Salah satu faktor polinomial  adalah x-1. berapakah nilai k.

Halo Quipperian! Pada kesempatan kali ini Quipper Blog akan membahas suatu topik yang menarik lho untuk kalian yaitu “Memahami teori dan konsep dasar tentang polinomial (suku banyak)”. Kalian pasti sudah memahami tentang istilah persamaan kuadrat? Persamaan kuadrat mempunyai bentuk umum yaitu “ax2+bx+c = 0”. Kita tahu bahwa cara menentukan unsur-unsur dari persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara pemfaktoran, kuadrat sempurna, dll. 

Sehingga diperoleh unsur-unsurnya sebagai berikut: (ax+b)(cx+d) = 0. Lalu pertanyaannya, bagaimana cara menentukan suku-suku persamaan yang pangkatnya lebih dari 2 yaitu ax3+bx2+cx+d = 0? Sistem persamaan yang pangkatnya lebih dari 2 disebut dengan polinomial (suku banyak). Cara menentukan suku-suku dari persamaan polinomial dapat dilakukan dengan metode horner, metode substitusi, dll. Bagaimana, penasaran untuk tahu lebih lanjut? Sudah mulai antusias? Langsung, saja.  Let’s check this out!

Pengertian Suku Banyak

Sistem persamaan polinomial (suku banyak) adalah sistem persamaan dengan pangkat tertingginya lebih besar dari 2 ( > 2). Bentuk umum dari polinomial adalah sebagai berikut: 

Dimana : 

1. Derajat (n) adalah pangkat tertinggi dalam suatu suku banyak.
2. Variabel (x) adalah bilangan yang dimisalkan dengan huruf misalnya x.
3. Koefisien (a) adalah bilangan yang mengikuti variabel. 

Contoh persamaan dari sistem polinomial adalah 2x3+5x2+6x=8 = 0.

Operasi pada Suku Banyak

Suatu persamaan polinomial memiliki operasi dasar yang sama dengan sistem persamaan kuadrat yaitu : operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian suku banyak. Teorema nya adalah sebagai berikut : jika f(x) dan g(x) berturut-turut adalah suku banyak berderajat m dan n, maka : 

1. f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum m atau n. 
2. f(x) x g(x) adalah suku banyak berderajat (m + n). 

Contohnya : 

1. Penjumlahan

2. Pengurangan

Kesamaan Suku Banyak

Misalkan terdapat suku banyak yaitu : 

Dan suku banyak yang lain adalah :  

Jika f(x) ≡ g(x) maka haruslah an= bn,  an-1= bn-1, ……… a1= b1

f(x) ≡ g(x) disebut dengan kesamaan polinomial. 

Dua buah sistem persamaan polinomial dikatakan memiliki kesamaan jika keduanya : 

• Memiliki derajat yang sama.
• Memiliki variabel dan koefisien seletak yang sama antara polinomial ruas kiri dengan kanan.

Pada kesamaan polinomial tidak berlaku pindah ruas atau kali silang seperti yang terjadi pada operasi aljabar.

Contoh Soal Kesamaan Polinomial

1. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+c = 0, tentukan nilai α + β dan hasil dari α.β

Jawaban : 

Pembagian Suku Banyak 

Suatu fungsi suku banyak dapat dilakukan operasi pembagian terhadap fungsi lainnya. Ada dua cara yang dapat dilakukan yaitu pembagian suku banyak dengan cara bersusun dan dengan metode horner (bagan). 

1. Pembagian suku banyak dengan strategi pembagian bersusun

Misalkan suku banyak fx= a2x2+a1x+ a0 dibagi dengan (x-k) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S, sehingga diperoleh hubungan : 

Untuk menentukan hasil bagi H(x) dan sisa S digunakan pembagian suku banyak dengan cara pembagian bersusun berikut ini : 

Jadi, Hasil bagi H(x) = a2x + a2k + a1 (pada bagian atas) dan sisa S (pada bagian bawah) = a0+ a1k + a2k2

2. Pembagian suku banyak menggunakan metode horner

Aturan penggunaan metode horner pada operasi pembagian adalah sebagai berikut : 

1. Letakkan seluruh koefisien dari derajat tertinggi sampai nol di bagian atas (selalu dimulai dari pangkat tertinggi dan berurutan). Apabila terdapat suku banyak yang tidak ada contohnya  2x4 + 3x2-5x-9 = 0. Maka koefisien untuk pangkat x3 dapat ditulis 0. 
2. Letakkan faktor pengali di samping kiri.
3. Baris bawah bagian kiri adalah hasil bagi, sedangkan bagian kanan adalah sisa. Atau dapat ditulis sebagai berikut : 

Proses pembagian menggunakan metode horner dapat dijelaskan seperti dibawah ini : 

Jadi, hasil bagi H(x) = a2x+a2k+ a1 dan sisa S = a2k2+a1k+ a0

Contoh Soal Pembagian Suku Banyak

1. Tentukan hasil bagi 4x5+3x3-6x2-5x+1 bila dibagi dengan 2x-1 menggunakan metode pembagian bersusun dan metode horner! 

a. Metode pembagian bersusun

b. Metode horner

Dari persamaan diatas, hasil bagi dan sisa yang diperoleh adalah sama yaitu 2x4+x3+2x2-2x-7/2 dan sisanya = -5/2

Teorema Sisa (Dalil Sisa)

