A. Konsep Peluang Menggunakan Frekuensi Relatif Dalam pembahasan teori peluang untuk siswa SMP atau SMA ini , istilah peluang dapat diartikan kemungkinan terjadinya suatu kejadian dari suatu percobaan terhingga.Kemungkinan terjadinya suatu kejadian sebagai hasil dari suatu percobaan dinilai dengan menggunakan sekumpulan bilangan real dari 0 sampai dengan 1. Untuk kejadian yang kecil sekali kemungkinannya terjadi atau tidak mungkin terjadi diberi nilai 0 atau peluangnya nol, sedangkan untuk kejadian yang kemungkinannya besar terjadi diberi nilai 1 atau peluangnya 1. Peluang suatu kejadian bernilai 0 disebut suatu kemustahilan, sedangkan peluang suatu kejadian bernilai 1 disebut suatu kepastian.
Bayangkan anda melempar
koin satu kali, maka peluang mendapatkan sisi Gambar ialah ½ = 0,5. Mengapa dibagi dua? Dibagi dua karena kemungkinan
kejadian yang terjadi hanyalah dua yaitu sisi Gambar atau Angka. Peluang
sebesar 0,5 ini disebut sebagai peluang teoretis dimana
pelemparan koin yang dilakukan hanya satu kali. Perhatikan bahwa:
Jadi, peluang dapat diukur secara frekuensi
relatif ketika percobaan dilakukan perulangan beberapa kali, seperti dalam
contoh pelemparan koin yang dilakukan dalam beberapa kali perulangan.
Karenanya, peluang suatu kejadian dapat diukur dari proporsi jumlah kemunculan
suatu kejadian dimana percobaan diulang sebanyak jumlah tertentu.
Jadi, peluang suatu kejadian secara frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan dalam waktu tertentu.
Contoh: Misalkan A mewakili kejadian ditemukan warga terjangkit penyakit Flu. Jadi, karena ada 60 orang diperiksa dan 10 orang terjangkit Flu, maka P(A) = = 0,167 (pembulatan desimal tiga digit). B. Unsur Unsur yang Terdapat dalam Peluang Suatu kejadian 1. Percobaan Percobaaan adalah suatu usaha/ proses untuk memperoleh data (hasil pengamatan , hasil perhitungan , hasil pengukuran) . Misalnya, seseorang melakukan percobaan melempar uang logam. Kejadian yang mungkin adalah muncul angka (A) atau gambar (G). Jika dinyatakan dalam suatu himpunan (misal S), maka S = {A,G}. S disebut ruang sampel, sedangkan A dan G disebut titik sampel. Banyak anggota pada ruang sampel dinotasikan dengan n(S). Jadi, pada pelemparan sebuah uang logam, n(S) = 2.2. Frekuensi Relatif Frekuensi relatif adalah perbandingan antara banyak kejadian dengan banyak percobaan.
