ATURAN sinus merupakan persamaan yang menyatakan hubungan yang terdapat pada segitiga sembarang

sisi, sudut, sudut
sudut, sisi, sisi
sisi, sisi, sisi

Kemudian dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menggunakan aturan sinus atau aturan cosinus untuk menentukan sisi-sisi ataupun sudut-sudut yang lain.

Table of Contents Show

Pada saat kapan menggunakan aturan sinus?
Apa yang dimaksud dengan aturan segitiga?
Manakah aturan sinus yang tepat?
Apa kegunaan Aturan sinus dan cosinus?
Jelaskan apa yang dimaksud dengan aturan sinus bagaimana rumusnya?
Apakah aturan sinus?
Kapan suatu soal diselesaikan menggunakan aturan cosinus?
Apa yang dimaksud dengan aturan sinus?
Apa itu aturan sinus dan cosinus?
Apakah aturan sinus itu?
Apa kegunaan aturan sinus?
Siapa aturan yang digunakan untuk menghitung segitiga?
Apakah ada aturan trigonometri segitiga?
Bagaimana cara menghubungkan aturan sinus dan aturan cosinus?
Apakah aturan sinus berlaku untuk segitiga sembarang?
Video yang berhubungan

Perhatikan segitiga berikut !

sisi di depan sudut A adalah BC = a

sisi di depan sudut B adalah AC = b
sisi di depan sudut C adalah AB = c

Aturan Sinus

Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sinya a, b dan c, dengan
A adalah sudut di depan sisi a
B adalah sudut di depan sisi b
C adalah sudut di depan sisi c berlaku $$\mathrm{\frac{\mathit{a}}{sin\,A}=\frac{\mathit{b}}{sin\,B}=\frac{\mathit{c}}{sin\,C}}$$

Contoh 1

Diketahui segitiga ABC dengan ∠A = 45°, ∠B = 30° dan panjang AC = 6. Tentukan panjang BC !

Jawab :

$\mathrm{\frac{BC}{sin\,45^{\circ}}=\frac{6}{sin\,30^{\circ}}}$ BC = $\mathrm{\frac{6\times sin\,45^{\circ}}{sin\,30^{\circ}}}$

BC = $\mathrm{\frac{6\times \frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}}$

BC = 6√2 Jadi, panjang BC adalah 6√2

Contoh 2

Tentukan besar sudut θ dari segitiga berikut

Jawab :
$\mathrm{\frac{8}{sin\,\theta}=\frac{4\sqrt{6}}{sin\,60^{\circ}}}$ sin θ = $\mathrm{\frac{8\times sin\,60^{\circ}}{4\sqrt{6}}}$

sin R = $\mathrm{\frac{8\times \frac{1}{2}\sqrt{3}}{4\sqrt{6}}}$ (rasionalkan)

sin R = $\mathrm{\frac{1}{2}}$√2 ⇒ θ = 45° Jadi, besar sudut θ adalah 45°

Aturan Cosinus

Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b dan c, dengan C adalah sudut di depan sisi c, berlaku $$\mathrm{\mathit{c}^{2}=\mathit{a}^{2}+\mathit{b}^{2}-2\mathit{ab}.cos\,C}$$ atau dapat pula ditulis $$\mathrm{cos\,C=\frac{\mathit{a}^{2}+\mathit{b}^{2}-\mathit{c}^{2}}{2\mathit{ab}}}$$
Contoh 3 Tentukan x dari segitiga berikut !

Jawab : Dengan aturan cosinus :

x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. cos 60°

x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. $\frac{1}{2}$
x2 = 28 x = $\sqrt{28}$ = 2√7 Jadi, nilai x adalah 2√7

Contoh 4

Diketahui segitiga PQR dengan PQ = 2√3, QR = 1 dan PR = √7. Jika ∠Q = θ, tentukan θ ! Jawab :

Dengan aturan cosinus :
(√7)2 = (1)2 + (2√3)2 − 2. 1. 2√3. cos θ 7 = 1 + 12 − 4√3. cos θ 4√3. cos θ = 6

cos θ = $\frac{6}{4\sqrt{3}}$ (rasionalkan)

cos θ = $\frac{1}{2}$√3 ⇒ θ = 30° atau cos θ = $\frac{1^{2}+(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{7})^{2}}{2.\,1.\,2\sqrt{3}}$ cos θ = $\frac{1+12-7}{4\sqrt{3}}$

cos θ = $\frac{6}{4\sqrt{3}}$ (rasionalkan)

cos θ = $\frac{1}{2}$√3 ⇒ θ = 30°

Tips

Gunakan aturan sinus jika sisi dan sudut yang saling berhadapan diketahui. Perhatikan contoh 1, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 6 dan 30°. Perhatikan contoh 2, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 4√6 dan 60°. Gunakan aturan cosinus jika sudut dan 2 sisi yang mengapit sudut tersebut diketahui atau ketiga sisi diketahui. Perhatikan contoh 3, sudut apit 60° dan sisi yang mengapit 4 dan 6. Perhatikan contoh 4, ketiga sisinya diketahui.

