Kubus ABCD.EFGH yang alasnya ABCD. sisi yang sejajar dengan ADHE adalah

Untuk sajian di atas, materi dalam modul ini disajikan dalam dua kegiatan belajar, yang pokok bahasannya disajikan judul-judul kegiatan belajar sebagai berikut.

Kegiatan Belajar 1 : Hubungan antara garis dan bidang serta garis dan garis dalam ruang. Kegiatan belajar 2 : Ketegaklurusan garis terhadap bidang.

Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul ini, ikutilah petunjuk belajar berikut ini. 1. Bacalah dengan cermat pendahuluan ini sehingga Anda memperoleh gambaran secara global isi modul, untuk apa dipelajari, dan bagaimana mempelajarinya. 2. Bacalah dengan saksama uraian materi dan contoh-contohnya jika perlu carilah contoh lain. Berilah tanda-tanda pada bagian-bagian yang Anda anggap penting atau bagian yang Anda sulit untuk memahaminya sebagai bahan diskusi dalam tutorial atau dengan teman kelompok belajar.

Perhatikanlah Gambar 1.2 yang menunjukkan sebuah kubus ABCDEFGH. Jika sebuah titik sudut, misalnya titik sudut E, kita lepaskan dari strukturnya sehingga tidak lagi merupakan bagian dari kubus maka diperoleh bangun yang memiliki ukuran kecil sempurna yang disebut titik. Kemudian jika kita melepaskan salah satu rusuknya, misalnya AE sehingga tidak lagi merupakan bagian dari kubus maka kita peroleh sebuah ruas garis yang berhingga atau terbatas panjangnya. Jika ruas garis itu kita perpanjang ke arah ujung dan pangkalnya sampai tak terbatas panjangnya maka kita mendapatkan sebuah bangun yang disebut garis lurus, atau jika tidak dijelaskan secara khusus, cukup disebut garis saja. Selanjutnya jika kita melepaskan salah satu sisi dari balok itu, misalnya sisi ABCD maka diperoleh sebuah daerah persegi. Jika daerah persegi itu diperluas ke segenap arah sehingga diperoleh bangun yang sifatnya rata sempurna dan luasnya tak terbatas maka bangun yang diperoleh itu disebut bidang datar atau biasa disebut dengan bidang.

Titik, garis dan bidang disebut unsur-unsur ruang. Garis dan bidang merupakan himpunan titik-titik, sedang ruang didefinisikan sebagai himpunan semua titik. Jika tidak dinyatakan lain maka untuk selanjutnya yang dimaksud dengan garis adalah garis lurus, dan yang dimaksud dengan bidang adalah bidang datar.

Sekarang perhatikan kembali kesepakatan tentang cara penamaan titik, garis, bidang, dan sudut, yang pada umumnya sebagai berikut: Nama-nama titik ditulis dengan huruf Latin besar, misalnya: A, B, C, D, P, Q, R, …… . Nama-nama garis ditulis dengan huruf latin kecil, misalnya: a, b, c, d, k, l, m, Nama-nama bidang ditulis dengan huruf-huruf kecil pertama dan abjad Yunani, misalnya , β, , , …… atau dapat juga dengan huruf-huruf besar latin, yang biasanya bukan huruf-huruf awal, tetapi agak di pertengahan abjad, misalnya K, L, M, N, …… . Nama sudut ditulis dengan huruf-huruf kecil pada bagian akhir dari abjad Yunani, misalnya , , , atau .

Demikian juga kita dapat menggunakan beberapa singkatan tertentu yang biasa digunakan dalam pembicaraan geometri ruang, antara lain sebagai berikut. = titik potong garis a dan garis b. Titik (a, ) = titik tembus garis a terhadap bidang . Garis (,β) = garis potong antara bidang  dan bidang β. Bidang (ABC) = bidang melalui titik-titik A, B dan C. Bidang (a, P) = bidang melalui garis a dan titik P. Bidang (a, b) = bidang melalui garis a dan garis b.