Contoh : 3. Frekuensi Harapan Misal, A adalah suatu kejadian pada ruang sampel S dari suatu percobaan. Jika percobaan itu dilakukan sebanyak n kali,maka: Frekuensi harapan A = n x P(A) Contoh : Misalkan pada percobaan pelemparan 2 buah mata uang dilakukan sebayak 20 kali, maka frekuensi harapan keduanya muncul angka adalah :Frekuensi harapan = n x P(A) P(A) = n(A)/n(S) = 1/4 Fekuensi harapan = 20 x 1/4 = 5 kali. 4. RUANG SAMPLE Suatu himpunan yang anggotanya adalah semua hasil yang mungkin dari percobaan. Kumpulan semua titik sampel disebut Ruang Sampel (S) atau semua hasil yang mungkin . Kejadian merupakan Himpunan bagian dari ruang sample. Jika A adalah himpunan bagian dari Ruang Sampel (S) , maka A disebut Kejadian atau disebut juga hasil yang dimaksud (diharapkan). Untuk setiap titik sampel pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu peluang sedemikian rupa sehingga jumlah semua bobotnya sama dengan 1. Untuk menentukan peluang suatu kejadian A, semua bobot titik sampel dalam A dijumlahkan. Jumlah ini dinamakan peluang A ditulis P(A) . Dengan demikian kisaran nilai peluang kejadian A atau P(A) mulai dari 0 s.d. 1 atau 0 ≤ P(A) ≤ 1 . Contoh 1 Percobaan : Melempar dadu bersisi enam Hasil yang mungkin : muncul mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 mata dadu 1, atau 2, atau 3, atau 4, atau 5, atau 6 disebut titik sampel. Sedangkan mata dadu {1,2,3,4,5,6} disebut Ruang sample. C. Menentukan Ruang Sampel Suatu PercobaanUntuk menentukan jumlah titik sampel yang ada dalam ruang sampel diperlukan prinsip dasar menghitung, diantaranya kaidah penjumlahan, kaidah perkalian, permutasi dan kombinasi. Dalam menghitung banyaknya elemen ruang sampel dikenal dua prinsip penghitungan dasar (basic counting principles), yaitu: Kaidah Perkalian (Rule of Product) dan Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum). Atau dengan cara mendaftar, menggunakan diagram pohon dan membuat tabel. 1.Mendaftar Untuk menentukan banyaknya elemen suatu ruang sampel dapat dilakuakan dengan cara mendaftar Contoh: Percobaan pelemparan 2 buah mata uang.
Jadi, S = { AA.AG,GA,GG} 2. Diagram Pohon Sebuah diagram pohon dapat digunakan dalam perhitungan ruang sampel. Misalnya pada percobaan 2 kali pelemparan sebuah mata uang. Himpunan hasil yang mungkin dapat diperoleh oleh seluruh garis yang ditunjukkan dalam diagram pohon berikut. Gambar 1.2.1 Diagram pohon untuk dua kali lemparan mata uang Dalam setiap percobaan ada 2 kemungkinan hasil: angka (A) atau gambar (G). Percobaan dengan 2 kali pelemparan mata uang didapat hasil sebanyak 22 = 4 buah titik sampel. Jadi ruang sampel S = {GG, GA, AG, AA}. 3. TABEL Sebuah tabel dapat digunakan dalam perhitungan ruang sampel. Misalnya pada percobaan melempar 2 dadu secara bersamaan . Himpunan hasil yang mungkin dapat diperoleh oleh seluruh elemen yang ditunjukkan dalam tabel berikut. Langkah awal susunlah semua hasil yang mungkin, dapat disusun dengan menggunakan tabel
Banyaknya hasil yang mungkin / ruang sampel sebanyak 36. D. PENGGUNAAN KONSEP PELUANG DALAM MASALAH NYATA Contoh1 Dalam pelemparan dua dadu secara bersamaan, tentukan nilai kemungkinan muncul jumlah angka kedua mata dadu sama dengan 7 ! Jawab: Langkah awal susunlah semua hasil yang mungkin, dapat disusun dengan menggunakan tabel !
Banyaknya hasil yang mungkin sebanyak 36. Hasil yang dimaksud yaitu jumlah angka mata dadu sama dengan 7. Misalkan hasil yang dimaksud adalah A = { (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) } , n(A) = 6 Maka P(A) = 6/36 = 1/36 Menentukan banyaknya hasil yang mungkin dari pelemparan dua dadu , kita dapat menggunakan aturan perkalian . Yaitu, banyaknya pasangan (a, b) = 6 x 6 = 36 . Contoh2 Sebuah mata uang dilantunkan tiga kali. Berpakah peluang nya paling sedikit muncul Gambar dua kali? Jawab: Ruang sampel dari percobaan ini adalah , S = {AAA, AAG, AGA, AGG,GAA, GAG, GGA, GGG} Untuk menentukan semua hasil yang mungkin, Banyaknya hasil yang mungkin = 23 = 8 titik sampel . Karena hasil yang dimaksud munculnya gambar paling sedikit dua kali, maka Hasil yang dimaksud ; { AGG, GAG, GGA, GGG} Jadi, Peluang (munculnya gambar paling sedikit dua kali) = 4/8 = 1/2 .
