Berapa posisi sudut dalam radian dan derajat jika jari-jari lingkaran 60 dan panjang busurnya 10 cm

Sudut adalah simpangan arah antara dua garis lurus yang bertemu pada titik sudut. Besaran sudut dapat dinyatakan dalam dua satuan yaitu derajat dan radian. Sudut satu putaran penuh didefinisikan memiliki sudut 360 derajat atau 2π radian. Bagaimana cara mengubah satuan sudut derajat ke radian atau sebaliknya? Untuk mengubah satuan sudut dari satuan derajat ke satuan radian atau sebaliknya, perlu diketahui faktor konversi antara kedua satuan sudut tersebut.

Atuan Derajat
Satu derajat (1o) adalah 1/360 putaran mengitari titik sudut. Ini sama halnya jika kita mengitari satu titik satu putaran penuh. Satu putaran penuh adalah 360 derajat. Jika kita mengitari ¼ putaran artinya kita mengitari titik sudut sebesar ¼ x 360 derajat yaitu 90 derajat.

Satuan Radian
Satu radian adalah ukuran sudut pusat lingkaran yang memotong busur yang panjangnya sama dengan radius lingkaran. Karena radian diukur dalam satuan radius (r) pada busur suatu lingkaran dan satu lingkaran penuh adalah 2πr maka dalam satu lingkaran terdapat sudut 2π radian.

Contoh Cara Mengubah Satuan Sudut dari Radian ke Derajat dan Sebaliknya
Berikut beberapa contoh soal cara mengkonversi satuan sudut dari radian ke derajat dan sebaliknya.

Contoh Soal 1
Soal: Berapa derajatkah sudut 3,5 radian?
Jawab:
3,5 radian = 3,5 x(180o/π) = 200,535o

Contoh Soal 2
Soal: Hitunglah sudut 2,2 radian dalam derajat!
Jawab:
2,2 radian = 2,2 x (180o/π) = 126o

Contoh Soal 3
Soal: 15o berapa radian?
Jawab:
15o = 15 x (π/180) = 0,265 radian

Soal: Nyatakan sudut 60o dalam π radian!

60o = 60 x (π/180) = π/3 radian

Jarak yang dapat ditempuh sebuah roda untuk satu Kali putaran adalah sama dengan keliling sebuah lingkaran.

Jadi : Banyak putaran yang telah dilakukan(n) sebuah roda adalah jarak yang telah ditempuh (s) dibagi dengan keliling lingkaran (k).

Karena keliling lingkaran memiliki rumus

Panjang busur = (sudut pusat/360) x phi x r x 2

misal ya, sudut pusatnya 180, panjang busurnya 44 cm

44 = 180/360 x 22/7 x r x 2

44 = 1/2 x 22/7 x r x 2
44 = 22/7 x r
44 x 7/22 = r
14 cm = r

2. Rumus Sudut Berelasi : Rumus Kuadran 1, 2, 3, 4

Sudut Berelasi – Adalah perluasan definisi dasar ilmu trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 − 90°). Berikut adalah keterangan lengkap dengan rumus sudut berelasi.

Dengan memakai sudut-sudut relasi, kita mampu menghitung nilai perbandingan pada trigonometri untuk sudut pada kuadran lainnya, bahkan untuk sudut yang lebih dari 360°, termasuk juga sudut negatif.

Untuk α lancip, maka (90° − α) menghasilkan sudut-sudut kuadran I. Di dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° − α) = cos α
cos (90° − α) = sin α
tan (90° − α) = cot α

Untuk α lancip, maka (90° + α) dan (180° − α) menghasilkan sudut-sudut kuadran II.alam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° + α) = cos α
cos (90° + α) = -sin α
tan (90° + α) = -cot α

sin (180° − α) = sin α
cos (180° − α) = -cos α
tan (180° − α) = -tan α

Untuk α lancip, maka (180° + α) dan (270° − α) menghasilkan sudut kuadran III. Di dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (180° + α) = -sin α
cos (180° + α) = -cos α
tan (180° + α) = tan α

sin (270° − α) = -cos α
cos (270° − α) = -sin α
tan (270° − α) = cot α

Untuk α lancip, maka (270° + α) dan (360° − α) menghasilkan sudut kuadran IV. D i dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (270° + α) = -cos α
cos (270° + α) = sin α
tan (270° + α) = -cot α

sin (360° − α) = -sin α
cos (360° − α) = cos α
tan (360° − α) = -tan α

Jika diperhatikan, rumus-rumus diatas mempunyai pola yang hampir sama, oleh karena itu sangatlah tidak bijak jika harus menghafalnya satu per satu. Ada 2 hal yang harus diperhatikan, yaitu sudut relasi yang dipaka dan tanda untuk tiap kuadran.

Untuk relasi (90° ± α) atau (270° ± α), maka : sin → cos cos → sin

tan → cot

Untuk relasi (180° ± α) atau (360° ± α), maka : sin = sin cos = cos

tan = tan

Tanda masing-masing kuadran : Kuadran I (0 − 90°) = semua positif Kuadran II (90° − 180°) = sinus positif Kuadran III (180° − 270°) = tangen positif.

