seperti menemukan jumlah suku ketiga dan kedelapan, atau jumlah suku kelima hingga kedua puluh, penerapan langsung rumus akan mengecewakan.) sebuah 1 - pertama anggota kemajuan. Semuanya jelas di sini, sederhana pertama nomor baris. NS- terakhir anggota kemajuan. Nomor baris terakhir. Bukan nama yang sangat familiar, tapi bila diterapkan jumlahnya, malah sangat cocok. Kemudian Anda akan melihat sendiri. n - jumlah anggota terakhir. Penting untuk dipahami bahwa dalam rumus angka ini sesuai dengan jumlah anggota yang ditambahkan. Mari kita definisikan konsepnya yang terakhir anggota NS... Pertanyaan isi ulang: anggota mana yang akan yang terakhir jika diberikan tak berujung deret aritmatika?) Untuk jawaban yang meyakinkan, Anda perlu memahami arti dasar dari deret aritmatika dan ... baca tugas dengan cermat!) Dalam tugas mencari jumlah suatu deret aritmatika, suku terakhir selalu muncul (langsung atau tidak langsung), yang harus dibatasi. Jika tidak, jumlah akhir yang spesifik hanya tidak ada. Untuk solusinya, tidak penting perkembangan mana yang diberikan: terbatas atau tak terbatas. Tidak masalah bagaimana itu diatur: dengan sejumlah angka, atau dengan rumus suku ke-n. Yang paling penting adalah memahami bahwa rumus bekerja dari suku pertama dari deret ke angka c. n. Sebenarnya, nama lengkap rumusnya terlihat seperti ini: jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika. Jumlah anggota pertama ini, yaitu n, ditentukan secara eksklusif oleh tugas. Dalam tugas, semua informasi berharga ini sering dienkripsi, ya ... Tapi tidak ada, dalam contoh di bawah ini kami akan mengungkapkan rahasia ini.) Contoh tugas untuk jumlah deret aritmatika.Pertama-tama, beberapa informasi berguna: Kesulitan utama dalam tugas untuk jumlah deret aritmatika terletak pada penentuan elemen rumus yang benar. Penulis tugas mengenkripsi elemen-elemen ini dengan imajinasi tanpa batas.) Hal utama di sini adalah jangan takut. Memahami esensi elemen, cukup dengan menguraikannya. Mari kita lihat lebih dekat beberapa contoh. Mari kita mulai dengan tugas berdasarkan GIA nyata. 1. Deret aritmatika ditentukan oleh kondisi: a n = 2n-3.5. Tentukan jumlah 10 anggota pertamanya. Tugas yang bagus. Mudah.) Apa yang perlu kita ketahui untuk menentukan jumlah dengan rumus? istilah pertama sebuah 1, istilah terakhir NS, ya jumlah anggota terakhir n. Di mana mendapatkan nomor anggota terakhir? n? Ya ada, dalam kondisi! Dikatakan: temukan jumlahnya 10 anggota pertama. Nah, nomor berapa yang akan terakhir, suku kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, jumlahnya adalah kesepuluh!) Jadi, bukannya NS dalam rumus kita akan mengganti 10, dan bukannya n- sepuluh. Sekali lagi, jumlah anggota terakhir sama dengan jumlah anggota. Itu tetap untuk mendefinisikan sebuah 1 dan 10... Sangat mudah untuk menghitung dengan rumus suku ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak yakin bagaimana melakukan ini? Kunjungi pelajaran sebelumnya, tanpa itu - tidak ada apa-apa. sebuah 1= 2 1 - 3,5 = -1.5 10= 210 - 3,5 = 16,5 S n = S 10. Kami menemukan arti dari semua elemen rumus untuk jumlah deret aritmatika. Tetap menggantikan mereka, dan menghitung: Itu saja. Jawaban: 75. Tugas lain berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit: 2. Anda diberikan