Geometri Ruang  (Catatan: melalui 2 garis a dan b tidak selalu dapat dibuat sebuah bidang) Selanjutnya, bagaimana kita membuat gambar ruang dari titik, garis, dan bidang? Sebuah titik digambarkan lurus dengan anak panah pada kedua ujungnya, yang menunjukkan bahwa sebuah garis mempunyai panjang yang tidak terbatas, seperti pada Gambar 1.3.

Oleh karena sebuah bidang luasnya tak terbatas maka untuk menggambarkannya diwakili oleh sebuah persegi panjang yang terletak pada bidang tersebut. Pada gambar 1.4 Persegi Panjang ABCD yang terletak pada bidang  , sebagai wakil bidang  . Persegi panjang ABCD dalam ruang digambarkan dengan jajaran genjang pada proyeksi miring.

Kita sudah sering kali memecahkan persoalan dalam geometri yang melibatkan garis-garis. Pada kegiatan ini kita diajak untuk mencermati lagi segala sesuatu yang berkaitan tentang hubungan antara garis dan garis.

Untuk ini, marilah kita siapkan alat peraga berikut; ambil kertas karton dan lipatlah untuk meniru gambar berikut. Dapat pula ambil kotak, sobeklah sisi-sisi kotak dan sisakan bagian samping, bagian belakang dan dasar kotak . Kemudian, letakkan lidi-lidi dan tusukkan lidi-lidi yang lain seperti pada gambar berikut (Gambar 1.5).

Gambar 1.5.

Amatilah lidi-lidi tersebut! Adakah yang berpotongan? Adakah yang tidak berpotongan? Kita dapat menambah tusukan lidi atau meletakkan pada alas.

Gambar 1.6.

Kalau kita menganggap lidi-lidi sebagai garis maka kita dapat melihat kenyataan bahwa dua buah garis dalam ruang yang tidak berimpit dapat terjadi beberapa kemungkinan.

Kemungkinan pertama bahwa kedua garis itu tidak terletak bersamasama dalam sebuah bidang. Dalam keadaan ini dikatakan bahwa kedua garis itu bersilangan. Gambar 1.7a menunjukkan dua buah garis a dan b yang bersilangan.

Gambar 1.7a. Gambar 1.7b. Gambar 1.7c.

Kemungkinan lain bahwa kedua garis itu bersama-sama terletak dalam sebuah bidang dan jika terletak dalam sebuah bidang maka masih ada kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi, yaitu kedua garis itu mempunyai titik persekutuan atau sama sekali tidak mempunyai titik persekutuan. Jika memiliki sebuah titik persekutuan dikatakan bahwa kedua garis itu berpotongan; dan jika tidak mempunyai titik persekutuan maka dikatakan bahwa kedua garis itu sejajar. Gambar 1.7b menunjukkan dua buah garis m dan n yang berpotongan di P sedang pada gambar 1.7c menunjukkan dua buah garis k dan l yang sejajar.

Jadi, dua buah garis disebut bersilangan jika keduanya tidak terletak pada sebuah bidang. Dua buah garis dikatakan sejajar jika terletak pada sebuah bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan. Sangat penting kita perhatikan cara membuat gambar dari dua garis yang bersilangan, agar secara tegas membedakannya dengan gambar dari dua buah garis yang berpotongan. Perhatikanlah sekali lagi Gambar 1.7b dan Gambar 1.7c.

Selanjutnya kita akan mencermati lagi pengertian sudut antara dua buah garis dalam ruang. Jika kedua garis itu saling berpotongan maka yang dimaksud dengan sudut antara kedua garis itu adalah sudut lancip yang terjadi pada perpotongan dua garis. Gambar 1.8. Gambar 1.9  sudut antara a dan b  sudut antara g dan h Pada Gambar 1.8 diperlihatkan bahwa sudut antara garis p dan q yang saling berpotongan di A adalah . Bagaimana jika kedua garisnya saling bersilangan, misalnya sudut antara garis g dan h pada Gambar 1.9. Jika P adalah sembarang titik, kemudian dibuat garis-garis g 1 melalui P sejajar g dan h 1 melalui p sejajar h maka sudut antara g 1 dan h 1 , yaitu , menyatakan sudut antara garis g dan garis h yang bersilangan.

