Cari dua bilangan yang hasil kalinya dan jumlah kuadratnya minimum

Turunan seringkali diaplikasikan untuk mencari maksimum dan minimum. Kondisi maksimum dan minimum merupakan kondisi stasioner. Untuk lebih memahami, bisa dipelajari di bagian fungsi naik dan fungsi turun.

Kondisi stasioner terjadi saat turunan pertama bernilai nol. Jadi, baik maksimum maupun minimum, turunan pertama harus nol. Agar lebih jelas kita kerjakan saja soal-soal berikut :

Contoh soal 1 :

Jumlah dua buah bilangan adalah 22. Hasil kali maksimum kedua bilangan adalah …

Jawab :

misal, kedua bilangan tersebut adalah x dan y

maka

x + y = 22

y = 22 — x

sehingga hasil kalinya

xy = x(22 — x) = 22x — x2

Agar maksimum maka turunan pertama harus nol

22 — 2x = 0

22 = 2x

x = 11

maka

y = 22 – x = 22 – 11 = 11

Hasil kali maksimumnya adalah

xy = 11.11 = 121

Contoh soal 2

Selisih dua buah bilangan adalah 12. Hasil kali minimum kedua bilangan adalah …..

Jawab :

misalkan kedua bilangan adalah a dan b, sehingga

a – b = 12

a = b + 12

hasil kali kedua bilangan adalah

ab = (b + 12)b = b2 + 12b

Agar minimum maka turunan pertama sama dengan nol

2b + 12 = 0

2b = – 12

b = –6

nilai a bisa diperoleh dari

a = b + 12 = –6 + 12 = 6

Hasil kali minimumnya adalah

ab = 6(–6) = –36

Contoh soal 3 :

Luas maksimum persegi panjang yang diarsir adalah …

Jawab :

Persamaan garis pada gambar adalah

10x + 6y = 10.6

10x + 6y = 60

6y = 60 — 10x

y = 10 — (5/3) x

Setiap titik pada garis bisa kita misalkan x, y

Jika (x, y) kita letakkan pada titik sudut persegi panjang maka x menyatakan lebarnya dan y menyatakan panjangnya, sehingga luasnya

L = xy = x(10 — (5/3) x) = 10x — (5/3) x2

Agar L maksimum maka

L’ = 0

10 — (10/3) x = 0

10 = (10/3) x

x = 3

sehingga

y = 10 — (5/3) x = 10 — 5 = 5

luas maksimum

L = xy = 3.5 = 15

Contoh Soal 4 :

Jarak terdekat titik (5, 0) ke kurva y = √x adalah ….

Jawab :

Persamaan kurva adalah

Bentuk ini bisa diubah menjadi

y2 = x atau x = y2

Misalkan jarak (5,0) ke kurva dimisalkan s, maka

Agar nilai s minimum maka nilai yang di dalam akar harus minimum

Maka turunan fungsi yang di dalam akar harus 0

turunan (x2  — 9x + 25) = 0

2x — 9 = 0

x = 9/2

maka

Contoh soal 5 :

Jika nilai maksimum fungsi

adalah 7, maka p = ….

Jawab :

Agar maksimum maka

y’ = 0

Dari soal diketahui

ymaks = 7

NAMA : NENG INTAN MUTIARASARI

NIM : 2225080167

KELAS : 2B

1. Maximum dan Minimum

Definisi :

“Nilai kritis c dari suatu fungsi f merupakan bilangan dalam domain f sedemikian hingga f’(c) = 0 atau f’(c) tidak ada.”