deret aritmatika (a n), selisihnya adalah 3,7; a1 = 2.3. Tentukan jumlah 15 anggota pertamanya. Kami segera menulis rumus untuk jumlah: Rumus ini memungkinkan kita untuk menemukan nilai dari setiap anggota dengan nomornya. Kami mencari substitusi sederhana: a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1 Tetap mengganti semua elemen dalam rumus untuk jumlah deret aritmatika dan menghitung jawabannya: Jawaban: 423. Omong-omong, jika dalam rumus jumlahnya bukan NS substitusikan saja rumus suku ke-n, kita peroleh: Kami memberikan yang serupa, kami mendapatkan formula baru untuk jumlah anggota deret aritmatika:
Seperti yang Anda lihat, istilah ke-n tidak diperlukan di sini. NS... Dalam beberapa tugas, rumus ini sangat membantu, ya ... Anda dapat mengingat rumus ini. Atau Anda cukup menampilkannya di waktu yang tepat, seperti di sini. Lagi pula, rumus jumlah dan rumus suku ke-n harus diingat dalam segala hal.) Sekarang tugasnya dalam bentuk enkripsi singkat): 3. Tentukan jumlah semua bilangan positif dua digit yang habis dibagi tiga. Bagaimana! Baik anggota pertama, maupun yang terakhir, atau kemajuan sama sekali ... Bagaimana cara hidup!? Anda harus berpikir dengan kepala Anda dan mengeluarkan semua elemen dari jumlah deret aritmatika dari kondisinya. Kita tahu apa itu angka dua digit. Mereka terdiri dari dua digit.) Berapa angka dua digit yang akan menjadi pertama? 10, saya kira.) hal terakhir bilangan dua angka? 99, tentu saja! Yang tiga digit akan mengikutinya ... Kelipatan tiga… Hm… Ini adalah bilangan yang habis dibagi tiga, nih! Sepuluh tidak habis dibagi tiga, 11 tidak habis dibagi ... 12 ... habis dibagi! Jadi, sesuatu tampak. Sudah dimungkinkan untuk menuliskan seri dengan kondisi masalah: 12, 15, 18, 21, ... 96, 99. Apakah deret ini merupakan deret aritmatika? Tentu saja! Setiap anggota berbeda dari yang sebelumnya hanya tiga. Jika kita menambahkan 2 atau 4 ke istilah, katakanlah, hasilnya, yaitu. bilangan baru tidak akan lagi dibagi seluruhnya dengan 3. Untuk heap, Anda dapat langsung menentukan selisih dari barisan aritmatika: d = 3. Ini akan berguna!) Jadi, Anda dapat dengan aman menuliskan beberapa parameter perkembangan: Apa yang akan menjadi nomor? n anggota terakhir? Siapapun yang berpikir bahwa 99 adalah kesalahan fatal ... Angka - mereka selalu berurutan, dan anggota kami melompati tiga besar. Mereka tidak cocok. Ada dua solusi. Salah satu caranya adalah untuk yang super pekerja keras. Anda dapat melukis kemajuan, seluruh rangkaian angka, dan menghitung jumlah anggota dengan jari Anda.) Cara kedua adalah untuk yang bijaksana. Kita perlu mengingat rumus untuk suku ke-n. Jika kita menerapkan rumus untuk masalah kita, kita mendapatkan bahwa 99 adalah suku ketiga puluh dari perkembangan tersebut. Itu. n = 30. Kami melihat rumus untuk jumlah deret aritmatika: Kami melihat, dan kami senang.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan untuk menghitung jumlah dari pernyataan masalah: sebuah 1= 12. 