Persamaan garis polar yang ditarik dari titik A 2 2 terhadap lingkaran x 32 y 12 16 adalah

Persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ pada Lingkaran:

1. Persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ pada lingkaran $x^2+y^2=r^2$ adalah $x_1x+y_1y=r^2$.
2. Persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ pada lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ adalah $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$.
3. Persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ pada lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah $x_1x+y_1y+\frac{A}{2}(x+x_1)+\frac{B}{2}(y+y_1)+C=0$.

Penyelesaian: $x^2+y^2=5 \Rightarrow r^2=5$ Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=5$ di titik $(-2,1)=(x_1,y_1)$ adalah:

$\begin{align}x_1x+y_1y &= r^2 \\ -2x+1.y &= 5 \\ y &= 2x+5 \end{align}$

Penyelesaian: $\begin{align}(x+2)^2+(y+3)^2 &= 40 \\ (x-a)^2+(y-b)^2 &= r^2 \\ \end{align}$ Persamaan garis singgung lingkaran $(x+2)^2+(y+3)^2=40$ di titik $(4,-1)=(x_1,y_1)$ adalah: $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$ $(x_1+2)(x+2)+(y_1+3)(y+3)=40$ $(4+2)(x+2)+(-1+3)(y+3)=40$ $6(x+2)+2(y+3)=40$ $6x+12+2y+6=40$

$6x+2y-22=0$

Penyelesaian: $x^2+y^2+6x-2y-10=0$ $A=6$, $B=-2$, $C=-10$ Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+6x-2y-10=0$ di titik $(1,3)=(x_1,y_1)$ adalah: $x_1x+y_1y+\frac{A}{2}(x+x_1)+\frac{B}{2}(y+y_1)+C=0$ $x_1x+y_1y+\frac{6}{2}(x+x_1)-\frac{2}{2}(y+y_1)-10=0$ $1.x+3.y+3(x+1)-(y+3)-10=0$ $x+3y+3x+3-y-3-10=0$ $4x+2y-10=0$

$2x+y-5=0$

Penyelesaian: $x=2$ maka: $\begin{align}x^2+y^2+4x-6y-7 &= 0 \\ 2^2+y^2+4.2-6y-7 &= 0 \\ 4+y^2+8-6y-7 &= 0 \\ y^2-6y+5 &= 0 \\ (y-1)(y-5) &= 0 \end{align}$ $y=1$ atau $y=5$ Jadi, titik singgungnya ada dua yaitu $(2,1)$ dan $(2,5)$. Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+4x-6y-7=0$ di titik $(2,1)$ adalah: $x_1x+y_1y+\frac{4}{2}(x+x_1)-\frac{6}{2}(y+y_1)-7=0$ $2.x+1.y+2(x+2)-3(y+1)-7=0$ $2x+y+2x+4-3y-3-7=0$ $4x-2y-6=0$ $2x-y-3=0$ Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+4x-6y-7=0$ di titik $(2,5)$ adalah: $x_1x+y_1y+\frac{4}{2}(x+x_1)-\frac{6}{2}(y+y_1)-7=0$ $2.x+5.y+2(x+2)-3(y+5)-7=0$ $2x+5y+2x+4-3y-15-7=0$ $4x+2y-18=0$

$2x+y-9=0$

Penyelesaian: $y=x+1$ substitusi ke persamaan lingkaran $x^2+y^2+2x-4y-5=0$ maka: $\begin{align}x^2+(x+1)^2+2x-4(x+1)-5 &= 0 \\ x^2+x^2+2x+1+2x-4x-4-5 &= 0 \\ 2x^2-8 &= 0 \\ x^2-4 &= 0 \\ (x+2)(x-2) &= 0 \end{align}$ $x=-2$ atau $x=2$ Substitusi ke $y=x+1$, diperoleh: $x=-2\Rightarrow y=-2+1=-1\Rightarrow A(-2,-1)$ $x=2\Rightarrow y=2+1=3\Rightarrow B(2,3)$ Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+2x-4y-5=0$ di titik $A(-2,-1)$ adalah: $x_1x+y_1y+\frac{2}{2}(x+x_1)-\frac{4}{2}(y+y_1)-5=0$ $-2.x+(-1)y+1.(x-2)-2.(y-1)-5=0$ $-2x-y+x-2-2y+2-5=0$ $-x-3y-5=0$ $x+3y+5=0$ Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+2x-4y-5=0$ di titik $B(2,3)$ adalah: $x_1x+y_1y+\frac{2}{2}(x+x_1)-\frac{4}{2}(y+y_1)-5=0$ $2x+3y+1.(x+2)-2.(y+3)-5=0$ $2x+3y+x+2-2y-6-5=0$

$3x+y-9=0$

B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien $m$

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien $m$:

1. Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=r^2$ dengan gradien $m$ adalah $y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}$.
2. Persamaan garis singgung lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ dengan gradien $m$ adalah $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}$.
3. Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ dengan gradien $m$ adalah $y+\frac{B}{2}=m\left( x+\frac{A}{2} \right)\pm r\sqrt{m^2+1}$.