Andai S, daerah asal f, memuat titik c, kita katakan bahwa : f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di s;

f(c) adalah nilai minimum f pada s jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di s;

f(c) adalah nilai ekstrim f pada s jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum

pada s = (1,3) g tidak mempunyai nilai maksimum (menjadi cukup dekat ke 2 tetapi tidak pernah mencapai). Tetapi, g mempunyai nilai minimum g(2) = 0

Secara teori, pencarian nilai maksimum dan minimum fungsi dapat dilakukan dengan metode selang tertutup. Metode ini menyatakan bahwa untuk mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup [a, b] dilakukan dengan cara:

1. Dicari nilai fungsi pada nilai kritis f pada selang [a, b] atau mencari f(c) dengan c adalah nilai kritisnya.
2. Dicari nilai fungsi pada titik ujung selang (dalam hal ini pada a dan b) atau mencari f(a) dan f(b)
3. Nilai maksimum mutlak pada selang [a, b] adalah nilai f terbesar dari langkah 1 dan 2. Sedangkan nilai minimum mutlak pada selang [a, b] adalah nilai f terkecil dari langkah 1 dan 2.

Teorema A

(Teorema Eksistensi Maks-min). jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.

Ket: f harus kontinu dan himpunan s harus berupa selang tertutup.

Tempat terjadinya nilai-nilai ekstrim:

Fungsi yang akan di maksimumkan atau diminimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya. Beberapa dari selang ini memuat titik-titik ujung; beberapa tidak. Misalnya, I = [a, b] memuat titik ujung dua-duanya; (a, b) hanya memuat titik ujung kiri; (a, b) tidak memuat titik ujung satupun. Perhatikan gambar B.

Jika c sebuah titik dimana f ‘(c) = 0, kita sebut c titik stasioner. Nilai-nilai ekstrim sering kali terjadi pada titik-titik stasioner. Lihat dibawah ini gambar .

Jika c adalah titik dalam dari I dimana f ‘ tidak ada, kita sebut titik singular. Nilai-nilai ekstrim sering kali terjadi pada titik-titik singular. Perhatiakn gambar dibawah ini.

<!–[if gte vm

Ketiga jenis titik ini ( titik ujung, titik stasioner, dan titik singular ) merupakan titik-titik kunci dari teori maks-min. salah satu dari termasuk dari tiga tipe ini disebut sebuah titik kritis f.

Teorema B

(Teorema Maks-min). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis ; yakni c berupa salah satu :

<!–[if !supportLists]–>a. <!–[endif]–>titik ujung dari I ;

<!–[if !supportLists]–>b. <!–[endif]–>titik stasioner dari f(f`(c)=0);

<!–[if !supportLists]–>c. <!–[endif]–>titik singular dari f(f`(c) tidak ada).

Contoh Soal

Carilah titik kritis serta nilai maksimum dan minimumnya dari f(x)=x3-4x2 pada titik [-1, 3]?

Penyelesaian

Titik-titik ujung adalah -1 dan 3. untuk mencari titik stasioner kita pecahkan f’(x)=3x2 untuk x, diperoleh 0,1,2. jadi titik-titik kritisnya adalah -1,0,1,2,3

<!–[if gte vml 1]> <![endif]–><!–[if !vml]–>

<!–[if !supportLists]–>2. <!–[endif]–>Kemonotonan dan Kecekungan

Definisi :

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakan bahwa :

<!–[if !supportLists]–> I. <!–[endif]–> F adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I

x1 < x2

<!–[if !supportLists]–> II. <!–[endif]–>f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I

x1 > x2

<!–[if !supportLists]–> III. <!–[endif]–>f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I

Turunan pertama dari kemonotonan

Turunan pertama f ‘(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung pada grafik f dititik x. kemudian jika f ‘(x) > 0, garis singgung naik ke kanan. Serupa jika f ‘(x) < 0, garis singgung naik ke kanan.

Teorema A

(teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensial oada setiap titik dalam dari I.

<!–[if !supportLists]–> I. <!–[endif]–>jika f’ (x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.

<!–[if !supportLists]–> II. <!–[endif]–>jika f’ (x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.

Teorema ini biasanya membolehkan kita secara persis menentukan dimana suatu fungsi yang terdiferensial naik dan dimana ia turun. Ini masalah penyelesaian dua pertaksamaan.

Turunan kedua dan kecekungan

Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang.

Definisi :

Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I = (a, b). jika f’ naik pada I, f (dan grafiknya) cekung keatas disana; jika f’ turun pada I, f cekung kebawah pada I.