Untuk P dapat juga dipilih salah sebuah titik pada garis g atau h, seperti kita lihat pada gambar berikut. Gambar 1.10. Gambar 1.11. Titik P dipilih pada h, g // g 1 Titik P dipilih pada g, h // h 1 Jika sudut antara dua garis yang bersilangan p dan q adalah sudut sikusiku maka dikatakan bahwa garis p dan q bersilangan tegak lurus.

Selanjutnya setelah mengenal hubungan antara garis dan garis, kita akan mempelajari bagaimana hubungan garis dan bidang.

Jika dua buah titik pada sebuah garis terletak pada sebuah bidang maka semua titik pada garis itu terletak pada bidang tersebut.

Gambar 1.12. Gambar 1.13. Gambar 1.2 menunjukkan dua buah titik A dan B yang terletak di bidang  sehingga garis  terletak pada bidang  dan gambar 1.3 menunjukkan bahwa garis  terletak di bidang , dan semua titik pada garis  akan terletak pada bidang .

Sebuah garis dikatakan terletak pada sebuah bidang jika semua titik pada garis itu terletak pada bidang tersebut.

Jadi, pada Gambar 1.3 karena semua titik pada garis  terletak pada bidang  maka garis  merupakan sebuah garis yang terletak pada bidang . Dapat pula dikatakan bahwa bidang  melalui garis l atau bidang  memuat garis l. Sebuah garis dapat terletak pada sebuah bidang, dapat juga menembus atau sejajar bidang.

Sebuah garis dikatakan menembus sebuah bidang jika garis dan bidang itu mempunyai sebuah titik persekutuan. Titik itu disebut titik tembus garis dengan bidang tersebut.

Gambar 1.14.

Gambar 1.4 menunjukkan garis a dan bidang  yang mempunyai sebuah titik persekutuan, yaitu titik A maka dikatakan garis a menembus bidang  di titik A.

Sebuah garis dan sebuah bidang dikatakan sejajar jika garis dan bidang tersebut tidak mempunyai titik persekutuan.

Selanjutnya, akan kita perhatikan teorema tentang kesejajaran garis dan bidang berikut ini.

Sebuah garis dikatakan sejajar dengan sebuah bidang jika garis itu sejajar dengan salah satu garis yang terletak pada bidang tersebut.

k Gambar 1.15. Gambar 1.16.

Diketahui garis k, terletak pada bidang  ,  di luar bidang  dan  // k, seperti ditunjuk oleh Gambar 1.15.

Akan dibuktikan bahwa garis  sejajar bidang , atau  //. Bagaimana kita membuktikannya? Pada pengertian dua garis sejajar dinyatakan bahwa dua buah garis itu sejajar jika terletak pada sebuah bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan. Hal itu berarti bahwa melalui dua buah garis yang sejajar dapat dibuat sebuah bidang. Pada pembuktian ini maka kita dapat membuat sebuah bidang yang melalui garis  dan k. Namakan bidang itu sebagai bidang β. Bidang β ini memotong bidang  sepanjang garis k, yang merupakan himpunan semua titik persekutuan bidang  dan bidang  .

 tidak sejajar bidang  maka garis  akan mempunyai satu titik persekutuan yang terletak pada , dan juga pada garis k. Tetapi hal itu tidak mungkin karena diketahui bahwa  //k; perhatikanlah Gambar 1.16. Jadi haruslah  sejajar bidang . Teorema 1.1 juga memberi petunjuk bagaimana memastikan sebuah garis adalah sejajar sebuah bidang atau tidak. Di samping itu juga memberikan pedoman cara menggambarkan garis dan bidang yang sejajar, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.15.