Penyelesaian: $x^2+y^2=16\Rightarrow r=\sqrt{16}=4$ Persamaan garis singgung lingkaran adalah: $\begin{align}y &= mx\pm r\sqrt{m^2+1} \\ &= \frac{3}{4}x\pm 4\sqrt{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^2}+1} \\ &= \frac{3}{4}x\pm 4\sqrt{\frac{9}{16}+1} \\ &= \frac{3}{4}x\pm 4\sqrt{\frac{25}{16}} \\ &= \frac{3}{4}x\pm 4.\frac{5}{4} \\ y &= \frac{3}{4}x\pm 5 \end{align}$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah $y=\frac{3}{4}x-5$ atau $y=\frac{3}{4}x+5$.

Penyelesaian: $(x+2)^2+(y-3)^2=25$ $(x+2)^2+(y-3)^2=5^2$ $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ $x-2y+4=0$ $\begin{align}m_1 &= -\frac{\text{koefisien}\,x}{\text{koefisien}\,y} \\ &= -\frac{1}{-2} \\ m_1 &= \frac{1}{2} \end{align}$ Garis singgung tegak lurus garis $x-2y+4=0$ maka gradien garis singgung lingkaran adalah: $\begin{align}m &= \frac{-1}{m_1} \\ &= \frac{-1}{\frac{1}{2}} \\ m &= -2 \end{align}$ Persamaan garis singgung ligkaran $(x+2)^2+(y-3)^2=25$ dengan gradien $m=-2$ adalah: $\begin{align}y-b &= m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1} \\ y-3 &= -2(x+2)\pm 5\sqrt{(-2)^2+1} \\ y-3 &= -2x-4\pm 5\sqrt{5} \\ y &= -2x-4+3\pm 5\sqrt{5} \\ y &= -2x-1\pm 5\sqrt{5} \end{align}$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah $y=-2x-1-5\sqrt{5}$ atau $y=-2x-1+5\sqrt{5}$.

Penyelesaian: $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ $A=-2$, $B=4$, $C=-4$ $\begin{align}r &= \sqrt{\frac{A^2}{4}+\frac{B^2}{4}-C} \\ &= \sqrt{\frac{(-2)^2}{4}+\frac{4^2}{4}-(-4)} \\ &= \sqrt{1+4+4} \\ r &= 3 \end{align}$ $5x-12y+5=0$ $\begin{align}m_1 &= -\frac{\text{koefisien}\,x}{\text{koefisien}\,y} \\ &= -\frac{5}{-12} \\ m_1 &= \frac{5}{12} \end{align}$ Garis singgung lingkaran sejajar dengan $5x-12y+5=0$ maka gradien garis singgung lingkaran adalah $m=m_1=\frac{5}{12}$. Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ dengan gradien $m=\frac{5}{12}$ adalah: $\begin{align}y+\frac{B}{2} &= m\left( x+\frac{A}{2} \right)\pm r\sqrt{m^2+1} \\ y+\frac{4}{2} &= \frac{5}{12}\left( x+\frac{-2}{2} \right)\pm 3\sqrt{{{\left( \frac{5}{12} \right)}^2}+1} \\ y+2 &= \frac{5}{12}\left( x-1 \right)\pm 3\sqrt{\frac{25}{144}+1} \\ y+2 &= \frac{5}{12}\left( x-1 \right)\pm 3\sqrt{\frac{169}{144}} \\ y+2 &= \frac{5}{12}\left( x-1 \right)\pm \frac{39}{12} \\ 12y+24 &= 5x-5\pm 39 \end{align}$ $-5x+12y+29\pm 39=0$ $5x-12y-29\pm 39=0$ $5x-12y-68=0$ atau $5x-12y+10=0$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah $5x-12y-68=0$ atau $5x-12y+10=0$.