Latihan Soal

Latihan 1

Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 8 dan AC = 5. Jika ∠A = 60°, tentukan : - panjang BC - ∠B - ∠C

Jawab :

Dengan aturan cosinus

BC2 = 52 + 82 − 2. 5. 8. cos 60°

BC2 = 25 + 64 − 80. $\frac{1}{2}$
BC2 = 49
BC = 7 Dengan aturan sinus $\mathrm{\frac{7}{sin\,60^{\circ}}=\frac{5}{sin\,B}}$ sin B = $\mathrm{\frac{5.\,sin\,60^{\circ}}{7}}$ sin B = $\mathrm{\frac{5.\,\frac{1}{2}\sqrt{3}}{7}}$ sin B = 0,6186

B = sin-1(0,6186) (gunakan kalkulator)

B = 38,21° A + B + C = 180° 60° + 38,21° + ∠C = 180°

C = 81,79°

diperoleh - panjang BC = 7 - ∠B = 38,21° - ∠C = 81,79°

Latihan 2

Suatu segitiga dengan panjang sisi berturut-turut adalah 3, 5 dan 7. Jika θ adalah sudut yang berada di depan sisi yang panjangnya 7, tentukan sin θ dan tan θ !

Jawab :

Dengan aturan cosinus : cos θ = $\frac{3^{2}+5^{2}-7^{2}}{2.\,3.\,5}$ cos θ = $-\frac{1}{2}$ Karena cos θ bernilai negatif, maka θ adalah sudut tumpul (kuadran II) θ = 180° − 60° θ = 120° sin θ = sin 120° sin θ = sin (180° − 60°) sin θ = sin 60° (K.II sinus positif)

sin θ = $\frac{1}{2}$√3

tan θ = tan 120° tan θ = tan (180° − 60°) tan θ = −tan 60° (K.II tangen negatif)

tan θ = −√3

Latihan 3

Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A menuju pelabuhan B dengan arah 030° sejauh 20 mil. Kemudian berlayar lagi dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan arah 150° sejauh 40 mil. Jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah...

Jawab :

Utara = 000°

∠BAU dan ∠ABS merupakan sudut dalam berseberangan, sehingga

∠BAU = ∠ABS = 30°

∠CBU dan ∠CBS saling berpelurus, sehingga ∠CBU + ∠CBS = 180° 150° + ∠CBS = 180°

∠CBS = 30°

Jadi, ∠B pada segitiga ABC adalah 60° Dengan aturan cosinus

AC2 = 202 + 402 − 2. 20. 40. cos 60°

AC2 = 400 + 1600 − 1600. $\frac{1}{2}$
AC2 = 1200 AC = $\sqrt{400.\,3}$ AC = 20√3 Jadi, jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah 20√3 mil.

Latihan 4

Diketahui segi-8 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 10 cm. Keliling segi-8 tersebut adalah...

Jawab :

θ = $\frac{360^{\circ}}{8}$ = 45° Perhatikan segitiga AOB

s2 = 102 + 102 − 2. 10. 10. cos 45°

s2 = 200 − 200. $\frac{1}{2}$√2
s2 = 200 − 100√2
s2 = 100(2 − √2) s = 10$\sqrt{2-\sqrt{2}}$ K = 8s K = 8. 10$\sqrt{2-\sqrt{2}}$ K = 80$\sqrt{2-\sqrt{2}}$ Jadi, keliling segi-8 tersebut adalah 80$\sqrt{2-\sqrt{2}}$ cm.

Latihan 5

Diketahui titik-titik A, B, C dan D terletak pada lingkaran dengan AB = 2√5 cm, BC = 5√2 cm, CD = 6 cm dan AD = 3√10 cm. Tentukan panjang diagonal BD !

Jawab :

ABCD merupakan segiempat tali busur sehingga jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah 180° A + C = 180° C = 180° − A cos C = cos(180° − A) cos C = −cos A Perhatikan segitiga ABD

BD2 = (3√10)2 + (2√5)2 − 2. 3√10. 2√5 cos A

BD2 = 110 − 60√2 cos A ......................(1) Perhatikan segitiga BCD

BD2 = (6)2 + (5√2)2 − 2. 6. 5√2 cos C

BD2 = 86 − 60√2 (−cos A)
BD2 = 86 + 60√2 cos A .........................(2) Dari persamaan (1) dan (2) 86 + 60√2 cos A = 110 − 60√2 cos A 120√2 cos A = 24 cos A = $\frac{1}{5\sqrt{2}}$ Dari persamaan (1)

BD2 = 110 − 60√2 cos A

BD2 = 110 − 60√2. $\frac{1}{5\sqrt{2}}$
BD2 = 98 BD = $\sqrt{49.\,2}$ BD = 7√2 Jadi, panjang BD adalah 7√2 cm

Nah, jika dalam aturan sinus menjelaskan perbandingan panjang sisi dengan sudut yang berhadapan dengan sisi segitiga. Maka, aturan cosinus adalah aturan yang menjelaskan hubungan nilai cosinus dari salah satu sudut segitiga sembarang dengan kuadrat panjang sisi segitiga.

