LINGKARAN PENDAHULUAN Lebih dari seribu tahun yang lalu, para ahli matematika Bangsa Yunani biasa memandang garis singgung sebuah lingkaran sebagai sebuah garis yang menyentuh lingkaran hanya di satu titik. Descartes bahkan mempunyai argument bahwa pasti ada dua titik potong ketika sebuah garis memotong lingkaran. Jika hanya ada satu titik potong, maka garis itu pastilah garis singgung lingkaran. Mereka hanya menenmpatkan lingkaran sebagai bangun yang stagnan. Berlawanan dengan ide-ide tersebut, Issac Newton, orang Inggris yang menemukan Hukum Universal Gravitasi, mempunyai pendapat yang berbeda mengenai garis singgung. Ia memandang garis singgung pada sebuah titik sebagai limit posisi dari sebuah garis yang melalui titik itu dan titik lain yang bergerak semakin dekat ke titik tadi. Dengan demikian, lingkaran menurut Newton merupakan lintasan lengkung tertutup sederhana yang membolehkan gerakan dan oleh karena itu lingkaran disebut bangun yang dinamis. STANDAR KOMPETENSI 3. Menyusun persamaan lingkaran dan garis singgungnya. KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR
A. DEFINISI Y
O X Dalam menentukan persamaan lingkaran, kita harus mengerti tentang formula jarak. Berikut ini diberikan beberapa formula untuk menentukan jarak. 1. Jarak antara dua titik A(x1 , y1) dan B(x2 , y2), ditentukan oleh j = 2. Jarak titik A(x1 , y1) terhadap garis lurus ax + by + c = 0 dirumuskan B. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O ( 0,0 ) dan Berjari-jari r
Contoh 1 Tentukan persamaan lingkaran yang :
Jawab :
x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 32 x2 + y2 = 9 atau x2 + y2 – 9 = 0
Karena melalui titik A(3, 4) maka nilai r2 ditentukan dari x2 + y2 = r2 diperoleh nilai r2 = 32 + 42 r2 = 25. Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25.
Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 9
Y X O Contoh 2 Tentukan persamaan lingkaran yang :
Jawab :
Persamaan Lingkaran : (x – 4)2 + (y – 3)2 = 62 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 36
Persamaan Lingkaran : (x – 5)2 + (y + 1)2 = 102 (x – 5)2 + (y + 1)2 = 100
Jari-jari lingkaran merupakan jarak P(2, 3) dengan garis 2x + 3y + 4 = 0, diperoleh : r = = = Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y – 3)2 = (x – 2)2 + (y – 3)2 = 13(x – 2)2 + 13(y – 3)2 = 289 LATIHAN 1 Jawablah dengan singkat, jelas dan benar !
a. r = b. r = 3 -
10. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan menyinggung garis : a. 3x + 4y + 10 = 0 b. x – y = 11. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(1, -2) dan menyinggung garis: a. 6y – 8y = 10 b. 2x + y – 20 = 0
Persamaan lingkaran dengan pusat P(a, b) dan berjari-jari r mempunyai persamaan baku , jika bentuk ini dijabarkan maka diperoleh :
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2 x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, misalkan A = – 2a, B = – 2b dan C = a2 + b2 – r2 maka diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran :
Dengan Pusat dan jar-jari Contoh 3 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0 ! Jawab : a. Lingkaran : x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0 diperoleh A = – 6, B = 8 dan C = – 24
Jari – jari = r = = 7 Contoh 4 Lingkaran x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 melalui titik (1, 7), tentukan pusat lingkaran tersebut ! Jawab : Subtitusi (1, 7) ke lingkaran x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 diperoleh : 12 + 72 + 4.1 + b.7 – 12 = 0 7b = – 42 b = – 6 Pusat : = (– 2, 3) LATIHAN 2 Jawablah dengan singkat, jelas dan benar !
Ada tiga kemungkinan posisi suatu titik terhadap lingkaran:
a. atau b. atau c.
a. atau b. atau c.
a. atau b. atau c. Contoh 5 Tanpa menggambar pada bidang kartesius tentukan posisi titik A(1, 2) terhadap lingkaran :
Jawab :
Subtitusi A(1, 2) ke L x2 + y2 = 9 diperoleh 12 + 22 = 5 < 9. Jadi A(1, 2) terletak di dalam L x2 + y2 = 9.
Subtitusi A(1, 2) ke L (x – 2)2 + (y + 1)2 = 10 diperoleh (1 – 2)2 + (2 + 1)2 = 10 = 10. Jadi titik A(1, 2) terletak pada L (x – 2)2 + (y + 1)2 = 10. |