Hitunglah pendapatan terendah dari 10 penduduk yang berpendapatan tertinggi

Distribusi Probabilitas Normal

Distribusi Normal (Distribusi Gaus) Distribusi Normal (Distribusi Gauss)  merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik. Terminology “normal”  karena memang distribusi ini adalah yang paling banyak digunakan sebagai model bagi data riil diberbagai bidang : - antara lain karakteristik fisik mahluk hidup (berat, tinggi badan manusia, hewan dll), - kesalahan-kesalahan pengukuran dalam eksperimen ilmiah pengukuran-pengukuran intelejensia dan perilaku, - nilai skor berbagai pengujian dan berbagai ukuran dan indikator ekonomi.

KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL = Md= Mo Kurva berbentuk simetris Kurva mencapai puncak pada saat X=  Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.

DEFINISI KURVA NORMAL Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah:

Untuk setiap distribusi populasi dari suatu variabel acak yang mengikut sebuah distribusi normal, maka 68,26% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 1 x dari x , 95,46% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 2 x dari x , 99,73% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 3 x dari x 

Gambar hubungan antara luasan dan N(,2)

LUAS DI BAWAH KURVA NORMAL 68,26% 95,44% 99,74% =x Z=0 -3 -3 -2 -2 -1 -1 +1 +1 +2 +2 +3 +3 Luas antara nilai Z (-1<Z<1) sebesar 68,26% dari jumlah data. Berapa luas antara Z antara 0 dan sampai Z = 0,76 atau biasa dituis P(0<Z<0,76)? Dapat dicari dari tabel luas di bawah kurva normal. Nilainya dihasilkan = 0,2764

Sifat-Sifat Distribusi Normal: Bentuk distribusi normal ditentukan oleh μ dan σ. 1 2 μ1 = μ2 σ1 > σ2 1 2 μ1 < μ2 σ1 = σ2 1 2 μ1 < μ2 σ1 < σ2

Transformasi dari X ke Z TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z Transformasi dari X ke Z x z Distribusi Normal Baku yaitu distribusi probabilitas acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku 1 Di mana nilai Z: Z = Skor Z atau nilai normal baku X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran = Nilai rata-rata hitung suatu distribusi = Standar deviasi Z = X -  

Jika X distribusi normal dengan mean  dan deviasi standard  maka

Z > 0 jika x >  Z < 0 jika x < 

TRANSFORMASI DARI X KE Z Contoh Soal: Harga saham di BEJ mempunyai nilai tengah (X)=490,7 dan standar deviasinya 144,7. Berapa nilai Z untuk harga saham 600? Jawab: Diketahui: Nilai  = 490,7 dan  = 144,7 Maka nilai Z =( X - ) /  Z = (600 – 490,7)/144,7 Z = 0,76

Contoh : Diketahui data berdistribusi normal dengan mean  = 55 dan deviasi standar = 15 a) P(55≤x≤75) = = = P(0≤Z≤1,33) = 0,4082 (Tabel Z) Atau Tabel Z  A = 0,4082

b) P(60≤x≤80) = = P(0,33≤Z≤1,67) = P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33) = 0,4525 – 0,1293 = 0,3232 Z1 = = 0,33  B = 0,1293 Z2 = = 1,67  A = 0,4525 C = A – B = 0,3232

c) P(40≤x≤60)= A + B = = P(-1,00≤Z≤0,33) = P(-1,00≤Z≤0) + P(0≤Z≤0,33) = 0,3412 + 0,1293 = 0,4705 Atau : Z1 = = = -1,00  A = 0,3412 Z2 = = 0,33  B = 0,1293

d) P(x ≤ 40) = 0,5 – A = 0,5 – 0,3412 = 0,1588

P(x ≥ 85) P(x ≤ 85) = 0,5 + A = 0,5 + 0,4772 = 0,9772

Latihan Soal: PT GS mengklaim rata-rata berat buah mangga “B” adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen.

Jawab: Transformasi ke nilai z AP(x< 250); P(x=250) = (250-350)/50=-2,00 Jadi P(x<250)=P(z<-2,00) Lihat pada tabel luas di bawah kurva normal P(z<-2,00)=0,4772 Luas sebelah kiri nilai tengah adalah 0,5. Oleh sebab itu, nilai daerah yang diarsir menjadi 0,5 – 0,4772=0,0228. Jadi probabilitas di bawah 250 gram adalah 0,0228 (2,28%). Dengan kata lain probabilitas konsumen protes karena berat buah mangga kurang dari 250 gram adalah 2,28%.

Contoh Soal: PT Work Electric, memproduksi Bohlam Lampu yang dapat hidup 900 jam dengan standar deviasi 50 jam. PT Work Electric ingin mengetahui berapa persen produksi pada kisaran antara 800-1.000 jam, sebagai bahan promosi bohlam lampu. Hitung berapa probabilitasnya!