Pada kenyataannya garis-garis dan bidang yang kita hadapi dapat berupa rusuk-rusuk atau sisi dari sebuah bangun, misalnya balok atau kubus. Dengan perkataan lain, pada pembicaraan nanti rusuk dipandang sebagai garis, meskipun sebenarnya hanya berupa ruas garis. Demikian juga sisi dipandang sebagai bidang meskipun sebenarnya hanya berupa bagian bidang.

Buatlah gambar dari sebuah balok PQRS dengan bidang alas ABCD dan rusuk-rusuk AP, BQ, CR dan DS. a. Sebutkan empat garis yang bersilangan dengan CR! b. Buktikan bahwa PQ dan CR bersilangan tegak lurus! c. Apakah PR sejajar dengan bidang ABCD?

Karena tidak ada ketentuan mengenai ukuran balok maka Anda dapat secara bebas memilih ukurannya.

Jika Gambar 1.17 menunjukkan balok ABCD.PQRS yang dimaksud maka

a. AB tidak terletak sebidang dengan CR karena CR memotong bidang ABCD yang melalui AB, jadi salah satu garis yang menyilang atau bersilangan dengan CR adalah AB, tiga yang lain adalah AD, PQ, dan PS. b. PQ dan CR adalah dua buah garis bersilangan sehingga untuk menentukan sudut antara kedua garis itu dapat dibuat garis yang sejajar PQ dan memotong CR, misalnya SR. Sudut antara PQ an CR ditunjukkan oleh sudut antara CR dan SR, yaitu  CRS. Karena CRSD sebuah persegi panjang, jadi  CRS siku-siku. Ini berarti sudut antara PQ dan CR siku-siku; dengan perkataan lain kita telah membuktikan bahwa PQ dan CR bersilangan tegak lurus. c. Untuk menyelidiki apakah PR sejajar dengan bidang ABCD, kita hubungkan P dengan R dan A dengan C. Karena AP//CR dan AP = CR maka APCR sebuah jajaran genjang, jadi PR//AC. Karena PR //AC, sedang AC terletak pada bidang ABCD maka menurut Teorema 1.1, garis PR letaknya sejajar dengan bidang ABCD.

Untuk lebih memantapkan pemahaman kita tentang hubungan titik, garis, dan bidang, kerjakanlah latihan berikut! 1.13 1) Buatlah gambar ruang dari sebuah titik A yang terletak pada sebuah bidang ! 2) Buatlah gambar dari sebuah garis  dan sebuah bidang β yang saling berpotongan, sebagai berikut. a) Bidang β horizontal. b) Bidang β vertikal. c) Bidang β frontal. 3) Buatlah gambar dari garis  dan bidang β jika diketahui bahwa garis  sejajar bidang ! 4) Diketahui sebuah kubus dengan bidang alas ABCD dan rusuk-rusuk tegaknya AE, BF, CG, dan DH. a) Tentukan besarnya sudut antara BG dan CH! b) Buktikan bahwa garis AC dan FH bersilangan tegak lurus! Petunjuk Jawaban Latihan 1) Untuk menunjukkan bahwa sebuah titik A terletak pada bidang , harus ditunjukkan bahwa titik A terletak pada salah sebuah garis, misalnya garis g, yang terletak pada bidang . Maka, gambarlah bidang  dalam bentuk sebuah jajaran genjang, kemudian gambar sebuah garis g yang terletak pada bidang , ujung-ujung garis g letaknya tepat pada sisi dari gambar bidang ; selanjutnya gambar titik A diletakkan pada gambar garis g itu. 2) Tunjukkan adanya sebuah titik persekutuan antara garis  dan bidang  . a) Jika bidang  horizontal maka bagian dari garis p yang terletak di bawah bidang  digambar putus-putus dan yang di atas  penuh atau sebaliknya. b) Jika bidang  vertikal maka bagian dari garis  yang terletak di kiri bidang  digambar putus-putus dan di kanan garis penuh atau sebaliknya.

