Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai penentuan luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan menggunakan konsep integral. Perlu diperhatikan bahwa integral yang digunakan adalah integral standar [bukan integral lipat yang dipelajari pada kalkulus lanjut]. Materi ini dipelajari saat kelas XI Matematika Wajib [SMA] dan diperdalam pada Matematika Peminatan. Gambar grafik yang ada di sini merupakan produk dari penggunaan aplikasi GeoGebra. Soal juga tersedia dalam format PDF dan dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut: Download [PDF, 1 MB]. Show
Today QuoteYou don’t need to be perfect. Just be better than you were yesterday. Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut dapat dinyatakan dengan rumus $\cdots \cdot$ B. $L = \displaystyle \int_{-2}^3 [-x^2+x+6]~\text{d}x$ C. $L = \displaystyle \int_{-2}^3 [x^2-x-6]~\text{d}x$ D. $L = \displaystyle \int_{2}^{-3} [x^2-x+6]~\text{d}x$ E. $L = \displaystyle \int_{2}^{-3} [-x^2+x+6]~\text{d}x$ Daerah yang diarsir terbatas pada selang titik potong kedua kurva. Baca : Soal dan Pembahasan – Fungsi Kuadrat Soal Nomor 2Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut dinyatakan dalam rumus $\cdots \cdot$ B. $\displaystyle \int_0^5 [-x-[-x^2+6x]]~\text{d}x$ C. $\displaystyle \int_0^3 [[-x^2+6x]-x]~\text{d}x$ D. $\displaystyle \int_0^5 [x-[-x^2+6x]]~\text{d}x$ E. $\displaystyle \int_0^5 [[-x^2+6x]+x]~\text{d}x$ Daerah yang diarsir terbatas pada selang titik potong kedua kurva. Soal Nomor 3Luas daerah yang diarsir pada gambar dinyatakan dengan rumus $\cdots \cdot$ Titik potong kurva lingkaran dan parabola adalah pada titik asal dan pada titik $[2, 0]$ [dapat dilihat pada gambar]. Perhatikan bahwa $x^2+y^2=\color{red}{4}$ merupakan persamaan lingkaran yang berjari-jari $r = \sqrt{\color{red}{4}} = 2.$ Baca: Soal dan Pembahasan – Gradien dan Persamaan Garis Lurus Soal Nomor 4Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2$, $y=1$, dan $x=2$ adalah $\cdots \cdot$ Gambarkan sketsa setiap kurva, lalu arsir daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva tersebut.Perhatikan bahwa daerah yang diarsir terbatas pada selang absis titik $A$ dan $C$. Dapat ditentukan bahwa koordinat titik $A$ adalah $[1, 1]$ [dengan substitusi $y = 1$ pada $y = x^2]$ dan koordinat titik $C$ adalah $[2, 1].$ Ini artinya, batas bawah integral adalah $x = 1$ dan batas atasnya $x=2.$ Karena kurva $y=x^2$ selalu berada di atas kurva $y = 1$ pada selang tersebut, maka integral tentu yang menyatakan luas daerah yang diarsir itu adalah $$\boxed{L = \displaystyle \int_{1}^2 [y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}}]~\text{d}x = \int_1^2 [x^2-1]~\text{d}x}$$[Jawaban C] Soal Nomor 5Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut dapat dinyatakan oleh $\cdots \cdot$ B. $\displaystyle \int_{-1}^0 [x^2+2x+1]~\text{d}x + \int_0^5 [5-x]~\text{d}x$ C. $\displaystyle \int_{-1}^1 [x^2+2x+1]~\text{d}x + \int_1^5 [5-x]~\text{d}x$ D. $\displaystyle \int_{-1}^1 [x^2+2x+1]~\text{d}x + \int_0^5 [5-x]~\text{d}x$ E. $\displaystyle \int_0^1 [5-x]~\text{d}x + \int_1^5 [x^2+2x+1]~\text{d}x$ Untuk menghitung luas daerah yang diarsir dengan menggunakan integral, kita harus partisi daerahnya terlebih dahulu dengan garis tegak $x = 1$ sebagai pembatas.Pada selang $[-1, 1]$, dibuat batang tegak dengan puncaknya menyentuh kurva $y=x^2+2x+1$ dan dasarnya menyentuh sumbu $X$. Ini artinya luas daerah yang dibatasi oleh keduanya pada selang $[-1, 1]$ dapat dihitung dengan integral tentu: $A_1 = \displaystyle \int_{-1}^1 [x^2+2x+1]~\text{d}x.