Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf berikut surakarta

Permutasi

Sebelum membahas pengertian permutasi, lebih dahulu kita pelajari pengertian faktorial.

Faktorial

Faktorial dinotasikan atau dilambangkan dengan n! (dibaca n faktorial). n! adalah hasil perkalian semua bilangan asli dari 1 sampai n, sehingga didefinisikan sebagai berikut:

Contoh 1 :

Tentukan nilai dari :

Penyelesaian :

• 5! = 5 4 3 2 1 = 120
• 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040
• 10! = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 3628800

Contoh 2:

Tentukan nilai dari:

• $latex \frac{81!}{71!}$
• $latex \frac{100!}{98!}$
• $latex \frac{n!}{(n-1)!}$

Peyelesaian:

• $latex \frac{81!}{71!}=\frac{8.7.6.5.4.3.2.1}{7.6.5.4.3.2.1}=8$

atau :

$latex \frac{8!}{7!}=\frac{8.7!}{7!}=8$

• $latex \frac{100!}{98!}=\frac{100.99.98!}{98!}=9900$
• $latex \frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n.(n-1).(n-2)….3.2.1}{(n-1).(n-2)….3.2.1}=n$

atau

$latex \frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n(n-1)!}{(n-1)!}=n$

Permutasi :

Permutasi dapat dikelompokkan menjadi beberapa macam.

Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen.

Contoh 1:

Tentukan banyaknya permutasi jika tiga buah unsur {a, b, c} dipermutasikan tiga-tiga tiap kelompok.

Penyelesaiannya :

Unsur yang tersedia ada tiga dan setiap pengambilan tiga unsur, maka dengan pengisian tempat diperoleh:

Contoh 2:

Dari 6 orang akan duduk pada 6 kursi yang diatur berderet. Ada berapa cara urutan duduk yang berbeda yang dapat dilakukan?

Penyelesaian :

Jumlah urutan duduk yang berbeda.

P(6, 6) = 6!

= 6 5 4 3 2 1

= 720 cara

Permutasi n elemen, tiap permutasi terdiri dari r unsur dengan r < n.

Contoh 1:

Tentukan banyaknya permutasi jika empat buah unsur {a, b, c, d} dipermutasikan tiga-tiga tiap kelompok!

Penyelesaian:

Unsur yang tersedia ada empat dan setiap pengambilan tiga unsur, maka dengan pengisian tempat diperoleh.

Atau $latex P_{(4,3)}=\frac{4!}{(4-3)!}=24$

yaitu : abc, bac, cab, dab, acd, bad, cbd, dbc, abd, bad, cad, dac, adb, bda, cda, dcb, acb, bca, cba, dba, adc, bdc, cdb, dca.

Contoh 2:

Jika tersedia angka-angka 2, 4, 6, dan 8 akan dibentuk bilangan asli yang terdiri dari dua angka yang berbeda. Berapakah banyaknya bilangan asli yang terjadi?

Penyelesaiannya :

n = 4 dan r = 2

banyaknya bilangan asli yang terjadi.

Permutasi dari n unsur yang mengandung dan r unsur yang sama

Untuk : n = banyaknya elemen seluruhnya

P = banyaknya elemen kelompok 1 yang lama

q = banyaknya elemen kelompok 2 yang sama

r = banyaknya elemen kelompok 3 yang sama

Contoh :

Tentukan banyaknya susunan huruf-huruf yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata “SURAKARTA”!

Penyelesaian :

Terdapat 9 huruf, huruf S sebanyak 1, huruf U sebanyak 1, huruf R sebanyak 2, huruf A sebanyak 3, huruf K sebanyak 1 dan T sebanyak 1.

Banyaknya susunan huruf adalah:

Permutasi siklis

Permutasi siklis adalah permutasi melingkar (urutan melingkar).

Contoh 1:

Jika ada tiga macam kunci, misal x, y, z. berapa banyaknya permutasi apabila:

• kunci ditempatkan pada tempat yag sebaris
• kunci ditempatkan melingkar

Penyelesaian :

• kunci diletakkan pada tempat yang sebaris

• kunci ditempatkan melingkar

Contoh 2:

Pada suatu pertemuan terdapat 8 orang yang duduk dalam posisi melingkar. Tentukan banyaknya cara duduk tersebut?

Penyelesaian:

Banyaknya cara duduk: P(8) = (8–1)!

= 7!

= 5040 cara

Permutasi berulang dari n unsur, tipa permutasi terdiri dari k unsur

Contoh:

Dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5, jika kita akan membentuk suatu bilangan yang terdiri dari 4 angka dan diperbolehkan ada angka berulang, tentukan banyaknya bilangan yang terjadi!

Penyelesaian:

dengan metode perkalian

angka yang terbentuk 4 angka, berarti ribuan maka:

dengan rumus

n = 5 dan k = 4

$latex P_{5}=(5)^{4}=625$ bilangan