Contoh soal dan pembahasan fisika SMA kelas (X) : materi Vektor; resultan, jumlah dan selisih vektor, perkalian titik dan silang vektor, penguraian gaya dan beberapa variasi soal terapan vektor. Penjumlahan dengan rumus kosinus, resultan beberapa vektor dengan metode penguraian atau analitis. Soal No. 1 Diberikan dua buah vektor gaya yang sama besar masing-masing vektor besarnya adalah 10 Newton seperti gambar berikut.
Jika sudut yang terbentuk antara kedua vektor adalah 60°, tentukan besar (nilai) resultan kedua vektor! Pembahasan Dengan F1 = 10 N, F2 = 10 N, α adalah sudut antara kedua vektor (α = 60°). dan R adalah besar resultan kedua vektor. Sehingga: Soal No. 2 Tentukan arah resultan kedua vektor! Pembahasan Yang dimaksud arah resultan adalah sudut β pada gambar di bawah: Dengan rumus sinus: diperoleh arah resultan: Soal No. 3 Dua buah vektor kecepatan P dan Q masing-masing besarnya 40 m/s dan 20 m/s membentuk sudut 60°.
Tentukan selisih kedua vektor tersebut! Pembahasan Sehingga Soal No. 4 Pembahasan Data: F1 = 8 N F2 = 4 N α = 120° R = …….. Seperti soal pertama hanya berbeda sudut antaranya, dengan rumus yang sama: Diperoleh hasil Catatan rumus: cos (180° − α) = − cos α Sehingga untuk nilai cos 120°: cos 120° = cos (180° − 60°) = − cos 60° = − 1/2 Soal No. 5 Perhatikan gambar berikut! Jika satu kotak mewakili 10 Newton, tentukan resultan antara kedua vektor! Cari jumlah resultan pada sumbu x dan sumbu y, cukup dengan menghitung kotak dari masing-masing vektor, F1 adalah 30 ke kanan, 40 ke atas, sementara F2 adalah 50 ke kanan, 20 ke atas, kemudian masukkan rumus resultan: Soal No. 6
Tentukan: b. Arah resultan terhadap sumbu X [Sin 37° = (3/5), Sin 53° = (4/5)] [Cos 37° = (4/5), Cos 53° = (3/5)] Pembahasan a. Ikuti langkah-langkah berikut: 1. Uraikan semua vektor ke sumbu x dan sumbu y (kecuali vektor yang sudah lurus pada sumbu x atau y seperti F2). Lihat gambar di bawah! 2. Cari jumlah vektor pada sumbu x ( kanan +, kiri -) 3. Cari jumlah vektor pada sumbu y (atas +, bawah -) 4. Masukkan rumus resultan Vektor yang dalam perhitungan selanjutnya tidak digunakan lagi karena sudah diuraikan tadi, dihapus saja, agar kelihatan lebih bersih, sisanya seperti ini: Jumlah komponen vektor-vektor pada sumbu x dan y :
b. Mencari sudut yang terbentuk antara resultan vektor R dengan sumbu x tan θ = ΣFy /ΣFx Soal No. 7
Ditentukan 2 buah vektor F yang sama besarnya. Bila perbandingan antara besar jumlah dan besar selisih kedua vektor sama dengan √3, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor! (Sumber Soal : SPMB) Pembahasan Jumlah dan selisih kedua vektor masing-masing adalah: Perbandingan jumlah dan selisihnya adalah √3 sehingga: Kuadratkan ruas kiri dan kanan Kali silang : Soal No. 8
Asumsikan bahwa perahu bergerak lurus beraturan menempuh lintasan AD dan resultan kecepatan perahu dan air adalah 5 m/s (gunakan aturan Phytagoras).
