Diantara fungsi kuadrat diatas yang memiliki nilai maksimum adalah

Fungsi Kuadrat – Hello para pembaca dosenpintar.com, Pada pembahasan kali ini kita akan membahas mengenai fungsi kuadrat. Dipertemuan sebelumnya kami telah membahas tentang bilangan asli dan contohnya. Kita simak langsung beserta ulasan lengkapnya di bawah ini.

Pengertian Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Hampir mirip seperti persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi. Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum, f(x) = ax2 + bx + c = 0 dimana a, b, dan c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

Contoh Fungsi Kuadrat

Contoh 1 :

• Diketahui : f(x) = x2 – 6x – 7
• Ditanya :
  • nilai pembuat nol fungsi f
  • nilai f untuk x = 0 , x = –2

Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
x2 – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7 atau x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1

Untuk x = 0 maka f(0) = –7
x = –2 maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9

Contoh 2 :

• Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x2 + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

D = (p – 1)2 – 4 . 3 . 3 = 0

p2 – 2p – 35 = 0

(p – 7) (p + 5) = 0

p = 7 atau p = –5

Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi f(x) = ax2 + bx + c = 0 memiliki dua kemungkinan, yaitu terbuka ke atas atau terbuka ke bawah. Jika parabola terbuka ke atas, maka fungsi f(x) merupakan nilai minimum (Perhatikan gambar (a)). Sementara apabila parabola terbuka ke bawah, maka fungsi f(x) merupakan nilai maksimum (Perhatikan gambar (b)).

Baca Juga :  Bilangan Asli dan Contohnya

Tercapainya nilai maksimum dan nilai minimum fungsi kuadrat tergantung pada koefisien (pengali). Untuk dapat menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, mari perhatikan uraian berikut ini:

       = x2 – 2x + 1 – 4

       =(x – 1)2 – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

Jadi, f(x) = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

Grafik/Kurva Fungsi Kuadrat

Apabila digambarkan pada koordinat Cartesius, grafik kuadrat berbentuk parabola dengan posisi parabola ditentukan oleh nilai a.

a. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas

b. Jika a < 0 maka parabola terbuka ke bawah

Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu

Suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:

• melalui tiga titik yang berlainan.
• memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.
• melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui.
• menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.

Demikianlah artikel dosenpintar.com mengenai Fungsi Kuadrat. Semoga artikel ini bisa bermanfaat bagi anda semua

Adakalanya Anda mungkin perlu mengetahui nilai maksimum atau minimum sebuah fungsi kuadrat. Anda bisa mencari nilai maksimum dan minimum bila fungsi yang diberikan ditulis dalam bentuk umum,

1. 1

   Tuliskan fungsi dalam bentuk umum. Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi yang memiliki suku

   
   . Fungsi tersebut bisa mengandung suku
   
   dengan pangkat, bisa juga tidak. Angka pangkatnya tidak boleh lebih besar daripada 2. Bentuk umumnya adalah . Jika perlu, gabungkan suku yang sama untuk memperoleh bentuk umum.[1] X Teliti sumber Kunjungi sumber
   • Misalnya, mulailah dengan sebuah fungsi
     
     . Gabungkan suku dan untuk memperoleh bentuk umum:

2. 2

   Tentukan arah kurva. Fungsi kuadrat membentuk sebuah kurva parabola. Sebuah parabola bisa membuka ke atas atau ke bawah. Bila nilai

   
   , koefisien positif, parabola membuka ke atas. Bila nilai negatif, parabola membuka ke bawah. Lihat contoh berikut ini:[2] X Teliti sumber Kunjungi sumber
   • Untuk
     
     ,
     
     sehingga parabola membuka ke atas.
   • Untuk
     
     ,
     
     sehingga parabola membuka ke bawah.
   • Untuk
     
     ,
     
     sehingga parabola membuka ke atas.
   • Jika parabola membuka ke atas, kita bisa mencari nilai minimum. Jika parabola membuka ke bawah, kita bisa mencari nilai maksimum.

3. 3

   Hitung -b/2a. Hasil dari

   
   adalah nilai dari puncak parabola. Jika fungsi kuadrat ditulis dalam bentuk umum
   
   , gunakan nilai koefisien dan seperti berikut:
   • Untuk fungsi
     
     , dan
     
     . Oleh karena itu, koordinat-x dari titik puncak dapat dihitung sebagai berikut:
   • Pada contoh kedua, misalkan fungsinya adalah
     
     . Pada contoh ini, dan
     
     . Oleh karena itu, koordinat-x dari titik puncak dapat dihitung sebagai berikut:

4. 4

   Cari pasangan nilai f(x). Masukkan nilai x yang baru diperoleh ke dalam fungsi untuk mendapatkan nilai f(x). Hasilnya adalah nilai minimum atau maksimum fungsi.

   • Untuk contoh pertama, , koordinat-x dari titik puncak adalah
     
     . Masukkan
     
     ke dalam pada fungsi untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum:
   • Untuk contoh kedua, , koordinat-x dari titik puncak adalah
     
     . Masukkan ke dalam pada fungsi untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum:

5. 5

   Tuliskan hasil perhitungan. Tinjau kembali pertanyaan yang diajukan. Jika yang ditanya adalah koordinat titik puncak, jawablah dengan memberikan nilai dan

   
   (atau nilai
   
   ). Jika yang ditanya hanya nilai maksimum atau minimum, jawaban yang diberikan cukup nilai (atau nilai ). Lihatlah kembali nilai koefisien untuk memastikan apakah fungsi memiliki nilai maksimum atau minimum.
   • Untuk contoh pertama, , nilai positif, jadi fungsi memiliki nilai minimum. Titik puncaknya adalah
     
     , dan nilai minimumnya adalah
     
     .
   • Untuk contoh kedua, , nilai negatif, jadi fungsi memiliki nilai maksimum. Titik puncaknya adalah
     
     , dan nilai maksimumnya adalah
     
     .