Teorema B

(teorema kecekungan). Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a, b).

<!–[if !supportLists]–> I. <!–[endif]–>Jika f”(x) >0 untuk semua x dalam (a, b) maka f cekung ke atas pada (a, b)

<!–[if !supportLists]–> II. <!–[endif]–>Jika f”(x) <0 untuk semua x dalam (a, b) maka f cekung ke bawah pada (a, b)

Titik balik

Andaikan f kontinu di c. Kita sebut (c, f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik gambar dari bawah menunjukan sejumlah kemungkinan.

Contoh soal

Diketahui f(x)=2x3+2x2-2x+4. cari dimana f naik dan dimana turun?

Penyelasaian

F’(x)= 6x2+4x-2 = (6x-2) (x+1)

F”(x)=12x+4 = 4(3x+1)

F’(x)

<!–[if gte vml 1]> <![endif]–><!–[if !vml]–>

F”(x)

dengan menyelesaikan pertidaksamaan (6x-2) (x+1)>0 dan lawannya kita simpulkan bahwa f nilai pada (-∞, -1] dan [1/3, ∞) dan turun pada [-1, 1/3]. Begitu juga penyelesaian 4(3x+1)>0 dan 4(3x+1)<0 didapat bahwa f cekung keatas pada (1, ∞), dan cekung kebawah (-∞, 1).

<!–[if !supportLists]–>3. <!–[endif]–>Maksimum dan Minimum Lokal

.

Definisi

Jika S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakan bahwa;

<!–[if !supportLists]–> I. <!–[endif]–>F(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a, b) ∩ S

<!–[if !supportLists]–> II. <!–[endif]–>F(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a, b) ∩ S

<!–[if !supportLists]–> III. <!–[endif]–>F(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.

Nilai ekstrim lokal

Teorema titik kritis berlaku sebagaimana dinyatakan, dengan ungkapan nilai eketrim diganti oleh nilai ekstrim lokal. Dibawah ini merupakan kemungkinan-kemungkinan terjadinya nilai ekstrim lokal.

Torema A

Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal. Jika f kontinu pada selang terbuka (a, b) yang memuat titik kritis c.

Jika f’(x)>0 untuk semua x dalam (a, b) dan f’(x)<0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

Jika f’(x)< 0 untuk semua x dalam (a, b) dan f’(x)>0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.

III. Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekrtrim lokal f.

Teorema B

Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal. Jika f’ dan f” ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a, b) yang memuat titik kritis c, dan andaikan f’(c)=0

I. Jika f”(c)<0, f(c) adalah maksimum lokal f.

II. Jika f”(c)>0, f(c) adalah minimum lokal f.

Contoh soal

Carilah titik-titik kritis, kemudian gunakan uji tirunan pertama (jika mungkin) uji turunan ke dua untuk memutuskan titik-titik kritis mana yang memberikan nilai maks lokal dan min lokal dari f(x) x3-3x2+3

Penyelesaian

Langkah 1, cari titik-titik kritisnya dengan menurunkan persamaan tersebut

F’(x)= 3x2-6x = (3x-6) (x+0)

X=2 x=0

F”(x)=6x-6 = 6(x-1)

Titik kritisnya 2 dan 0

Langkah ke 2, mencari nilai maks dan min lokal masukan titik kritis ke persamaan f’(x) dan f”(x)

F’(2)=0, f’(0)=0 dan f”(2)=6, f(0)=-6

Jadi menurut uji turunan kedua bahwa f’(0),f’(2)=0 dan f”(0)=-6, f”(2)=6

Maka; f(0) adalah nilai maksimum lokal dan f(2) adalah nilai minimum lokal.

4. Lebih Banyak Masalah Maksimum dan Minimum

Himpunan dimana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup. Tetapi selang-selang yang muncul dalam peraktek tidak selalu tertutup, kadang-kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka, setengah tertutup.kita masih tetap menangani masalah ini jika kita menerapkan secara benar teori yang dikembangkan, bahwa maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum (minimum) global.