Teorema ini digunakan untuk menentukan nilai sisa pembagian suatu suku banyak tanpa mengetahui suku banyak dan/atau hasil baginya. Bentuk umum dari teorema sisa adalah adalah sebagai berikut :  Misalkan suku banyak f(x) dibagi dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S(x), maka akan diperoleh hubungan : 

Jika F(x) suku banyak berderajat n dan P(x) adalah pembagi berderajat m, dengan m ≤ n, maka diperoleh : 

1. H(x) adalah hasil bagi berderajat (n-m).
2. S(x) adalah sisa pembagian berderajat maksimum (m-1).

Syarat pembagi menggunakan teorema sisa terdapat dengan dua cara yaitu : 

a. Pembagian dengan (x-k)

Teorema Sisa bagian 1: “ jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x-k) maka sisanya S=f(k), sisa f(k) adalah nilai suku banyak x=k yang dapat ditentukan dengan strategi substitusi atau strategi skema (bagan) ”.

b. Pembagian dengan (ax+b)

Contoh soal : Teorema Sisa (Dalil Sisa) 

1. Carilah sisa pembagi suku banyak 8x3-2x2+5 dengan (x+2)

Pembahasan : 

a. Menggunakan substitusi

b. Menggunakan skema (bagan) dengan pembagian (x-k)

Jadi, sisanya S = f(-2) = -67 menggunakan teorema sisa. 

Teorama Faktor

Teorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor lain atau akar-akar rasional dari sistem persamaan suku banyak menggunakan metode horner. Pada teorema faktor menjelaskan 2 konsep yaitu :  

1. Jika P(x) habis dibagi q(x) atau mempunyai sisa nol, maka q(x) adalah faktor dari P(x)
2. Jika P(x) = f(x). g(x) maka f(x) dan g(x) adalah faktor dari P(x). 

Contoh soal teorema faktor

1. Jika salah satu akar dari f(x) = x4+ mx3-6x2+7x-6 adalah 2, tentukan akar linear lainnya!

Pembahasan :
Langkah pertama : carilah terlebih dahulu nilai m dengan substitusi polinomial f(2) = 0, karena nilai 2 termasuk akar dari f(x), maka diperoleh : 

Kemudian gunakan metode horner untuk menentukan faktor atau akarainnya, yaitu : 

Sehinga faktor (x) yang lain adalah (x-2), (x+3), dan (x2-x+1). Oleh sebab itu, faktor lain dari akar linearnya adalah -3. 

Soal dan Pembahasan dari Bank Soal Quipper

Bagaimana Quipperian sudah mulai memahami tentang rumus umum dan konsep dasar dari sistem persamaan polinomial. Agar kalian lebih cakap memahami materi in, Quipper Blog lampirkan soal dan pembahasan dari bank soal Quipper. Perlu kalian tahu, bahwa bank-bank soal Quipper selalu up to date untuk soal-soal UN dan SNMPTN. Oleh sebab itu, bank soal Quipper selalu relevan untuk menemani latihan soal kalian. Let’s check this out! 

1. Soal : Operasi pengurangan dari Polinomial

Jika P(x) = 2x4-5x3+6x2-x-2 dan Q(x) = x5-1, maka hasil P(x) – Q(x) beserta derajatnya adalah…….

Pembahasan :

Dengan mengurangkan suku-suku sejenisnya, diperoleh : 

P(x)- Q(x) memiliki nilai pangkat tertinggi 5, sehingga termasuk suku banyak berderajat 5. Jadi, hasil operasi P(x) – Q(x) adalah –x5+2x4-5x3+6x2-x-1

2. Soal : Operasi Penjumlahan dari Polinomial

Jika Px=3x-3x2-1 dan Qx=3x2+x-2, maka operasi dari P(x) + Q(x) beserta derajatnya adalah ………

Pembahasan :
Dengan menjumlahkan suku-suku sejenisnya, diperoleh : 

P(x) + Q(x) memiliki nilai pangkat tertinggi 1, sehingga termasuk suku banyak berderajat 1, jadi hasil operasi P(x) + Q(x) adalah 4x -3 dengan derajat 1.

3. Soal : Pembagian bersusun Polinomial

Sisa pembagian 3x3+6x2-5x-6 oleh x2+2x+3

Pembahasan :
Dengan cara pembagian bersusun, diperoleh : 

Jadi, sisa pembagian 3x3+6x2-5x-6 oleh x2+2x+3 adalah -14x-6

Bagaimana Quipperian sudah mulai memahami tentang teori dan konsep dasar tentang suku banyak (polinomial) ? Ternyata mempelajari matematika bukanlah perkara yang sulit apabila kita mulai dari konsep yang dasar lalu banyak berlatih latihan soal. Kalau kalian sudah mulai tertarik memahami konsep-konsep matematika seperti yang dijabarkan di atas, jangan ragu untuk bergabung bersama Quipper Video. 

Karena akan banyak video yang menarik dengan penjelasan yang gampang dimengerti dan disertai animasi-animasi kece sehingga kamu memahami setiap konsep pelajaranmu dengan gampang, asyik, dan menyenangkan. Tidak hanya itu, di Quipper juga tersedia bank soal yang disertai pembahasan sehingga dapat membantu kamu menjawab setiap soal-soal ujian di sekolah kalian. Salam Quipper!

• Tampomas, Husein. 2006. Seribu Pena Matematika untuk SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Penerbit Erlangga
• Tim Master Eduka. 2018. Smart Plus + Bank Soal Full Pembahasan Matematika. Solo: Penerbit Genta Smart Publisher. 

Penulis: William Yohanes