30= 99. S n = S 30. Sisa-sisa aritmatika dasar. Kami mengganti angka dalam rumus dan menghitung: Jawaban: 1665 Jenis lain dari teka-teki populer: 4. Sebuah deret aritmatika diberikan: -21,5; -20; -18,5; -17; ... Temukan jumlah anggota dari dua puluh hingga tiga puluh empat. Kami melihat rumus jumlah dan ... kami kesal.) Rumusnya, izinkan saya mengingatkan Anda, menghitung jumlahnya dari yang pertama anggota. Dan dalam masalah Anda perlu menghitung jumlahnya dari dua puluh ... Formulanya tidak akan berfungsi. Anda tentu saja dapat melukis seluruh perkembangan secara berurutan, dan menambahkan anggota dari 20 menjadi 34. Tapi ... entah bagaimana itu bodoh dan membutuhkan waktu lama, bukan?) Ada solusi yang lebih elegan. Mari kita bagi baris kita menjadi dua bagian. Bagian pertama adalah dari anggota pertama sampai yang kesembilan belas. Bagian kedua - dari dua puluh sampai tiga puluh empat. Jelas bahwa jika kita menghitung jumlah anggota bagian pertama S 1-19, ya kita tambahkan dengan jumlah suku bagian kedua S 20-34, kita mendapatkan jumlah perkembangan dari suku pertama ke suku ketiga puluh empat S 1-34... Seperti ini: S 1-19 + S 20-34 = S 1-34 Ini menunjukkan bahwa untuk mencari jumlah S 20-34 dapat berupa pengurangan sederhana S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 Kedua jumlah di sisi kanan dianggap dari yang pertama anggota, yaitu rumus jumlah standar cukup berlaku untuk mereka. Mulai? Kami mengambil parameter perkembangan dari pernyataan masalah: d = 1,5. sebuah 1= -21,5. Untuk menghitung jumlah 19 dan 34 anggota pertama, kita membutuhkan anggota ke-19 dan ke-34. Kami menghitungnya sesuai dengan rumus suku ke-n, seperti pada soal 2: 19= -21,5 + (19-1) 1,5 = 5,5 sebuah 34= -21,5 + (34-1) 1,5 = 28 Tidak ada yang tersisa. Kurangi 19 anggota dari total 34 anggota: S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5 Jawaban: 262,5 Satu catatan penting! Ada trik yang sangat berguna dalam memecahkan masalah ini. Alih-alih penyelesaian langsung apa yang Anda butuhkan (S 20-34), kami menghitung apa, tampaknya, tidak diperlukan - S 1-19. Dan baru kemudian mereka memutuskan dan S 20-34, membuang yang tidak perlu dari hasil lengkap. "Trik dengan telinga" ini sering kali menyelamatkan tugas-tugas jahat.) Dalam pelajaran ini, kami memeriksa masalah, yang solusinya cukup untuk memahami arti dari jumlah deret aritmatika. Nah, Anda perlu mengetahui beberapa rumus.) Saran praktis: Saat memecahkan masalah apa pun untuk jumlah deret aritmatika, saya sarankan untuk segera menulis dua rumus utama dari topik ini. Rumus suku ke-n adalah: Rumus-rumus ini akan segera memberi tahu Anda apa yang harus dicari, ke arah mana berpikir untuk memecahkan masalah. Itu membantu. Dan sekarang tugas untuk solusi independen. 5. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang tidak habis dibagi tiga. Keren?) Tip tersembunyi di catatan untuk tugas 4. Nah, tugas 3 akan membantu. 6. Deret aritmatika ditentukan oleh kondisi: a 1 = -5,5; a n + 1 = a n +0,5. Tentukan jumlah 24 anggota pertama. Tidak biasa?) Ini adalah rumus rekursif. Anda dapat membacanya di pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan tautannya, tugas seperti itu sering ditemukan di GIA. 7. Vasya telah menabung uang untuk Liburan. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang yang paling saya cintai (saya sendiri) beberapa hari kebahagiaan). Untuk hidup indah, tanpa menyangkal diri sendiri apa pun. Belanjakan 500 rubel pada hari pertama, dan belanjakan 50 rubel lebih banyak pada setiap hari berikutnya daripada hari sebelumnya! Sampai persediaan uang habis. Berapa hari kebahagiaan yang didapat Vasya? Sulit?) Rumus tambahan dari soal 2 akan membantu. Jawaban (berantakan): 7, 3240, 6. Jika Anda menyukai situs ini ...Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.) Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian validasi instan. Belajar - dengan penuh minat!) Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya. Apa esensi utama dari formula? Rumus ini memungkinkan Anda untuk menemukan setiap DENGAN NOMORNYA " n " . Tentu saja, Anda juga perlu mengetahui istilah pertama. sebuah 1 dan perbedaan perkembangannya D, nah, tanpa parameter ini, Anda tidak dapat merekam perkembangan tertentu. Menghafal (atau sparging) formula ini tidak cukup. Penting untuk mengasimilasi esensinya dan menerapkan formula dalam berbagai tugas. Apalagi jangan lupa di waktu yang tepat ya…) Bagaimana tidak lupa- Saya tidak tahu. Dan di sini bagaimana cara mengingat jika perlu, saya akan memberitahu Anda persis. Mereka yang menguasai pelajaran sampai akhir.) Jadi, mari kita berurusan dengan rumus untuk suku ke-n dari deret aritmatika. Apa rumus secara umum - kita bayangkan.) Apa itu deret aritmatika, jumlah anggota, perbedaan perkembangan - tersedia di pelajaran sebelumnya. Coba lihat, omong-omong, jika Anda belum membacanya. Semuanya sederhana di sana. Masih mencari tahu apa itu istilah ke-n. Kemajuan secara umum dapat ditulis sebagai serangkaian angka: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ..... sebuah 1- menunjukkan anggota pertama dari deret aritmatika, sebuah 3- suku ketiga, sebuah 4- keempat, dan seterusnya. Jika kita tertarik pada suku kelima, katakanlah kita bekerja dengan sebuah 5 jika seratus dua puluh - dari 120. Dan bagaimana menunjuk secara umum setiap anggota deret aritmatika, s setiap nomor? Sangat sederhana! Seperti ini: NS Itulah apa itu suku ke-n dari barisan aritmatika. Huruf n menyembunyikan semua nomor anggota sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Dan apa yang diberikan rekaman seperti itu kepada kita? Bayangkan saja, alih-alih angka, mereka menulis surat ... Entri ini memberi kita alat yang ampuh untuk bekerja dengan perkembangan aritmatika. Menggunakan notasi NS, kita dapat dengan cepat menemukan setiap anggota setiap deret aritmatika. Dan untuk memecahkan banyak masalah dalam perkembangan. Anda akan melihat sendiri. Dalam rumus untuk suku ke-n dari deret aritmatika: sebuah 1- anggota pertama dari perkembangan aritmatika; n- nomor anggota. Rumus menghubungkan parameter kunci dari setiap perkembangan: NS; sebuah 1; D dan n. Semua masalah dalam perkembangan berkisar pada parameter ini. Rumus suku ke-n juga dapat digunakan untuk mencatat perkembangan tertentu. Misalnya, masalahnya mungkin mengatakan bahwa perkembangan ditentukan oleh kondisi: a n = 5 + (n-1) 2. Masalah seperti itu bahkan bisa membingungkan ... Tidak ada baris, tidak ada perbedaan ... Tapi, membandingkan kondisi dengan rumus, mudah untuk mengetahui bahwa dalam perkembangan ini a 1 = 5 dan d = 2. Dan itu terjadi bahkan lebih marah!) Jika kita mengambil kondisi yang sama: a n = 5 + (n-1) 2, ya untuk membuka kurung dan membawa yang serupa? Mari kita dapatkan formula baru: a n = 3 + 2n. dia Hanya tidak umum, tetapi untuk perkembangan tertentu. Di sinilah