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! c) Jika bidang  frontal maka bagian dari garis  yang di atas  garis penuh dan di bawah  garis putus-putus atau sebaliknya. 3) Menurut Teorema 1.1 sebuah garis akan sejajar dengan sebuah bidang jika garis itu sejajar dengan salah satu garis yang terletak pada bidang tersebut. Buatlah lebih dahulu gambar dari bidang  , kemudian buatlah gambar dari sebuah garis k yang terletak pada bidang  , dan seterusnya.

Buatlah untuk macam-macam letak bidang  dan garis  . Garis memiliki panjang yang tak terbatas, bidang luasnya tak berhingga, dan kita harus dapat menjelaskan hubungan antara garis dan garis atau garis dan bidang dalam bentuk gambar ruangnya.

Dua buah garis dalam ruang dapat bersilangan, berpotongan atau sejajar. Sudut antar dua buah garis yang bersilangan dapat ditentukan. Jika sudut antara dua garis bersilangan siku-siku maka dikatakan kedua garis itu bersilangan tegak lurus.

Jika sebuah garis mempunyai dua buah titik persekutuan dengan sebuah bidang maka semua titik pada garis itu terletak pada bidang tersebut.

Sebuah garis dapat terletak, memotong atau sejajar dengan sebuah bidang. Jika sebuah garis sejajar dengan salah satu garis yang terletak pada sebuah bidang maka garis itu sejajar dengan bidang tersebut.

Pemahaman tentang hubungan antara garis dan garis, serta antara garis dan bidang merupakan landasan untuk memahami uraian lebih lanjut dalam modul ini.

A. tidak mempunyai titik persekutuan B. terletak pada sebuah bidang dan mempunyai sebuah titik persekutuan C. mempunyai 2 buah titik persekutuan D. terletak pada sebuah bidang 2) Dua buah garis disebut bersilangan jika ….

A Ketegaklurusan Garis terhadap Bidang etelah kita mendalami uraian dalam kegiatan belajar yang lalu tentang hubungan kesejajaran antara garis dengan garis dan antara garis dengan bidang. Marilah kita memperhatikan keadaan di sekitar kita banyak dijumpai benda yang memuat garis-garis yang sejajar atau garis dan bidang yang sejajar. Benda-benda itu, antara lain meja, jendela, lantai, langit-langit dari ruangan tempat tinggal kita. Di samping itu, dapat disaksikan hubungan yang ditunjukkan, antara lain oleh tiang bangunan terhadap permukaan lantai, atau disaksikan dari dua dinding ruang belajar terhadap permukaan lantai, yang keduanya merupakan fakta tentang hubungan ketegaklurusan garis terhadap bidang.

Dalam kegiatan belajar ini akan dipelajari lebih jauh tentang hubungan ketegaklurusan garis terhadap bidang. Perhatikan kembali kerangka kubus yang Anda buat (Gambar 1.5) dan gambar kubus berikut (Gambar 1.18).

Jika kita perhatikan kubus ABCD.EFGH seperti pada Gambar 1.18 karena semua sisinya berbentuk bujur sangkar maka FB  BA dan FB  BC, sedang BA dan BC merupakan dua buah garis yang berpotongan, yang terletak pada sebuah bidang, yaitu bidang ABCD.

Meskipun fakta di atas merupakan kejadian khusus pada sebuah kubus, tetapi hal itu dapat membantu kita untuk menemukan kebenaran tentang adanya sebuah garis yang tegak lurus pada dua buah garis berpotongan yang terletak pada sebuah bidang. Anda tentu dapat menunjukkan contoh lainnya pada kubus itu, misalnya S AD  DC dan AD  DH, DC dan DH dua buah garis berpotongan dalam bidang CDHG.

Dalam hubungan fakta seperti di atas marilah kita pelajari hal berikut.