Dengan membandingkan sisi-sisi segitiga ABC dan ADE :
Soal No. 9 Berikut contoh soal diambil dari soal EBTANAS (UN tempo dulu, zaman kakak-kakak kita) tahun 2000. Perhatikan gambar gaya-gaya di bawah ini! Besar resultan ketiga gaya tersebut adalah…. A. 2,0 N B. 2 √3 N C. 3,0 N D. 3 √3 N E. 4√3 N
Pembahasan “Untuk dua buah vektor dengan besar yang sama dan membentuk sudut 120o maka resultan kedua vektor besarnya akan sama dengan besar salah satu vektor” Berikut ilustrasinya: Dua buah vektor dengan besar yang sama yaitu 10 N membentuk sudut 120o maka nilai resultan kedua vektor juga 10 N.
Pada soal di atas, 2 buah vektor (gaya) masing-masing 3 N membentuk sudut 120o, sehingga resultan kedua gaya juga 3 N. Resultan kedua gaya ini akan segaris dengan gaya 6 N, namun berlawanan arah. Sehingga dengan mudah soal ini bisa dijawab resultan ketiga gaya adalah 6 N dikurangi 3 N hasilnya adalah 3 N. Soal No. 10 Diberikan 3 buah vektor : a = 2i + 3j satuan b = 4i + 5j satuan c = 6i + 7j satuan Tentukan besar resultan ketiga vektor, dan kemiringan sudut antara resultan dan sumbu X Pembahasan Data:
Untuk lebih jelas berikut ilustrasinya: 12 pada sumbu x Arahnya adalah sudut θ yang bisa dicari dari sin θ, cos θ maupun tan θ. Jika dicari dari tan θ maka yang dibandingkan nilai pada sumbu y dengan nilai pada sumbu x. Jika dicari dari sin θ yang dibandingkan nilai pada sumbu y dengan nilai resultan R, jika digunakan cos θ bandingkan nilai pada sumbu x dengan nilai resultan R. Soal No. 11 (i) d = a + b + c (ii) d = a + b − c (iii) d = a − b + c Pembahasan Dengan metode poligon : (ii) d = a + b − c (iii) d = a − b + c Soal No. 12 Diberikan dua buah vektor masing-masing vektor dan besarnya adalah A = 8 satuan, B = 10 satuan. Kedua vektor ini membentuk sudut 37°. Tentukan hasil dari: a) A⋅ B b) A × B Pembahasan A⋅ B = A B cos θ SehinggaA⋅ B = A B cos 37° = (8)(10)(0,8) = 64 satuan b) A × B adalah perkalian silang (cross) vektor A dan vektor B Untuk perkalian silang berlaku A × B = A B sin θ A × B = A B sin 37° = (8)(10)(0,6) = 48 satuan Soal No. 13 Sumber: Soal UMPTN Tahun 1991 Pembahasan Cara perkalian titik dua vektor dalam bentuk i,j adalah yang i kalikan i, yang j kalikan j, hingga seperti berikut 26 = 8 + 3a 3a = 26 − 8 a = 18/3 = 6 i dan j nya jadi hilang karena i kali i atau j kali j hasilnya adalah satu. Bagaimana cara perkalian silang dua vektor dalam bentuk i dan j ? ntar kita tambahkan,…IA Soal No. 14 Diberikan dua buah vektor masing-masing: A = 4i + 3j − 2k B = 7i + 2j + 5k Tentukan hasil dari A × B Pembahasan Cara pertama: Misal : A = (Ax i + Ay j + Az k) dan B = (Bx i + By j + Bz k) maka :
Rumus Perkalian Silang Dua Vektor (cross product ) dalam i, j, k Data :
maka Lumayan repot kalau mau dihafal rumus perkalian di atas, alternatifnya dengan cara yang kedua, Cara Kedua: Untuk mempermudah perkalian, tambahkan dua kolom di sebelah kanan susunan yang telah dibuat tadi hingga seperti berikut: Beri tanda plus dan minus, ikuti contoh berikut:
Kalikan menyilang ke bawah terlebih dahulu dengan memperhatikan tanda plus minus yang telah dibuat, lanjutkan dengan menyilang ke atas, A × B = (3)(5) i + (−2)(7) j + (4)(2)k − (7)(3)k − (2)(−2) i − (5)(4) j |