$ Pada selang $[1, 5]$, dibuat batang tegak dengan puncaknya menyentuh kurva $y=5-x$ dan dasarnya menyentuh sumbu $X$. Ini artinya luas daerah yang dibatasi oleh keduanya pada selang $[1,5]$ dapat dihitung dengan integral tentu: $A_2 = \displaystyle \int_{1}^5 [5-x]~\text{d}x.$ Dengan demikian, luas daerah yang diarsir dapat dinyatakan dengan rumus $$\boxed{A_1+A_2 = \displaystyle \int_{-1}^1 [x^2+2x+1]~\text{d}x+\int_1^5 [5-x]~\text{d}x}$$[Jawaban C] Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Jumlah Riemann Soal Nomor 6Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=3-x^2$ dan $y=2|x|$ adalah $\cdots \cdot$ Pertama, gambarkan dulu sketsa grafik kedua fungsi pada bidang koordinat. Kedua, arsir daerah yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut. Kita partisi daerahnya dengan pembatas sumbu $Y$. Daerah $A_1$ merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva $y=3-x^2$ dan $y=-2x$, sedangkan daerah $A_2$ merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva $y=3-x^2$ dan $y=2x$.Jika diperhatikan, ternyata luas $A_1$ sama dengan luas $A_2$ karena kedua kurva tersebut simetris terhadap sumbu $Y$. Jadi, dapat ditulis $A_1 = A_2$ sehingga luas daerah yang diarsir dapat dinyatakan oleh $2A_1$ [pilih salah satu saja]. Pada selang $[-1, 0]$, kurva $y=3-x^2$ selalu berada di atas kurva $y=-2x$ sehingga integral tentu yang menyatakan luas $A_1$ adalah $\begin{aligned} A_1 & = \displaystyle \int_{-1}^0 [y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}}]~\text{d}x \\ & = \int_{-1}^0 [[3-x^2]-[-2x]]~\text{d}x \\ & = \int_{-1}^0 [-x^2+2x+3]~\text{d}x \end{aligned}$ Luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{2A_1 = 2 \displaystyle \int_{-1}^0 [-x^2+2x+3]~\text{d}x}$ [Jawaban E] Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi dengan Menggunakan Limit Soal Nomor 7Luas daerah yang dibatasi garis $y=\dfrac12$ dan kurva $y=\dfrac{x^2}{1+x^2}$ dapat dinyatakan sebagai integral tentu, yaitu $\cdots \cdot$ Pertama, kita akan menentukan titik potong kedua kurva yang akan menjadi batas integralnya. Caranya adalah dengan menyamakan kedua fungsi. Soal Nomor 8Luas daerah $D$ yang dibatasi oleh kurva $y = x^2$ di kuadran I, garis $x + y =2$, garis $y=4$, serta sumbu $Y$ adalah $\cdots$ satuan luas. A. $2\dfrac16$ D. $4\dfrac13$ B. $3\dfrac16$ E. $4\dfrac12$ C. $4\dfrac16$ Pertama, gambarkan dulu ketiga kurvanya. Kurva $y=x^2$ berbentuk parabola yang terbuka ke atas dengan puncak di $[0,0]$. Kurva $x + y = 2$ ekuivalen dengan $y = 2-x$ berupa garis lurus yang melalui $[2, 0]$ dan $[0, 2]$. Kurva $y = 4$ berupa garis mendatar. Perhatikan bahwa koordinat titik potong kurva $y=x^2$ dan $y=2-x$ dapat ditentukan dengan menyamakan kedua