Sebuah garis g dan sebuah bidang  dikatakan saling tegak lurus jika dan hanya jika setiap garis pada  tegak lurus pada g. Anda dapat melukiskan garis g 1 melalui P yang sejajar g. Kemudian, pada garis g sebelah menyebelah bidang  di lukis titik Q dan titik Q 1 sehingga PQ 1 = PQ. Karena g  a dan g  b maka akibatnya g 1  a dan g 1  b sehingga a dan b merupakan sumbu dari ruas garis QQ 1 . Jika Anda membuat sembarangan garis m pada bidang , yang memotong garis a dan b berturut-turut dititik A dan B maka AQ 1 = AQ dan BQ 1 = BQ.

Sekarang bandingkan ∆ ABQ 1 dan ∆ ABQ:

Selanjutnya, apabila Anda buat sembarang garis yang lurus melalui titik P dan terletak pada bidang , yang memotong garis m di titik R maka jika pada ∆ ARQ 1 dan ∆ ARQ

Karena ∆ ARQ 1  ∆ ARQ 1 maka RQ 1 = RQ, yang berarti pula bahwa PR merupakan sumbu dari ruas garis QQ 1 .

Jika PR merupakan sumbu dari ruas garis QQ 1 , berarti garis g 1 tegak lurus pada garis  , berarti juga garis g tegak lurus pada garis  .

Dengan cara yang sama dibuktikan bahwa garis g juga tegak lurus pada setiap garis melalui P dan terletak pada bidang . Dengan demikian, berarti telah dibuktikan garis g tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada bidang . Menurut Definisi 1.4 maka terbukti g tegak lurus .

Menurut Teorema 1.2 jika kita akan memastikan apakah sebuah garis g tegak lurus pada sebuah bidang  maka kita tidak perlu menunjukkan bahwa garis g tegak lurus pada setiap garis pada bidang , tetapi cukup menunjukkan bahwa garis g tegak lurus pada dua garis berpotongan yang terletak pada bidang .

Perhatikanlah bahwa jika garis g itu tegak lurus pada dua garis yang tidak berpotongan, jadi tegak lurus bidang . Gambar 1.22 menunjukkan kepada kita bahwa: g  a g  b maka g  bidang  a dan b berpotongan a dan b pada bidang  Sedang Gambar 1.23 menunjukkan kepada kita bahwa g  a g  b maka : belum tentu g  bidang  a // b Selanjutnya jika melalui sebuah titik P yang tidak terletak pada bidang  dibuat garis yang tegak lurus bidang  dan memotong bidang  di titik P 1 maka P 1 disebut titik kaki garis tegak lurus yang dibuat melalui P pada bidang . Gambar 1.24.

Geometri Ruang 

Proyeksi suatu titik P pada sebuah bidang  adalah titik kaki dari garis yang dibuat melalui titik P itu tegak lurus bidang .

Perhatikanlah Gambar 1.24.  disebut bidang proyeksi P disebut titik yang diproyeksikan P 1 disebut titik hasil proyeksi atau proyeksi P pada bidang  g disebut garis pemproyeksi.

Kalau setiap bangun geometri dipandang sebagai himpunan titik-titik tertentu maka proyeksi suatu bangun pada sebuah bidang merupakan bangun lain yang terjadi dari himpunan proyeksi semua titik dari bangun itu pada bidang tersebut.

Proyeksi suatu garis s pada sebuah bidang  adalah himpunan titiktitik yang proyeksinya ke bidang tersebut dari titik-titik pada garis tersebut. Pada Gambar 1.25 ditunjukkan bahwa proyeksi dari sebuah kurva s adalah kurva 1 s . Gambar 1.25. 1 s merupakan himpunan proyeksi semua titik pada kurva s pada bidang . Meskipun demikian, untuk memperoleh proyeksi sebuah bangun pada sebuah bidang tidak harus dicari proyeksi dari semua titiknya pada bidang tersebut. Contoh: Proyeksi sebuah garis lurus.

Proyeksi sebuah garis pada sebuah bidang pada umumnya merupakan sebuah garis lagi.