1. 1

   Tuliskan fungsi kuadrat dalam bentuk bentuk standar atau verteks. Bentuk baku dari fungsi kuadrat, yang juga disebut bentuk verteks, adalah seperti ini:[3] X Teliti sumber Kunjungi sumber

   • Jika fungsi sudah berbentuk seperti ini sejak semula, cukup cari saja variabel ,
     
     dan
     
     . Jika fungsi masih dalam bentuk umum , lakukan proses melengkapkan kuadrat untuk mengubahnya ke dalam bentuk verteks.
   • Untuk melihat kembali bagaimana cara melengkapkan kuadrat, lihat Melengkapkan-Kuadrat

2. 2

   Tentukan arah kurva. Seperti halnya pada fungsi kuadrat dalam bentuk umum, Anda bisa menentukan arah parabola dengan melihat koefisien . Bila nilai dalam bentuk baku positif, parabola membuka ke atas. Bila nilai negatif, parabola membuka ke bawah. Lihat contoh berikut ini:[4] X Teliti sumber Kunjungi sumber

   • Untuk
     
     , , artinya positif, jadi parabola membuka ke atas.
   • Untuk
     
     , , artinya negatif, jadi parabola membuka ke bawah.
   • Jika parabola membuka ke atas, Anda bisa mencari nilai minimum. Jika parabola membuka ke bawah, Anda bisa mencari nilai maksimum.

3. 3

   Tentukan nilai maksimum atau minimum. Ketika fungsi ditulis dalam bentuk baku, nilai minimum dan maksimum dapat ditentukan hanya dengan melihat nilai variabel . Untuk kedua contoh di atas, nilainya adalah:

   • Untuk ,
     
     . Nilai ini adalah nilai minimum fungsi karena parabola membuka ke atas.
   • Untuk ,
     
     . Nilai ini adalah nilai maksimum fungsi karena parabola membuka ke bawah.

4. 4

   Cari titik puncak. Jika yang ditanya adalah koordinat titik minimum atau maksimum, koordinatnya adalah

   
   . Namun ingatlah selalu bahwa di dalam bentuk standar, suku di dalam kurung adalah
   
   , jadi selalu baliklah tanda pada angka setelah .
   • Untuk , suku di dalam kurung adalah (x+1), yang bisa ditulis ulang menjadi (x-(-1)). Jadi,
     
     . Oleh karena itu, koordinat titik puncak fungsi ini adalah
     
     .
   • Untuk , suku di dalam kurang adalah (x-2). Jadi,
     
     . Koordinat titik puncaknya adalah (2,2).

1. 1

   Mulailah dengan bentuk umum. Tuliskan fungsi kuadrat dalam bentuk umum, . Jika perlu, gabungkan suku yang sama untuk memperoleh bentuk yang diinginkan.[5] X Teliti sumber Kunjungi sumber

   • Mulailah dengan contoh fungsi
     
     .

2. 2

   Gunakan aturan turunan untuk mencari turunan pertama. Dengan menggunakan kalkulus sederhana, turunan pertama dari fungsi kuadrat ini adalah

   
   .[6] X Teliti sumber Kunjungi sumber
   • Untuk contoh fungsi , turunannya adalah sebagai berikut:

3. 3

   Buat nilai turunan menjadi nol. Ingatlah bahwa turunan sebuah fungsi adalah gradien fungsi tersebut pada titik yang dipilih. Fungsi akan mencapai titik minimum atau maksimum saat gradiennya sama dengan nol. Oleh karena itu, untuk mencari titik minimum atau maksimum, buat turunannya menjadi nol. Lanjutkan untuk contoh di atas:[7] X Teliti sumber Kunjungi sumber

4. 4

   Cari nilai x. Gunakan aturan dasar aljabar untuk menyelesaikan persamaan dan mencari nilai x, saat turunannya sama dengan nol. Hasil dari perhitungan ini adalah koordinat-x dari titik puncak fungsi, tempat nilai maksimum atau minimum berada.[8] X Teliti sumber Kunjungi sumber

5. 5

   Masukkan nilai x ke dalam fungsi semula. Nilai minimum atau maksimum dari fungsi adalah nilai dari dari posisi yang telah dicari. Masukkan nilai yang diperoleh ke dalam fungsi semula dan dapatkan nilai minimum atau maksimum.[9] X Teliti sumber Kunjungi sumber

6. 6

   Tuliskan jawaban. Jawabannya adalah titik puncak maksimum atau minimum. Pada fungsi contoh, , titik puncaknya adalah koordinat . Koefisien positif. Jadi, fungsinya membuka ke atas. Oleh karena itu, nilai minimum fungsi tersebut adalah koordinat-y dari titik puncak, yaitu .[10] X Teliti sumber Kunjungi sumber

• Sumbu simetri dari parabola adalah x=h.

1. ↑ http://www.themathpage.com/acalc/max.htm