Grafik fungsi y=f x 12 x x2 dengan x bilangan real Jika titik p m terletak pada grafik maka nilai m

Table of Contents Show

Contoh soal fungsi kuadrat
Contoh soal Fungsi kuadrat pilihan ganda (PG)
Video yang berhubungan

Postingan ini membahas contoh soal fungsi kuadrat dan pembahasannya + jawabannya. Lalu apa itu fungsi kuadrat ?. Suatu fungsi f pada himpunan bilangan real (R) yang ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat. Ada dua cara menggambar grafik fungsi kuadrat yaitu dengan menggunakan tabel koordinat bebarapa titik dan menggunakan titik-titik penting yang dilalui grafik. Titik-titik penting tersebut adalah titik potong grafik dengan sumbu X, titik potong grafik dengan sumbu Y dan titik balik.

Berdasarkan nilai diskriminannya (D = b2 – 4ac), grafik fungsi kuadrat (y = ax2 + bx + c) ) terdiri dari 6 kemungkinan yaitu sebagai berikut.

Jika a > 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. Jenis titik baliknya minimum.
Jika a > 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di satu titik atau menyinggung sumbu X. Jenis titik baliknya minimum.
Jika a > 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit positif). Jenis titik baliknya minimum.
Jika a < 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda. Jenis titik baliknya maksimum.
Jika a < 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X dan titik baliknya maksimum.
Jika a < 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit negatif) dan titik baliknya maksimum.

Jenis grafik fungsi kuadrat

Rumus yang berlaku pada fungsi kuadrat sebagai berikut.

Contoh soal fungsi kuadrat

Contoh soal 1

Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + 4x – 21 pada himpunan bilangan nyata.

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menggambar grafik fungsi kuadrat sebagai berikut:

Menentukan titik potong sumbu x dengan cara pemfaktoran:
x2 + 4x – 21 = 0
(x1 + 7) (x2 – 3) = 0
x1 = -7 dam x2 = 3 Titik potong pada sumbu X adalah A(-7 ; 0) dan B ((3 ; 0) Menentukan titik potong sumbu Y dengan subtitusi x = 0 atau f(0)

f(x) = x2 + 4x – 21

f(0) = 02 + 4 . 0 – 21 = -21 Jadi titik potong sumbu Y adalah (0 ; -21)

Menentukan titik balik (xp , yp) dengan rumus dibawah ini:

xp = = = – 2.
yp = =
yp = = – 25.
Jadi titik balik (-2 ; -25)

Dengan demikian gambar grafik kuadrat soal nomor 1 sebagai berikut:

Grafik fungsi kuadrat nomor 1

Contoh soal 2

Selidikilah apakah grafik fungsi berikut memotong sumbu X, menyinggung sumbu X atau tidak memotong sumbu X.

y = x2 + 9x + 20
y = 2x2 – 3x + 1

Pembahasan / penyelesaian soal

a = 1 dan D = b2 – 4ac = 92 – 4 . 1 . 20 = 81 – 80 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.
a = 2 dan D = b2 – 4ac = -32 – 4 . 2 . 1 = 9 – 8 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.

Contoh soal 3

Selidiki apakah fungsi kuadrat dibawah ini tergolong definit positif, definit negatif atau bukan keduanya.

y = 3x2 – 4x – 2
y = 4x2 – 3x + 5

Pembahasan / penyelesaian soal

Definit positif jika a > 0 dan D < 0 sedangkan definit negatif jika a < 0 dan D < 0.

a = 3 dan D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . -2 = 16 + 24 = 40. Karena a > 0 dan D > 0 maka fungsi kuadrat bukan definit positif dan bukan definit negatif (bukan keduanya).
a = 1 dan D = b2 – 4ac = (-3)2 – 4 . 4 . 5 = 9 – 80 = – 71. Karena a > 0 dan D < 0 maka fungsi kuadrat definit positif.

Contoh soal Fungsi kuadrat pilihan ganda (PG)

Contoh soal 1

Persamaan sumbu simetri dari f(x) = 6 – 5x – x2 adalah …A. x = -2B. x = 2

C. x = -2

D. x = 3

E. x = 5

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

Cara menjawab soal ini yaitu dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri yaitu sebagai berikut.

→ Pers. sumbu simetri = –
→ Pers. sumbu simetri = – = -2

Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 2

Grafik fungsi f(x) = x2 + 4x – 30 simetris terhadap garis x = a. Nilai a = …A. -4B. -2C. -1D. 2

E. 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri diperoleh hasil sebagai berikut.

→ x = –
→ a = – = -2

Soal ini jawabannya B.