perangkap mengintai. Beberapa orang berpikir bahwa istilah pertama adalah triplet. Meskipun pada kenyataannya suku pertama adalah lima ... Beberapa saat kemudian kita akan bekerja dengan formula yang dimodifikasi seperti itu. Dalam tugas untuk kemajuan, ada satu sebutan lagi - a n + 1... Ini adalah, Anda dapat menebaknya, istilah "en plus first" dalam progresi. Artinya sederhana dan tidak berbahaya.) Ini adalah anggota dari perkembangan yang jumlahnya lebih besar dari n per satu. Misalnya, jika dalam beberapa masalah kita ambil untuk NS suku kelima maka a n + 1 akan menjadi anggota keenam. Dll. Paling sering sebutan a n + 1 terjadi dalam rumus rekursif. Jangan terintimidasi oleh kata yang mengerikan ini!) Ini hanyalah cara untuk mengekspresikan anggota deret aritmatika melalui yang sebelumnya. Katakanlah kita diberikan deret aritmatika seperti ini, menggunakan rumus berulang: a n + 1 = a n +3 a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8 a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11 Keempat - melalui ketiga, kelima - melalui keempat, dan seterusnya. Dan bagaimana cara menghitung segera, ucapkan suku kedua puluh, 20? Tapi tidak mungkin!) Sampai suku ke-19 diakui, suku ke-20 tidak bisa dihitung. Inilah perbedaan mendasar antara rumus berulang dan rumus suku ke-n. Berulang hanya berfungsi melalui sebelumnya suku, dan rumus suku ke-n adalah melalui pertama dan memungkinkan langsung temukan anggota mana pun dengan nomornya. Tanpa menghitung seluruh rangkaian angka secara berurutan. Dalam deret aritmatika, rumus yang berulang dapat dengan mudah diubah menjadi rumus biasa. Hitung sepasang suku berurutan, hitung selisihnya D, temukan, jika perlu, suku pertama sebuah 1, tuliskan rumus dalam bentuk biasa, dan kerjakan. Di GIA, tugas seperti itu sering ditemui. Penerapan rumus untuk anggota ke-n dari deret aritmatika.Pertama, mari kita lihat aplikasi langsung dari rumus tersebut. Di akhir pelajaran sebelumnya, ada masalah: Anda diberikan deret aritmatika (a n). Tentukan a 121 jika a 1 = 3 dan d = 1/6. Masalah ini dapat diselesaikan tanpa rumus apa pun, cukup melanjutkan dari makna deret aritmatika. Tambah, ya tambah... satu atau dua jam.) Dan menurut rumus, solusinya akan memakan waktu kurang dari satu menit. Anda dapat mengatur waktunya.) Kami memutuskan. Kondisi menyediakan semua data untuk menggunakan rumus: a 1 = 3, d = 1/6. Masih mencari tahu apa itu sama dengan n. Tidak masalah! Kita perlu menemukan sebuah 121... Jadi kami menulis: Mohon perhatian! Alih-alih indeks n angka tertentu muncul: 121. Yang cukup logis.) Kami tertarik pada anggota deret aritmatika nomor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi milik kita n. Ini dia artinya n= 121 kita akan subtitusikan lebih lanjut ke dalam rumus, dalam tanda kurung. Kami mengganti semua angka dalam rumus dan menghitung: a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23 Itu saja. Dengan cepat seseorang dapat menemukan suku lima ratus sepuluh, dan suku seribu tiga, apa saja. Kami menempatkan sebagai gantinya n nomor indeks yang diinginkan untuk huruf " A " dan dalam tanda kurung, dan kami menghitung. Biarkan saya mengingatkan Anda intinya: rumus ini memungkinkan Anda untuk menemukan setiap suku deret aritmatika DENGAN NOMORNYA " n " . Mari kita