C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ di luar lingkaran sebagai berikut:

1. Misalkan persamaan garis singgung yang melalui titik $P(x_1,y_1)$ bergradien $m$ adalah $y=mx-mx_1+y_1$.
2. Substitusi $y=mx-mx_1+y_1$ ke persamaan lingkaran L sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam $x$.
3. Karena garis menyinggung lingkaran L, maka haruslah diskriminan D = 0 sehingga diperoleh nilai-nilai $m$.
4. Substitusi nilai $m$ ke persamaan garis singgung $y=mx-mx_1+y_1$ sehingga diperoleh persamaan garis singgung yang diminta.

Penyelesaian: Garis singgung melalui titik $(-3,1)$ dan bergradien $m$ adalah: $y=mx-mx_1+y_1 \Leftrightarrow y=mx+3m+1$ Substitusi ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=8$ maka: $x^2+(mx+3m+1)^2=8$ $x^2+m^2x^2+9m^2+1+6m^2x+2mx+6m=8$ $(1+m^2)x^2+(6m^2+2m)x+9m^2+6m-7=0$ Garis menyinggung lingkaran, maka: D = 0 $b^2-4ac=0$ $(6m^2+2m)^2-4(1+m^2)(9m^2+6m-7)=0$ $36m^4+24m^3+4m^2-4(2m^2+6m-7+9m^4+6m^3)=0$ $36m^4+24m^3+4m^2-36m^4-24m^3-8m^2-24m+28=0$ $-2m^2-24m+28=0$ $m^2+12m-24=0$ $\begin{align}m &= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{-12\pm \sqrt{12^2-4.1.(-24)}}{2.1} \\ &= \frac{-12\pm \sqrt{144+96}}{2} \\ &= \frac{-12\pm \sqrt{240}}{2} \\ &= \frac{-12\pm \sqrt{16\times 15}}{2} \\ &= \frac{-12\pm 4\sqrt{15}}{2} \\ m &= -6\pm 2\sqrt{15} \end{align}$ Untuk $m=-6-2\sqrt{15}$ maka persamaan garis singgung lingkaran adalah: $\begin{align}y &= mx+3m+1 \\ &= (-6-2\sqrt{15})x+3(-6-2\sqrt{15})+1 \\ &= (-6-2\sqrt{15})x-18-6\sqrt{15}+1 \\ y &= (-6-2\sqrt{15})x-17-6\sqrt{15} \end{align}$ Untuk $m=-6+2\sqrt{15}$ maka persamaan garis singgung lingkaran adalah:

$\begin{align}y &= mx+3m+1 \\ &= (-6+2\sqrt{15})x+3(-6+2\sqrt{15})+1 \\ &= (-6+2\sqrt{15})x-18+6\sqrt{15}+1 \\ y &= (-6+2\sqrt{15})x-17+6\sqrt{15} \end{align}$

Penyelesaian: Garis singgung melalui titik $(3,6)$ dan bergradien $m$ adalah: $y=mx-mx_1+y_1 \Leftrightarrow y=mx-3m+6$ Substitusi ke persamaan lingkaran $(x+4)^2+(y-5)^2=40$ maka: $(x+4)^2+(mx-3m+6-5)^2=40$ $(x+4)^2+(mx-3m+1)^2=40$ $x^2+8x+16+m^2x^2+9m^2+1-6m^2x+2mx-6m=40$ $(1+m^2)x^2+(8-6m^2+2m)x+9m^2-6m-23=0$ Karena garis menyinggung lingkaran maka: D = 0 $b^2-4ac=0$ $(8-6m^2+2m)^2-4(1+m^2)(9m^2-6m-23)=0$ $64+36m^4+4m^2-96m^2+32m-24m^3-4(-14m^2-6m-23+9m^4-6m^3)=0$ $36m^4-24m^3-92m^2+32m+64-36m^4+24m^3+56m^2+24m+92=0$ $-36m^2+56m+156=0$ $-36m^2+56m+156=0$ $9m^2-14m-39=0$ $(9m+13)(m-3)=0$ $m=-\frac{13}{9}$ atau $m=3$ Untuk $m=-\frac{13}{9}$ maka persamaan garis singgung lingkaran adalah: $\begin{align}y &= mx-3m+6 \\ &= -\frac{13}{9}x-3\left( -\frac{13}{9} \right)+6 \\ &= -\frac{13}{9}x+\frac{13}{3}+6 \\ y &= -\frac{13}{9}x+\frac{31}{3} \end{align}$ atau $y=-\frac{13}{9}x+\frac{93}{9}$ $9y=-13x+93$ $13x+9y-93=0$ Untuk $m=3$ maka persamaan garis singgung lingkaran adalah:

$\begin{align}y &= mx-3m+6 \\ &= 3x-3.3+6 \\ y &= 3x-3 \end{align}$

Penyelesaian: Garis singgung melalui titik $O(0,0)$ dan bergradien $m$ adalah: $y=mx-mx_1+y_1 \Leftrightarrow y=mx$ Substitusi ke persamaan lingkaran $x^2+y^2+6x-2y+8=0$ maka: $x^2+(mx)^2+6x-2.mx+8=0$ $(1+m^2)x^2+(6-2m)x+8=0$ Karena garis menyinggung lingkaran, maka: D = 0 $b^2-4ac=0$ $(6-2m)^2-4(1+m^2).8=0$ $36-24m+4m^2-32-32m^2=0$ $-28m^2-24m+4=0$ $7m^2+6m-1=0$ $(7m-1)(m+1)=0$ $m=\frac{1}{7}$ atau $m=-1$ Untuk $m=\frac{1}{7}$ maka persamaan garis singgung lingkaran adalah $y=mx\Leftrightarrow y=\frac{1}{7}x$.

Untuk $m=-1$ maka persamaan garis singgung lingkaran adalah $y=mx\Leftrightarrow y=-x$.

D. Persamaan Garis Polar pada Lingkaran

1. Jika titik $(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $x^2+y^2=r^2$ maka persamaan garis polarnya adalah $x_1x+y_1y=r^2$.
2. Jika titik $(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ maka persamaan garis polarnya adalah $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$.
3. Jika titik $(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ maka persamaan garis polarnya adalah $x_1x+y_1y+\frac{A}{2}(x+x_1)+\frac{B}{2}(y+y_1)+C=0$.

Penyelesaian: Persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=25$ yang dibangun oleh titik $(-7,-1)$ adalah: $\begin{align}x_1x+y_1y &= 25 \\ -7x-y &= 25 \\ -y &= 7x+25 \\ y &= -7x-25 \end{align}$ Substitusi ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=25$ maka: $\begin{align}x^2+y^2 &= 25 \\ x^2+(-7x-25)^2 &= 25 \\ x^2+49x^2+350x+625 &= 25 \\ 50x^2+350x+600 &= 0 \\ x^2+7x+12 &= 0 \\ (x+4)(x+3) &= 0 \end{align}$ $x+4=0\Rightarrow x=-4$ $x+3=0\Rightarrow x=-3$ Untuk $x=-4$ maka: $y=-7x-25=-7(-4)-25=3$ diperoleh titik singgung $(-4,3)$. Untuk $x=-3$ maka: $y=-7x-25=-7(-3)-25=-4$ diperoleh titik singgung $(-3,-4)$. Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=25$ di titik $(-4,3)$ adalah: $\begin{align}x_1x+y_1y &= 25 \\ -4x+3y &= 25 \\ 4x-3y+25 &= 0 \end{align}$ Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=25$ di titik $(-3,-4)$ adalah:

$\begin{align}x_1x+y_1y &= 25 \\ -3x-4y &= 25 \\ 3x+4y+25 &= 0 \end{align}$

E. Panjang Potongan Garis Singgung Lingkaran

1. Jika titik $P(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $x^2+y^2=r^2$ maka panjang potongan garis singgung dari titik P ke titik singgung Q adalah $PQ=\sqrt{x_1^2+y_1^2-r^2}$.
2. Jika titik $P(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ maka panjang potongan garis singgung dari titik P ke titik singgung Q adalah $PQ=\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2}$.
3. Jika titik $P(x_1,y_1)$ di luar lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ maka panjang potongan garis singgung dari titik P ke titik singgung Q adalah $PQ=\sqrt{x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C}$.

Penyelesaian: Panjang garis singgung lingkaran $x^2+y^2+4x-2y-13=0$ melalui titik $Q(3,2)=(x_1,y_1)$ adalah:

$\begin{align}QS &= \sqrt{x_1^2+y_1^2+4x_1-2y_1-13} \\ &= \sqrt{3^2+2^2+4.3-2.2-13} \\ &= \sqrt{9+4+12-4-13} \\ &= \sqrt{8} \\ QS &= 2\sqrt{2} \end{align}$

F. Soal Latihan

1. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $(x-2)^2+(y+3)^2=5$ di titik $(3,-1)$.
2. Diberikan persamaan lingkaran $x^2+y^2+2x-6y+5=0$. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut di titik $(1,2)$.
3. Tentukan gradien dari persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-4x+10y+24=0$ yang melalui titik $(1,-7)$.
4. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $(x+3)^2+(y-1)^2=16$ yang ditarik dari titik $A(1,-1)$.
5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-4x+8y-5=0$ yang tegak lurus garis $3x-4y+9=0$.