Jawab: P(800<X<1.000)? Hitung nilai Z Z1 = (800-900)/50 = -2,00; Z2 = (1.000-900)/50 = 2,00 Jadi: P(800<X<1.000) =P(-2,00<Z<2,00); P(-2,00<Z) = 0,4772 dan P(Z>2,00) = 0,4772 Sehingga luas daerah yang diarsir adalah = 0,4772+0,4772= 0,9544. Jadi P(800<X<1.000) = P(-2,00 < Z<2,00) = 0,9544. Jadi 95,44% produksi berada pada kisaran 800-1.000 jam. Jadi jika PT Work Electric mengklaim bahwa lampu bohlamnya menyala 800-1.000 jam, mempunyai probabilitas benar 95,44%, sedang sisanya 4,56% harus dipersiapkan untuk garansi.

PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL Apabila kita perhatikan suatu distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal. Gambar berikut menunjukkan distribusi probabilitas binomial dengan n yang semakin membesar.

DALIL PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL Bila nilai X adalah distribusi acak binomial dengan nilai tengah =np dan standar deviasi =npq, maka nilai Z untuk distribusi normal adalah:   di mana n  dan nilai p mendekati 0,5 Z = X - np npq Untuk mengubah pendekatan dari binomial ke normal, memerlukan faktor koreksi, selain syarat binomial terpenuhi: (a) hanya ada dua peristiwa, (b) peristiwa bersifat independen; (c) besar probabilitas sukses dan gagal sama setiap percobaan, (d) data merupakan hasil penghitungan.  Menggunakan faktor koreksi yang besarnya 0.5

CONTOH: Adi merupakan pedagang buah di Tangerang. Setiap hari ia membeli 300 kg buah di Pasar Induk Kramat Jati, Jakarta Timur. Probabilitas buah tersebut laku dijual dalah 80% dan 20% kemungkinan tidak laku dan busuk. Berapa probabilitas buah sebanyak 250 kg laku dan tidak busuk ? Penyelesaian: n = 300; probabilitas laku p = 0.8, dan q = 1 – 0.8 = 0.2 = np = 300 x 0.80 = 240  =  Npq =  300 x 0.80 x 0.20 = 6.93 Dengan demikian nilai Z menjadi: Z = (250 – 240) / 6.93 = 1.44 dan P (Z<1.44) = 0.4251 Jadi probabilitas laku adalah 0.5 + 0.4251 = 0.9251 Dengan kata lain harapan buah laku 250 kg adalah 92.51%

LATIHAN

Pendapatan Perkapita Rata-rata (ribuan) Berikut adalah pendapatan per kapita rata-rata penduduk Indonesia tahun 2000 sampai 2006 Tahun Pendapatan Perkapita Rata-rata (ribuan) 2000 2.751 2001 3.181 2002 4.955 2003 5.915 2004 6.228 2005 7.161 2006 8.140 Rata-Rata 5.476 Standar Deviasi 1.986 Hitunglah Probabilitas Pendapatan dibawah 3.000 ! Hitunglah Probabilitas Pendapatan antara 4.000 – 6.000 !

keren nih smoga bisa membantu ente

Chino.doc

STATISTIK II

MATERI

:DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINUFAKULTAS/JURUSAN

: FE / MANAJEMEN

SEMESTER/TAHUN AKADEMIK : GANJIL / 2004/2005

MODUL/TATAP MUKA KE : 4 (KEEMPAT)

PENYUSUN

: YANUAR,SE.,MM.TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS:

Diharapkan mahasiswa mampu:

1. Membedakan distribusi probabilitas diskrit dan kontinu2. Mendefinisikan distribusi probabilitas Kontinu3. Mampu melakukan perhitungan rata-rata hitung varian dan standar deviasi dari distribusi probabilitas kontinuDAFTAR MATERI PEMBAHASAN

Distribusi Probabilitas Kontinua. Pengertian dan Karakteristik Distribusi Probabilitas Normalb. Distribusi Probabilitas Normal Standarc. Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standard. Pendekatan Normal Terhadap BinomialMODUL 4 / PERTEMUAN KEEMPATDISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINUA. Pengertian dan Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal

Distribusi probabilitas normal sebagai distribusi variabel acak kontinu mempunyai nilai yang jumlahnya tidak terbatas dalam skala atau jarak tertentu.. Distribusi normal mempunyai nilai sepanjang interval, biasanya berupa bilangan pecahan dan datanya dihasilkan dari pengukuran.

Distribusi probabilitas normal dan kurva normal sering disebut distribusi dan kurva Gauss. Distribusi ini merupakan salah satu yang paling penting dan banyak digunakan. Kurva normal dapat digambarkan sebagai berikut.