selesaikan tugas yang lebih licik. Mari kita memiliki masalah seperti itu: Tentukan suku pertama barisan aritmatika (a n) jika a 17 = -2; d = -0,5. Jika Anda mengalami kesulitan, saya akan memberi tahu Anda langkah pertama. Tuliskan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika! Ya ya. Tulis dengan tangan Anda, tepat di buku catatan Anda: Dan sekarang, dengan melihat huruf-huruf dalam rumus, kami mencari tahu data apa yang kami miliki dan apa yang hilang? Ada d = -0,5, ada anggota ketujuh belas ... Itu saja? Jika Anda berpikir itu saja, maka Anda tidak akan menyelesaikan masalah, ya ... Kami masih memiliki nomor n! Dalam kondisi a 17 = -2 tersembunyi dua parameter. Ini adalah nilai dari suku ketujuh belas (-2) dan bilangannya (17). Itu. n = 17."Sepele" ini sering melewati kepala, dan tanpanya, (tanpa "sepele", dan bukan kepala!) Masalahnya tidak dapat diselesaikan. Meskipun ... tanpa kepala juga.) Sekarang Anda bisa dengan bodohnya mengganti data kami ke dalam rumus: a 17 = a 1 + (17-1) (-0,5) Oh ya, 17 kita tahu itu -2. Oke, mari kita gantikan: -2 = a 1 + (17-1) (-0,5) Itu, pada dasarnya, adalah semua. Tetap mengungkapkan suku pertama deret aritmatika dari rumus, dan menghitung. Jawabannya adalah: a1 = 6. Teknik ini - menulis formula dan substitusi sederhana dari data yang diketahui - banyak membantu dalam tugas-tugas sederhana. Yah, tentu saja Anda harus dapat mengekspresikan variabel dari rumus, tetapi apa yang harus dilakukan!? Tanpa keterampilan ini, matematika sama sekali dapat dihindari ... Teka-teki populer lainnya: Tentukan selisih dari barisan aritmatika (a n) jika a 1 = 2; a.15 = 12. Apa yang kita lakukan? Anda akan terkejut, kami sedang menulis rumusnya!) Pertimbangkan apa yang kita ketahui: a 1 = 2; a 15 = 12; dan (saya akan menyorotinya secara khusus!) n = 15. Jangan ragu untuk mengganti dalam rumus: 12 = 2 + (15-1) d Kami menghitung aritmatika.) 12 = 2 + 14d D=10/14 = 5/7 Ini adalah jawaban yang benar. Jadi, tugas untuk a n, a 1 dan D terpecahkan. Masih belajar bagaimana menemukan nomornya: Bilangan 99 adalah anggota deret aritmatika (a n), dimana a 1 = 12; d = 3. Temukan nomor anggota ini. Kami mengganti jumlah yang kami ketahui dalam rumus untuk suku ke-n: a n = 12 + (n-1) 3 Sekilas, ada dua hal yang tidak diketahui: sebuah n dan n. Tetapi NS adalah beberapa anggota perkembangan dengan angka n... Dan kita tahu anggota perkembangan ini! Ini 99. Kami tidak tahu nomornya. n, jadi nomor ini wajib dicari. Kami mengganti istilah perkembangan 99 ke dalam rumus: 99 = 12 + (n-1) 3 Kami mengungkapkan dari rumus n, mempertimbangkan. Kami mendapatkan jawabannya: n = 30. Dan sekarang teka-teki tentang topik yang sama, tetapi lebih kreatif): Tentukan apakah bilangan 117 merupakan anggota barisan aritmatika (a n): -3,6; -2,4; -1,2 ... Kami menulis rumus lagi. Apa, tidak ada parameter? Hm... Kenapa kita diberi mata?) Lihat anggota pertama dari progresi? Kami melihat. Ini adalah -3.6. Anda dapat dengan aman menulis: a 1 = -3.6. Perbedaan D dapat ditentukan dari suatu bilangan? Sangat mudah jika Anda tahu apa perbedaan dari deret aritmatika: d = -2.4 - (-3.6) = 1.2 Jadi, kami melakukan hal yang paling sederhana. Masih berurusan dengan nomor yang tidak dikenal n dan angka 117 yang tidak bisa dipahami. Pada soal