Show Garis singgung lingkaran merupakan suatu garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya. Untuk memudahkan dalam mempelajari persamaan garis singgung lingkaran, sebaiknya pahami dulu materi persamaan lingkaran. Ada tiga jenis yang diketahui dalam menentukan persamaan garis singgung lingkaran, yaitu :
1. Persamaan Garis Singgung (PGS) yang Melalui Suatu Titik pada LingkaranMisalkan titik $P(x_1, y_1)$ terletak pada lingkaran dengan pusat $O(0, 0)$ dan berjari-jari $r$. Selanjutnya dibuat suatu garis singgung yang melalui titik P seperti pada gambar. Persamaan umum garis singgung tersebut adalah $𝑦−𝑦_1=𝑚(𝑥−𝑥_1)$. Kita dapat mencari gradien garis yang menghubungkan titik $O(0, 0)$ dan titik $P(x_1, y_1)$ dengan $$m_{OP}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-0}{x_1-0}=\frac{y_1}{x_1}$$ Garis singgung lingkaran dan garis $OP$ saling tegak lurus sehingga $$\begin{align*} m\times m_{OP}&=-1\\m&=\frac{-1}{m_{OP}}\\m&=\frac{-1}{\frac{y_1}{x_1}}\\m&=\frac{-x_1}{y_1} \end{align*}$$ $𝑚 =\frac{−𝑥_1}{𝑦_1}$ disubstitusikan ke persamaan umum garis singgung $𝑦 − 𝑦_1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥_1)$, sehingga diperoleh : $$\begin{align*} (𝑦 − y_1) &=\frac{−𝑥_1}{𝑦_1}(𝑥 − x_1)\\y_1(𝑦 − y_1) &= −x_1(𝑥 − x_1)\\y_1𝑦 − {y_1}^2 &= −x_1𝑥 + {x_1}^2\\x_1𝑥 + y_1𝑦 &= {x_1}^2 + {y_1}^2\\𝒙𝟏𝒙 + 𝒚𝟏𝒚 &= 𝒓^𝟐 \end{align*}$$ Dari penjabaran diatas dapat disimpulkan bahwa
Contoh :
2. Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran dengan gradien $m $Sebuah garis yang mempunyai gradien $m$ dan melalui titik $(0, c)$ dinyatakan dengan $𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐$. Jikagaris tersebut menyinggunglingkaran $𝑥^2 + 𝑦^2 = 𝑟^2$, maka persamaan garis singgung lingkaran tersebut dapat diperoleh dengan langkah-langkah berikut. Substitusikan $𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐$ ke dalam prsamaan lingkaran $𝑥^2 + 𝑦^2 = 𝑟^2$, sehingga diperoleh $$\begin{align*} 𝑥^2 + (mx+c)^2 &= 𝑟^2\\𝑥^2 + m^2x^2+2mx+c^2 &= 𝑟^2\\ x^2+m^2x^2+2mcx+c^2-r^2 &= 0\\ (1+m^2)x^2+2mcx+c^2-r^2 &= 0 \end{align*}$$ Terlihat persamaan kuadrat dengan variabel $x$. Garis menyinggung lingkaran (memotong lingkaran pada satu titik) jika nilai diskriminan persamaan kuadrat di atas sama dengan $0$ $(D = b^2 - 4ac = 0)$. Diperoleh $a=1+m^2, b=2mc$ dan $c=c^2-r^2$. Oleh karena itu $$\begin{align*} D = 0\\b^2 - 4ac = 0\\ (2mc)^2 - 4(1+m^2)(c^2-r^2) = 0\\4m^2c^2 − 4 (c^2 + m^2c^2 − r^2 − m^2r^2)=0\\4m^2c^2 − 4c^2 − 4m^2c^2 + 4r^2 + 4m^2r^2 = 0\\− 4c^2 + 4r^2 + 4m^2r^2 = 0\\4c^2 = 4r^2 + 4m^2r^2\\ c^2 = r^2 + m^2r^2\\ c^2 = r^2(1 + m^2)\\ c=\pm r\sqrt{m^2+1} \end{align*}$$ Dari penjabaran diatas diperoleh :
Tambahan (hubungan antara dua garis)Karena ada kaitannya dengan gradien, maka biasanya juga melibatkan hubungan antara dua garis. Misalkan $m_1$ adalah gradien garis $g_1$ dan $m_2$ adalah gradien garis $g_2$
Contoh :
3. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar LingkaranMisalkan titik yang dilalui adalah titik D($x_d,y_d$) di luar lingkaran. Dari titik yang tersebut bisa ditarik dua garis singgung melalui titik pada lingkaran misalnya A($x_a,y_a$) dan titik B($x_b,y_b$). Ada tiga cara menentukan persamaan garis singgungnya, yaitu :
ContohTentukan persamaan garis singgung melalui titik (7, 1) di luar lingkaran $x^2 + y^2 = 25 $!
Cara II : Menggunakan rumus persamaan garis singgung dengan gradien diketahui.
Cara III : Menggunakan garis kutub (polar)
|