Academia.edu no longer supports Internet Explorer. Show
To browse Academia.edu and the wider internet faster and more securely, please take a few seconds to upgrade your browser. Sebetulnya, tanpa kita sadari konsep dari turunan matematika itu sendiri sering kali kita terapkan di dalam kehidupan sehari-hari. Baik itu di dalam ilmu matematika, atau bahkan ilmu yang lainnya. Konsep dari turunan ini sering kali kita gunakan di dalam mencari garis singgung suatu kurva atau fungsi dan kecepatan. Tak hanya itu saja, konsep dari turunan ini juga banyak diterapkan dalam berbagai bidang seperti: Untuk lebih jelasnya mengenai turunan matematika, simak pembahasannya berikut ini. Turunan atau disebut juga seabagai Deriviatif merupakan suatu pengukuran kepada bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan akan menyatakan bagaimanakah sebuah besaran berubah akibat adanya perubahan besaran yang lainnya. Sebagai contoj: turunan dari posisi suatu benda yang kemudian bergerak terhadap waktu merupakan kecepatan sesaat oleh objek tersebut. Proses dalam menemukan suatu turunan disebut sebagai diferensiasi. Serta kebalikan dari suatu turunan disebut seabgai Anti Turunan. Teorema atau pernyataan fundamental kalkulus menyebutkan bahwa antiturunan merupakan sama dengan integrasi. Turunan dan juga integral merupakan 2 buah fungsi penting yang ada di dalam kalkulus. Simbol lainnya selain simbol y’ dan y” yaitu Seperti yang telah kita sebutkan di atas, Turunan Fungsi atau yang disebut jua sebagai diferensial merupakan suatu fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya. Contohnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai yang tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari materi kalkulus dipikirkan pada waktu yang bersamaan oleh seorang Ilmuan Ahli matematika sekaligus Fisika berkebangsaan inggris yang bernama Sir Isaac Newto (1642 – 1727). Serta oleh seorang ahli matematika berbangsa Jerman yang bernama Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716). Turunan atau diferensial dipakai sebagai sebuah alat untuk menyelesaikan berbagai permasalah yang dijumpai di dalam bidang geometri dan mekanika. Konsep turunan fungsi secara universal atau menyeluruh banyak sekali dimanfaatkan di dalam berbagai bidang keilmuan. Sebut saja dalam bidang ekonomi: yang dipakai guna menghitung berupa, biaya total atau total penerimaan. Pada bidang biologi: dipakai untuk menghitung laju pertumbuhan organisme. Pada bidang fisika: di pakai untuk menghitung kepadatan kawat. Pada bidangkimia: dipakai untuk menghitung laju pemisahan. Serta pada bidang geografi dan juga sosiologi: yang dipakai untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk serta masih banyak lagi. 2. Aturan menentukan turunan fungsi matematikaTurunan bisa kita tentukan tanpa adanya proses limit. Untuk kebutuhan ini dirancang teorema atau pernyataan mengenai turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan juga turunan fungsi invers. Informasi selengkapnya simak pembahasan berikut ini: 1. Turunan dasar matematikaBeberapa aturan dalam turunan fungsi antara lain:
2. Turunan jumlah, selisih, hasil kali, serta hasil bagi dua fungsiContohnya fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan sebagai berikut:
3. Turunan fungsi invers(f-1)(y) = 1/(f’ (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy) 3. Rumus Dasar Turunan dari Turunan FungsiBeberapa aturan yang ada di dalam turunan fungsi antara lain:
Rumus dasar dari turunan fungsi sangat penting untuk kalian ingat. Sebab rumus ini akan kalian pakai untuk menyelesaikan persoalan dari turunan fungsi aljabar. 4. Rumus Turunan Fungsi Al JabarBerikut ini adalah rumus-rumus turunan fungsi aljabar, diantaranya yaitu: 1. Rumus Turunan Fungsi Pangkat Turunan Fungsi berbentuk pangkat, turunannya bisa memakai rumus: sebagai berikut:Sehingga, rumus turunan fungsi pangkatnya adalah: 2. Rumus turunan hasil kali fungsiRumusan Fungsi f(x) turunan yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), adalah sebagai berikut: Sehingga, rumus turunan fungsinya yaitu: f'(x) = u’v +uv’ 3. Rumus turunan fungsi pembagianSehingga, rumus turunan fungsinya yaitu: 4. Rumus turunan pangkat dari fungsiPerlu diingat, jika f(x) = xn , maka dari itu: Sehingga, rumus turunan fungsinya yaitu: f'(x) = nu(n – 1) . u’ 5. Turunan Fungsi AljabarDefinisi Turunan Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan oleh: dengan syarat limitnya ada. Notasi Turunan Turunan pertama fungsi y = f(x) pada x bisa kita notasikan seperti berikut ini:
Dari definisi di atas bisa kita turunkan beberapa rumus turunan seperti di bawah ini:
dengan k = konstan Perhatikan beberapa contoh berikut ini:
Untuk mencari turunan dari fungsi yang memuat bentuk akar atau pecahan, langkah pertama yang harus kita lakukan yaitu merubah terlebih dahulu fungsi tersebut ke dalam bentuk pangkat (eksponen). Berikut terdapat beberapa sifat akar dan pangkat yang sering dipakai, atara lain:
Contoh: Soal 1. Tentukan turunan dari f(x) = x√x Jawab:
Soal 2. Tentukan turunan dari Jawab: 4. Turunan Perkalian dan Pembagian Dua FungsiMisalkan y = uv, maka turunan dari y bisa dinyatakan sebagai: y’ = u’v + uv’ Misalkan y = u/v, maka turunan dari y dapat dinyatakan sebagai: Contoh Soal. Soal 1. Turunan dari f(x) = (2x + 3)(x2 + 2) yaitu: Jawab: Misalkan:
5. Aturan RantaiApabila y = f(u), dengan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan pada x, maka turunan y terhadap x bisa dinyatakan dalam bentuk: Dari konsep aturan rantai di atas, maka untuk y = un, akan didapatkan: Secara umum bisa dinyatakan seperti berikut ini: Apabila f(x) = [u(x)]n dengan u(x) merupakan fungsi yang bisa diturunkan pada x, maka: f'(x) = n[u(x)]n-1 . u'(x) Contoh Soal. Soal 1. Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 1)4 Jawab: Misalnya:
Soal 2. Tentukan turunan dari y = (x2 − 3x)7 Jawab :
6. Turunan TrigonometriBerdasarkan definisi dari turunan, maka bisa kita dapatkan beberapa rumus turunan trigonometri yaitu sebagai berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x), antara lain: y’ =
Turunan fungsi trigonometri
7. Aplikasi Turunan1. Menentukan Gradien Garis Singgung Suatu KurvaGradien garis singgung (m) di dalam sebuah kurva y = f(x) dirumuskan seperti berikut ini: m = y’ = f'(x) Persamaan garis singgung dalam sebuah kurva y = f(x) di titik singgung (x1.y1) dapat dirumuskan menjadi seperti berikut ini: y – y = m(x – x1) → m = f'(x1) 2. Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun
3. Menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan jenisnyaApabila fungsi y = f(x) kontinu serta diferensiabel di x = a dan juga f'(x) = 0, maka fungsi mempunyai nilai statisioner di x = a. Jenis nilai stasioner dari fungsi y = f(x) bisa berwujud nilai balik minimum, nilai balik maksimum, ataupun nilai belok. Jenis nilai stasioner ini dapat kita cari dengan memakai menggunakan turunan kedua dari fungsi tersebut.
Apabila f'(x) = 0 serta f’ (x) < 0, maka f'(x1) merupakan nilai balik maksimum dari fungsi y = f(x) serta titik (x1 f(x)) merupakan titik balik maksimum dari kurva y = f(x).
Apabila f'(x) = 0 dan → f’ (x) > 0, maka f(x1) merupakan nilai balik minimum dari fungsi y = f (x) serta titik (x1 f(x)) merupakan titik balik minimum dari kurva y = f(x).
Apabila f'(x) = 0 serta f” (x) = 0, maka f'(x1) merupakan nilai belok dari fungsi y = f(x) serta titik (x1 f(x)) merupakan titik belok dari kurva y = f(x). 4. Menyelesaikan soal limit berbentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞Apabila adalah limit berbentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞ maka penyelesaiannya bisa dengan memakai turunan, yakni f(x) serta g(x) masing-masing diturunkan.Apabila dengan turunan pertama telah dihasilkan bentuk tertentu, maka bentuk tertentu itu merupakan cara penyelesaiannya. Namun apabila dengan menggunakan turunan pertama masih dihasilkan bentuk tak tentu, maka masing-masing f(x) dan juga f(x) diturunkan lagi hingga didapatkan hasil berbentuk tertentu. Cara dari penyelesaian seperti ini disebut sebagai Dalil L’hopital. 5. Menentukan rumus kecepatan dan percepatanApabila rumus atau persamaan posisi gerak pada sebuah benda sebagai fungsi waktu diketahui yakni s = f(t), maka rumus kecepatan serta kecepatannya bisa dicari, yakni:
8. Contoh Soal dan PembahasanSoal 1. Tentukanlah turunan fungsi dari f(x) = 2x(x4 – 5). Jawab: Misalkan jika u(x) = 2x dan v(x) = x4 – 5, maka:
Dengan begitu, akan didapatkan penjabaran serta hasilnya:
Soal 2. Soal Turunan Fungsi Aljabar Turunan fungsi pertama dari yaitu …Jawab: Soal ini merupakan soal fungsi yang berbentuk y = aun yang dapat dibahas dan diselesaikan dengan menggunakan rumus y’ = n . a . un-1. Maka: Sehingga turunannya adalah: Soal 3. Turunan Fungsi Trigonometri Tentukan turunan pertama dari: Jawab: Untuk menyelesaikan perosalan di atas, kita bisa memanfaatkan rumus campuran yakni:
Sehingga: Soal 4. Turunan dari f(x) = (x – 1)2(2x + 3) adalah… Jawab: Misalkan:
Soal 5. Apabila f(x) = x² – (1/x) + 1, maka f'(x) = . . . .
Jawab:
= 2x + x-2 Jawabannya: E Soal 6. Aplikasi Turunan Hitunglah nilau maksimum dari f(x) = x – 6x + 9x dalam interval -1 ≤ x ≤ 3. Jawab: Ingat kembali syarat nilai fungsi f(x) maksimum yaitu f’ (x) = 0 dan → f” (x) < 0, sehingga; fmax jika f’ (x) = 0 3x2 – 12x + 9 = 0 dan x = 1 dan x = 3 fmax = f(1) = 13 – 6 . 12 + 9 . 1 Sehingga, nilai maksimum dari soal di atas adalah 4 (empat). Demikianlah ulasan singkat mengenai turunan matematika yang memuat turunan fungsi aljabar, trigonometri dan aplikasi turunan yang dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas mengenai turunan matematika dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian. |