sebelumnya, setidaknya diketahui bahwa itu adalah anggota dari perkembangan yang diberikan. Dan di sini kita bahkan tidak tahu ... Bagaimana menjadi!? Nah, bagaimana menjadi, bagaimana menjadi ... Nyalakan kreativitas!) Kita memperkirakan bahwa 117 adalah, setelah semua, anggota kemajuan kami. Dengan nomor tak dikenal n... Dan, seperti pada tugas sebelumnya, mari kita coba mencari nomor ini. Itu. kami menulis rumus (ya, ya!)) dan mengganti nomor kami: 117 = -3,6 + (n-1) 1,2 Sekali lagi kami ungkapkan dari rumusn, kami menghitung dan mendapatkan: Ups! Nomor ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan bilangan pecahan dalam progresi tidak bisa. Kesimpulan apa yang bisa kita tarik? Ya! Nomor 117 tidak anggota kemajuan kami. Itu adalah suatu tempat antara seratus dan pertama dan seratus dan anggota kedua. Jika jumlahnya ternyata alami, mis. bilangan bulat positif, maka nomor tersebut akan menjadi anggota perkembangan dengan nomor yang ditemukan. Dan dalam kasus kami, jawaban untuk masalahnya adalah: tidak. Tugas berdasarkan versi nyata GIA: Deret aritmatika ditentukan oleh kondisi: a n = -4 + 6.8n Temukan anggota pertama dan kesepuluh dari perkembangan. Di sini perkembangannya tidak diatur dengan cara yang benar-benar akrab. Semacam formula ... Itu terjadi.) Namun, formula ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga merupakan rumus suku ke-n dari deret aritmatika! Dia juga mengizinkan temukan anggota perkembangan dengan nomornya. Kami mencari anggota pertama. Yang berpikir. bahwa suku pertama dikurangi empat, adalah kesalahan fatal!) Karena rumus dalam soal dimodifikasi. Suku pertama dari barisan aritmatika di dalamnya tersembunyi. Tidak ada, kita akan menemukannya sekarang.) Sama seperti pada tugas sebelumnya, kami mengganti n = 1 ke dalam rumus ini: a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8 Di Sini! Suku pertama adalah 2,8, bukan -4! Demikian pula, kami mencari suku kesepuluh: a 10 = -4 + 6,8 10 = 64 Itu saja. Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca baris ini - bonus yang dijanjikan.) Misalkan, dalam situasi pertempuran yang sulit dari GIA atau USE, Anda telah melupakan formula yang berguna untuk suku ke-n dari deret aritmatika. Ada sesuatu yang diingat, tetapi entah bagaimana tidak pasti ... Entah n di sana atau n + 1, atau t-1 ... Bagaimana menjadi !? Tenang! Rumus ini mudah untuk disimpulkan. Tidak terlalu ketat, tetapi untuk kepastian dan solusi yang tepat, itu pasti akan cukup!) Sebagai kesimpulan, cukup untuk mengingat makna dasar dari deret aritmatika dan memiliki beberapa menit waktu. Anda hanya perlu menggambar. Untuk kejelasan. Gambarlah sumbu angka dan tandai yang pertama di atasnya. kedua, ketiga, dst. anggota. Dan perhatikan perbedaannya D antar anggota. Seperti ini: Kami melihat gambar dan mencari tahu: apa yang sama dengan suku kedua? Kedua satu hal D: A 2 = 1 + 1 D Apa istilah ketiga? Ketiga suku sama dengan suku pertama ditambah dua D. A 3 = 1 + 2 D Apa kau mengerti? Bukan tanpa alasan saya menyoroti beberapa kata yang dicetak tebal. Oke, satu langkah lagi). Apa istilah keempat? Keempat suku sama dengan suku pertama ditambah tiga D. A 4 = 1 + 3 D Saatnya untuk mencari tahu bahwa jumlah celah, mis. D, selalu satu kurang dari jumlah istilah yang diperlukan