belajar matematika dasar IPA/IPS/Bahasa lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Pertidaksamaan. Agar diskusi tentang Matematika Dasar Pertid
Penerapan pertidaksamaan dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, beberapa contoh soal yang kita diskusikan di bawah hanyalah sebagian kecil saja. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada pertidaksamaan juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal pertidaksamaan dan menemukan solusinya.
Matematika Dasar tentang pertidaksamaan adalah salah satu materi matematika yang paling banyak diterapkan kepada bidang mata pelajaran lain lainnya.
dari catatan calon guru sedikit kita kutip, karena banyak yang menganggap sama yaitu antara pertidaksamaan (pertaksamaan) dan ketidaksamaan (ketaksamaan). Perbedaan paling signifikan antara pertidaksamaan dan ketidaksamaan adalah bahwa "pertidaksamaan (pertaksamaan) merupakan kalimat terbuka (kalimat yang belum tentu nilai kebenarannya)" sedangkan "ketidaksamaan (ketaksamaan) merupakan kalimat tertutup (kalimat yang sudah pasti nilai kebenarannya)".
Beberapa teori dasar pada ketidaksamaan dan pertidaksamaan yang mungkin akan kita gunakan dalam menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan, diantaranya adalah: Untuk lebih memahami pertidaksamaan ini, mari kita simak beberapa Soal pertidaksamaan yang sudah pernah di ujikan pada Ujian Sekolah, Ujian Nasional atau Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara nasional atau mandiri. Karena yang mau kita cari adalah nilai $w=x+y$ dimana $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ maka kita dapat kisaran nilai $x+y$.
Dari $2 \lt x \lt 4$ dan $3 \lt y \lt 5$ kita peroleh;
$\begin{align}
2 \lt & x \lt 4 & \\
3 \lt & y \lt 5 & \\
\hline 2+3 \lt & x+y \lt 4+5 \\
5 \lt & x+y \lt 9
\end{align} $ 2. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian $x-\sqrt{6-x} \geq 0$ adalah...Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu: Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen. $\begin{align} x-\sqrt{6-x} & \geq 0 \\ x & \geq \sqrt{6-x} \\ x^{2} & \geq 6-x \\ x^{2}+x-6 & \geq 0 \\ (x+3)(x-2) & \geq 0 \\ x=-3\ \text{atau}\ x=2 & \end{align}$ Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 2$. Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka: $\begin{align} 6-x & \geq 0 \\ x-6 & \leq 0 \\ x & \leq 6 \end{align}$ Ketiga kita perhatikan, karena $6-x \geq 0$ dan agar $x \geq \sqrt{6-x}$ mempunyai nilai real, maka: $\begin{align} x & \geq 0 \end{align}$ Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas merupakan himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ x|2 \leq x \leq 6 \right \}$ 3. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 |*Soal LengkapJika himpunan penyelesaian $|2x-a| \lt 5$ adalah $\left \{ x|-1\ \lt x \lt 4 \right \}$, maka nilai $a$ adalah...Alternatif Pembahasan: Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$ 4. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{x+x^{2}}\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}$ adalah... $(A) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \leq -\dfrac{1}{2} \right\}$ $(B) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2} \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$ $(C) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$ $(D) \left \{x\mid 1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \leq \dfrac{1}{2} \right\}$Alternatif Pembahasan: Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan; $\begin{align} \dfrac{x}{x+x^{2}} &\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}\\ \dfrac{x}{x^{2}+x} &\geq \dfrac{x}{x^{2}-x}\\ \dfrac{x}{x^{2}+x} - \dfrac{x}{x^{2}-x} &\geq 0\\ \dfrac{x^{3}-x^{2}-(x^{3}+x^{2})}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\ \dfrac{-2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\ \dfrac{2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\leq 0\\ \dfrac{2x^{2}}{x(x+1)x(x-1)} &\leq 0\\ \dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &\leq 0 \end{align}$ Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x^{2}(x+1)(x-1)\neq 0$ maka $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$. Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-1 \leq x \leq 0$ atau $0 \leq x \leq 1$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} \leq 0$*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian: perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap Lalu dengan memperhatikan syarat pertama sebuah pecahan yaitu $x \neq 0$; $x \neq -1$; dan $x \neq 1$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{x\mid -1 \lt x \lt 0\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 1 \right\}$ 5. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 |*Soal LengkapBanyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{3x+6}{|x-1|} \gt 4$ adalah...Alternatif Pembahasan: Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi pertidaksamaan pecahan bentuk sederhana; $\begin{align} \dfrac{3x+6}{|x-1|} & \gt 4 \\ \dfrac{3x+6}{|x-1|} -4 & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6}{|x-1|} - \dfrac{4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+6-4|x-1|}{|x-1|} & \gt 0 \end{align}$ Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x-1 \neq 0$ atau $x \neq 1$. Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, Karena pertidaksamaan di atas memakai harga mutlak, sehingga kita kerjakan pada dua kemungkinan, yaitu:
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $8+1=9$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 9$ 6. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 |*Soal LengkapSemua bilangan real $x$ yang memenuhi $\dfrac{x+2}{x} \leq \dfrac{x+3}{x-2}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x \lt -\dfrac{4}{3}\ \text{atau}\ x \gt 2 \\ (B)\ & -\dfrac{4}{3}\ \leq x \lt 2 \\ (C)\ & -\dfrac{4}{3}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2 \\ (D)\ & x \lt -\dfrac{4}{3}\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 2 \\ (E)\ & x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2Alternatif Pembahasan: Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan; $\begin{align} \dfrac{x+2}{x} & \leq \dfrac{x+3}{x-2} \\ \dfrac{x+2}{x} - \dfrac{x+3}{x-2} & \leq 0 \\ \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x)(x-2)} - \dfrac{(x+3)(x)}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\ \dfrac{x^{2}-4-x^{2}-3x}{x(x-2)} & \leq 0 \\ \dfrac{-4-3x}{(x)(x-2)} & \leq 0 \\ \dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} & \geq 0 \\ \end{align}$ Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x-2) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq 2$. Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-\dfrac{4}{3} \leq x \leq 0$ atau $x \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{3x+4}{(x)(x-2)} \geq 0$. *cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian: perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq 2$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-\dfrac{4}{3} \leq x \lt 0$ atau $x \gt 2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -\dfrac{4}{3}\leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 2$ 7. Soal SBMPTN 2016 Kode 124 |*Soal LengkapSemua nilai $x$ yang memenuhi $\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} \leq 0$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x \lt 0 \\ (B)\ & -3 \leq x \leq 0 \\ (C)\ & -3 \lt x \lt 0 \\ (D)\ & x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 0 \\ (E)\ & x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 0Alternatif Pembahasan: Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan; $\begin{align} \dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} & \leq 0 \\ \dfrac{3(x+3)}{(x)(x+3)}-\dfrac{3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\ \dfrac{3x+9-3x}{(x)(x+3)} & \leq 0 \\ \dfrac{9}{(x)(x+3)} & \leq 0 \end{align}$ Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(x)(x+3) \neq 0$ maka $x \neq 0$ atau $x \neq -3$. Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-3 \leq x \leq 0$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{9}{(x)(x+3)} \leq 0$ *cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian: perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq 0$ atau $x \neq -3$, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-3 \lt x \lt 0$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3 \lt x \lt 0$ 8. Soal SBMPTN 2015 Kode 610 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{x-1}{x+1} \lt 1$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left \{ x \in R |x \gt 0 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x \in R |x \gt -1 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x \in {R} |x \lt -1 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x \in R |x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 0 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x \in R |x \lt 0\ \text{atau}\ x \gt 1 \right \}Alternatif Pembahasan: Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan; $\begin{align} \dfrac{x-1}{x+1} & \lt 1 \\ \dfrac{x-1}{x+1} -1 & \lt 0 \\ \dfrac{x-1}{x+1} -\dfrac{x+1}{x+1} & \lt 0 \\ \dfrac{x-1-x-1}{x+1} & \lt 0 \\ \dfrac{-2}{x+1} & \lt 0 \\ \end{align}$ Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$. Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x\gt -1$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{-2}{x+1} \lt 0$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x \in \mathbb{R} |x \gt -1 \right \}$ 9. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{12}{x+1} \lt \dfrac{x}{6}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left \{ x \in R |-1 \lt x \lt 8 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x \in R |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x \in R | x \lt -9\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 8 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x \in R | x \leq -1\ \text{atau}\ 8 \lt x \lt 9 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x \in R | x \lt -9\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 8 \right \}Alternatif Pembahasan: Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan; $\begin{align} \dfrac{12}{x+1} & \lt \dfrac{x}{6} \\ \dfrac{12}{x+1} - \dfrac{x}{6} & \lt 0 \\ \dfrac{(12)(6)}{6(x+1)} - \dfrac{(x)(x+1)}{(6)(x+1)} & \lt 0 \\ \dfrac{72-x^{2}-x}{6(x+1)} & \lt 0 \\ \dfrac{-x^{2}-x+72}{6(x+1)} & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}+x-72}{6(x+1)} & \gt 0 \\ \dfrac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} & \gt 0 \end{align}$ Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $x+1 \neq 0$ maka $x \neq -1$. Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $-9 \leq x \leq -1$ atau $ x \geq 8$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} \gt 0$ *cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian: perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $x \neq -1$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-9\lt x \lt -1$ dan $x\gt 8$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \left \{ x \in \mathbb{R} |-9 \lt x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 8 \right \}$ 10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ adalah... $(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$ $(B)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x \right )$ $(C)\ \left ( x\in \mathbb{R}: -2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$ $(D)\ \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq \frac{13}{6} \right )$Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu: Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen. $\begin{align} \sqrt{x^{2}-4} & \leq 3-x \\ \sqrt{x^{2}-4} & \leq \sqrt{(3-x)^{2}} \\ x^{2}-4 &\leq (3-x)^{2} \\ x^{2}-4 &\leq x^{2}-6x+9 \\ x^{2}-x^{2}+6x & \leq 9+4 \\ 6x & \leq 13 \\ x & \leq \dfrac{13}{6} \end{align}$ Kedua kita perhatikan $\sqrt{x^{2}-4}$ agar mempunyai nilai real, maka: $\begin{align} \sqrt{x^{2}-4} & \geq 0 \\ (x+2)(x-2) & \geq 0 \\ x \leq - 2\ &\ \text{atau}\ x \geq 2 \end{align}$ Ketiga kita perhatikan, karena $\sqrt{x^{2}-4} \geq 0$ dan agar $ \sqrt{x^{2}-4} \leq 3-x$ mempunyai nilai real, maka: $\begin{align} 3-x & \geq 0 \\ x-3 & \leq 0 \\ x & \leq 3 \end{align}$ Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini; $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left ( x\in \mathbb{R}:x\leq -2\ \text{atau}\ 2\leq x\leq \frac{13}{6} \right )$ 11. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 |*Soal LengkapHimpunan peyelesaian $16-x^{2} \leq |x+4|$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: -4\leq x\leq 4 \right ) \\ (B)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: -4\leq x \leq 3 \right ) \\ (C)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 4 \right ) \\ (D)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: 0\leq x\leq 3 \right ) \\ (E)\ & \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 3 \right )Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas kita coba mulai dari nilai mutlak $|x+4|$, dari defenisi nilai mutal kita peroleh: $|x+4|=\left\{\begin{matrix} x+4,\ \text{untuk}\ x\geq -4 \\ -x-4,\ \text{untuk}\ x \lt -4 \end{matrix}\right.$ Berdasarkan defenisi nilai mutlak diatas kita peroleh dua bentuk pertidaksamaan yaitu untuk $x \geq -4$, maka $16-x^{2} \leq x+4$ atau $x \lt -4$, maka $16-x^{2} \leq -x-4$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left ( x\in \mathbb{R}: x\leq -4\ \text{atau}\ x \geq 3 \right )$ 12. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*Soal LengkapSebuah partikel bergerak sepanjang sumbu $t$ dan posisi partikel di setiap saat adalah $s(t)=2t^{3}-24t^{2}+90t+7$, $t \geq 0$. Kecepatan partikel ini positif bilamana $t$ memenuhi... $\begin{align} (A)\ & 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5 \\ (B)\ & 3 \lt t \lt 5 \\ (C)\ & 0 \leq t \lt 5 \\ (D)\ & t \geq 0 \\ (E)\ & t=0\ \text{atau}\ t=5Alternatif Pembahasan: Untuk mendapatkan fungsi kecepatan selalu positif dapat kita gunakan aturan turunan pertama dari fungsi $s(t)$, dimana: $\begin{align} v(t) & = s'(t) \\ & = 6t^{2}-48t+90 \end{align}$ Nilai kecepatan selalu positif, berarti $v(t) = 6t^{2}-48t+90 \gt 0$, sehingga dapat kita tuliskan: $\begin{align} v(t) & \gt 0 \\ 6t^{2}-48t+90 & \gt 0 \\ 6 \left( t^{2}- 8t+ 15 \right) & \gt 0 \\ 6 \left( t-5 \right) \left( t-3 \right) & \gt 0 \\ t \lt 3\ \text{atau}\ t \gt 5 & \end{align}$ Karena $t \geq 0$ maka yang nilai $t$ yang memenuhi adalah $0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0\leq t \lt 3\ \text{atau}\ t\gt 5$ 13. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*Soal LengkapSolusi pertaksamaan $\dfrac{x^{2}-x-2}{-x^{2}+x-1} \leq 0 $ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi... $\begin{align} (A)\ & x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq 1 \\ (B)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2 \\ (C)\ & -2 \leq x \leq 1 \\ (D)\ & -1 \leq x \leq 2 \\ (E)\ & x \leq 1Alternatif Pembahasan: Syarat sebuah pecahan mempunyai nilai adalah penyebut tidak boleh sama dengan nol, $-x^{2}+x-1 \neq 0$. Jika dilihat dari $a \lt 0$ dan $D=b^{2}-4ac=1-4(-1)(-1)=-3$ $(D \lt 0)$ maka $-x^{2}+x-1$ adalah definit negatif (*selalu bernilai negatif untuk $x$ bilangan real). Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi: $\begin{align} \dfrac{x^{2}-x-2}{-x^{2}+x-1} & \leq 0 \\ \dfrac{x^{2}-x-2}{ x^{2}-x+1} & \geq 0 \\ \dfrac{(x-2)(x+1)}{x^{2}-x+1} & \geq 0 \end{align}$ Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \leq -1$ atau $ x \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{(x-2)(x+1)}{x^{2}-x+1} \geq 0$ *cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian: perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$ 14. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*Soal Lengkapnilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} \lt x+5 $ adalah... $\begin{align} (A)\ & x \lt 2 \\ (B)\ & x \gt \dfrac{7}{5} \\ (C)\ & \dfrac{7}{5} \lt x \lt 2 \\ (D)\ & -\dfrac{13}{5} \lt x \lt 2 \\ (E)\ & x \lt \dfrac{7}{5}\ \text{atau}\ x \gt 2Alternatif Pembahasan: Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan; $\begin{align} \dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} & \lt x+5 \\ \dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - (x+5) & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{(x+5)(x-2)}{x-2} & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}-2x-3}{x-2} - \dfrac{x^{2}+3x-10}{x-2} & \lt 0 \\ \dfrac{-5x+7}{x-2} & \lt 0 \\ \dfrac{ 5x-7}{x-2} & \gt 0 \\ \end{align}$ Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt \dfrac{7}{5}$ atau $x \gt 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{ 5x-7}{x-2} \gt 0$ *cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian: perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap Atau alternatif lain dalam menentukan himpunan penyelesaian, karena pembuat nol (batas) hanya ada dua maka untuk menentukan himpunan penyelesaian dapat dengan cara kreatif himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ x \lt \dfrac{7}{5}\ \text{atau}\ x \gt 2$ 15. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 |*Soal LengkapSolusi pertaksamaan $ \sqrt{3-x} \leq x-1$ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi... $\begin{align} (A)\ & -1 \leq x \leq 2 \\ (B)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ 2 \leq x \leq 3 \\ (C)\ & 1 \leq x \leq 2 \\ (D)\ & x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2 \\ (E)\ & 2 \leq x \leq 3Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu: Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen. $\begin{align} \sqrt{3-x} & \leq x-1 \\ \sqrt{3-x} & \leq \sqrt{(x-1)^{2}} \\ 3-x &\leq x^{2}-2x+1 \\ -x^{2}+2x-1+3-x &\leq 0 \\ x^{2}-x-2 &\geq 0 \\ (x-2)(x+1) &\geq 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-1 & \end{align}$ Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 2$ Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{3-x}$ mempunyai nilai real, maka: $\begin{align} 3-x & \geq 0 \\ x-3 & \leq 0 \\ x & \leq 3 \end{align}$ Ketiga kita perhatikan, karena $3-x \geq 0$ dan agar $ \sqrt{3-x} \leq x-1$ mempunyai nilai real, maka: $\begin{align} x-1 & \geq 0 \\ x & \geq 1 \end{align}$ Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2 \leq x \leq 3$ 16. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 |*Soal LengkapPenyelesaian pertidaksamaan $\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2}\leq 4\left ( 1- \dfrac{1}{x} \right )-3$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x \leq -\dfrac{1}{2} \\ (B)\ & x \geq -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & x \geq 2 \\ (D)\ & x \leq 2 \\ (E)\ & x \leq -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ x\geq 2Alternatif Pembahasan: Pertama kita coba sederhanakan pertidaksamaan menjadi: $\begin{align} \left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( 1-\dfrac{1}{x} \right )-3 \\ \left ( \dfrac{x-1}{x} \right )^{2} & \leq 4\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )-3 \end{align}$ Jika kita misalkan $\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )=a$ $\begin{align} a^{2} & \leq 4a-3 \\ a^{2} - 4a+3 & \leq 0 \\ (a-1)(a-3) & \leq 0 \\ a=1\ \text{atau}\ a=3 & \end{align}$ Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $1 \leq a \leq 3$. $\begin{align} 1 \leq a & \leq 3 \\ 1 \leq \dfrac{x-1}{x} & \leq 3 \\ x \leq x-1 & \leq 3x \\ x-x \leq x-1-x & \leq 3x-x \\ 0 \leq -1 & \leq 2x \end{align}$ Karena $0 \leq -1$ tidak memenuhi sehingga himpunan penyelesaian yang memenuhi hanya $-1 \leq 2x$ atau $x \leq -\dfrac{1}{2}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \leq -\dfrac{1}{2}$ 17. Soal SBMPTN 2014 Kode 614 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \sqrt{x^{2}-2x} \lt \sqrt{3x+6}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left \{ x | -1 \lt x \lt 6 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x | -2 \leq x \lt 0\ \text{atau}\ x \geq 2 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x | x \geq -2 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x | -1 \lt x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \}Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu: Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen. $\begin{align} \sqrt{x^{2}-2x} &\lt \sqrt{3x+6} \\ x^{2}-2x &\lt 3x+6 \\ x^{2}-2x -3x-6 &\lt 0 \\ x^{2}-5x-6 &\lt 0 \\ (x-6)(x+1) &\lt 0 \\ x=6\ \text{atau}\ x=-1 & \end{align}$ Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $-1 \lt x \lt 6$ Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x^{2}-2x}$ mempunyai nilai real, maka: $\begin{align} x^{2}-2x & \geq 0 \\ x(x-2) & \geq 0 \\ x \leq 0\ &\ x \geq 2 \end{align}$ Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka: $\begin{align} 3x+6 & \geq 0 \\ 3x & \geq -6 \\ x &\ \geq -2 \end{align}$ Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \left \{ x | -1 \lt x \leq 0\ \text{atau}\ 2 \leq x \lt 6 \right \}$ 18. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 |*Soal LengkapSemua nilai $x$ yang memenuhi $ \sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} \gt 2$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -2 \leq x \lt -1 \\ (B)\ & x \gt 1 \\ (C)\ & -\dfrac{3}{2} \leq x \lt -1 \\ (D)\ & x \gt 2 \\ (E)\ & -1 \lt x \lt 6Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu: Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen. $\begin{align} \sqrt{x+10} - \sqrt{x+2} & \gt 2 \\ \sqrt{x+10} & \gt 2 + \sqrt{x+2} \\ \left (\sqrt{x+10} \right )^{2} & \gt \left (2 + \sqrt{x+2} \right )^{2} \\ x+10 &\ \gt 4+x+2+4\sqrt{x+2} \\ x+10-4-x-2 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\ 4 &\ \gt 4\sqrt{x+2} \\ 1^{2} &\ \gt \sqrt{x+2}^{2} \\ 1 &\ \gt x+2 \\ -1 &\gt x \end{align}$ Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x+10}$ mempunyai nilai real, maka: $\begin{align} x+10 & \geq 0 \\ x & \geq -10 \end{align}$ Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{3x+6}$ mempunyai nilai real, maka: $\begin{align} x+2 & \geq 0 \\ x & \geq -2 \end{align}$ Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas adalah himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini; $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2 \leq x \lt -1$ 19. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 |*Soal LengkapSemua nilai $p$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{p}{p-2} \leq \dfrac{p-1}{p+2}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & p \gt 2\ \text{atau}\ p \lt -2 \\ (B)\ & -2 \lt p\ \leq \dfrac{2}{5}\ \text{dan}\ p \neq 0 \\ (C)\ & p \lt -2\ \text{atau}\ \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2 \\ (D)\ & \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2\ \text{dengan}\ n \neq 0 \\ (E)\ & -2 \lt p \leq \dfrac{2}{5}\ \text{atau}\ p \gt 2Alternatif Pembahasan: Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan; $\begin{align} \dfrac{p}{p-2} & \leq \dfrac{p-1}{p+2} \\ \dfrac{p}{p-2} - \dfrac{p-1}{p+2} & \leq 0 \\ \dfrac{p(p+2)}{(p-2)(p+2)} - \dfrac{(p-1)(p-2)}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\ \dfrac{p^{2}+2p-p^{2}+3p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \\ \dfrac{ 5p-2}{(p-2)(p+2)} & \leq 0 \end{align}$ Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $(p-2)(p+2) \neq 0$ maka $p \neq 2$ dan $p \neq -2$. Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $p \leq -2$ atau $ \dfrac{2}{5} \leq p \geq 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{ 5p-2}{(p-2)(p+2)} \leq 0$ *cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian: perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu $p \neq 2$ dan $p \neq -2$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $p \lt -2$ atau $\dfrac{2}{5} \leq p \lt 2$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ p \lt -2 \text{atau}\ \dfrac{2}{5} \leq p \lt 2$ 20. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 |*Soal LengkapHimpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} \leq 2$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left \{ -1,1 \right \} \\ (B)\ & \left \{ x | -1 \leq x \leq 1\,\ x \neq 0 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x | x \leq -1\ \text{atau}\ X \geq 1 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x | 0 \lt x \leq 1 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x | -\dfrac{3}{2} \leq x \leq 1,\ x \neq 0 \right \}Alternatif Pembahasan: Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan; $\begin{align} x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} & \leq 2 \\ \dfrac{x^{4}+ 1}{x^{2}} - 2 & \leq 0 \\ \dfrac{x^{4}+ 1-2x^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\ \dfrac{\left( x^{2} -1 \right)^{2}}{x^{2}} & \leq 0 \\ \left( \dfrac{ x^{2} -1 }{x} \right)^{2} & \leq 0 \\ \left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} & \leq 0 \\ \end{align}$ Untuk setiap nilai $x$ maka $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \geq 0$ sehingga nilai $x$ yang memenuhi $\left( \dfrac{ (x+1)(x-1)}{x} \right)^{2} \leq 0$ adalah hanya untuk sama dengan nol, yaitu untuk $x-1$ atau $x=1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ -1,1 \right \}$ 21. Soal UM UGM 2006 Kode 381 |*Soal LengkapDiketahui deret geometri dengan $U_{n}= \left( {}^x\!\log 3 \right)^{n}$, $x \gt 0$, $x \neq 1$. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada maka $x$ harus memenuhi syaratAlternatif Pembahasan: Suku-suku dari deret geometri tak hingga adalah ${}^x\!\log 3,\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{2},\ \left( {}^x\!\log 3 \right)^{3},\ \cdots$ Agar deret geometri tak hingga mempunyai nilai, maka $r={}^x\!\log 3$ harus $-1 \lt r \lt 1$, sehingga $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$. Pertidaksaaan $-1 \lt {}^x\!\log 3 \lt 1$ kita kerjakan pada dua kemungkinanKemungkinan pertama saat $x \gt 1$ $\begin{align} -1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\ {}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\ x^{-1} \lt & 3 \lt x \\ \dfrac{1}{x} \lt & 3 \lt x \\ \end{align}$Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