Ekstrim pada selang terbuka

Kita bandingkan dua contoh ;

Contoh 1

Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x4– 4x pada (-∞, ∞)

Penyelesaian f(x) = 4x3-4 = 4(x3-1) = 4(x-1) (x2+x+1)

Karena x2+x+1=0, tidak mempunyai penyelesaian bilangan rill (rumus kuadrat), hanya terdapat satu titik kritis, yaitu x= 1, untuk x >1,f’(x) >0. kita simpulkan bahwa f(10)=-3 adalah nilai minimum lokal untuk f, dan karena f turun disebelah kiri 1 dan naik disebelah kanan 1, memang benar merupakan nilai minimum dari f. jadi f tidak dapat mempunyai nilai maksimum.

Contoh 2

Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari g(x) = x/(x3+2) pada [-∞, ∞)

Penyelesaian

Pada [-∞, ∞), terdapat dua titik kritis titik ujung 0 dan titik stasioner 1. Untuk 0<x<1, g’(x) >0, sedangkan untuk x>1, g’(x)<0. Jadi, g(1) = 1/3 adalah nilai maksimum g pada [0, ∞).

Jika g mempunyai nilai maksimum, harus terjadi pada titik kritis yang lainnya, yakni x=0, sehingga g(0) adalah nilai minimum g pada [0, ∞).

Ket: tiap contoh berikut berlainan, namun dalam prosedur terdapat elemen bersama yang kita pakai untuk menyelesaikannya. Pada akhirnya dapat disarankan serangkaian lamgkah yang dipakai menyelesaikan masalah maks-min apapun.

Contoh soal

Carilah dua bilangan real positif x dan y sehingga jumlah 50 dan hasil kalinya sebesar mungkin?

Penyelesaian

F(x)= x.y

X+y=50

Y=50-x

F(x)=x (50-x)

F(x)= 50x-x2

f’(x)=50-2x

f’(x)=0

50-2x=0

2x=50

x=25

f(x)=x.y

= 25.(50-25)

= 25.25 = 625

5. Penerapan Ekonomi

Penggunaan turunan dipakai untuk penerapan ekonomi. Salah satunya dipakai sebagai konsep dasar untuk sebuah perusahaan, adalah total laba p(x) yakni selisih antara pendapatan dan biaya.

P(x) = R(x) = xP(x)-c(x)

Umumnya sebuah perusahaan berusaha memeksimumkan total labanya.

Hal yang harus diperhatikan adalah perlu membedakan masalah ekonomi dengan masalah fisika. Pada dasarnya, suatu produk akan berupa satuan-satuan diskrit. Fungsi R(x), C(x) dan P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x= 0,1,2,3….dan seterusnya. Akibatnya grafiknya terdiri dari titik-titk kritis.

R,C, dan P dapat dianggap sebagai fungsi yang dapat didiferensialkan seperti gambar dibawah. Hal ini menggambarkan salah satu aspek dari model matematika yang hampir selalu diperlukan, terutama dalam ilmu ekonomi. Ini berarti bahwa jawaban yang kita peroleh, hanya merupakan jawaban pendekatan. Hal ini membuktikan alasan bahwa ilmu ekonomi sedikit kurang sempurna.

Suatu masalah yang berkaitan dengan seorang pakar ekonomi adalah bagaimana mendapatkan rumus untuk fungsi-fungsi C(x) dan P(x). dalam hal yang sederhana (x) dapat berbentuk : C(x) = 10,000+ 50x

Jika demikian, $10,000 merupakan biaya tetap dan $50 merupakan biaya langsung dari setiap unit yang diproduksi. Misalnya :

C(x) = 10,000+ 45x+100√x dalam hal ini biaya variabel rata-rata perunit adalah

45x+100√x = 45 100

3 √x

Suatu nilai berkurang apabila x bertambah (efisiensinya dari besarnya produksi) fungsi-fungsi biaya C(x) dan C(x) digambarkan menjadi satu.

Penggunaan kata marjinal

Jika IBC mengetahui fungsi biaya C(x) dan untuk sementara direncanakan memproduksi 2000 satuan tahun ini. Direktur utama ingin menetapkan biaya tiap satuan,jika IBC memperbesar produksinya.

