Dalam segitiga ABC diketahui sisi AB c sisi AC B dan sudut C maka nilai sin B dapat ditentukan yaitu

HOME MATEMATIKA SMA TRIGONOMETRI

Luas segitiga dapat dengan mudah ditentukan jika panjang alas dan tingginya diketahui. Lalu bagaimana jika yang diketahui hanya panjang dua sisinya dan besar satu sudutnya? Untuk menentukan luas segitiga jika yang dietahui hanya panjang dua sisi dan besar satu sudutnya saja, maka kita dapat menggunakan konsep trigonometri dengan melihat hubungan antara besar sudut dan panjang sisi dalam segitiga tersebut. Konsep trigonomteri yang akan kita gunakan dalam pembahasan ini adalah nilai sinus sudut. Dalam segitiga dikenal istilah sudut di hadapan, yaitu sudut yang berada di hadapan sisi segitiga dan sudut apit, yaitu sudut yang diapit oleh dua sisi segitiga. Berdasarkan konsep tersebut maka Bahan belajar sekolah akan membahas dua cara menentukan luas segitiga jika panjang dua sisi dan besar salah satu sudutnya diketahui.
Misal diberikan sebuah segitiga ABC dengan panjang sisi masing-masing a, b, dan c. Pada segitiga tersebut, sudut A berada di hadapan sisi a, sudut B berada di hadapan sisi b, dan sudut C berada di hadapan sisi c. Jika diketahui sisi-sudur-sisi itu artinya sudut yang diketahui adalah sudut apit yang berada di antara dua sisi. Pada segitiga ABC diketahui sudut A berada di antara sisi b dan c, sudut B berada di antara sisi a dan c, dan sudut C berada di antara sisi a dan b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah. Pada gambar terlihat jelas hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga. Karena pada segitiga terdapat tiga sisi dan tiga sudut, maka ada tiga kemungkinan untuk kondisi sisi-sudut-sisi yang diketahui, yaitu: 1. Sisi-sudut-sisi : b-A-c 2. Sisi-sudut-sisi : a-B-c 3. Sisi-sudut-sisi : a-C-b

Baca juga : Contoh Soal dan Pembahasan Aturan Sinus.

Contoh Soal :

Pembahasan :

⇒ L = ½ (8)(10) sin 37o

⇒ L = 24 cm2

Jadi, luas segitiga ABC tersebut adalah 24 cm2.

#2 Luas Segitiga Jika a-B-c diketahui

Contoh Soal :

Pembahasan :

⇒ L = ½ (6)(9) sin 53o

⇒ L = 21.6 cm2

Jadi, luas segitiga ABC tersebut adalah 21.6 cm2.

#3 Luas Segitiga Jika a-C-b diketahui

Contoh Soal :

Pembahasan :

⇒ L = ½ (4)(12) sin 30o

⇒ L = 12 cm2

Jadi, luas segitiga ABC tersebut adalah 12 cm2.

Baca juga : Menentukan Panjang Sisi Segitiga dengan Aturan Sinus.

Contoh Soal :

Pembahasan :

⇒ sin B = 6/5 sin 30o

⇒ sin B = 37o

⇒ A + B + C = 180o

⇒ L = ½ (5)(6) sin 113o

⇒ L = 13,8 cm2

Jadi, luas segitiga tersebut adalah 13,8 cm2.

Baca juga : Menentukan Besar Sudut Segitiga dengan Aturan Sinus.

MENU MATEMATIKA SMA TRIGONOMETRI

Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Loading Preview

Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.

Dalam dunia trigonometri tentu kalian tidak asing dengan sinus, cosinus, dan tangen. Tahukah kalian bahwa sinus dan cosinus memiliki aturan yang khusus dan diterapkan dalam segitiga?

Lalu apa saja aturannya? Mari kita lihat penjelasan lebih lanjut dibawah ini.

Aturan Sinus

Aturan sinus berbunyi bahwa perbandingan panjang sisi sebuah segitiga dengan sinus sudut yang menghadapnya memiliki nilai yang sama.

Lebih jelasnya pada gambar dibawah ini

Keterangan

• A = besar sudut di hadapan sisi a
• a = panjang sisi a
• B = besar sudut di hadapan sisi b
• b = panjang sisi b
• C = besar sudut di hadapan sisi c
• c = panjang sisi c
• AP ┴ BC
• BQ ┴ AC
• CR ┴ AB

Perhatikan segitiga ACR

Sin A = CR/b maka CR = b sin A …(1)

Perhatikan segitiga BCR

Sin B = CR/a maka CR = a sin B …. (2)

Perhatikan segitiga ABP

Sin B = AP/c maka AP = c sin B … (3)

Perhatikan segitiga APC

Sin C = AP/b maka AP = b sin C …(4)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2) didapat

CR = b sin A = a sin B maka a/sin A = b/sin B …(5)

Berdasarkan persamaan (3) dan (4) didapat

AP = c sin B = b sin C maka b/sin B = c/sin C …(6)

Kemudian, berdasarkan persamaan (5) dan (6) diperoleh

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Persamaan ini yang kemudian disebut dengan aturan sinus.

Baca juga Persegi Panjang.

Contoh Soal Aturan Sinus

1. Andi sedang mengukur mainan segitiganya yang tiap sudutnya dikodekan dengan A, B, dan C, kemudian diketahui segitiga tersebut memiliki sudut A = 30º, sisi a = 6cm dan sisi b = 8cm. Hitung besar sudut B!

