Rumus aturan cosinus yang digunakan dalam menentukan panjang bc adalah

Perhatikan gambar segitiga di samping!

Untuk setiap segitiga, dengan BC=a, AC=b, AB=c, dengan sudut-sudutnya , , dan , maka berlaku:

ATURAN COSINUS:

Atau rumus-rumus tersebut juga bisa kita tuliskan dalam bentuk:

Untuk pembuktian rumus tersebut simak penjelasan di bawah ini!

Perhatikan gambar segitiga di bawah ini. Pada segitiga ABC kita tarik garis tinggi dari sudut B.

Dari segitiga tersebut kita bisa menemukan rumus identitas trigonometri:

sehingga

sehingga

Dan dari segitiga tersebut kita dapat menyusun teorema Phytagoras:

Dari gambar terlihat bahwa panjang sehingga:

Substitusi dan ke persamaan:

Ingat rumus identitas Trigonometri sehingga:

Diperoleh rumus cosinus dan dengan langkah yang sama kita dapat menentukan nilai dan sehingga aturan cosinus tersebut menjadi:

Contoh Soal

Untuk lebih jelas bagaimana penggunaan aturan cosinus simak beberapa contoh berikut ini:

1. Hitunglah panjang sisi e dan tuliskan proses solusinya!

Penyelesaian:

Dari gambar segitiga tersebut yang diketahui adalah dua sisi dengan satu sudut yang tidak berhadapan dengan salah satu sisi, oleh karena itu gunakan aturan cosinus:

Aturan cosinus:

Lakukan perhitungan:

Kalikan dan tambahkan:

Akarkan:

Sehingga diperoleh panjang sisi e adalah 3,84.

2. Hitunglah besar sudut C dan tuliskan proses solusinya!

Penyelesaian:

Dari gambar yang diketahui adalah ketiga sisi segitiga dan 8 adalah sisi yang berhadapan dengan sudut C sehingga dapat kita tuliskan a=9, b=5 dan c=8 dan yang ditanyakan adalah besar sudut C. Gunakan aturan cosinus.

Aturan cosinus:

Masukkan nilai a, b, dan c:

Hitunglah:

Inverse Cos:

Diperoleh:

Sehingga besar sudut C adalah

3. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB=6 cm, AC=10 cm dan sudut . Gambarkan segitiga berdasarkan soal tersebut dan hitunglah panjang BC beserta proses solusinya!

Penyelesaian:

Segitiga tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut:

Pada gambar terlihat dua sisi dan satu sudut yang tidak berhadapan dengan salah satu sisi, gunakan aturan cosinus.

Aturan cosinus:

Lakukan perhitungan:

Dari perhitungan diperoleh:

Akarkan:

Sehingga diperoleh panjang BC adalah 8,718 cm.

4. Hitunglah panjang sisi AD pada segitiga di bawah ini menggunakan rumus identitas trigonometri dan aturan cosinus!

Penyelesaian:

Untuk menghitung panjang sisi AD gunakan rumus identitas trigonometri:

Dan untuk menghitung panjang AB gunakan aturan cosinus:

Diperoleh panjang sisi AB=9,402 sehingga:

Jadi panjang AD adalah 3,714

5. Gunakan aturan cosinus dan sinus untuk menentukan panjang sisi BC pada gambar segitiga di bawah ini!

Penyelesaian:

Pertama perhatikan segitiga CAD gunakan aturan cosinus untuk menghitung besar sudut A:

Diperoleh besar sudut A adalah , kemudian perhatikan segitiga ABC, gunakan aturan sinus untuk menghitung panjang BC:

Sehingga diperoleh panjang BC adalah 14,94.

6. A dan B titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut lihat Jika jarak dan maka panjang terowongan itu adalah:

Penyelesaian:

Persoalan tersebut dapat kita ilutrasikan dengan gambar segitiga berikut:

Gunakan rumus aturan cosinus:

Diperoleh panjang terowongan tersebut adalah

7. Dua kapal tanker berangkat dari itik yang sama dengan arah berbeda sehingga membentuk sudut . Jika kapal pertama bergerak dengan kecepatan 30 km/jam, dan kapal kedua bergerak dengan kecepatan 25 km/jam. Tentukanlah jarak kedua kapal setelah berlayar selama 2 jam perjalanan.

Penyelesaian:

Informasi yang kita peroleh berdasarkan soal adalah:

• Misalkan titik A merupak titik awal keberangkatan kedua kapal tersebut dan sudut yang terbentuk adalah
• AB merupakan jarak yang ditempuh kapal pertama selama 2 jam dengan kecepatan 30 km/jam, sehingga AB=2×30=60 km
• AC merupakan jarak yang ditempuh kapal pertama selama 2 jam dengan kecepatan 25 km/jam, sehingga AC=2×25=50 km

Sehingga segitiga tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut:

Gunakan rumus aturan cosinus:

Sehingga diperoleh jarak kedua kapal setelah berlayar selama 2 jam adalah 56 km.

8. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka sejauh 40 km, kemudian berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan sejauh 80 km. Jarak antara pelabuhan A dan C adalah….

Penyelesaian:

Berdasarkan gambar kita dapat menghitung:

(Rumus sudut pelurus)

Sehingga dapat diperoleh besar sudut (Sudut sehadap sama besar)

Dan besar sudut beta adalah:

Apabila kita gambarkan lagi maka gambar segitiga tersebut menjadi seperti ini:

Gunakan rumus aturan cosinus:

Sehingga diperoleh jarak antara pelabuhan A dan C adalah

Baiklah, segitu saja pembahasan aturan cosinus beserta contoh soal penggunaan rumus dan penyelesaiannya, semoga bermanfaat.

Download soal-soal aturan cosinus DI SINI.