Contoh soal 3

Nilai m agar grafik fungsi y = (m – 1)x2 – 2mx + (m – 3) selalu berada dibawah sumbu X (definit negatif) adalah …A. m = 1B. m > 1C. m < 1D. m > 3/4

E. m < 3/4

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

a = m – 1
b = -2m
c = m – 3

Syarat definit negatif adalah a < 0 dan D < 0.

a < 0
m – 1 < 0
m < 1
D < 0
b2 – 4ac < 0
(-2m)2 – 4 (m – 1) (m – 3) < 0
4m2 – 4 (m2 – 4m + 3) < 0
4m2 – 4m2 + 16m – 12 < 0
16m – 12 < 0
16m < 12
m <
m < 3/4

Syarat 1 dan 2 terpenuhi sehingga kita tentukan irisannya yaitu sebagai berikut.

Jadi nilai m < 3/4. Soal ini jawabannya E.

Contoh soal 4

Koordinat titik balik grafik y = x2 – 6x + 8 adalah …A. (3, -1)B. (-3, -1)C. (4, 2)D. (6, 8)

E. (-6, 8)

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

Dengan menggunakan rumus koordinat titik balik diperoleh hasil sebagai berikut.

→ x = –
→ x = – = 3
→ y = –
→ y = –
→ y = –
→ y = – = -1

Jadi koordinat titik balik (3, -1). Soal ini jawabannya A.

Contoh soal 5

Koordinat titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 2x – 3 adalah …A. (1, 4)B. (-1, 4)C. (4, 1)D. (1, -4)

E. (-1, -4)

Pembahasan / penyelesaian soal

→ x = –
→ x = – = 1
→ y = –
→ y = –
→ y = –
→ y = – = -4

Jadi titik baliknya (1, -4). Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 6

Perhatikan gambar fungsi kuadrat dibawah ini.

Contoh soal 6 fungsi kuadrat

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = x2 – 2x + 15
B. y = x2 – 2x – 15
C. y = x2 + 2x + 15
D. y = x2 – 8x – 15
E. y = x2 – 8x + 15

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

Fungsi kuadrat dibentuk dengan cara sebagai berikut:

y = a (x – x
1
) (x – x
2
)
y = a (x – (-5)) (x – (-3))
y = a (x + 5) (x + 3)
y = a (x
2
+ 3x + 5 x + 15)
y = a (x
2
+ 8x + 15)

Selanjutnya kita tentukan nilai a dengan subtitusi nilai x = 0 dan y = 15 sehingga didapat:

15 = a (0
2

+ 8 . 0 + 15)
15 = a . 15
a = 15/15 = 1

Jadi fungsi kuadratnya adalah:

y = 1 (x
2
+ 8x + 15)
y = x
2
+ 8x + 15

Jadi soal ini jawabannya C.

Contoh soal 7

Contoh soal fungsi kuadrat nomor 7

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = 2x2 + 2x – 4
B. y = 2x2 – 2x – 4
C. y = x2 + x – 4
D. y = x2 – 2x – 4
E. y = x2 – x – 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik diatas kita ketahui:

Maka persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:

y = a (x – (-1)) (x – 2)
y = a (x + 1) (x – 2)
y = a (x
2
– x – 2)

Menentukan nilai a dengan cara subtitusi x = 0 dan y = -4 sehingga didapat hasil dibawah ini:

-4 = a (0
2
– 0 – 2)
-4 = a . -2
a = -4/-2 = 2

Sehingga persamaan kuadratnya adalah:

y = 2 (x
2
– x – 2)
y = 2x
2
– 2x – 4

Soal ini jawabannya B.

Contoh soal 8

Perhatikan gambar dibawah ini.

Contoh soal fungsi kuadrat nomor 8

Jika fungsi kuadrat grafik diatas dinyatakan oleh f(x) = ax2 + bx + c maka pernyataan dibawah ini yang benar adalah…A. a < 0, b < 0, dan c < 0 B. a < 0, b > 0 dan c > 0 C. a < 0, b > 0 dan c < 0 D. a > 0, b < 0 dan c > 0

E. a > 0, b < 0 dan c < 0

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita bentuk terlebih dahulu persamaan fungsi kuadrat grafik diatas sebagai berikut:

y = a (x – (-3)) (x – (-1))
y = a (x + 3) (x + 1)
y = a (x
2
+ 4x + 3)
-3 = a (0
2
+ 4 . 0 + 3)
-3 = a . 3
a = -3/3 = -1
y = -1 (x
2
+ 4x + 3)
y = -x
2
– 4x – 3

Berdasarkan persamaan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = -4 dan c = -3 atau a < 0, b < 0 dan c < 0. Jadi jawaban soal ini adalah A.

Contoh soal 9

Perhatikan gambar dibawah ini.