Pembahasan

Akan dicari besar sudut B

sin B = (b sin A)/a

sin B = 8/6 sin 30̊

sin B = 2/3

B = arc sin B

B = arc sin (2/3)

B = 41,8̊

Jadi, besar sudut B adalah 41,8̊ atau 180̊ – 41,8̊ = 138,2̊

2. Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AC = 4 cm. Jika besar ∠ ABC = 60o dan ∠BAC = 30o, maka panjang BC = … cm.

Pembahasan

AC/sin ∠ABC = BC/sin∠BAC

4cm/sin 60 = BC/sin30

4cm/½√3 = BC/½

BC = ½ × 4cm/½√3

BC = 4cm/√3

BC = 4/3 √3 cm

Jadi, panjang BC adalah BC4/3 √3cm.

3. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan panjang AB = 9cm dan BC = 12cm. Jika besar ∠ ABC = 30o, tentukan luas segitiga ABC!

Pembahasan

L = ½ a t

• Misal a = AB, maka t adalah garis tegak lurus AB ke titik C berhadapan dengan ∠ ABC, maka

Sin ∠ABC = t/BC

t = BC × Sin ∠ABC

Sehingga diperoleh

L = ½ a t

L = ½ × AB × BC × Sin ∠ABC

L = ½ × 9cm × 12cm × Sin 30o

L = ½ × 9cm × 12cm × ½

L = 27cm2

• Misal a = BC, maka t adalah garis tegak lurus BC ke titik A berhadapan dengan ∠ ABC, maka

Sin ∠ABC = t/AB

t = AB × Sin ∠ABC

Sehingga diperoleh

L = ½ a t

L = ½ × BC × AB × Sin ∠ABC

L = ½ × 12cm × 9cm × Sin 30o

L = ½ × 12cm × 9cm × ½

L = 27cm2

Jadi,  luas segitiga ABC adalah 27cm2.

4. Diketahui sebuah segitiga PQR memiliki luas sebesar 96cm2. Jika panjang PR = 12cm dan besar ∠PRQ = 60o, tentukan panjang QR!

Pembahasan

L = ½ × PR × QR × Sin ∠PRQ

96cm2 = ½ × 12cm × QR × Sin 60o

96cm2 = ½ × 12cm × QR × ½√3

96cm2 = 4√3cm × QR

QR = 96cm2 ÷ 4√3cm

QR = 24/√3 cm

QR = 8√3cm

Jadi, panjang QR adalah 8√3cm.

5. Sebuah segitiga XYZ memiliki panjang XZ = 6cm dan YZ = 2√3cm. Jika besar ∠ XYZ = 60o, tentukan besar ∠YXZ !

Pembahasan

XZ/sin ∠XYZ = YZ/sin∠YXZ

6cm/sin 60 = 2√3cm/sin∠YXZ

6cm/½√3 = 2√3cm/sin∠YXZ

sin∠YXZ = 2√3cm × ½√3 ÷ 6cm

sin∠YXZ = 3/6

sin∠YXZ = ½

YXZ = arc sin (½)

YXZ = 30o

Jadi, besar ∠YXZ adalah 30o.

6. Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki luas sebesar 6cm2. Jika panjang AB = 3cm dan BC = 4cm, tentukan besar ∠ABC!

Pembahasan

L = ½ × AB × BC × Sin ∠ABC

6cm2 = ½ × 3cm × 4cm × Sin ∠ABC

6cm2 = 6cm2 × Sin ∠ABC

Sin ∠ABC = 1

ABC = arc sin (1)

ABC = 90o

Jadi, besar ∠ABC adalah 90o.

Aturan Cosinus

Aturan cosinus menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut pada segitiga.

Lebih jelasnya pada gambar dibawah ini.

Keterangan

• A = besar sudut di hadapan sisi a
• a = panjang sisi a
• B = besar sudut di hadapan sisi b
• b = panjang sisi b
• C = besar sudut di hadapan sisi c
• c = panjang sisi c
• AP ┴ BC
• BQ ┴ AC
• CR ┴ AB

Perhatikan segitiga BCR

Sin B = CR/a maka CR = a sin B

Cos B = BR/a maka BR = a cos B

AR = AB – BR = c – a cos B

Perhatikan segitiga ACR

b2 = AR2 + CR2

b2 = (c – a cos B)2 + (a sin B)2

b2 = c2 – 2ac cos B + a2 cos2 B + a2 sin2 B

b2 = c2 – 2ac cos B + a2 (cos2 B + sin2 B)

b2 = c2 + a2– 2ac cos B

Menggunakan analogi yang sama, kemudian diperoleh aturan cosinus untuk segitiga ABC sebagai berikut

a2 = c2 + b2– 2bc cos A

b2 = a2+ c2 – 2ac cos B

c2 = a2+ b2 – 2ab cos C

Baca juga Teorema Phytagoras.

Contoh Soal Aturan Cosinus

Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki sisi dengan panjang

a = 10 cm

c = 12 cm

besar sudut B = 60̊.

Hitung panjang sisi b!

Pembahasan

b2 = a2+ c2 – 2ac cos B

b2 = 100+144 – 44 cos 60̊

b2 = 244 – 44(0,5)

b2 = 244 – 22

b2 = 222

b = 14,8997

Jadi, panjang sisi b adalah 14,8997 cm

Kesimpulan

Demikian pembahasan tentang aturan sinus dan cosinus. Semoga bermanfaat. Baca juga Bilangan Desimal.