Diketahui: garis g dan bidang  g 1 merupakan proyeksi garis g pada bidang 

Dibuktikan: g 1 merupakan garis lurus

Garis-garis pemproyeksi dari titik-titik yang terletak pada garis g merupakan garis-garis yang memotong garis g dan sejajar satu sama lain, semuanya terletak pada sebuah bidang, misalnya bidang β.

Bidang β memotong bidang menurut garis lurus (, β). Garis potong (, β) tidak lain adalah garis g 1 . Dengan perkataan lain, proyeksi dari garis g pada bidang , yaitu g 1 merupakan garis lurus.

Jika garis g tegak lurus bidang  maka proyeksinya hanya berupa sebuah titik.

Karena sebuah garis lurus letaknya ditentukan oleh dua buah titiknya maka mendasarkan pada Teorema 1.3 untuk menentukan proyeksi sebuah garis pada sebuah bidang, cukup memproyeksikan dua buah titiknya saja dari garis itu. Pada Gambar 1.27, titik P dan Q pada g maka proyeksi g pada bidang  ditentukan oleh titik P 1 dan Q 1 .

Setelah Anda mengenal pengertian dari proyeksi dan sifat dari proyeksi sebuah garis lurus pada sebuah bidang maka diharapkan Anda dapat memahami pengertian sudut antara garis dan bidang.

Jika sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang maka sudut antara garis itu dengan bidang tersebut adalah sudut lancip antara garis itu dengan proyeksi garis itu pada bidang tersebut.

Gambar 1.28.

Gambar 1.28 menunjukkan tentang sebuah garis g yang tidak tegak lurus pada bidang . Garis g 1 adalah proyeksi garis g pada bidang . Sehingga sudut antara garis g bidang  adalah sudut lancip antara garis g dan g 1 , yaitu .

Dalam sebuah kubus dengan bidang alas ABCD dan rusuk-rusuk tegaknya AE, BF, CG, dan DH. a. Buktikan bahwa BC tegak lurus bidang ABFE. b. Buktikan bahwa CD tegak lurus AH . c. Tentukan proyeksi dari titik C pada bidang ADHE. d. Tentukan proyeksi dari DE pada bidang ABCD. e. Tentukan sudut antara CH dan bidang EFGH.

Jika Gambar 1.29 menunjukkan kubus yang dimaksudkan maka: a. Anda andaikan g tidak sejajar g 1 . Karena g dan g 1 terletak pada sebuah bidang, yaitu bidang pemroyeksi maka pastilah g dan g 1 saling berpotongan. Misalnya, titik potong g dan g 1 adalah titik T, berarti T merupakan titik persekutuan antara g dengan bidang , atau dengan perkataan lain g dan  mempunyai sebuah titik persekutuan.

Sedang diketahui g//, berarti g dan  tidak mempunyai titik persekutuan; dan seterusnya.

Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai hubungan ketegaklurusan garis dan bidang. Garis disebut tegak lurus bidang jika garis itu tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada bidang tersebut.

Untuk menetapkan apakah sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang, cukup ditunjukkan bahwa garis itu tegak lurus pada dua buah garis berpotongan yang terletak pada bidang tersebut.

Proyeksi sebuah titik pada sebuah bidang adalah titik kaki garis yang dibuat melalui titik itu dan tegak lurus pada bidang tersebut.

Proyeksi sebuah garis tidak tegak lurus pada sebuah bidang maka yang dimaksud dengan sudut antara garis itu dan bidang tersebut adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis itu dengan proyeksinya pada bidang tersebut.

Garis memotong garis : kedua garis hanya memiliki satu titik sekutu. Garis menembus bidang : garis hanya memiliki satu titik sekutu dengan bidang. Garis terletak pada bidang : garis memiliki lebih dari satu titik sekutu dengan bidang. Proyeksi garis pada suatu bidang : proyeksi titik-titik dan dari garis ke bidang.

Sudut antara garis dan bidang : sudut antara garis dan proyeksinya di bidang tersebut.