n. Artinya, ke nomor n, jumlah interval akan n-1. Oleh karena itu, rumusnya adalah (tidak ada opsi!): Secara umum, gambar bergambar sangat membantu dalam memecahkan banyak masalah dalam matematika. Jangan abaikan gambar. Tetapi jika sulit untuk menggambar, maka ... hanya rumus!) Selain itu, rumus suku ke-n memungkinkan Anda untuk menghubungkan ke solusi seluruh gudang senjata matematika yang kuat - persamaan, ketidaksetaraan, sistem, dll. Anda tidak dapat memasukkan gambar ke dalam persamaan ... Tugas untuk solusi independen. Untuk pemanasan: 1. Dalam barisan aritmatika (a n) a 2 = 3; 5 = 5.1. Temukan 3. Petunjuk: sesuai dengan gambar, masalah diselesaikan dalam 20 detik ... Menurut rumus, ternyata lebih sulit. Tetapi untuk menguasai rumus itu lebih berguna.) Bagian 555 memecahkan masalah ini baik dengan gambar maupun dengan rumus. Rasakan perbedaan nya!) Dan ini bukan lagi pemanasan.) 2. Dalam deret aritmatika (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Cari 3. Apa, keengganan untuk menggambar?) Tentu saja! Lebih baik dengan rumus, ya ... 3. Deret aritmatika ditentukan oleh kondisi:a 1 = -5,5; a n + 1 = a n +0,5. Temukan suku keseratus dua puluh lima dari perkembangan ini. Dalam tugas ini, perkembangan diberikan secara berulang. Tapi menghitung hingga suku ke seratus dua puluh lima ... Tidak semua orang bisa melakukan hal seperti itu.) Tapi rumus suku ke-n ada dalam kekuatan semua orang! 4. Diberikan deret aritmatika (a n): -148; -143,8; -139,6; -135,4, ..... Tentukan jumlah suku positif terkecil dalam deret tersebut. 5. Sesuai dengan kondisi tugas 4, temukan jumlah anggota positif terkecil dan negatif terbesar dari perkembangan. 6. Hasil kali suku kelima dan kedua belas dari deret aritmatika yang meningkat adalah -2,5, dan jumlah suku ketiga dan kesebelas adalah nol. Temukan 14. Bukan tugas termudah, ya ...) Di sini, metode "di jari" tidak akan berfungsi. Kita harus menulis rumus dan menyelesaikan persamaan. Jawaban (berantakan): 3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5 Telah terjadi? Itu bagus!) Tidak semuanya berhasil? Itu terjadi. Omong-omong, ada satu poin halus dalam tugas terakhir. Kehati-hatian saat membaca masalah akan diperlukan. Dan logika. Solusi dari semua masalah ini dibahas secara rinci di Bagian 555. Dan elemen fantasi untuk yang keempat, dan momen yang sulit untuk yang keenam, dan pendekatan umum untuk memecahkan masalah apa pun pada rumus suku ke-n - semuanya ditulis . Menyarankan. Jika Anda menyukai situs ini ...Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.) Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian validasi instan. Belajar - dengan penuh minat!) Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya. Jadi mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Sebagai contoh: Anda dapat menulis angka apa saja, dan bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, angka tersebut). Tidak peduli berapa banyak angka yang kita tulis, kita selalu dapat mengatakan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya hingga yang terakhir, yaitu, kita dapat menghitungnya. Berikut adalah contoh barisan bilangan: |
Jika diketahui sebuah deret aritmatika 2 5 8 11 titik titik maka berapakah rumus suku ke n?
Pos Terkait
Copyright © 2024 toptenid.com Inc.