fungsinya. Selanjutnya, arsirlah daerah yang dibatasi oleh ketiga kurva tersebut, kemudian kita partisi menjadi $2$ daerah, yaitu $A_1$ dan $A_2$. $$\begin{aligned} L_{A_1}& = \displaystyle \int_0^1 [y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}}]~\text{d}x \\ & = \int_0^1 [4-[2-x]]~\text{d}x \\ & = \int_0^1 [x+2]~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac12x^2+2x\right]_0^1 \\ & = \left[\dfrac12[1]^2+2[1]\right]-[0+0] \\ & = \dfrac12+2 = 2\dfrac12 \end{aligned}$$Daerah $A_2$ dibatasi oleh kurva $y=4$, garis $x=1$, dan $y=x^2$ pada selang $[1, 2]$. Karena garis $y=4$ selalu berada di atas kurva $y = x^2$, maka integral tentu yang menyatakan luas $A_2$ adalah sebagai berikut beserta perhitungannya. $$\begin{aligned} L_{A_2}& = \displaystyle \int_1^2 [y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}}]~\text{d}x \\ & = \int_1^2 [4-x^2]~\text{d}x \\ & = \left[4x-\dfrac13x^3\right]_1^2 \\ & = \left[4[2]-\dfrac13[2]^3\right]-\left[4[1]-\dfrac13[1]^3\right] \\ & = 8-\dfrac83-4+\dfrac13 \\ & = 4-\dfrac73 = 1\dfrac23 \end{aligned}$$Dengan demikian, luas daerah yang diarsir secara keseluruhan adalah $\boxed{2\dfrac12 + 1\dfrac23 = 4\dfrac16}$ satuan luas. Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Integral Tentu Soal Nomor 9Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2+4x+6$ dan garis $y=2-x$ adalah $\cdots$ satuan luas. Cara 1: Menggunakan Integral Gambarkan sketsa grafik dari fungsi $y = x^2+4x+6$ dan $y = 2-x$ pada bidang Kartesius. $$\begin{aligned} L & = \displaystyle \int_{-4}^{-1} [y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}}]~\text{d}x \\ & = \int_{-4}^{-1} [[2-x]-[x^2+4x+6]~\text{d}x \\ & = \int_{-4}^{-1} [-x^2-5x-4]~\text{d}x \\ & = \left[-\dfrac13x^3-\dfrac52x^2-4x\right]_{-4}^{-1} \\ & = \left[-\dfrac13[-1]^3-\dfrac52[-1]^2-4[-1]\right]-\left[-\dfrac13[-4]^3-\dfrac52[-4]^2-4[-4]\right] \\ & = \left[\dfrac13-\dfrac52+4\right]-\left[\dfrac{64}{3}-40+16\right] \\ & = \dfrac{11}{6}+\dfrac83 = \dfrac{27}{6} = \dfrac92 \end{aligned}$$Cara 2: Menggunakan Diskriminan Jika kita menyamakan kedua fungsi, kita peroleh $\begin{aligned} y & = y \\ x^2+4x+6 & = 2-x \\ x^2+5x+4 & = 0 \end{aligned}$ Persamaan kuadrat di atas berbentuk $ax^2+bx+c=0$ dengan $a = 1$, $b = 5,$ dan $c = 4$. Nilai diskriminannya adalah $\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = [5]^2-4[1][4] \\ & = 25-16=9 \end{aligned}$ Luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva itu dapat dihitung dengan menggunakan formula: $\boxed{L = \dfrac{D\sqrt{D}}{6a^2}}$ Karena $D = 9$ dan $a = 1$ [koefisien $x^2]$, kita peroleh $L = \dfrac{\cancelto{3}{9}\sqrt{9}}{\cancelto{2}{6}[1]^2} = \dfrac92.$ Luas daerah yang diarsir ditentukan oleh rumus $L = \left|\dfrac{a}{6}[\Delta x]^3\right|$, yaitu $L= \left|\dfrac{1}{6}[-1-[-4]]^3\right| = \dfrac16 \cdot 27 = \dfrac{9}{2}.$ Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{\dfrac92}$ satuan luas. [Jawaban C] Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri Soal Nomor 10Perhatikan gambar berikut. A. $\dfrac72$ C. $\dfrac{11}{2}$ E. $3$ B. $\dfrac92$ D. $\dfrac{9}{5}$ Daerah yang diarsir terbatas pada selang titik potong kedua kurva. $$\begin{aligned} L & \displaystyle \int_{-2}^1 [y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}}]~\text{d}x \\ & = \int_{-2}^1 [[2-x]-[x^2]]~\text{d}x \\ & = \int_{-2}^1 [-x^2-x+2]~\text{d}x \\ & = \left[-\dfrac13x^3-\dfrac12x^2+2x\right]_{-2}^1 \\ & = \left[-\dfrac13[1]^3-\dfrac12[1]^2+2[1]\right]-\left[-\dfrac13[-2]^3-\dfrac12[-2]^2+2[-2]\right] \\ & = \left[-\dfrac13-\dfrac12+2\right]-\left[\dfrac83-2-4\right] \\ & = \dfrac76-\left[-\dfrac{10}{3}\right] = \dfrac{27}{6} = \dfrac92 \end{aligned}$$Cara 2: Menggunakan Diskriminan Jika kita menyamakan kedua fungsi, kita peroleh $\begin{aligned} y & = y \\ x^2 & = 2-x \\ x^2+x-2 & = 0 = 0 \end{aligned}$ Persamaan kuadrat di atas berbentuk $ax^2+bx+c=0$ dengan $a = 1$, $b = 1$, dan $c = -2$. Nilai diskriminannya adalah $\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = [1]^2-4[1][-2] \\ & = 1+8 = 9 \end{aligned}$ Luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva itu dapat dihitung dengan menggunakan formula: $\boxed{L = \dfrac{D\sqrt{D}}{6a^2}}$ Karena $D = 9$ dan $a = 1$ [koefisien $x^2$], kita peroleh $L = \dfrac{\cancelto{3}{9}\sqrt{9}}{\cancelto{2}{6}[1]^2} = = \dfrac92$
Cara 3: Menggunakan Selisih Absis Titik Potong [Jawaban B] Soal Nomor 11Gambar berikut menunjukkan bagian kurva $y = x^2$ dan sebuah persegi panjang dengan dua titik sudutnya pada $[0,0]$ dan $[c, 0]$. A. $3 : 4$ D. $2 : 3$ B. $3 : 2$ E. $4 : 3$ C. $5 : 4$ Perhatikan bahwa koordinat titik potong parabola $y = x^2$ dan garis tegak $x = c$ adalah $[c, c^2]$. Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan [Diferensial] Soal Nomor 12Jika $b>0$ dan $\displaystyle \int_0^b x~\text{d}x = \int_0^b x^2~\text{d}x$, maka luas daerah yang diraster pada gambar berikut adalah $\cdots \cdot$ B. $\dfrac16$ D. $\dfrac13$ Daerah yang diarsir [diraster] dibatasi oleh kurva $y=x^2$, $y = x$, dan $x=b$ pada selang $[1, b]$. Perhatikan bahwa kurva $y=x^2$ selalu berada di atas kurva $y=x$ sehingga luasnya ditentukan dengan integral berikut. Soal Nomor 13Pada interval $-10 \leq x \leq 0$, luas daerah di bawah kurva $y=x^2$ dan di atas garis $y=kx$ sama dengan luas daerah di atas kurva $y=x^2$ dan di bawah garis $y=kx$. Nilai $k = \cdots \cdot$ Absis titik potong kurva $y = x^2$ dan $y=kx$ dapat dicari dengan menyamakan kedua fungsinya. Soal Nomor 14Sebuah daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2+a$, garis $y=-x+a$, dan garis $x=a$ mempunyai luas $\dfrac13a$. Nilai dari $10a$ adalah $\cdots \cdot$ Karena $L = \dfrac13a$, maka kita simpulkan bahwa $a > 0.$ Sketsa kurva $x = a$ berupa garis tegak. Perhatikan bahwa pada selang itu, kurva $y=x^2+a$ selalu berada di atas kurva $y = -x+a$ sehingga luas daerah yang diarsir ditentukan oleh integral tentu berikut. $\begin{aligned} L & = \displaystyle \int_{0}^a [[x^2+a]-[-x+a]]~\text{d}x \\ & = \int_0^a [x^2+x]~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac13x^3+\dfrac12x^2\right]_0^a \\ & = \left[\dfrac13a^3+\dfrac12a^2\right]-0 \\ & = \dfrac{a^3}{3}+\dfrac{a^2}{2} \end{aligned}$ Karena diketahui luasnya $\dfrac13a$, maka diperoleh persamaan $\begin{aligned} \dfrac{a^3}{3}+\dfrac{a^2}{2} & = \dfrac13a \\ \text{Kalikan}~6~\text{di kedua}&~\text{ruas} \\ 2a^3-3a^2 & = 2a \\ 2a^3+3a^2-2a & = 0 \\ a[2a^2+3a-2] & = 0 \\ a[2a+4][2a-1] & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $a = 0$ atau $a = -2$ atau $a = \dfrac12$. Karena $a$ harus positif, maka dipilih $a = \dfrac12$. Dengan demikian, nilai $\boxed{10a = 10 \cdot \dfrac12 = 5}$ [Jawaban B] Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Volume Benda Putar Menggunakan Integral Soal Nomor 15Perhatikan gambar berikut. A. $\dfrac34$ C. $\dfrac94$ E. $\dfrac{27}{4}$ B. $\dfrac92$ D. $\dfrac{27}{2}$ Perhatikan sketsa gambar berikut. $$\boxed{\displaystyle \int_0^k \left[x-\dfrac13x^2\right]~\text{d}x = \int_k^3 \left[x-\dfrac13x^2\right]~\text{d}x}$$Selesaikan integral tentu pada tiap ruas, sederhanakan, dan cari nilai $9k^2-2k^3.$ $$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^k \left[x-\dfrac13x^2\right]~\text{d}x & = \int_k^3 \left[x-\dfrac13x^2\right]~\text{d}x \\ \left[\dfrac12x^2-\dfrac19x^3\right]_0^k & = \left[\dfrac12x^2-\dfrac19x^3\right]_k^3 \\ \left[\dfrac12k^2-\dfrac19k^3\right]-\left[\dfrac12[0]^2-\dfrac19[0]^3\right] & = \left[\dfrac12[3]^2-\dfrac19[3]^3\right]-\left[\dfrac12k^2-\dfrac19k^3\right] \\ \dfrac12k^2-\dfrac19k^3-0 & = \dfrac92-3-\dfrac12k^2+\dfrac19k^3 \\ k^2-\dfrac29k^3 & = \dfrac32 \\ \text{Kali 9 pada}&~\text{kedua ruas} \\ 9k^2-2k^3 & = \dfrac{27}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{9k^2-2k^3 = \dfrac{27}{2}}$ [Jawaban D] Soal Nomor 16Diberikan suku banyak $p[x] = ax^2+bx+c.$ Jika $b$ dan $c$ dipilih secara acak dari selang $[0, 2],$ maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah $\cdots \cdot$ Suku banyak [berbentuk fungsi kuadrat] $p[x] = ax^2+bx+c$ tidak memiliki akar, artinya tidak ada nilai $x$ yang membuat $p[x] = 0,$ terjadi ketika diskriminannya bernilai kurang dari $0.$ Diketahui bahwa koefisien $x^2$ sama dengan $a = 0.$ $$\begin{aligned} D < 0 \\ b^2-4ac & < 0 \\ b^2-4[1][c] & < 0 \\ b^2-4c & < 0 \\ b^2 & < 4c \\ \dfrac{b^2}{4} & < c \end{aligned}$$Buatlah fungsi baru $f[x] = \dfrac{x^2}{4}$ dengan $x$ merepresentasikan $b$ dan $f[x]$ merepresentasikan $c,$ kemudian batasi daerahnya pada selang $[0, 2]$ seperti gambar. Luas daerah yang diarsir dapat dicari dengan menggunakan integral. $$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^2 [y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}}]~\text{d}x & = \int_0^2 \left[2-\dfrac{x^2}{4}\right]~\text{d}x \\ & = \left[2x-\dfrac{1}{12}x^3\right]_0^2 \\ & = 2[2]-\dfrac{1}{12}[2]^3-[0-0] \\ & = 4-\dfrac23 \\ & = \dfrac{10}{3} \end{aligned}$$Luas daerah pada rentang $[0, 2]$ secara keseluruhan adalah $2 \cdot 2 = 4.