Kemungkinan kedua saat $0 \lt x \lt 1$ $\begin{align} -1 \lt & {}^x\!\log 3 \lt 1 \\ {}^x\!\log x^{-1} \lt & {}^x\!\log 3 \lt {}^x\!\log x^{1} \\ x^{-1} \gt & 3 \gt x \\ x \lt & 3 \lt x^{-1} \\ x \lt & 3 \lt \dfrac{1}{x} \end{align}$ Dari pertidaksamaan di atas ada dua pertidaksamaan yang kita dapat yaitu
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \gt 3\ \text{atau}\ 0 \lt \ x \lt \dfrac{1}{3}$ 22. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*Soal LengkapNilai semua $x$ sehingga matriks $\begin{pmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{pmatrix}$, mempunyai invers adalah... $\begin{align} (A)\ & x \neq -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ x \neq \dfrac{4}{3} \\ (B)\ & x \neq -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{dan}\ x \neq \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (C)\ & \sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (D)\ & -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (E)\ & x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}Alternatif Pembahasan: Agar sebuah matriks $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ mempunyai invers maka $ad-bc \neq 0$ $\begin{align} \begin{vmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\ 4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\ 3x^{2} & \neq 4 \\ x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\ x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align}$ Syarat sebuah fungsi bentuk akar $\sqrt{f(x)}$ mempunyai nilai real adalah $f(x) \geq 0$. Agar $\sqrt{x^{2}-1}$ mempunyai nilai real maka $x^{2}-1 \geq 0$, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-1 \geq 0$ adalah $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$. Jika kita gambarkan irisan $x \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ dan $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ adalah seperti berikut ini;$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}$ $ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ 23. Soal UM STIS 2011 |*Soal LengkapHimpunan peyelesaian dari $\left | \dfrac{1}{4}x^{2}-10 \right | \lt 6$ adalah... $\begin{align}Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang pertidaksamaan harga mutlak dan pertidaksamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
Himpunan penyelesaian $-8 \lt x \lt -4$ atau $4 \lt x \lt 8$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -8 \lt x \lt -4$ atau $4 \lt x \lt 8$ 24. Soal UM STIS 2011 |*Soal LengkapJika $a,\ b,\ c,$ dan $d$ bilangan riil positif dengan $a \gt b$ dan $c \gt d$, maka pernyataan di bawah ini benar, kecuali... $\begin{align}Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kita coba dengan mengambil beberap contoh pendukung karena $a,\ b,\ c,$ dan $d$ bilangan riil positif $a+c \gt b+d$ Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$ Misal: untuk $3 \gt 2$ dan $5 \gt 4$ maka $3+5 \gt 2+4$$ad \gt bc$ Pernyataan ini belum tentu benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$ Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $4 \cdot 1 \gt 3 \cdot 2$ (SALAH)$ac+bd \gt ad+bc$ Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$ Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $4 \cdot 2+3 \cdot 1 \gt 4 \cdot 1+3 \cdot 2$$\dfrac{1}{ac} \lt \dfrac{1}{bd}$ Pernyataan ini benar, untuk $a \gt b$ dan $c \gt d$ Misal: untuk $4 \gt 3$ dan $2 \gt 1$ maka $\dfrac{1}{4 \cdot 2} \lt \dfrac{1}{3 \cdot 1}$$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ ad \gt bc$ 25. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapPenyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 2x+1 \right| \lt 2 + \left| x+1 \right|$ adalah berbentuk interval $(a,b)$. Nilai $a+b+2=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol. $|x|=\left\{\begin{matrix} x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0 \end{matrix}\right.$ Batasan nilai $x$ pembuat nol yang kita peroleh dari $\left| x+1 \right|$ adalah $x=-1$ dan dari $\left| 2x+1 \right|$ adalah $x=-\dfrac{1}{2}$.
Himpunan penyelesaian adalah $-2 \lt x \lt 2$ jika ditulis dalam bentuk interval yaitu $(-2,2)$ sehingga nilai $a+b+2=-2+2+2=2$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$ 26. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian dari $\left| x-1 \right| \lt 3 - \left| x \right|$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $2a+b$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol. $|x|=\left\{\begin{matrix} x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0 \end{matrix}\right.$ $|x-1|=\left\{\begin{matrix} x-1,\ \text{untuk}\ x \geq 1 \\ -(x-1),\ \text{untuk}\ x \lt 1 \end{matrix}\right.$ Berdasarkan batasan nilai $x$ dari defenisi nilai mutlak di atas, kita peroleh batasan nilai $x$ yang memenuhi:
Himpunan penyelesaian adalah $-1 \lt x \lt 2$ jika ditulis dalam bentuk interval yaitu $(-1,2)$ sehingga nilai $2a+b=-2+2=0$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$ 27. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapJika $(a,b)$ adalah interval dari penyelesaian pertidaksamaan $\left| x+2 \right|+ \left| x+4 \right| \lt 4$ maka nilai $a-b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol. $|x|=\left\{\begin{matrix} x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0 \end{matrix}\right.$ Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x+2 \right|$ adalah $x=-2$ dan dari $\left| x+4 \right|$ adalah $x=-4$.
Himpunan penyelesaian adalah $-5 \lt x \lt -1$ jika ditulis dalam bentuk interval yaitu $(-5,-1)$ sehingga nilai $a-b=-5+1=-4$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$ 28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 3 - |x+1| \right| \lt 2$ adalah $(A)\ -5 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 4$ $(B)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ -1 \lt x \lt 4$ $(C)\ -5 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 5$ $(D)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 4$Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:
Dari gambar di atas himpunan penyelesaian adalah $-6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 4$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6 \lt x \lt -2\ \text{atau}\ 0 \lt x \lt 4$ 29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| |x|+x \right| \leq 2$ adalah $(A)\ 0 \leq x \lt 1$ $(B)\ x \leq 1$ $(C)\ x \leq 2$ $(D)\ x \leq 0$Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix} x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0 \end{matrix}\right.$ $\begin{align} \left| |x|+x \right| & \leq 2 \\ \sqrt{\left( |x|+x \right)^{2}} & \leq \sqrt{2^{2}} \\ \left( |x|+x \right)^{2} & \leq 4 \end{align}$