Pada saat kapan menggunakan aturan sinus?

Dilansir dari Top Shelf: Trigonometry (2003) oleh Joseph Caruso dan Bryan Sullivan, aturan sinus digunakan pada segitiga sembarang ketika dua sudut dan satu sisi diketahui, atau dua sisi dan satu sudut diketahui.

Apa yang dimaksud dengan aturan segitiga?

Hukum kosinus, atau disebut juga aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut.

Manakah aturan sinus yang tepat?

Aturan sinus adalah perbandingan antara setiap sisi dan sinus sudut di depan sisi tersebut memiliki nilai yang sama. Aturan sinus ini berlaku pada segitiga, baik segitiga siku-siku maupun segitiga sembarang. Substitusikan nilai h pada persamaan (1) ke ke persamaan (2). …

Apa kegunaan Aturan sinus dan cosinus?

Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodik seperti pada gelombang suara dan cahaya. Arsitek menggunakan trigonometri untuk menghitung beban struktural, kemiringan atap, permukaan tanah dan banyak aspek lain, termasuk bayangan matahari dan sudut cahaya.

Jelaskan apa yang dimaksud dengan aturan sinus bagaimana rumusnya?

Aturan sinus adalah perbandingan panjang sisi sebuah segitiga dengan sinus sudut yang menghadapnya memiliki nilai yang sama. Persamaan ini yang Akan disebut sebagai aturan sinus.

Apakah aturan sinus?

Secara keseluruhan, aturan sinus menyatakan bahwa perbandingan sinus sudut dalam segitiga dengan sisi yang berada di depan sudut tersebut adalah sama.

Kapan suatu soal diselesaikan menggunakan aturan cosinus?

Aturan cosinus dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur lain dalam suatu segitiga sembarang untuk dua kasus yaitu saat tiga sisi ketahui dan saat dua sisi dan sudut apitnya diketahui.

Apa yang dimaksud dengan aturan sinus?

Menjelaskan hubungan antara perbandingan panjang sisi yang berhadapan dengan sudut terhadap sinus sudut pada segitiga.

Apa itu aturan sinus dan cosinus?

Di dalam trigonometri, kita akan mengenal yang namanya Sinus dan Cosinus. Keduanya memiliki aturan khusus, yaitu aturan sinus dan cosinus. Aturan ini adalah sebuah aturan perhitungan matematika yang digunakan untuk perhitungan segitiga. Aturan ini hadir dengan tujuan memudahkan kamu menghitung sebuah segitiga.

Apakah aturan sinus itu?

Apa kegunaan aturan sinus?

Tujuan dari penggunaan aturan sinus adalah untuk mengetahui panjang sisi segitiga yang terdapat pada segitiga sembarang. Atau dapat juga digunakan untuk mengetahui besar sudut segitiga yang belum diketahui. Diperoleh sebuah aturan sinus yang menyatakan hubungan panjang sisi dan sudut pada suatu segitiga.

Siapa aturan yang digunakan untuk menghitung segitiga?

Keduanya memiliki aturan khusus, yaitu aturan sinus dan cosinus. Aturan ini adalah sebuah aturan perhitungan matematika yang digunakan untuk perhitungan segitiga. Aturan ini hadir dengan tujuan memudahkan kamu menghitung sebuah segitiga. Nah, kali ini kita akan membahas aturan sinus dan cosinus secara lebih lanjut.

Apakah ada aturan trigonometri segitiga?

Dalam beberapa soal trigonometri melibatkan berbagai hal terkait segitiga dan kita kadang bingung aturan trigonometri yang mana sih yang harus dipakai. Misalnya sobat ketemu soal seperti di bawah ini. Perhatikan gambar segitiga di bawah, Coba sobat tentukan berapa luas segitiga tersebut? hayoo pakai aturan trigonometri segitiga yang mana?

Bagaimana cara menghubungkan aturan sinus dan aturan cosinus?

Aturan Sinus dan Aturan Cosinus merupakan dua aturan yang menghubungkan panjang sisi dan besar sudut dalam segitiga sembarang dengan menggunakan konsep trigonometri. Sesuai dengan namanya, Aturan Sinus melibatkan fungsi sinus, sama halnya dengan Aturan Cosinus.

Apakah aturan sinus berlaku untuk segitiga sembarang?

Aturan sinus berlaku untuk segitiga sembarang dan digunakan untuk menyelesaikan soal yang melibatkan dua sudut (diketahui atau pun ditanyakan). Sebagai pelengkap pembuktian, berikut disampaikan juga bagaimana penurunan rumus aturan sinus yang diperoleh dari segitiga tumpul.