$ Jadi, peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah $\boxed{\dfrac{10/3}{4} = \dfrac56}$ [Jawaban E] Bagian Uraian Soal Nomor 1Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x-3$ dan sumbu $X$ dalam selang: Langkah 1: $f[x] = x-3$ merupakan fungsi linear yang grafiknya berupa garis lurus. Untuk menggambar garis lurus, kita hanya perlu dua titik. Dua titik itu biasanya dipilih sebagai titik potong kedua sumbu koordinat. Titik potong grafik terhadap sumbu $X$ adalah $Q[3, 0]$, sedangkan titik potong grafik terhadap sumbu $Y$ adalah $P[0, -3]$. Grafiknya ditunjukkan pada gambar di bawah.Langkah 2: Perhatikan selang di mana daerah di bawah grafik yang diminta bernilai positif atau negatif. Jawaban a] Untuk selang $[3,7]$, grafik $y=x-3$ seluruhnya berada di atas sumbu $X$ sehingga luas daerah yang dibatasi oleh grafik itu dan sumbu $X$ bisa dihitung dengan integral berikut. $\begin{aligned} A_1 & = \displaystyle \int_3^7 [x-3]~\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}-3x\right]_3^7 \\ & = \left[\dfrac{7^2}{2}-3[7]\right]-\left[\dfrac{3^2}{2}-3[3]\right] \\ & = \left[\dfrac{49}{2}-21\right]-\left[\dfrac92-9\right] \\ & = \left[\dfrac{49}{2}-\dfrac92\right]-21+9 \\ & = 20-21+9 = 8 \end{aligned}$ Jadi, luas daerah pada selang tersebut adalah $\boxed{A_1 = 8}$ satuan luas. Jawaban b] Untuk selang $[0,3]$, grafik $y=x-3$ seluruhnya berada di bawah sumbu $X$ sehingga luas daerah yang dibatasi oleh grafik itu dan sumbu $X$ bisa dihitung dengan integral berikut dan tanda negatifnya diabaikan. $\begin{aligned} A_2 & = \displaystyle \int_0^3 [x-3]~\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}-3x\right]_0^3 \\ & = \left[\dfrac{3^2}{2}-3[3]\right]-\left[\dfrac{0^2}{2}-3[0]\right] \\ & = \left[\dfrac{9}{2}-9\right]-[0-0] = -4\dfrac12 \end{aligned}$ Abaikan tanda negatif. Jadi, luas daerah pada selang tersebut adalah $\boxed{A_2 = 4\dfrac12}$ satuan luas. Soal Nomor 2Dengan menggunakan integral, tentukan perbandingan luas daerah $A$ dan $B$ pada gambar berikut. Daerah $A$ dibatasi oleh garis $y=x+2$ dan sumbu $X$ pada selang $[-2, 0]$. Soal Nomor 3Tentukan luas daerah yang diarsir berikut. Daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva $y=x^2-3x$ dan sumbu $X$ pada selang $[-1, 4]$. Soal Nomor 4Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2-2x$ dan $y = 6x-x^2$ pada selang $[0, 4]$. Cara 1: Menggunakan Integral Soal Nomor 5Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=-x^2+4x$ dan sumbu $X$ dari $x=1$ sampai dengan $x=5$. Pertama, gambarkan dulu kurva $y = -x^2+4x$. Kurvanya berbentuk parabola yang terbuka ke bawah dengan titik potong terhadap sumbu $X$ di $[0,0]$ dan $[4,0]$ serta memiliki sumbu simetri $x = 2$. Setelah itu, beri arsiran daerah yang dibatasi oleh parabola dan sumbu $X$ dari selang $[1, 5]$.Pada selang $[1, 4]$, daerah arsiran berada di atas sumbu $X$ sehingga luasnya dapat ditentukan dengan menggunakan integral tentu berikut. $$\begin{aligned} A_1 & = \displaystyle \int_1^4 [-x^2+4x]~\text{d}x \\ & = \left[-\dfrac13x^3+2x^2\right]_1^4 \\ & = \left[-\dfrac13[4]^3+2[4]^2\right]-\left[-\dfrac13[1]^3+2[1]^2\right] \\ & = \left[\dfrac{-64}{3}+32\right]-\left[-\dfrac13+2\right] \\ & = -\dfrac{63}{3} + 30 = -21+30 = 9 \end{aligned}$$Untuk selang $[4, 5]$, daerah arsirannya berada di bawah sumbu $X$ sehingga luasnya dapat ditentukan dengan menggunakan integral berikut [perhatikan bahwa batas atas/bawah kita tukar posisinya]. $$\begin{aligned} A_2 & = \displaystyle \int_5^4 [-x^2+4x]~\text{d}x \\ &= \left[-\dfrac13x^3+2x^2\right]_5^4 \\ & = \left[-\dfrac13[4]^3+2[4]^2\right]- \left[-\dfrac13[5]^3+2[5]^2\right] \\ & = \left[\dfrac{-64}{3}+32\right]-\left[-\dfrac{125}{3}+50\right] \\ & = \dfrac{61}{3}-18 = 2\dfrac13 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah arsiran seluruhnya adalah $\boxed{A_1+A_2 = 9+2\dfrac13 = 11\dfrac13}$ satuan luas. Soal Nomor 6Dari gambar berikut, tentukan perbandingan luas daerah $A_1$ dan $A_2$ dengan menggunakan integral. Daerah $A_1$ merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva $y=-x^3$ dan sumbu $X$ pada selang $[-1, 0]$. Soal Nomor 7Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva $y = \sqrt{x}$, $x+y-6=0$, dan sumbu $Y$ dengan mengikuti langkah berikut.
Jawaban a] Berikut adalah sketsa grafik kedua kurva tersebut beserta daerah yang akan kita cari luasnya. Daerah yang diarsir berada pada selang $[0, 4]$. Perhatikan bahwa kurva $y =6-x$ selalu berada di atas kurva $y=\sqrt{x}$ pada selang tersebut sehingga integral tentu yang menyatakan luasnya adalah $$\displaystyle \int_0^4 [y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}}]~\text{d}x = \int_0^4 [6-x-\sqrt{x}]~\text{d}x$$Jawaban c] Akan dihitung hasil dari integral tentu pada jawaban b untuk menentukan luas daerah yang diarsir. $$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^4 [6-x-\sqrt{x}]~\text{d}x & = \left[6x-\dfrac12x^2-\dfrac23x^{\frac32}\right]_0^4 \\ & = \left[6[4]-\dfrac12[4]^2-\dfrac23[4]^{\frac32}\right]-[0-0-0] \\ & = \left[24-8-\dfrac{16}{3}\right] = 16-5\dfrac13 = 10\dfrac23 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah $\boxed{10\dfrac23}$ satuan luas. Soal Nomor 8Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut. Kita partisi daerah yang diarsir menjadi $2$ bagian, yaitu daerah $A$ dan $B.$ Soal Nomor 9Perhatikan gambar berikut. Gambar di atas merupakan sketsa sisi samping sebuah jembatan. Lengkungan jembatan dapat direpresentasikan oleh kurva $y = 4-x^2$. Berapakah luas sisi samping jembatan itu [daerah yang diarsir]? Daerah yang diarsir dibatasi oleh garis mendatar $y=5$ dan parabola $y=4-x^2$ pada selang $[-2, 2]$. Selain itu, tampak bahwa garis $y=5$ selalu berada di atas kurva $y=4-x^2$ pada selang tersebut. Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Integral Parsial Soal Nomor 10Seorang perancang grafis diberi tugas menciptakan sebuah logo untuk kedipan bayangan mata [blink eye shadow] seperti gambar. b. Hitunglah luas daerah yang diraster. Jawaban a] Perhatikan gambar berikut. $$\begin{aligned} h[x] & = g[x]-f[x] \\ & = [-x^2+3x+10]-[x^2-7x+10] \\ & = -2x^2+10x \end{aligned}$$Selanjutnya kita cari batas dari daerah yang diarsir dengan menentukan titik potong kedua kurva. Batas daerah tersebut telah dihitung sebelumnya, yaitu $x=0$ dan $x=5$. Dengan demikian, luas daerah yang diarsir dapat dinyatakan oleh integral berikut. $$\begin{aligned} A & = \displaystyle \int_0^5 h[x]~\text{d}x = \int_0^5 [-2x^2+10x]~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac{-2x^3}{3}+5x^2\right]_0^5 \\ & = \left[\dfrac{-2[5]^3}{3}+5[5]^2\right]-0 \\ & = \dfrac{-250}{3}+125 = 41\dfrac23 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{A=41\dfrac23}$ satuan luas. Video yang berhubungan |