You're Reading a Free Preview
You're Reading a Free Preview
Matematikastudycenter.com- Contoh soal dan pembahasan suku banyak dan teorema sisa matematika 11 SMA. Perhatikan contoh-contoh soal suku banyak berikut ini: Soal No. 1 Diberikan suku banyak F(x) = 3x3 + 2x − 10. Dengan cara substitusi, tentukan nilai dari F(2) Pembahasan F(x) = 3x3 + 2x − 10 Soal No. 2 Diberikan suku banyak F(x) = 3x3 + 2x − 10. Dengan cara Horner, tentukan nilai dari F(2), cocokkan dengan jawaban nomor soal nomor 1 di atas! Pembahasan Bikin layoutnya dulu seperti di bawah ini, perhatikan asalnya angka 3, 0, 2 dan – 10 nya. Ket: Setelah 3 turun ke bawah, kemudian di kali 2, hasilnya 6. Jumlahkan dengan angka di atasnya, hasilnya kemudian kalikan 2 lagi dst. Hasil akhirnya F(2) = 18, cocok dengan jawaban hasil nomor 1. Soal No. 3 Tentukan faktor-faktor yang lain! Pembahasan Untuk mencari faktor lain gunakan horner seperti berikut: Pemfaktoran dengan horner untuk nilai x = 1 Diperoleh bahwa dan 6 Sehingga faktor yang didapat adalah Faktorkan lagi, lebih mudah karena x dalam pangkat dua, diperoleh Jadi selain (x − 1) , faktor-faktor dari x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0 adalah (x + 2) dan (x − 3) Soal No. 4 Pembahasan 2x2 − 7x + 6 = (2x − 3)(x − 2) 2x − 3 = 0 x = 3/2 x − 2 = 0 Jadi akar-akar yang lain adalah 3/2 dan 2 Soal No. 5 2x3 − 9x2 + 13x − 6 = 0 Jika x1, x2 dan x3 adalah akar-akar dari persamaan di atas, tentukan: a) hasil kali akar-akar b) jumlah akar-akar Pembahasan maka berlaku a) x1 ⋅x2 ⋅ x3 = − D/A = − (−6)/2 = 6/2 = 3 b) x1 + x2 + x3 = − B/A Soal No. 6 2x4 + 5x3 − 11x2 − 20x + 12 = 0 Jika x1, x2 , x3 dan x4 adalahakar-akar dari persamaan di atas, tentukan: a) hasil kali akar-akar b) jumlah akar-akar Pembahasan maka berlaku a) x1 ⋅x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = E/A = (12)/2 = 6 b) x1 + x2 + x3 + x4 = − B/A Soal No. 7 (UN 2008) Pembahasan P(x) = x4 −15x2 −10x + n 0 = (−2)4 −15(−2)2 −10(−2) + n n = 24 Sehingga P(x) secara lengkap adalah P(x) = x4 −15x2 −10x + 24 Uji pilihan hingga mendapatkan nilai P(x) sama dengan nol seperti ini A. x − 4 → x = 4 → P(x) = (4)4 −15(4)2 −10(4) + 24 = 0 Terlihat yang menghasilkan P(x) = 0 adalah untuk x = 4, sehingga faktor lainnya adalah (x − 4). Dicoba: E. (x – 4) Soal No. 9 Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f(x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3), sisanya adalah…. A. 8x + 8 B. 8x − 8 C. −8x + 8 D. −8x − 8 E. −8x + 6 (UN 2007) Pembahasan Misal sisa pembagian dari f(x) dirumuskan S(x) = ax + b Dibagi dengan (x – 2) sisanya 24 artinya: x – 2 = 0 x = 2 S(x) = ax + b Dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20 artinya: 2x – 3 = 0 x = 3/2 S(x) = ax + b Gabungkan persamaan 1 dan 2 24 = 2a + b 20 = 3/2 a + b ______________ −4 = 1/2 a a = 8 24 = 2a + b 24 = 2(8) + b 24 = 16 + b b = 8 S(x) = 8x + 8 Soal No. 10 (UN 2011) Pembahasan Untuk (x − 1) x = 1 → P(x) = 11 2(1)4 + a(1)3 − 3(1)2 + 5(1) + b = 11 2 + a − 3 + 5 + b = 11a + b = 7 ………….