Fungsi biaya adalah seperti pada gambar diatas, direktur utama Bina menanyakan nilai ⌂c/⌂x pada saat ⌂x=1

Pada saat x=2000 ini disebut biaya marjinal para matematikawan mengenalnya sebagai dc/dx, turunan C terhadap x. dengan demikian dapat didefinisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal sebagai dR/dX, dan keuntungan marjinal sebagai dp/dx.

Contoh soal

Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200+3,25x-0,0003x2 dengan jumlah persatuan x=1000. tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?

Penyelasaian

= 3200+3,25x-0,0003x2 / X

= 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)2 / 1000

= 6150 / 1000 = 6,15

Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150

= 3,25-0,0006x

= 3,25-0.0006 (1000)

= 2,65

maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650

Contoh soal

<!–[if !supportLists]–>7. <!–[endif]–>Penggambaran Grafik Canggih

Fungsi rasional

Merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk digrafikkan dibandingkan polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dimanapun penyabut nol.

Dalam menggambar grafik, banyak hal berikut akan sangat membantu ;

Langkah 1; Buat analisis pendahuluan sebagai berikut :

<!–[if !supportLists]–>a. <!–[endif]–>Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah dibidang yang dikecualikan

<!–[if !supportLists]–>b. <!–[endif]–>Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal (apakah pungsi genap/ganjil)?

<!–[if !supportLists]–>c. <!–[endif]–>Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat?

<!–[if !supportLists]–>d. <!–[endif]–>Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun.

<!–[if !supportLists]–>e. <!–[endif]–>Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum lokal.

<!–[if !supportLists]–>f. <!–[endif]–>Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung keatas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan titk balik.

<!–[if !supportLists]–>g. <!–[endif]–>Cari asimtot-asimtot

Langkah 2 ; Gambar beberapa titk (termasuk semua titik kritis dan titik balik)

Langkah 3 ; sketsa grafik.

Contoh soal

Sketsalah grafik dari

F(x) = 3x3 + 18x2 + 27x

Penyelesaian:

Titik potong x

<!–[if !supportLists]–>ð <!–[endif]–>y = 0

<!–[if !supportLists]–>ð <!–[endif]–>3x3 + 18 x2 + 27x = 0

<!–[if !supportLists]–>ð <!–[endif]–>3x(x2 + 6x +9) = 0

<!–[if !supportLists]–>ð <!–[endif]–>3x(x+3)(x+3) = 0

<!–[if !supportLists]–>ð <!–[endif]–>x = 0 , x = -3, x = -3

titik potong y

=>x= 0

<!–[if !supportLists]–>ð <!–[endif]–>3(0)3 + 18 (0)2 + 27(0) = 0

naik

f’(x) = 9x2 + 36x + 27

9x2 + 36x + 27 > 0 (dibagi 9)

x2 + 4x + 3 > 0

x = -1, x = -3

<!

-3 -1

(-¥,-3) (-1, ¥)

turun

f’(x) = 9x2 + 36x + 27

9x2 +36x + 27 <0 (dibagi 9)

x2 + 4x + 3 < 0

-3<x<-1

f’’(x) = 18x + 36

cekung keatas

18x + 36 > 0

x >-2

cekung kebawah

18x + 36 < 0

x <-2

8. Teorema Rata-rata

Teorema nilai purata atau teorema nilai rata-rata menyatakan, secara kasar, bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana turunan (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) “rata-rata” turunan bagian kurva tersebut.Teorema ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut.

Teorema ini dapat dipahami dengan menerapkannya pada gerakan: bila sebuah mobil menempuh jarak 100 km dalam satu jam, sehingga rata-rata kecepatannya dalam waktu itu adalah 100 km/jam, maka pada suatu waktu dalam perjalanan itu laju sesaat mobil haruslah tepat 100 km/jam.