Himpunan penyelesaian adalah $x \leq 1$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \leq 1$ 30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapJika semua nilai $x$ dengan $-1 \leq x \leq 3$ yang memenuhi $\left| x+2 \right|-\sqrt{4x+8} \leq 0$ adalah $a \leq x \leq b$, maka nilai $2a+b$ adalah... $ \begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix} x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0 \end{matrix}\right.$ Pertama kita mulai dari syarat fungsi $\sqrt{4x+8}$, agar bernilai real, maka $4x+8 \geq 0$ atau $x \geq -2$. $\begin{align} \left| x+2 \right|-\sqrt{4x+8} & \leq 0 \\ \sqrt{\left( x+2 \right)^{2}} & \leq \left(\sqrt{4x+8}\right)^{2} \\ x^{2}+4x+4 & \leq 4x+8 \\ x^{2}+4x+4-4x-8 & \leq 0 \\ x^{2}-4 & \leq 0 \\ (x-2)(x+2) & \leq 0 \\ -2 \leq x \leq 2 & \end{align}$ Irisan $x \geq -2$ dan $-2 \leq x \leq 2$ adalah $-2 \leq x \leq 2$. Karena nilai $x$ yang diminta adalah semua nilai $x$ pada $-1 \leq x \leq 3$ sehingga himpunan penyelesaian yang diminta adalah irisan dari $-1 \leq x \leq 3$ dan $-2 \leq x \leq 2$, yaitu: Dari ilustrasi pada gambar di atas kita peroleh irisannya adalah $-1 \leq x \leq 2 \equiv a \leq x \leq b$ sehingga nilai $2a+b=-2+2=0$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$ 31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian pertidaksamaan $\dfrac{3x}{2-x} \lt 3$ adalah... $\begin{align}Alternatif Pembahasan: Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan; $\begin{align} \dfrac{3x}{2-x} & \lt 3 \\ \dfrac{3x}{x-2}-3 & \lt 0 \\ \dfrac{3x}{x-2}+3 & \gt 0 \\ \dfrac{3x}{x-2}+\dfrac{3(x-2)}{x-2} & \gt 0 \\ \dfrac{3x+3x-6}{x-2} & \gt 0 \\ \dfrac{6x-6}{x-2} & \gt 0 \end{align}$ Syarat pertama dari pertidaksamaan pecahan adalah $x-2 \neq 0$ maka $x \neq 2$. Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
Dari gambar dapat kita ambil kesimpulan, daerah $x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2$ merupakan Himpunan Penyelesaian soal, karena pada daerah ini $\dfrac{6x-6}{x-2} \gt 0$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\$ 32. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian dari $\left| x+1 \right| \lt \dfrac{2}{x}$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $2a+5b$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 5Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol. $|x|=\left\{\begin{matrix} x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0 \end{matrix}\right.$ Bentuk soal coba kita ubah menjadi: $\begin{align} \left| x+1 \right| & \lt \dfrac{2}{x} \\ \left| x+1 \right| - \dfrac{2}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left| x+1 \right|-2}{x} & \lt 0 \end{align}$ Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x+1 \right|$ adalah $x=-1$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 5$ 33. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapJika $1 \lt p \left| p-1 \right| $, maka... $ \begin{align} (A)\ & p \lt 0 \\ (B)\ & p \gt \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \\ (C)\ & p \gt \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \\ (D)\ & p \gt 0 \\ (E)\ & p \gt \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan defenisi nilai mutlak $|x|=\left\{\begin{matrix} x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0 \end{matrix}\right.$ Batasan nilai $p$ yang kita peroleh dari $\left| p-1 \right|$ adalah $p=1$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ p \gt \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ 34. Soal UTBK-SBMPTN 2019Jika $0 \lt a \lt 1$ maka $\dfrac{a^{x}+2}{a^{x}} \lt a^{x}$ mempunyai penyelesaian... $\begin{align} (A)\ & x \lt {}^\!\log_{a}2 \\ (B)\ & x \lt -{}^\!\log_{a}2 \\ (C)\ & x \gt {}^\!\log_{a}2 \\ (D)\ & x \gt - {}^\!\log_{a}2 \\ (E)\ & x \lt {}^\!\log_{a}4Alternatif Pembahasan: Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan sementara kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi; $\begin{align} \dfrac{a^{x}+2}{a^{x}} & \lt a^{x} \\ \dfrac{m+2}{m} & \lt m \\ \hline \text{sama-sama dikali}\ & (m) \\ \hline m+2 & \lt m(m) \\ m+2 & \lt m^{2} \\ m^{2}-m-2 & \gt 0 \\ (m-2)(m+1) & \gt 0 \\ m \lt -1\ \text{atau}\ & m \gt 2 \end{align}$ Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $a^{x} \lt -1$ atau $a^{x} \gt 2$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt {}^\!\log_{a}2$ 35. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal Lengkapnilai $x$ bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{8}{a^{x}+2} \gt a^{x}$ dengan $a \gt 1$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x \lt {}^\!\log_{2}a \\ (B)\ & x \lt {}^\!\log_{a}2 \\ (C)\ & x \gt {}^\!\log_{-2}a \\ (D)\ & x \gt {}^\!\log_{2}a \\ (E)\ & x \gt {}^\!\log_{a}2Alternatif Pembahasan: Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi; $\begin{align} \dfrac{8}{a^{x}+2} & \gt a^{x} \\ \dfrac{8}{m+2} & \gt m \\ \hline \text{sama-sama dikali}\ & (m+2) \\ \hline 8 & \gt m(m+2) \\ 8 & \gt m^{2}+2m \\ m^{2}+2m-8 & \lt 0 \\ (m+4)(m-2) & \lt 0 \\ -4 \lt m \lt 2 & \end{align}$ Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $-4 \lt a^{x} \lt 2$. $\begin{align} a^{x} & \lt 2 \\ {}^a\!\log a^{x} & \lt {}^a\!\log 2 \\ x & \lt {}^a\!\log 2 \\ x & \lt {}^\!\log_{a}2 \end{align}$ Karena $a^{x} \gt 1$ maka $-4 \lt a^{x}$ berlaku untuk $x \in R$. Irisan dari $x \lt {}^\!\log_{a}2$ dan $x \in R$ adalah $x \lt {}^\!\log_{a}2$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt {}^\!\log_{a}2$ 36. Soal UTBK Tes Kemampuan Akademik SAINTEK Matematika IPA 2019Jika $0 \lt a \lt 1$ maka $\dfrac{3+3a^{x}}{a^{x}+1} \lt a^{x}$ mempunyai penyelesaian... $\begin{align} (A)\ & x \gt {}^\!\log_{a}3 \\ (B)\ & x \lt -2{}^\!\log_{a}3 \\ (C)\ & x \lt {}^\!\log_{a}3 \\ (D)\ & x \gt -10{}^\!\log_{a}3 \\ (E)\ & x \lt 2{}^\!\log_{a}3Alternatif Pembahasan: Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan sementara kita coba dengan memisalkan $a^{x}=m$ dimana $m \gt 0$ menjadi; $\begin{align} \dfrac{3+3a^{x}}{a^{x}+1} & \lt a^{x} \\ \dfrac{3+3m}{m+1} & \lt m \\ \hline \text{sama-sama dikali}\ & (m+1) \\ \hline 3+3m & \lt m(m+1) \\ 3+3m & \lt m^{2}+m \\ m^{2}-2m-3 & \gt 0 \\ (m-3)(m+1) & \gt 0 \\ m \lt -1\ \text{atau}\ & m \gt 3 \end{align}$ Kita kembalikan nilai $m=a^{x}$ maka $a^{x} \lt -1$ atau $a^{x} \gt 3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x \lt {}^\!\log_{a}3$ 37. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-{}^\!\log_{a}x-2 \gt 0 $ dengan $0 \lt a \lt 1$ adalah... $ \begin{align} (A)\ & x \lt a^{2}\ \text{atau}\ x \gt a^{-1} \\ (B)\ & x \lt a^{2}\ \text{atau}\ x \gt a^{-2} \\ (C)\ & a^{2}\ \lt x \lt a^{-1} \\ (D)\ & a^{2}\ \lt x \lt a^{-2} \\ (E)\ & a^{-2}\ \lt x \lt a^{2}Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu: Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $m \lt -1$ atau $m \gt 2$. Kita kembalikan nilai $m={}^\!\log_{a}x$ maka:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x \lt a^{2}\ \text{atau}\ x \gt a^{-1}$ 38. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}+4{}^\!\log_{a}x+3 \lt 0 $ dengan $ a \gt 1$ adalah... $ \begin{align} (A)\ & a^{-3}\ \lt x \lt a^{-1} \\ (B)\ & a^{-1}\ \lt x \lt a^{3} \\ (C)\ & a^{-1}\ \lt x \lt a^{-3} \\ (D)\ & a^{-3}\ \lt x \lt a \\ (E)\ & 1 \lt x \lt a^{-3}Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu: Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $ -3 \lt m \lt -1$. Kita kembalikan nilai $m={}^\!\log_{a}x$ maka $ -3 \lt {}^\!\log_{a}x \lt -1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a^{-3}\ \lt x \lt a^{-1}$ 39. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapUntuk $0 \lt a \lt 1$, himpunan penyelesaian dari $\left( {}^\!\log_{a}x \right)^{2}-2\ {}^\!\log_{a}x-8 \gt 0 $ dengan adalah... $ \begin{align} (A)\ & x \lt a^{4}\ \text{atau}\ x \gt a^{-1} \\ (B)\ & x \lt a^{4}\ \text{atau}\ x \gt a^{-2} \\ (C)\ & a^{4}\ \lt x \lt a^{-1} \\ (D)\ & a^{4}\ \lt x \lt a^{-2} \\ (E)\ & a^{-4}\ \lt x \lt a^{4}Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru yang mungkin kita butuhkan tentang pertidaksamaan logaritma yaitu: Jika ${}^{a}\!\log f(x) \gt {}^{a}\!\log g(x)$, maka:
Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $m \lt -2$ atau $m \gt 4$. Kita kembalikan nilai $m={}^\!\log_{a}x$ maka ${}^\!\log_{a}x \lt -2$ atau ${}^\!\log_{a}x \gt 4$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt a^{4}\ \text{atau}\ x \gt a^{-2}$ 40. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 |*Soal LengkapHasil penjumlahan dari semua bilangan bulat $x$ yang memenuhi $\dfrac{\left ( x^{2}-x-12 \right )\sqrt{2x^{2}+5x-3}}{\left ( -x^{2}-3 \right )\sqrt{3x^{2}+x-2}} \geq 0$, adalah... $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 10Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang matematika dasar materi pokok Pertidaksamaan dapat dipelajari juga pada Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Pertidaksamaan, jika ingin melatih bentuk soal yang lebih banyak tentang Pertidaksamaan. Pertidaksamaan pada soal di atas memuat pertidaksamaan pecahan dan bentuk akar, kita coba selesaikan dengan manipulasi aljabar sebagai berikut: $\begin{align} \dfrac{\left ( x^{2}-x-12 \right )\sqrt{2x^{2}+5x-3}}{\left ( -x^{2}-3 \right )\sqrt{3x^{2}+x-2}} & \geq 0 \\ \dfrac{\left ( x-4 \right ) \left ( x+3 \right ) \sqrt{\left ( 2x-1 \right )\left ( x+3 \right )}}{-\left (x^{2}+3 \right )\sqrt{\left ( 3x-2 \right )\left ( x+1 \right )}} & \geq 0 \\ \end{align}$ Untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan di atas kita coba dengan menentukan batas daerah atau pembuat nol dari pertidaksamaan, yaitu: $x=-3$, $x=-1$, $x=\dfrac{1}{2}$, $x=\dfrac{2}{3}$, $x=4$. Jika kita gambarkan nilai $x$ pembuat nol pada garis bilangan menjadi seperti berikut ini: Dari beberapa daerah apa yang kita peroleh pada gambar di atas, jika kita uji nilai $x$ ke setiap daerah yang dibatasi oleh $x$ pembuat nol, kita peroleh sebagai berikut: Misal kita pilih sembarang nilai $x$ dari daerah $-1 \leq x \leq \dfrac{1}{2}$ yaitu $x=0$ dan kita uji ke pertidaksamaan: $\begin{align} & \dfrac{\left ( x-4 \right ) \left ( x+3 \right ) \sqrt{\left ( 2x-1 \right )\left ( x+3 \right )}}{-\left (x^{2}+3 \right )\sqrt{\left ( 3x-2 \right )\left ( x+1 \right )}} \\ &= \dfrac{\left ( 0-4 \right ) \left ( 0+3 \right ) \sqrt{\left ( 2(0)-1 \right )\left ( 0+3 \right )}}{-\left (0^{2}+3 \right )\sqrt{\left ( 3(0)-2 \right )\left ( 0+1 \right )}} \\ &= \dfrac{\left (- \right) \left (+ \right ) \sqrt{\left( - \right)\left( + \right )}}{-\left( + \right )\sqrt{\left ( - \right )\left ( + \right )}} \\ &= (+) \geq 0 \end{align}$ Dari hasil yang kita peroleh di atas, pertidaksamaan bernilai positif $(+)$ atau $\geq 0$ untuk setiap nilai $x$ bilangan real pada daerah $-1 \leq x \leq \dfrac{1}{2}$. Hal yang sama kita lakukan untuk daerah lainnya, dan kita peroleh sebagai berikut:Daerah himpunan penyelesaian yang kita peroleh di atas yang mengakibatkan pertidaksamaan $\geq 0$ adalah $-1 \leq x \leq \dfrac{1}{2}$ atau $\dfrac{2}{3} \leq x \leq 4$. Pada pertidaksamaan pecahan, syaratnya adalah penyebut tidak boleh nol, sehingga $\left (3x-2 \right )\left (x+1 \right )\left (x^{2}+3 \right ) \neq 0$ maka $x \neq \dfrac{2}{3}$ dan $x \neq -1$. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah $x=-3$ atau $-1 \lt x \leq \dfrac{1}{2}$ atau $\dfrac{2}{3} \lt x \leq 4$ sehingga bilangan bulat yang memenuhi himpunan penyelesaian adalah $-3, 0, 1,2,3,4$. Jumlah semua bilangan bulat $x$ yang memenuhi adalah $-3+0+1+2+3+4=7$$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 7$ 41. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal LengkapDiberikan bilangan real $a$. Jika himpunan semua penyelesaian pertidaksamaan $\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} \leq 1-4x$ adalah $\left \{ x : x\ \text{bilangan real}, p \leq x \leq q \right \}$, maka $p+q=\cdots$Alternatif Pembahasan: Jika kita selesaikan bentuk pertidaksamaan $\left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} \leq 1-4x$, penyelesaiannya seperti penjabaran berikut ini: $\begin{align} \left( 2x-1 \right)^{2}-a^{2} & \leq 1-4x \\ 4x^{2}-4x+1-a^{2} & \leq 1-4x \\ 4x^{2}-4x+1-a^{2}-1+4x & \leq 0 \\ 4x^{2} -a^{2} & \leq 0 \\ \left(2x-a \right) \left(2x+a \right) & \leq 0 \end{align}$ Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah $x=\dfrac{1}{2}a$ dan $x=-\dfrac{1}{2}a$, Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah $-\dfrac{1}{2}a \leq x \leq \dfrac{1}{2}a$. Berdasarkan keterangan soal bahwa $p \leq x \leq q$ merupakan himpunan penyelesaian maka dapat kita simpulkan bahwa $p \leq x \leq q \equiv -\dfrac{1}{2}a \leq x \leq \dfrac{1}{2}a$. Dari bentuk di atas dapat kita peroleh nilai $p=-\dfrac{1}{2}a$ dan $q=\dfrac{1}{2}a$, sehingga nilai $p+q=-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}a=0$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$ 42. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian $\left( 0,25 \right)^{x+2} \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -1 \lt x \lt 3 \\ (B)\ & -1 \lt x \lt 0 \\ (C)\ & 0 \lt x \lt 3 \\ (D)\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3 \\ (E)\ & x \lt -2\ \text{atau}\ x \gt 4Alternatif Pembahasan: Salah satu sifat-sifat pertidaksamaan eksponen yaitu Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \lt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah). Sehingga dengan menggunakan sifat pertidaksamaan dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh: $\begin{align} \left( 0,25 \right)^{x+2} & \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1} \\ \left( 0,5 \right)^{2x+4} & \gt \left( 0,5 \right)^{x^{2}+1} \\ \hline 2x+4 & \lt x^{2}+1 \\ 0 & \lt x^{2}-2x+1-4 \\ x^{2}-2x+3 & \gt 0 \\ (x+1)(x-3) & \gt 0 \\ x=-1\ \text{atau}\ x=3 & \end{align}$ Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$ 43. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian $\left( \dfrac{1}{8} \right)^{8+2x-x^{2}} \geq \left( \dfrac{1}{16} \right)^{x+2}$ adalah... $\begin{align}Alternatif Pembahasan: Salah satu sifat-sifat pertidaksamaan eksponen yaitu Untuk $0 \lt a \lt 1$, jika $a^{f(x)}\ \gt\ a^{g(x)}$ maka $ {f(x)}\ \lt\ {g(x)}$ (*tanda pertidaksamaan berubah). Sehingga dengan menggunakan sifat pertidaksamaan dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh: $\begin{align} \left( \dfrac{1}{8} \right)^{8+2x-x^{2}} & \geq \left( \dfrac{1}{16} \right)^{x+2} \\ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3 \left( 8+2x-x^{2} \right)} & \geq \left( \dfrac{1}{2} \right)^{4(x+2)} \\ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{24+6x-3x^{2}} & \geq \left( \dfrac{1}{2} \right)^{4x+8} \\ \hline 24+6x-3x^{2} & \leq 4x+8 \\ 24+6x-3x^{2}-4x-8 & \leq 0 \\ 16+2x-3x^{2} & \leq 0 \\ 3x^{2}-2x-16 & \geq 0 \\ \left( 3x-8 \right)\left( x+2 \right) & \gt 0 \\ x=\frac{8}{3}\ \text{atau}\ x=-2 & \end{align}$ Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq \frac{8}{3}$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \left \{ x | x \leq -2\ \text{atau}\ x \geq \frac{8}{3} \right \}$ 44. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapJika untuk semua bilangan real $x \lt 7$ sehingga ${}^{x}\!\log \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$ terdefenisi untuk $a \lt x \lt b$, maka $b-a=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^a\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$. Agar ${}^{x}\!\log \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu: Syarat (I) bilangan pokok $x$ $\begin{align} x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq 1 \\ 0 \lt x \lt 1\ & \text{atau}\ x \gt 1 \end{align}$ Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right)$: $\begin{align} \left( \dfrac{x^{2}+x-12}{x^{2}+x+12} \right) & \gt 0 \\ \dfrac{(x+4)(x-3)}{x^{2}+x+12} & \gt 0 \\ \end{align}$ $x^{2}+x+12$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real. Himpunan penyelesaian dari uji nilai $x$ di atas adalah $x \lt -4$ atau $x \gt 3$ Berikutnya kita cari irisan himpunan penyelesaian yang kita peroleh dari syarat (I) $0 \lt x \lt 1$ atau $x \gt 1$, syarat (II) $x \lt -4$ atau $x \gt 3$ dan syarat soal $x \lt 7$ maka kita peroleh: Himpunan penyelesaian akhir adalah $3 \lt x \lt 7 \equiv a \lt x \lt b$ sehingga nilai $b-a=7-3=4$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4$ 45. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapJika $a \lt x \lt b$ adalah solusi dari $\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} \lt 0$, maka nilai $a+b$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2Alternatif Pembahasan: Pertidaksamaan pecahan $\dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} \lt 0$ agar mempunyai solusi syarat pertama adalah: $\begin{align} x^{2}+x & \neq 0 \\ x \left( x+1 \right) & \neq 0 \\ x \neq 0\ \text{atau}\ & x \neq -1 \end{align}$ Berikutnya kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan uji nilai $x$: $\begin{align} \dfrac{x^{2}+2x+2}{x^{2}+x} & \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}+2x+2}{x \left( x+1 \right)} & \lt 0 \end{align}$ $x^{2}+2x+2$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real. Himpunan penyelesaian dari uji nilai $x$ di atas adalah $-1 \lt x \lt 0 \equiv a \lt x \lt b$, dan jika kita lihat dengan syarat pertama $x \neq 0$ atau $x \neq -1$ sudah memenuhi sehingga nilai $a+b=-1+0=-1$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1$ 46. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapJika $a \lt x \lt b$ adalah solusi dari $\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0$, maka nilai $b-2a$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5Alternatif Pembahasan: Pertidaksamaan pecahan $\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0$ agar mempunyai solusi syarat pertama adalah: $\begin{align} x^{2}-x-2 & \neq 0 \\ \left( x-2 \right) \left( x+1 \right) & \neq 0 \\ x \neq 2\ \text{atau}\ & x \neq -1 \end{align}$ Berikutnya kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan uji nilai $x$: $\begin{align} \dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-x-2} \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}+x+3}{\left( x-2 \right) \left( x+1 \right)} & \lt 0 \end{align}$ $x^{2}+x+3$ adalah Definit Positif $\left( a \gt 0\ \text{dan}\ b^{2}-4ac \lt 0 \right)$ artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real. Himpunan penyelesaian dari uji nilai $x$ di atas adalah $-1 \lt x \lt 2 \equiv a \lt x \lt b$, dan jika kita lihat dengan syarat pertama $x \neq -1$ atau $x \neq 2$ sudah memenuhi sehingga nilai $b-2a=2-2(-1)=4$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$ 47. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapJika semua nilai $x$ dengan $-1 \leq x \leq 1$ yang memenuhi $\left| 2x+1 \right|-\left| 2-x \right| \leq 0$ adalah $a \leq x \leq b$, maka nilai $3ab$ adalah... $ \begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan beberapa manipulasi aljabar😊 $\begin{align} \left| 2x+1 \right|-\left| 2-x \right| & \leq 0 \\ \left| 2x+1 \right| & \leq \left| 2-x \right| \\ \sqrt{ \left( 2x+1 \right )^{2}} & \leq \sqrt{ \left( 2-x \right)^{2}} \\ \sqrt{ 4x^{2}+4x+1} & \leq \sqrt{x^{2}-4x+4} \\ 4x^{2}+4x+1 & \leq x^{2}-4x+4 \\ 4x^{2}+4x+1-x^{2}+4x-4 & \leq 0 \\ 3x^{2}+8x-3 & \leq 0 \\ \left(3x-1 \right)\left(x+3 \right) & \leq 0 \\ x=\frac{1}{3}\ \text{atau}\ x=-3 & \end{align}$ Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $-3\ \leq x \leq \dfrac{1}{3}$. Yang diminta pada soal adalah semua nilai $x$ yang memenuhi $-1 \leq x \leq 1$ dan $-3\ \leq x \leq \dfrac{1}{3}$, maka kita coba tentukan irisan dari kedua pertidasamaan dengan menggunakan ilustrasi gambar berikut:Dari ilustrasi pada gambar di atas kita peroleh irisannya adalah $-1 \leq x \leq \dfrac{1}{3} \equiv a \leq x \leq b$ sehingga nilai $3ab=3(-1)\left( \dfrac{1}{3} \right)=-1$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$ 48. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapJika semua nilai $x$ dengan $0 \lt x \lt 10$ yang memenuhi $\left| 2x-1 \right|-\left| x+2 \right| \geq 0$ adalah $a \leq x \lt b$, maka nilai $b-a$ adalah... $ \begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 9Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|$ dan beberapa manipulasi aljabar😊 $\begin{align} \left| 2x-1 \right|-\left| x+2 \right| & \geq 0 \\ \left| 2x-1 \right| & \leq \left| x+2 \right| \\ \sqrt{ \left( 2x-1 \right )^{2}} & \geq \sqrt{ \left( x+2 \right)^{2}} \\ \sqrt{ 4x^{2}-4x+1} & \geq \sqrt{x^{2}+4x+4} \\ 4x^{2}-4x+1 & \geq x^{2}+4x+4 \\ 4x^{2}-4x+1-x^{2}-4x-4 & \geq 0 \\ 3x^{2}-8x-3 & \geq 0 \\ \left(3x+1 \right)\left(x-3 \right) & \geq 0 \\ x=-\frac{1}{3}\ \text{atau}\ x=3 & \end{align}$ Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \leq -\dfrac{1}{3}$ atau $x \geq 3$. Yang diminta pada soal adalah semua nilai $x$ yang memenuhi $0 \lt x \lt 10$ dan $x \leq -\dfrac{1}{3}$ atau $x \geq 3$, maka kita coba tentukan irisan dari kedua pertidasamaan dengan menggunakan ilustrasi gambar berikut:Dari ilustrasi pada gambar di atas kita peroleh irisannya adalah $3 \leq x \lt 10 \equiv a \leq x \lt b$ sehingga nilai $b-a=10-3=7$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 7$ 49. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapJika interval $\left[ a,b \right]$ adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left| 3 - |x-3| \right| \leq 3$, maka nilai $a+b=\cdots$ $ \begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 7 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & 10Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:
Dari gambar di atas himpunan penyelesaian adalah $-3 \leq x \lt 9 \equiv \left[-3,9 \right]$ sehingga nilai $a+b=-3+9=6$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6$ 50. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian dari $\left| x \right| \lt 3 + \left| x-3 \right|$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 0 \leq x \leq 3 \\ (B)\ & x \lt 3 \\ (C)\ & x \geq 3 \\ (D)\ & x \geq -3 \\ (E)\ & x \geq 0Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol. $|x|=\left\{\begin{matrix} x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0 \end{matrix}\right.$ $|x-3|=\left\{\begin{matrix} x-3,\ \text{untuk}\ x \geq 3 \\ -(x-3),\ \text{untuk}\ x \lt 3 \end{matrix}\right.$ Berdasarkan batasan nilai $x$ dari defenisi nilai mutlak di atas, kita peroleh batasan nilai $x$ yang memenuhi:
Berdasarkan ilustrasi di atas, himpunan penyelesaian yang merupakan gabungan pertidaksamaan yaitu $x \lt 3$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \lt 3$ 51. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian dari $\left| x-1 \right| \lt \dfrac{6}{x}$ adalah interval $(a,b)$. Nilai $3a+2b$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 12Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol. $|x|=\left\{\begin{matrix} x,\ \text{untuk}\ x\geq 0 \\ x,\ \text{untuk}\ x \lt 0 \end{matrix}\right.$ Bentuk soal coba kita ubah menjadi: $\begin{align} \left| x-1 \right| & \lt \dfrac{6}{x} \\ \left| x-1 \right| - \dfrac{6}{x} & \lt 0 \\ \dfrac{x \left| x-1 \right|-6}{x} & \lt 0 \end{align}$ Batasan nilai $x$ yang kita peroleh dari $\left| x-1 \right|$ adalah $x=1$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 6$ 52. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapJika ${}^{3x}\!\log \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$ terdefenisi untuk $a \lt x \lt b$, maka $a+b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui defenisi logaritma lengkap dengan syaratnya yaitu ${}^a\!\log b=c$ dengan syarat $a \gt 0$, $a \neq 1$ dan $b \gt 0$. Agar ${}^{3x}\!\log \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$ terdefenisi (mempunyai nilai) ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu: Syarat (I) bilangan pokok $3x$ $\begin{align} 3x \gt 0\ & \text{dan}\ 3x \neq 1 \\ x \gt 0\ & \text{dan}\ x \neq \dfrac{1}{3} \\ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ & \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{3} \end{align}$ Syarat (II) Numerus $\left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right)$: $\begin{align} \left( \dfrac{4-x^{2}}{x-3} \right) & \gt 0 \\ \left( \dfrac{x^{2}-4}{x-3} \right) & \lt 0 \\ \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-3} & \lt 0 \end{align}$ Himpunan penyelesaian dari uji nilai $x$ di atas adalah $x \lt -2$ atau $2 \lt x \lt 3$ Berikutnya kita cari irisan himpunan penyelesaian yang kita peroleh dari syarat (I) $0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}\ \text{atau}\ x \gt \dfrac{1}{3}$ dan syarat (II) $x \lt -2$ atau $2 \lt x \lt 3$, maka kita peroleh:Himpunan penyelesaian adalah $2 \lt x \lt 3 \equiv a \lt x \lt b$ sehingga nilai $a+b=2+3=5$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$ 53. Soal UM UNDIP 2019 Kode 431 |*Soal LengkapSolusi dari pertaksamaan $2x \left( x+1 \right) \gt \left( x+1 \right)\left( x+2 \right) $ adalah...Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan bentuk pertidaksamaan di atas, pertama kita coba sederhankan bentuknya sampai ke bentuk pertidaksamaan umum. maka dapat kita tuliskan: $\begin{align} 2x \left( x+1 \right) & \gt \left( x+1 \right)\left( x+2 \right) \\ 2x^{2}+2x & \gt x^{2}+3x+2 \\ x^{2}-x-2 & \gt 0 \\ \left( x-2 \right)\left( x+1 \right) & \gt 0 \\ x=2\ \text{atau}\ x=-1 & \end{align}$ Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2$ 54. Soal Simulasi UTBK-SBMPTN 2021Penyelesaian pertidaksamaan $2x^{2}+ \left| x \right| \gt 1$ adalah...Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol. Dari definisi nilai mutlak di atas kita peroleh batasan nilai $x$ adalah $x \geq 0$ atau $x \lt 0$.
