A. Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum: ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0 a, b dan c adalah bilangan real. a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0. Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat. Contoh 1 : Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0 Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0 (x – 3) (x – 1) = 0 x – 3 = 0 atau x – 1 = 0 x = 3 atau x = 1 Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1. b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q. Contoh 1: Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0. Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0 x2 – 6 x + 9 – 4 = 0 x2 – 6 x + 9 = 4 (x – 3)2 = 4 x – 3 = 2 atau x – 3 = –2 x = 5 atau x = 1 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}. 1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0. Jawab: x2 + 7x – 30 = 0 a = 1 , b = 7 , c = – 30 x = 3 atau x = –10 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}. 2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akarnya , b2– 4ac disebut diskriminan (D). Contoh : Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut: Jawab : a = 1 , b = 5 , c = 2 D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17 Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan. 3. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
ax2 + bx + c = 0 x2 +x + = 0 Karena x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka : Jadi, , . Contoh: Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:
Jawab: x2 – 3 x + 4 = 0 ® a = 1 , b = –3 , c = 4 a. x1 + x2 = 3 b. x1.x2 = 4 c. x12 + x22 = x12 + x22 + 2 x1.x2 – 2 x1.x2 = (x1 + x2)2 – 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1 e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23 = x13 + 3 x1 x2 (x1 + x2) + x23 x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1 x2 (x1 + x2) = 33 – 3 . 4 (3) = 27 – 36 = –9 4. Menyusun Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat dapat disusun dengan: v menggunakan perkalian faktor, v menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar. a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai (x – x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0. Contoh 1: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2. Jawab: (x – x1) (x – x2) = 0 (x – 3) (x – (-2)) = 0 (x – 3) (x + 2) = 0 x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0 x2 – x – 6 = 0. b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar Persamaan . Dengan menggunakan x1 + x2 = – dan x1 x2 = , maka akan diperoleh persamaan: x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0. Contoh: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3. Jawab: x1 + x2 = -2 – 3 = – 5 x1 x2 = 6 Jadi, persamaan kuadratnya x2 – (–5)x + 6 = 0 atau x2 + 5x + 6 = 0. c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain. Contoh 1: Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0. Jawab: Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. ® x1 + x2 = 2 , x1 x2 = 3. Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q = x2 +3 p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3) p q = (x1 + 3) (x2 + 3) = x1 + x2 + 6 = x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9 = 2 + 6 = 8 = 3 + 2(2) = 9 = 18 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q) + pq = 0. Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0. B. Fungsi Kuadrat 1. Pengertian Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan disebut fungsi kuadrat. Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f. Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c. Contoh 1: Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7 Ditanyakan:
Jawab:
x2 – 6 x – 7 = 0 (x – 7) (x + 1) = 0 x = 7 atau x = –1 Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1 2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut: 1) f(x) = x2 – 2x – 3 = x2 – 2x + 1 – 4 =(x – 1)2 – 4 Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4. Jadi, f(x) = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1. 2) f(x) = –x2 + 4x + 5 = –x2 + 4x – 4 + 9 = –(x2 – 4x + 4) + 9 = –(x – 2)2 + 9 Nilai terbesar dari – (x – 2)2 sama dengan nol untul x = 2. Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)2 + 9 adalah 0 + 9 = 9. Jadi, f(x) = –(x – 2)2 + 9 atau f(x) = –x2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2. Sekarang perhatikan bentuk umum f(x) = ax2 + bx + c Dengan uraian di atas, diperoleh: Fungsi kuadrat f(x) = a x2 + b x + c Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum untuk Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum untuk Contoh: Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x + 7 Jawab: f(x) = 2x2 + 4x + 7 , a = 2 , b = 4 , c = 7 Nilai minimum fungsi f = 5 3. Grafik Fungsi Kuadrat Grafik fungsi kuadrat f : x ® y = a x2 + b x + c grafiknya berbentuk parabola.
Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan: 1) Titik potong grafik dengan sumbu-X. Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, maka a x2 + b x + c = 0. Karena a x2 + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D (diskriminan). D > 0 ® terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0). D = 0 ® terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung. D < 0 ® tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X. 2) Titik potong dengan sumbu-Y. Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya (0 , c). 3) Sumbu simetri Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah: 4) Titik Puncak/ Balik Koordinat titik puncak Catatan:
Contoh: Buatlah sketsa grafik y = x2 – 2x – 3 untuk x e R. Jawab: Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0. x2 – 2x – 3 = 0 (x – 3) (x + 1) = 0 x = 3 dan x = –1 Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(–1 , 0) Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0 y = 0 – 0 – 3 = – 3 Koordinat titik potongnya C(0 , –3) Sumbu simetri, garis Titik puncak ® D(1 , –4) Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik fungsi y = x3 – 2x – 3. 4. Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik Contoh: Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ). Jawab : Misal persamaan grafik adalah y = a x2 + b x + c Grafik melalui titik (–1 , 0) ® 0 = a(–1)2 + b (–1) + c 0 = a – b + c ………………. (1) Grafik melalui titik (1 , 8) ® 8 =a (1)2 + b (1) + c 8 = a + b + c ………………. (2) Grafik melalui titik ( 2 , 6 ) ® 6 = a (2)2 + b (2) + c 6 = 4 a + 2 b + c …………… (3) Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi. (1) a – b + c = 0 (2) a + b + c = 8 a – b + c = 0 (2) a + b + c = 8 (3) 4a + 2b + c = 6 –2 – 4 + c = 0 –2b = –8 3a – b = 2 c = 6 b = 4 – 3a – 4 = 2 a = –2 Jadi, fungsi kuadrat itu adalah y = –2x2 + 4x + 6. b. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0). (p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga 0= ap2 + bp + cdan 0= aq2 + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh: 0 = a(p2 – q2) + b(p – q) b(p – q) = –a(p2 – q2) = –a(p + q) (p – q) b = – a(p + q) Substitusikan b = – a(p + q) ke ap2 + bp + c = 0 ap2 + (– a(p + q)) p + c = 0 ap2 – ap2 – pqa + c = 0 c = pqa Untuk b = – a(p + q) dan c = pqa maka y = a x2 + b x + c Û y = ax2 – a(p + q)x + pqa = a(x2 – (p + q)x + pq) = a(x – p) (x – q) Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0). Contoh: Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) ! Jawab: Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya y = a(x – (–5)) (x – 1) = a(x + 5) (x – 1) Grafik melalui titik (–3, –8), berarti –8 = a(–3+5) (–3 – 1) = –8a a = 1 Substitusikan a = 1 pada y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh y = x2 + 4x – 5. Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x2 + 4x – 5. c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah . Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dapat dinyatakan dengan . Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y = a (x – p)2 + q Contoh: Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0). Jawab: Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah y = (x – 1)2 + 3 Grafik melalui titik (0,0) berarti: 0 = a(0 – 1) + 3 0 = a + 3 a = –3 Substitusikan a = –3 pada y = a (x – 1)2 + 3 maka diperoleh y = –3 (x – 1)2 + 3 y = –3 (x2 – 2x + 1) + 3 y = –3x2 + 6x Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x2 + 6x. d. Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0). Sehingga . Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah . Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2 Contoh: Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) ! Jawab: Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah y = a (x – 2)2 Grafik melalui titik (0,4) berarti : 4 = a(0 – 2)2 = 4a a = 1 Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)2 atau y = x2 – 4x + 4. Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat Pada sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yaitu D = b2 – 4ac . Selain itu dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Pada bagian ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :
b. Tanda-tanda fungsi kuadrat Kedudukan parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan nilai diskriminan . a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola terbuka ke atas). a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola terbuka ke bawah).
D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang berlainan. D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang sama atau parabola menyinggung sumbu-X. D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga tidak menyinggung sumbu-X. Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai berikut: Dengan memperhatikan gambar-gambar di atas, diperoleh kesimpulan: Fungsi kuadrat yang dinyatakan dengan f(x) = a x2 + b x + c = 0 , a ¹ 0. Untuk a > 0: 1) D > 0 ® dapat diuraikan menjadi : f(x) = a (x – x1) (x – x2) f(x) > 0 untuk x < x1 dan x > x2 f(x) < 0 untuk x1< x < x2 2) D = 0 ® dapat diuraikan menjadi : f(x) = a (x – x1)2 f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f(x) = 0 3) D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit positif. Untuk a < 0: 1) D > 0 ® dapat diuraikan menjadi : f(x) = a (x – x1) (x – x2) f(x) < 0 untuk x < x1 dan x > x2 f(x) > 0 untuk x1< x < x2 2) D = 0 ® dapat diuraikan menjadi : f(x) = a (x – x1)2 f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f(x) = 0 3) D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi : f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit negatif. Contoh 1: Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f(x) = x2 – 4 x – m + 2 definit positif. Jawab: f(x) = x2 – 4 x – m + 2 Syarat agar fungsi kuadrat definit positif adalah a > 0 dan D < 0. a = 1 bilangan positif D = (–4)2 – 4 (1) (–m + 2) = 16 + 4 m – 8 = 4 m + 8 D < 0 « 4 m + 8 < 0 m < –2 Jadi, agar f(x) = x2 – 4 x – m + 2 definit positif, maka m < –2 |
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui. 6,0 2,0 dan 1,5 serta
Pos Terkait
Copyright © 2024 toptenid.com Inc.