Versi awal teorema ini pertama kali diperikan oleh Parameshvara (1370–1460) dari Sekolah astronomi dan matematika Kerala dalam komentarnya tentang Govindasvāmi and Bhaskara II. Bentuk modern teorema nilai rata-rata dinyatakan oleh Augustin Louis Cauchy (1789–1857)

Teorema nilai rata-rata merupakan salah satu hasil terpenting dalam kalkulus diferensial, dan juga salah satu teorema penting dalam analisis matematika, dan esensial dalamm membuktikan teorema dasar kalkulus.

Pernyataan formalMisalkan f : [a, b] → R adalah fungsi kontinu pada selang tertutup [a, b], and dan terdiferensialkan pada selang terbuka (a, b), di mana a < b. Maka terdapat suatu c dalam (a, b) sehingga

Teorema A

Teorema nilai rata-rata untuk turunan. Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a, b). maka terdapat paling sedikit satu bilangan C dalam (a, b) dimana

F(b)-f(a) =f’(c)

b-a

Atau secara setara dimana

f(b)-f(a) = f’(c) (b-a)

Bukti

Pembuktian kita bersandar pada analisis seksama dari fungsi (x) =f(x)-g(x), yang diperkanalkan dalam gambar dibawah ini. Disini y=g(x) adalah persamaan garis yang melalui (a, f(a)) dan (b, f(b)). Karena garis ini mempunyai kemiringan [f(b)-f(a)]/(b-a) dan melalui (a, f(a)), bentuk titik kemiringan untuk persamaan adalah

g(x)-f(a)= F(b)-f(a) = (x-a)

b-a

Kemudian ini menghasilkan rumus untuk s(x) yaitu ;

S(x)=f(x)-f(a)- F(b)-f(a) (x-a)

b-a

Perhatikan bahwa s(b)=s(a)=0 dan bahwa untuk x dalam (a, b)

S’(x)=f’(x)– F(b)-f(a)

b-a

Grafik

Jika terdapat vsuatu bilangan c dalam (a, b) yang memenuhi s’(c)=0 persamaan menjadi;

0=f’(c)– F(b)-f(a)

b-a

Jelas S kontinu pada [a. b], karena merupakan selisih dua fungsi kontinu. Jadi harus mencapai nilai maksimum dan minimum pada [a. b]. jika kedua nilai ini kebetulan adalah 0, maka S(x) secara identik adalah 0 pada [a, b], akibatnya S’(x)=0 untuk semua x dalam (a, b), jauh lebih banyak dari pada yang kita perlukan.

Jika salah satu nilai maksimum atau minimum berlainan dengan 0 maka nilai tersebut dicapai pada sebuah titik dalam C, karena S(a) =S(b) = 0. sekarang S mempunyai turunan disetiap titik dari (a, b), sehingga menurut teorema titik kritis S’(c)=0

Bukti dari teorema kemonotonan

Bahwa f kontinu pada I dan bahwa f’(x)>0 disetiap titik x dibagi dalam I. pandang dua titik sebarang x1 dan x2 dari I dengan x1<x­2 menurut teorema nilai rata-rata yang ditetapkan pada selang [x1, x2], terdapat sebuah bilangan C dalam (x1, x2) yang memenuhi f(x2)-f(x1)=f(c) (x2-x1)

grafik

karena f’(c)>0 kita lihat bahwa f(x2)-f(x1)>0 Yakni, f(x2)>f(x1). inilah apa yang kita maksudkan pada waktu kita mengatakan f adalah naik pada I.

kasus f’(x)<0 pada I ditangani secara serupa.

Teorema B

Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a, b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga

F(x) = G(x) + C(x)

Untuk semua x dalam (a, b)

Bukti

Jika H(x) = F(x) – G(x), maka

H’(x) = F’(x) – G’(x)

Untuk semua x dalam (a, b) pilih x, sebagai suatu titik (tetap) dalam (a, b) dan andaikan x sebarang titik lain disana. Fungsi H hipotesis dari teorema nilai rata-rata pada selang tertutup dengan titik-titik ujung x1­dan x. jadi terdapat sebuah bilangan C diantara x1 dan x sedemikian sehingga

H(x)-H(x1)=H’(c)(x-x1)

Tetapi menurut hipotesis H’(c)=0, karena itu, H(x)-H(x)=0 atau secara setara H(x)=H(x1) untuk semua x dalam (a, b). karena H(x)=F(x)-G(x), kita simpulkan bahwa F(x)-G(x)=H(x) jika C=H(x1) dapat disimpulkan F(x)-G(x)+C.