Beberapa karakteristik dari kurva normal adalah:1. Kurva berbentuk genta atau lonceng dan memiliki satu puncak yang terletak di tengah. Nilai rata-rata hitung (() sama dengan median (Md) dan modus (Mo). Nilai ( = Md = Mo yang berada di tengah membelah kurva menjadi dua bagian, yaitu 50 % di bawah nilai ( = Md = Mo dan 50 % di atas nilai ( = Md = Mo.2. Bila kurva dilipat menjadi dua bagian dengan nilai tengah rata-rata sebagai pusat lipatan, maka kurva akan menjadi dua bagian yang sama.3. Kurva normal bersifat asimptotis, yaitu menurun kearah kiri (-~) dan ke arah kanan (+~) namun tidak pernah menyentuh nol, hanya mendekati nilai nol.4. Modus pada sumbu mendatar membuat fungsi mencapai puncaknya atau maksimum pada X = (5. Luas daerah di bawah kurva normal tetapi di atas sumbu mendatar = 1, di sebelah kiri ( dan di sebelah kanan (.

Jenis-Jenis Distribusi Probabilitas Normal

Distribusi probabilitas normal sangat dipengaruhi oleh nilai rata-rata hitung (() dan standar deviasinya ((). Makin besar nilai (, kurva makin rendah dan makin kecil nilai ( kurva makin runcing.

B. Distribusi Probabilitas Normal BakuAda beberapa jenis dari kurva normal, yaitu sebagai berikut.

1. Kurva normal dengan ( sama dan ( berbeda

2. Kurva normal dengan ( berbeda dan ( sama

3. Kurva normal dengan ( dan ( berbedaApabila nilai dari ( dan X sedemikian banyak karena menempati sepanjang interval nilai, maka sangatlah tidak mungkin untuk menyediakan distribusi probabilitas secara lengkap sebagaimana distribusi probabilitas binomial dan Poisson. Namun demikian, permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan distribusi normal baku.

Distribusi normal baku : distribusi probabilitas acak normal dengan nilai tengah 0 dan simpangan baku 1.Mengubah distribusi probabilitas normal umum menjadi distribusi normal baku dapat ditempuh dengan rumus:

Z =

Di mana:Z : Skor Z atau nilai normal baku

( : Standar deviasi suatu distribusi

: Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran ( : Nilai rata-rata hitung

Bila X berada di antara X = x1 dan X = x2, maka variabel acak Z akan berada di antara nilai

Z1 =

Z2 =

Karena semua nilai x1 dan x2 mempunyai nilai padanan Z1 dan Z2, maka luas daerah yang mengambarkan nilai probabilitas di bawah kurva X antara X1 dan X2 sama dengan luas daerah di bawah kurva Z antara Z = Z1 dan Z = Z2. Dengan demikian nilai X dan Z dapat dinyatakan sebagai berikut:P (X1 < X < X2 ) = ( Z1 < Z < Z2 )Untuk melihat luas di bawah kurva normal, dapat dilihat pada tabel (daftar) luas di bawah kurva normal yang ada pada lampiran buku-buku statistik. Misalnya mencari luas di bawah kurva normal dari nilai Z = 1,16 diperoleh angka 0,3770Z0123456789

0,00000004000800120016001990239027903190359

0,103980636

0,207931026

0,311791406

..........

1,13770

.....

1,543424406

.....

3,9500050005000

Beberapa contoh penggunaan daftar normal baku

1. Antara nilai Z = 0 dan nilai Z = 2,15

2. Antara nilai Z = 0 dan nilai Z = - 1,86

3. Antara nilai Z = - 1,50 dan nilai Z = 1,82

4. Antara nilai Z = 1,40 dan nilai Z = 2,65

5. Antara nilai Z = 1,96 ke kiri

6. Dari z = 1,96 ke kananDari grafik no. 5 dapat dilihat bahwa yang dicari merupakan daerah yang tidak diarsir. Ini sama dengan luas dari z = 0 ke kanan (=0,5) dikurangi luas dari z = 0 sampai z = 1,96 yang besarnya 0,4750.Luas = 0,5 0,4750 = 0,0250

7. Untuk mencari harga z bila luasnya diketahui, dilakukan langkah sebaliknya. Misalnya , jika luas = 0,4931, maka dalam badan daftar dicari 4931 lalu menuju ke pinggir sampai pada kolom z, didapat 2,4 dan menuju ke atas sampai batas z didapat angka 6. Harga z = 2,46ContohSebanyak 20 perusahaan termasuk dalam harga saham pilihan pada bulan Maret 2003. harganya berkisar antara Rp. 160 870 per lembar. Berapa probabilitas harga saham antara 500 sampai 600 per lembar jika diketahui nilai rata-rata hitung = 490 dan standar deviasi = 144.Penyelesaian:

( = 490( = 144X1= 500X2 = 600

Z1 =

Z2 =

Z1 =

Z2 =

= 0,07

= 0,76

Jadi probabilitas harga saham pada kisaran 500 600 adalah 0,2505 atau 25,05 %Luas Di Bawah Kurva Normal

1. Kira-kira 68,27 % ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara ( + ( dan ( - (2. Ada 95,45 % kasus terletak dalam daerah dua simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara ( + 2 ( dan ( - 2 (3. Hampir 99,73 % dari kasus ada dalam daerah tiga simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara ( + 3 ( dan ( - 3 (Contoh Soal1. PT gunung Sari mengklaim bahwa rata-rata berat buah mangga mutu B adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen?Penyelesaian:

2. PT Mercubuana mempunyai karyawan 200 orang dengan umur rata-rata 35 tahun dan standar deviasi 5 tahun. Direksi memutuskan untuk memberikan pelatihan kepemimpinan pada karyawan dengan umur 40 45 tahun untuk manejer level menengah. Berapa banyak karyawan yang harus mengikuti pelatihan?Penyelesaian:

Jadi jumlah karyawan yang harus ditraining adalah = 0,1359 x 200 = 27 orang

Untul distribusi binomial yang cukup besar dan n(1 p) > 5, maka dapat digunakan distribusi normal denga ( = np dan standar deviasi ( = (npqZ =

Untuk mengubah pendekatan dari binomial ke normal diperlukan faktor koreksi yang besarnya 0,5.selain syarat binomial terpenuhi, yaitu (a) hanya terdapat dua peristiwa, (b) peristiwa bersifat independen, (c) besarnya probabilitas sukses dan gagal sama setiap percobaan, dan (d) data merupakan hasil perhitungan. Faktor koreksi ini diperlukan untuk mentransformasikan dari binomial menuju normal yang merupakan variabel acak kontinuFaktor Koreksi Kontinuitas : Nilai koreksi kontinuitas sebesar 0,5 yang dikurangkan dan ditambahkan pada data yang diamatiContohSeorang pedagang buah setiap hari membeli 300 kg buah di Pasar Induk Kramat Jati. Probabilitas buah tersebut laku dijual adalah 80 % dan 20 % kemungkinan tidak laku dan busuk. Berapa probabilitas buah sebanyak 250 kg laku dijual dan tidak busuk?Penyelesaian:

n = 300, probabilitas laku, p = 0,8q = 0,2

( = np = 300 x 0,8 = 240( = (npq = ( 300 x 0,8 x 0,2 = 6,93X = 250 kg dan dikurangi faktor koreksi 0,5 sehingga X = 249,5

Z = = 1,37dari daftar diperoleh 0,4147

SoalBerikut adalah pendapatan per kapita rata-rata penduduk Indonesia tahun 1996 sampai 2002TahunPendapatan perkapita rata-rata (ribuan)

19962.751

19973.181

19984.955

19995.915

20006.228

20017.161

20028.140

Rata-rata5.476

Standar deviasi1.986

a. Hitunglah probabilitas pendapatan di bawah 3.000b. Hitunglah probabilitas pendapatan antara 4.000 6.000c. Hitunglah pendapatan terendah dari 10% penduduk yang berpendapatan tertinggid. Apabila pemerintah akan membantu 15% penduduk yang berpendapatan terendah, berapa batas maksimalnya?2,58

( = Md = Mo

Kurva normal dengan puncak tidak mendatar dan tidak meruncing disebut mesokurtik

Kurva dengan puncak yang mendatar disebut platikurtik

Kurva dengan puncak yang tinggi (runcing) disebut leptokurtik

ketiga kurva mempunyai nilai ( yang sama namun nilai ( berbeda.

3,76

4,08

EMBED MSGraph.Chart.8 \s

Gunakan daftar. Di bawah z pada kolom kiri cari 2,1 dan di atas sekali angka 5. Dari 2,1 maju ke kanan dan dari 5 menurun. Didapat 4842. Luas daerah yang dicari, lihat daerah yang diarsir = 0,4842

Karena z bertanda negatif, maka pada grafiknya diletakkan di sebelah kiri 0. Untuk daftar digunakan z = 1,86. Di bawah z kolom kiri didapatkan 1,8 dan di atas angka 6. Dari 1,8 ke kanan dan dari 6 ke bawah, didapat 4686. Luas daerah = daerah yang diarsir = 0,4686

EMBED MSGraph.Chart.8 \s

Dari grafik terlihat bahwa kita perlu mencari 2 kali lalu dijumlahkan.

Mengikuti cara (1) untuk z = 1,82 dan cara (2) untuk z = - 1,50 masing-masing didapat 0,4656 dan 0,4332.

Luas daerah = daerah yang diarsir = 0,4332 + 0,4656 = 0,8988

EMBED MSGraph.Chart.8 \s

Yang dica