Kuadran IV (270° − 360°) = cosinus positif

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya sin 20° tan 40°

cos 53°

Jawab : sin 20° = sin (90° − 70°)

= cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)
= cot 50°

cos 53° = cos (90° − 37°)
= sin 37°

Jika diperhatikan pada sin yang berubah menjadi cos, kemudian tan berubah jadi cot sedangkan cos berubah menjadi sin karena relasi yang dipaka adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri bernilai positif, karena sudut 20°, 40° dan 53° berada di kuadran I.

Contoh 2
Nyatakan setiap perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 37° !
tan 143°
sin 233°
cos 323°

Jawab :

Sudut 143° terletak pada kuadran II, sehingga tan 143° bernilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
tan 143° = -tan 37°

Sudut 233° terletak pada kuadran III, sehingga sinus bernilai negatif.

sin 233° = sin (270° − 37°)
tan 233° = -cos 37°
Perhatikan bahwa sin berubah menjadi cos karena relasi yang digunakan (270° − α)

Sudut 323° terletak pada kuadran IV, sehingga cosinus bernilai positif.

cos 323° = cos (360° − 37°)
cos 323° = cos 37°

Contoh 3

Tanpa menggunakan kalkulator, tentukan nilai dari

\frac{s i n 100^{\circ} - c o s 190^{\circ}}{c o s 350^{\circ} - s i n 260^{\circ}}

Jawab :

sin 100° = sin (90° + 10°) = cos 10°
cos 190° = cos (180° + 10°) = -cos 10°
cos 350° = cos (360° − 10°) = cos 10°
sin 260° = sin (270° − 10°) = -cos 10°

Sehingga :

\frac{s i n 100^{\circ} - c o s 190^{\circ}}{c o s 350^{\circ} - s i n 260^{\circ}} = \frac{c o s 10^{\circ} - (- c o s 10^{\circ})}{c o s 10^{\circ} - (- c o s 10^{\circ})} = \frac{2 c o s 10^{\circ}}{2 c o s 10^{\circ}} = 1

Contoh 4

Jika (x + 20°) adalah sudut lancip, tentukan nilai dari

\frac{t a n (x + 110^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})}

Jawab :

tan (x + 110°) = tan (90° + (x + 20°))
Karena (x + 20°) lancip, maka (90° + (x + 20°)) adalah sudut kuadran II, sehingga tangen bernilai negatif.
tan (90° + (x + 20°)) = -cot (x + 20°)

akibatnya

\frac{t a n (x + 110^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = \frac{- c o t (x + 20^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = - \frac{1}{2}

Contoh 5

Diketahui cot (x + 36°) = tan 2x. Jika 2x adalah sudut lancip, tentukan nilai x !

Jawab :

cot (x + 36°) = tan 2x
Karena 2x sudut lancip, pastilah 2x terletak dikuadran I. Dengan menggunakan relasi sudut kuadran I, maka :
tan 2x = cot (90° − 2x)

Sehingga

cot (x + 36°) = cot (90° − 2x)
x + 36 = 90° − 2x
3x = 54
x = 18

Gambar di atas merupakan sebuah benda P bergerak melingkar dengan kecepatan v konstan dan jari-jari R dari titik A menuju titik B sehingga membentuk sudut θ dan panjang lintasan s. Dengan menggunakan konsep hubungan sudut pusat dengan panjang busur lingkaran, maka:

AB/ÐAOB = K.lingkaran/Ðsatu putaran

Jadi hubungan antara posisi sudut dengan panjang lintasan pada gerak melingkar dapat dituliskan dengan persamaan matematis:

s = lintasan benda melingkar (m)

R = jari-jari lingkaran (m)

Sebuah benda bergerak melingkar dengan jari-jari 10 m. Jika lingkaran yang dibentuk membentuk sudut 0,25π rad, tentukan panjang lintasan yang ditempuh oleh benda tersebut.

Untuk mencari panjang lintasan yang ditempuh dapat menggunakan:

Page 2

1. Cara Mengubah Satuan Sudut dari Derajat ke Radian dan Sebaliknya Sudut adalah simpangan arah antara dua garis lurus yang bertemu pada titik sudut. Besaran sudut dapat dinyatakan dalam dua satuan yaitu derajat dan radian. Sudut satu putaran penuh didefinisikan memiliki sudut 360 derajat atau 2π radian. Bagaimana cara mengubah satuan sudut derajat ke radian atau sebaliknya? Untuk mengubah satuan sudut dari satuan derajat ke satuan radian atau sebaliknya, perlu diketahui faktor konversi antara kedua satuan sudut tersebut. Atuan Derajat Satu derajat (1 o ) adalah 1/360 putaran mengitari titik sudut. Ini sama halnya jika kita mengitari satu titik satu putaran penuh. Satu putaran penuh adalah 360 derajat. Jika kita mengitari ¼ putaran artinya kita mengitari titik sudut sebesar ¼ x 360 derajat yaitu 90 derajat. Satuan Radian Satu radian adalah ukuran sudut pusat lingkaran yang memotong busur yang panjangnya sama dengan radius lingkaran. Karena radian diukur dalam satuan