Optimalisasi

Jika f adalah fungsi yang dapat diturunkan pada R (atau interval terbuka) dan x adalah maksimum lokal ataupun minimum lokal dari f, maka turunan dari f di titik x adalah nol; titik-titik di mana f ‘(x) = 0 disebut titik kritis atau titik pegun (dan nilai dari f di x disebut nilai kritis). (Definisi dari titik kritis kadang kala diperluas sampai meliputi titik-titik di mana turunan suatu fungsi tidak eksis.) Sebaliknya, titik kritis x dari f dapat dianalisa dengan menggunakan turunan ke-dua dari f di x:

• jika turunan ke-dua bernilai positif, x adalah minimum lokal;
• jika turunan ke-dua bernilai negatif, x adalah maksimum lokal;
• jika turunan ke-dua bernilai nol, x mungkin maksimum lokal, minimum lokal, ataupun tidak kedua-duanya. (Sebagai contohnya, f(x)=x³ memiliki titik kritis di x=0, namun titik itu bukanlah titik maksimum ataupun titik minimum; sebaliknya f(x) = ±x4 mempunyai titik kritis di x = 0 dan titik itu adalah titik minimum maupun maksimum.)

Ini dinamakan sebagai uji turunan ke dua. Sebuah pendekatan alternatif lainnya, uji turunan pertama melibatkan nilai f ‘ di kedua sisi titik kritis.

Menurunkan fungsi dan mencari titik-titik kritis biasanya merupakan salah satu cara yang sederhana untuk mencari minima lokal dan maksima lokal, yang dapat digunakan untuk optimalisasi. Sesuai dengan teorema nilai ekstremum, suatu fungsi yang kontinu pada interval tertutup haruslah memiliki nilai-nilai minimum dan maksimum paling sedikit satu kali. Jika fungsi tersebut dapat diturunkan, minima dan maksima hanya dapat terjadi pada titik kritis atau titik akhir.

Hal ini juga mempunyai aplikasi tersendiri dalam proses sketsa grafik: jika kita mengetahui minima dan maksima lokal dari fungsi yang dapat diturunkan tersebut, sebuah grafik perkiraan dapat kita dapatkan dari pengamatan bahwa ia akan meningkat dan menurun di antara titik-titik kritis.

Di dimensi yang lebih tinggi, titik kritis dari nilai skalar fungsi adalah titik di mana gradien fungsi tersebut adalah nol. Uji turunan kedua masih dapat digunakan untuk menganalisa titik-titik kritis dengan menggunakan eigennilai matriks Hessian dari turunan parsial ke-dua fungsi di titik kritis. Jika semua eigennilai tersebut adalah positif, maka titik tersebut adalah minimum lokal; jika semuanya negatif, maka titik itu adalah maksimum lokal. Jika ada beberapa yang positif dan beberapa yang negatif, maka titik kritis tersebut adalah titik pelana, dan jika tidak ada satupun dari keadaan di atas yang terpenuhi (misalnya ada beberapa eigennilai yang nol) maka uji tersebut inkonklusif.

Contoh soal

Jika f(x)=x2+2x pada [-2, 1]. Cari bilangan c yang memenuhi kesimpulan teorema rata-rata?

Penyelesaian

F’(x)= 2x+2

F(2-f(-2) = 8-0 = 2

2-(-2) 4

f’(x) =f’(c)

maka ;

2c+2=2

2c=0

c=0

jadi nilai c nya adalah 0

Jika f(x)=1/3x3+3x2-x+1 pada [-1, 3]. Cari bilangan c yang memenuhi kesimpulan teorema rata-rata?

Penyelesaian