Peluang Dua Kejadian Saling Berkomplementer A suatu kejadian, maka A’ adalah kejadian bukan A Jika A dan A’ kejadian yang berkomplementer, maka P(A) + P(A’) = 1 Atau : P( A’) = 1 – P(A) A’ dibaca komplemen dari A a. P (A ∩ B) = P(A) x P(B) b. P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B ) Contoh3 Jika peluang seorang mahasiswa lulus mata ujian matematika 2/3, dan lulus mata ujian fisika 4/9. Bila peluang lulus kedua mata ujian tersebut 1/4 , berapakah peluangnya lulus paling sedikit satu mata ujian? Jawab : Dari kalimat lulus paling sedikit satu mata ujian, kemungkinan ia lulus matematika, atau lulus fisika, atau lulus kedua duanya. Jika A kejadian lulus mata ujian matematika, dan B ; kejadian lulus mata ujian fisika, dan A ∩ B adalah kejadian lulus kedua-keduanya, sehingga Peluang (lulus paling sedikit satu mata ujian) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P(A ∩ B) =2/3 + 4/9 – 1/4 = 31/36 Contoh 4 Bila peluang seorang montir mobil akan memperbaiki 3, 4, 5, 6, 7, atau 8 mobil lebih pada setap hari kerja, masing-masing 0,28 ; 0,24; 0,14 ; 0,17; 0,10 dan 0,07 ; berapakah peluang bahwa dia akan memperbaiki paling sedikit 5 mobil pada hari kerja berikutnya? Jawab: Dengan menghitung peluang kejadian yang tidak diharapkan. Misalkan E adalah kejadian paling sedikit 5 mobil yang diperbaiki, dan E’ adalah kejadian kurang dari 5 mobil yang diperbaiki, maka P(E’) = 0,28 + 0,24 = 0,52 , sehingga P(E) = 1 – P(E’) = 1 – 0,52 = 0,48 Dengan menghitung langsung peluang kejadian yang dimaksud P(E) = 0,14 + 0,17 + 0,10 + 0,07 = 0,48 Contoh5 Sebuah kartu diambil dari sebuah kartu bridge. Berapakah peluang terambilnya kartu spade (skop) atau kartu berwarna merah? Jawab: Dalam satu kartu bridge ada sebanyak 52 kartu, jadi banyaknya semua titik sampel = 52. Dalam satu kartu bridge terdiri dari 4 gambar yaitu, Heart, diamond, spade, dan club . Istilah bahasa kita berturut-turut disebut : hati, wajik, skop dan keriting. Dalam satu kartu bridge terdiri dari dua warna yaitu merah dan hitam, masing-masing 26 kartu Warna merah untuk Hati dan Wajik , Sedangkan warna hitam untuk skop dan keriting. Dari keempat gambar tersebut masing-masing bernomorkan 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10, dan bertuliskan A (As) , K (King), Q,(Queen) dan J (Jack). Dengan demikian jumlah kartu bridge = 4 x 13 = 52 Kembali ke persoalan: Misalkan A kejadian terambilnya kartu skop , maka P(A) = 13/52 B kejadian terambilnya kartu berwarna merah, maka P(B) = 26/52 , sehingga Peluang terambilnya kartu spade (skop) atau kartu berwarna merah = P( A U B) Karena A ∩ B = ø (himpunan kosong) , maka P(A U B) = P(A) + P(B) = 13/52 +26/52 = 39/52 Contoh 6 Peluang siswa sekolah A dan sekolah B lulus UN berturut-turut adalah 0.99 dan 0.98. Peluang siswa sekolah A dan siswa sekolah B tidak lulus UN adalah? Jawab : Ini merupakan 2 kejadian : kejadian 1 => siswa sekolah A lulus = P(A lulus) kejadian 2 => siswa sekolah B tidak lulus = P(B tidak lulus) Ditanya : Peluang siswa sekolah A dan siswa sekolah B tidak lulus.
Diketahui : P(A lulus) = 0.99 P(B lulus) = 0.98 Page 2 |