Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 42+(y+2)2 250 yang bergradien 3 adalah

$L:x^{2}+y^{2}-8x+4y-20=0$

Pusat = $\left(-\frac{1}{2}\cdot(-8),\,-\frac{1}{2}\cdot4\right)=(4,-2)$

$\begin{aligned}r & =\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}-(-20)}\\ & =\sqrt{16+4+20}\\ & =\sqrt{40} \end{aligned}

$

Gradien garis singgung $2x+6y=5$ adalah $m_{1}=-\frac{1}{3}$

Misalkan gradien garis singgung adalah $m_{2}$. Karena tegak lurus, maka $m_{1}\cdot m_{2}=-1$

$\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot m_{2}=-1\rightarrow m_{2}=3$

Persamaan garis singgungnya adalah :

$y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

$y+2=3(x-4)\pm\sqrt{40}\cdot\sqrt{3^{2}+1}$$=3x-12\pm\sqrt{40}\cdot\sqrt{10}$

$y+2=3x-12\pm20$

$y=3x-14\pm20$

$y=3x-14+20$ atau $y=3x-14-20$

$y=3x+6$ atau $y=3x-34$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $y=3x+6$ atau $y=3x-34.$

$L:x^{2}+y^{2}-8x+4y-20=0$

Pusat = $\left(-\frac{1}{2}\cdot(-8),\,-\frac{1}{2}\cdot4\right)=(4,-2)$

$\begin{aligned}r & =\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}-(-20)}\\ & =\sqrt{16+4+20}\\ & =\sqrt{40} \end{aligned}

$

Gradien garis singgung $2x+6y=5$ adalah $m_{1}=-\frac{1}{3}$

Misalkan gradien garis singgung adalah $m_{2}$. Karena tegak lurus, maka $m_{1}\cdot m_{2}=-1$

$\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot m_{2}=-1\rightarrow m_{2}=3$

Persamaan garis singgungnya adalah :

$y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

$y+2=3(x-4)\pm\sqrt{40}\cdot\sqrt{3^{2}+1}$$=3x-12\pm\sqrt{40}\cdot\sqrt{10}$

$y+2=3x-12\pm20$

$y=3x-14\pm20$

$y=3x-14+20$ atau $y=3x-14-20$

$y=3x+6$ atau $y=3x-34$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $y=3x+6$ atau $y=3x-34.$

Misalkan $m_{2}$ gadien garis yang menyinggung lingkaran $\left(x-4\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2}=40$.

Lingkaran memiliki pusat $(4,3)$ dan $r=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

Gradien garis $x+3y+5=0$ adalah $-\frac{1}{3}$

$m_{2}\cdot-\frac{1}{3}=-1\rightarrow m_{2}=3$

Persamaan garis singgungnya adalah :

$y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

$y-3=3(x-4)\pm2\sqrt{10}\cdot\sqrt{3^{2}+1}$

$y-3=3x-12\pm20$

$(+)\rightarrow y=3x-12+3+20$$\rightarrow y=3x+11$

$(-)\rightarrow y=3x-12+3-20$$\rightarrow y=3x-29$

Misalkan $m_{2}$ gadien garis yang menyinggung lingkaran $\left(x-4\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2}=40$.

Lingkaran memiliki pusat $(4,3)$ dan $r=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

Gradien garis $x+3y+5=0$ adalah $-\frac{1}{3}$

$m_{2}\cdot-\frac{1}{3}=-1\rightarrow m_{2}=3$

Persamaan garis singgungnya adalah :

$y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

$y-3=3(x-4)\pm2\sqrt{10}\cdot\sqrt{3^{2}+1}$

$y-3=3x-12\pm20$

$(+)\rightarrow y=3x-12+3+20$$\rightarrow y=3x+11$

$(-)\rightarrow y=3x-12+3-20$$\rightarrow y=3x-29$

$x^{2}+y^{2}=$13

Pusatnya $(0,0)$ dan jari-jari = $\sqrt{13}$

Persamaan garis singgung dengan pusat $(0,0)$ adalah :

$y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

Substitusikan titi (1,5) ke pers garis singgung :

$5=m\pm\sqrt{13}\cdot\sqrt{m^{2}+1}$

$5-m=\pm\sqrt{13m^{2}+13}$ (kuadratkan kedua ruas) :

$\left(5-m\right)^{2}=13m^{2}+13$

$m^{2}-10m+25=13m^{2}+13$

$12m^{2}+10m-12=0$

$6m^{2}+5m-6=0$

$\left(2m+3\right)(3m-2)=0$

$m=-\frac{3}{2}$ atau $m=\frac{2}{3}$

Untuk memastikan positif atau negatinya

Ketika kita subtitusikan ke 5 – m ternyata keduanya positif.

Kita akan pakai yang positif saja

Substitusikan nilai m ke pers garis singgung.

$*$ Untuk $m=-\frac{3}{2}$

$y=-\frac{3}{2}x+\sqrt{13}\cdot\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}+1}$

$y=-\frac{3}{2}x+\sqrt{13}\cdot\sqrt{\frac{13}{4}}=-\frac{3}{2}x+\frac{13}{2}$

$2y=-3x+13$$\rightarrow2y+3x-13=0$

$*$ Untuk $m=\frac{2}{3}$

$y=\frac{2}{3}x+\sqrt{13}\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+1}$

$y=\frac{2}{3}x+\sqrt{13}\cdot\sqrt{\frac{13}{9}}=\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}$

$3y=2x+13$$\rightarrow3y-2x-13=0$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $2y+3x-13=0$ dan $3y-2x-13=0.$

$x^{2}+y^{2}=$13

Pusatnya $(0,0)$ dan jari-jari = $\sqrt{13}$

Persamaan garis singgung dengan pusat $(0,0)$ adalah :

$y=mx\pm r\sqrt{m^{2}+1}$

Substitusikan titi (1,5) ke pers garis singgung :

$5=m\pm\sqrt{13}\cdot\sqrt{m^{2}+1}$

$5-m=\pm\sqrt{13m^{2}+13}$ (kuadratkan kedua ruas) :

$\left(5-m\right)^{2}=13m^{2}+13$

$m^{2}-10m+25=13m^{2}+13$

$12m^{2}+10m-12=0$

$6m^{2}+5m-6=0$

$\left(2m+3\right)(3m-2)=0$

$m=-\frac{3}{2}$ atau $m=\frac{2}{3}$

Untuk memastikan positif atau negatinya

Ketika kita subtitusikan ke 5 – m ternyata keduanya positif.

Kita akan pakai yang positif saja

Substitusikan nilai m ke pers garis singgung.

$*$ Untuk $m=-\frac{3}{2}$

$y=-\frac{3}{2}x+\sqrt{13}\cdot\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}+1}$

$y=-\frac{3}{2}x+\sqrt{13}\cdot\sqrt{\frac{13}{4}}=-\frac{3}{2}x+\frac{13}{2}$

$2y=-3x+13$$\rightarrow2y+3x-13=0$

$*$ Untuk $m=\frac{2}{3}$

$y=\frac{2}{3}x+\sqrt{13}\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+1}$

$y=\frac{2}{3}x+\sqrt{13}\cdot\sqrt{\frac{13}{9}}=\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}$

$3y=2x+13$$\rightarrow3y-2x-13=0$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $2y+3x-13=0$ dan $3y-2x-13=0.$