Contoh soal fungsi kuadrat nomor 9

Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah…A. (-1, 0) dan (-8, 0)B. (-1, 0) dan (8, 0) C. (1, 0) dan (-8, 0) D. (1, 0) dan (8, 0)

E. (2, 0) dan (5, 0)

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

titik balik xp = 9/2
titik balik yp = -49/4
y = 8

= =
Sehingga kita dapat a = = 1 dan b = -9.
y

= =
b

– 4 . a . c = 49
9

– 4 . 1 . c = 49 81 – 4c = 49 atau 4c = 81 – 49 = 32

c = = 8

Jadi persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah:

y = ax2 + bx + c

y = x

– 9x + c Untuk menentukan titik potong x kita lakukan pemfaktoran sebagai berikut:

xp – 9x + 8 = 0

– 8) (x

– 1) = 0
x

= 8 dan x

= 1

Jadi titik potong sumbu X adalah (8,0) dan (1,0). Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 10

Diketahui f(x) = x2 + 4x – 5, maka nilai minimumnya adalah …A. -17B. -9C. -5D. -2

E. 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Tentukan terlebih dahulu titik ekstrem dengan mengunakan rumus sebagai berikut.

→ y = –
→ y = –
→ y = – = -9

Kemudian subtitusi y ke f(x) = x2 + 4x – 5 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

-9 = x2 + 4x – 5
0 = x2 + 4x – 5 + 9
x2 + 4x + 4 = 0
(x + 2)2 = 0
x = -2

Subtitusi x = -2 ke f(x) sehingga diperoleh nilai minimum sebagai berikut.

f(x) = x2 + 4x – 5
f(-2) = (-2)2 + 4 . (-2) – 5
f(-2) = 4 – 8 – 5 = -9

Jadi soal ini jawabannya B.

Contoh soal 11

Nilai maksimum dari fungsi kuadrat f(x) = -x2 + 2x + 15 adalah …A. -32B. -16C. 1D. 16

E. 32

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menghitung nilia maksimum fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus dibawah ini.

→ y = –
→ y = –
→ y = –
→ y = = 16

Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 12

Sebuah peluru ditembakkan vertikal dengan persamaan lintasan h(t) = 150t – 5t2. Tinggi maksimum peluru adalah …A. 925 mB. 1.015 mC. 1.025 mD. 1.125 m

E. 1.225 m

Pembahasan / penyelesaian soal

→ y = –
→ y = –
→ y = –
→ y = = 1.125 m

Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 13

Diketahui jumlah 2 bilangan adalah 72. Hasil kali maksimum kedua bilangan adalah…A. 72 B. 144 C. 360 D. 1.296

E. 5.184

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita lalukan pemisalan 2 bilangan yaitu x dan y sehingga kita peroleh:

x + y = 72
y = 72 – x
x . y = x (72 – x) = 72x – x
2
K = -x
2
+ 72x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = 72 dan c = 0. Hasil kali maksimum kita gunakan rumus dibawah ini:

Jadi soal ini jawabannya D.

K =
K = = = 1296

Jadi soal ini jawabannya D.

Contoh soal 14

Dua bilangan selisihnya 30. Agar hasil kalinya minimum maka kedua bilangan tersebut adalah…A. 15 dan -15 B. 20 dan -10 C. 25 dan -5 D. 40 dan 10

E. 50 dan 20

Pembahasan / penyelesaian soal

Kita misalkan kedua bilangan tersebut x dan y maka kita peroleh:

x – y = 30
y = x – 30
K = x . y = x . (x – 30) = x
2
– 30x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = 1, b = -30 dan c = 0. Maka untuk menentukan nilai minimum kita gunakan rumus dibawah ini.

K =
K = = = – 225

K = -225 dan K = x2 – 30x maka kita dapat:

– 30 x = -225
x

– 30x + 225 = 0
(x – 15)

= 0
x = 15

Kita subtitusi x = 15 ke persamaan y = x – 30 maka kita peroleh y = 15 – 30 = -15. Jadi hasil perkalian minimum jika kedua bilangan tersebut adalah 15 dan -15.

Jadi soal ini jawabannya A.

Contoh soal 15

Diketahui persegipanjang dengan keliling 64 cm. Agar luas persegi panjang maksimum maka besar panjang dan lebarnya adalah…A. 64 cm dan 1 cm B. 32 cm dan 2 cm C. 32 cm dan 4 cm D. 16 cm dan 16 cm

E. 16 cm dan 8 cm

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menyelesaikan soal ini kita misalkan panjang = P dan lebar = L maka kita peroleh:

2 (P + L) = 64
P + L = 32
P = 32 – L
Luas = P . L = (32 – L) . L = 32 L – L
2
Luas = L
2
– 32L

Dari fungsi kuadrat luas diatas kita ketahui a = 1, b = -32 dan c = 0. Selanjutnya kita menentukan luas maksimum dengan cara dibawah ini:

Luas =
Luas = = = – 256

Luas = -256 dan Luas = L2 – 32L sehingga kita peroleh hubungan sebagai berikut:

L
2
– 32L = – 256
L
2
– 32L + 256 = 0
(L – 16)
2
= 0
L = 16

L = 16 kita subtitusi ke persamaan L + P = 32 maka P = 32 – L = 32 – 16 = 16. Jadi panjang dan lebar persegi panjang agar maksimum adalah P = 16 cm dan L = 16 cm. Jadi soal ini jawabannya D.

Contoh soal fungsi kuadratfungsi kuadratpembahasan soal fungsi kuadrat