(Persamaan 1) Untuk (x + 1) x = − 1 → P(x) = − 1 2(−1)4 + a(−1)3 − 3(−1)2 + 5(1) + b = −1 2 − a − 3 − 5 + b = − 1− a + b = 5 ……….(Persamaan 2) Dari Persamaan 1 dan 2 a + b = 7 − a + b= 5 __________ + 2b = 12 b = 12/2 = 6 a + b = 7 a + 6 = 7 a = 1 Sehingga Soal No. 11 Pembahasan Faktorkan dulu: Masukkan nilai x yang telah diperoleh ke f(x): Substitusikan f(-1) = 1 ini ke suku banyaknya dengan pembagi yang lain: Dengan diketahui m = -1, maka suku banyak itu adalah Soal No. 12 Pembahasan Seperti nomor sebelumnya, yaitu mencari suku banyaknya, akan dibahas dengan cara agak berbeda. Logikanya awalnya masih sama, begini misalkan kita membagi angka 23 dengan 4, maka akan diperoleh hasilnya 5 dan sisanya 3. Bisa ditulis seperti ini: 23 = 4⋅ 5 + 3 Dimana 4 sebagai pembagi 5 sebagi hasil bagi 3 sebagai sisa Terapkan pengertian sederhana ini di soal di atas, misalkan suku banyaknya adalah Dari pilihan jawaban yang ada, sudah bisa dipastikan kalau a = 1, sehingga permisalannya menjadi lebih mudah seperti ini saja: Data soalnya: Terlihat jika x diisi dengan x = − 3 atau diisi dengan x = 1, maka tinggal P(x) = 3x − 4 saja, karena sebelah kirinya yang warna merah akan menghasikan nol. P(−3) =3⋅ −3 −4 = −13 P(1)=3⋅1 − 4 = −1 Berikutnya P(x) jika dibagi jika dibagi (x2 − x − 2) sisanya 2x + 3 artinya Jika x diisi dengan x = 2 atau diisi dengan x = − 1, maka tinggal P(x) = 2x + 3 saja, karena sebelah kirinya yang warna merah akan menghasikan nol. P(2) = 2⋅2 + 3 = 7 P(−1) = 2⋅ − 1 + 3 = 1 Jadi P(−3) = − 13, P(1) = (−1), P(2) = 7 dan P(−1) = 1. Masukkan data ini ke P(x) = x3 + bx2 + cx + d, ambil data-data yang angka kecil saja: Jika dari persamaan (i) dan (ii) dengan eliminasi ataupun substitusi belum dapat ditemukan nilai b, c dan d, maka silakan lanjut ke data P(−3) = 13 dan P(2) = 7. Di soal ini nampaknya cukup dari dua persamaan di atas, dibantu dengan melihat pilihan-pilihan jawabannya. b + c + d = −2 b – c + d = 2 ——————– − 2c = − 4 c = − 2, hanya pilihan A dan B yang memenuhi, dan dari kedua pilihan itu bisa dipastikan bahwa nilai d sama dengan − 1, sehingga tinggal mencari nilai b saja. Dari persamaan (i) : b + c + d = −2 b − 2 − 1 = −2 b = 1 Jadi selengkapnya b = 1, c = − 2 dan d= − 1 atau P(x) = x3 + x2 −2x − 1 Soal No. 13 E. 1 Pembahasan Sisa = 2(1/2)3 − 7(1/2)2 + 11(1/2) − 4 Soal No. 14 E. 6 Pembahasan Menentukan nilai p terlebih dahulu, substitusikan x = − 2 2x3 − 3x2 − 11x + p = 0 2(− 2)3 − 3(− 2)2 − 11(− 2) + p = 0 −16 − 12 + 22 + p = 0 p = 28 − 22 = 6 Sehingga Hasil kali ketiga akar untuk bentuk ax3 + bx2 + cx + d = 0 adalah: = − 3 |