Himpunan penyelesaian untuk $x \geq 0$ atau $x \lt 0$ adalah $x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt \frac{1}{2}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x \lt -\frac{1}{2}\ \text{atau}\ x \gt \frac{1}{2}$ 55. Soal SIMAK UI 2013 Kode 132 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian dari $x^{2}+ 2\left| x \right| -15 \geq 0$ adalah...Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak di atas kita coba mulai dari mencari batasan (pembuat nol) untuk setiap nilai mutlak. Pembuat nol ini untuk melihat batasan nilai $x$ karena nilai mutlak nilainya selalu lebih dari atau sama dengan nol. Dari definisi nilai mutlak di atas kita peroleh batasan nilai $x$ adalah $x \geq 0$ atau $x \lt 0$.
Himpunan penyelesaian untuk $x \geq 0$ atau $x \lt 0$ adalah $x \leq -3$ atau $x \geq 3$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ x \in R | x \leq -3\ \text{atau}\ x \geq 3 \right \}$ 56. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal LengkapDiketahui penyelesaian dari pertidaksamaan $\dfrac{3^{x+3}+3^{x}-36}{9^{x}-9} \leq 3 $ adalah $a \leq x \lt b$ atau $x \geq c$. Nilai $a+2b+c=\cdots$...Alternatif Pembahasan: Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan; $\begin{align} \dfrac{3^{x+3}+3^{x}-36}{9^{x}-9} & \leq 3 \\ \dfrac{3^{x} \cdot 3^{3}+3^{x}-36}{3^{2x}-3^{2}} -3 & \leq 0 \\ \hline \text{misal}\ a=3^{x} \rightarrow a^{2}=3^{2x} & \\ \hline \dfrac{a \cdot 27+a-36}{a^{2}-9} -3 & \leq 0 \\ \dfrac{28a-36}{a^{2}-9} - \dfrac{3 \cdot \left( a^{2}- 9 \right) }{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{28a-36-3a^{2}+27}{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{-3a^{2}+28a-9}{a^{2}-9} & \leq 0 \\ \dfrac{3a^{2}-28a+9}{a^{2}-9} & \geq 0 \\ \dfrac{\left( 3a-1 \right) \left( a-9 \right)}{\left( a-3 \right) \left( a+3 \right)} & \geq 0 \end{align}$ Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah $\left( a-3 \right) \left( a+3 \right) \neq 0$ maka $a \neq 3$ dan $a \neq -3$.
*cara alternatif menentukan daerah himpunan penyelesaian: perhatikan gambar tidak perlu uji nilai $x$ pada semua daerah, hanya pada satu daerah saja. Setiap melewati batas (faktor) berpangkat ganjil tanda berubah sedangkan melewati batas (faktor) berpangkat genap tanda tetap Dari gambar di atas himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$ 57. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal LengkapJika $a \lt x \lt b$ adalah solusi pertidaksamaan $1+2^{x}+2^{2x}+2^{3x}+\cdots \gt 2$, dengan $x \neq 1$, maka $a+b=\cdots$Alternatif Pembahasan: Pertidaksamaan coba kita sederhanakan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan dengan meminjam sedikit catatan deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r}$; $\begin{align} 1+2^{x}+2^{2x}+2^{3x}+\cdots & \gt 2 \\ \hline a=1,\ r=2^{x} & \\ S_{\infty }=\dfrac{a}{1-r} & \\ S_{\infty }=\dfrac{1}{1-2^{x}} & \\ \hline \dfrac{1}{1-2^{x}} & \gt 2 \\ \dfrac{1}{1-2^{x}} -2 & \gt 0 \\ \dfrac{1}{1-2^{x}} - \dfrac{2 \left( 1-2^{x} \right)}{1-2^{x}} & \gt 0 \\ \dfrac{-1+2^{x+1}}{1-2^{x}} & \gt 0 \end{align}$ Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:
Dari gambar di atas himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah $-1 \lt x \lt 0$. Bentuk ini ekuivalen dengan $a \lt x \lt b$ sehingga $a=-1$ dan $b=0$. Nilai $a+ b=-1+0=-1$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -1$ 58. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal LengkapJika himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan $\sqrt{x^{2}-x+1} \leq \sqrt{x+1}$ adalah $\{x|x\ \text{bilangan real},\ a \leq x \leq b \}$, maka $a+b = \cdots$ $\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang harus kita periksa yaitu: Pertama kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan atau merubah bentuk yang bisa ekuivalen nilainya. $\begin{align} \sqrt{x^{2}-x+1} &\leq \sqrt{x+1} \\ x^{2}-x+1 &\leq x+1 \\ x^{2}-x+1-x-1 & \leq 0 \\ x^{2}-2x & \leq 0 \\ (x)(x-2) &\leq 0 \\ x=0\ \text{atau}\ x=2 & \end{align}$ Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah $0 \leq x \leq 2$. Kedua kita perhatikan agar $\sqrt{x^{2}-x+1}$ mempunyai nilai real, maka: $\begin{align} x^{2}-x+1 & \geq 0 \\ \end{align}$ Karena $a \gt 0$ dan $D=b^{2}-4ac \lt 0$ maka $x^{2}-x+1$ definit positif yang artinya selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real. Sehingga nilai $x$ yang memenuhi $x^{2}-x+1 \geq 0 $ adalah $ x \in \mathbb{R} $. Ketiga kita perhatikan agar $\sqrt{x+1}$ mempunyai nilai real, maka: $\begin{align} x+1 & \geq 0 \\ x & \geq -1 \end{align}$ Irisan ketiga nilai $x$ yang memenuhi pada pertidaksamaan di atas merupakan himpunan penyelesaian soal. Jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini; Himpunan penyelesaian adalah $0 \leq x \leq 2$ dan $a \leq x \leq b$ sehingga $a=0$ dan $b=2$. Nilai $a+b=2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$ 59. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal LengkapNilai $x$ yang merupakan penyelesaian dari $-2^{2x+1}+4^{x}+8^{x+\frac{1}{3}}-8^{\frac{2x-1}{3}}-16^{\frac{2x-1}{4}} \gt 0$ adalah...Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran pertidaksamaan di atas kurang lebih seperti berikut ini: $\begin{align} -2^{2x+1}+4^{x}+8^{x+\frac{1}{3}}-8^{\frac{2x-1}{3}}-16^{\frac{2x-1}{4}} & \gt 0 \\ -1 \cdot 2^{2x} \cdot 2+2^{2x}+2^{3 \left( x+\frac{1}{3} \right)}-2^{3 \left( \frac{2x-1}{3} \right)}-2^{4\left( \frac{2x-1}{4} \right)} & \gt 0 \\ -2 \cdot 2^{2x} +2^{2x}+2^{3x+1}-2^{2x-1}-2^{ 2x-1} & \gt 0 \\ -1 \cdot 2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 - 2 \cdot 2^{2x-1} & \gt 0 \\ -2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 - 2^{2x-1+1} & \gt 0 \\ -2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 - 2^{2x} & \gt 0 \\ -2 \cdot 2^{2x} +2^{3x} \cdot 2 & \gt 0 \\ 2^{3x} \cdot 2 & \gt 2 \cdot 2^{2x} \\ 2^{3x} & \gt 2^{2x} \\ \hline 3x & \gt 2x \\ 3x-2x & \gt 0 \\ x & \gt 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x \gt 0$ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Pertidaksamaan di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 50+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Pertidaksamaan silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊. Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊 Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Sangat Cepat, Cara Alternatif Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat |