Halo Quipperian! Pada kesempatan kali ini Quipper Blog akan membahas suatu topik yang menarik lho untuk kalian yaitu “Memahami teori dan konsep dasar tentang polinomial (suku banyak)”. Kalian pasti sudah memahami tentang istilah persamaan kuadrat? Persamaan kuadrat mempunyai bentuk umum yaitu “ax2+bx+c = 0”. Kita tahu bahwa cara menentukan unsur-unsur dari persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara pemfaktoran, kuadrat sempurna, dll. Show
Sehingga diperoleh unsur-unsurnya sebagai berikut: (ax+b)(cx+d) = 0. Lalu pertanyaannya, bagaimana cara menentukan suku-suku persamaan yang pangkatnya lebih dari 2 yaitu ax3+bx2+cx+d = 0? Sistem persamaan yang pangkatnya lebih dari 2 disebut dengan polinomial (suku banyak). Cara menentukan suku-suku dari persamaan polinomial dapat dilakukan dengan metode horner, metode substitusi, dll. Bagaimana, penasaran untuk tahu lebih lanjut? Sudah mulai antusias? Langsung, saja. Let’s check this out! Pengertian Suku BanyakSistem persamaan polinomial (suku banyak) adalah sistem persamaan dengan pangkat tertingginya lebih besar dari 2 ( > 2). Bentuk umum dari polinomial adalah sebagai berikut: Dimana :
Contoh persamaan dari sistem polinomial adalah 2x3+5x2+6x=8 = 0. Operasi pada Suku BanyakSuatu persamaan polinomial memiliki operasi dasar yang sama dengan sistem persamaan kuadrat yaitu : operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian suku banyak. Teorema nya adalah sebagai berikut : jika f(x) dan g(x) berturut-turut adalah suku banyak berderajat m dan n, maka :
Contohnya : 1. Penjumlahan 2. Pengurangan Kesamaan Suku BanyakMisalkan terdapat suku banyak yaitu : Dan suku banyak yang lain adalah : Jika f(x) ≡ g(x) maka haruslah an= bn, an-1= bn-1, ……… a1= b1 f(x) ≡ g(x) disebut dengan kesamaan polinomial. Dua buah sistem persamaan polinomial dikatakan memiliki kesamaan jika keduanya :
Pada kesamaan polinomial tidak berlaku pindah ruas atau kali silang seperti yang terjadi pada operasi aljabar. Contoh Soal Kesamaan Polinomial1. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+c = 0, tentukan nilai α + β dan hasil dari α.β Jawaban : Pembagian Suku BanyakSuatu fungsi suku banyak dapat dilakukan operasi pembagian terhadap fungsi lainnya. Ada dua cara yang dapat dilakukan yaitu pembagian suku banyak dengan cara bersusun dan dengan metode horner (bagan). 1. Pembagian suku banyak dengan strategi pembagian bersusunMisalkan suku banyak fx= a2x2+a1x+ a0 dibagi dengan (x-k) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S, sehingga diperoleh hubungan : Untuk menentukan hasil bagi H(x) dan sisa S digunakan pembagian suku banyak dengan cara pembagian bersusun berikut ini : Jadi, Hasil bagi H(x) = a2x + a2k + a1 (pada bagian atas) dan sisa S (pada bagian bawah) = a0+ a1k + a2k2 2. Pembagian suku banyak menggunakan metode hornerAturan penggunaan metode horner pada operasi pembagian adalah sebagai berikut :
Proses pembagian menggunakan metode horner dapat dijelaskan seperti dibawah ini : Jadi, hasil bagi H(x) = a2x+a2k+ a1 dan sisa S = a2k2+a1k+ a0 Contoh Soal Pembagian Suku Banyak1. Tentukan hasil bagi 4x5+3x3-6x2-5x+1 bila dibagi dengan 2x-1 menggunakan metode pembagian bersusun dan metode horner! a. Metode pembagian bersusun b. Metode horner Dari persamaan diatas, hasil bagi dan sisa yang diperoleh adalah sama yaitu 2x4+x3+2x2-2x-7/2 dan sisanya = -5/2 Teorema Sisa (Dalil Sisa)Teorema ini digunakan untuk menentukan nilai sisa pembagian suatu suku banyak tanpa mengetahui suku banyak dan/atau hasil baginya. Bentuk umum dari teorema sisa adalah adalah sebagai berikut : Misalkan suku banyak f(x) dibagi dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S(x), maka akan diperoleh hubungan : Jika F(x) suku banyak berderajat n dan P(x) adalah pembagi berderajat m, dengan m ≤ n, maka diperoleh :
Syarat pembagi menggunakan teorema sisa terdapat dengan dua cara yaitu : a. Pembagian dengan (x-k) Teorema Sisa bagian 1: “ jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x-k) maka sisanya S=f(k), sisa f(k) adalah nilai suku banyak x=k yang dapat ditentukan dengan strategi substitusi atau strategi skema (bagan) ”. b. Pembagian dengan (ax+b) Contoh soal : Teorema Sisa (Dalil Sisa)1. Carilah sisa pembagi suku banyak 8x3-2x2+5 dengan (x+2) Pembahasan : a. Menggunakan substitusi b. Menggunakan skema (bagan) dengan pembagian (x-k) Jadi, sisanya S = f(-2) = -67 menggunakan teorema sisa. Teorama FaktorTeorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor lain atau akar-akar rasional dari sistem persamaan suku banyak menggunakan metode horner. Pada teorema faktor menjelaskan 2 konsep yaitu :
Contoh soal teorema faktor1. Jika salah satu akar dari f(x) = x4+ mx3-6x2+7x-6 adalah 2, tentukan akar linear lainnya! Pembahasan : Kemudian gunakan metode horner untuk menentukan faktor atau akarainnya, yaitu : Sehinga faktor (x) yang lain adalah (x-2), (x+3), dan (x2-x+1). Oleh sebab itu, faktor lain dari akar linearnya adalah -3. Soal dan Pembahasan dari Bank Soal QuipperBagaimana Quipperian sudah mulai memahami tentang rumus umum dan konsep dasar dari sistem persamaan polinomial. Agar kalian lebih cakap memahami materi in, Quipper Blog lampirkan soal dan pembahasan dari bank soal Quipper. Perlu kalian tahu, bahwa bank-bank soal Quipper selalu up to date untuk soal-soal UN dan SNMPTN. Oleh sebab itu, bank soal Quipper selalu relevan untuk menemani latihan soal kalian. Let’s check this out! 1. Soal : Operasi pengurangan dari PolinomialJika P(x) = 2x4-5x3+6x2-x-2 dan Q(x) = x5-1, maka hasil P(x) – Q(x) beserta derajatnya adalah……. Pembahasan : Dengan mengurangkan suku-suku sejenisnya, diperoleh : P(x)- Q(x) memiliki nilai pangkat tertinggi 5, sehingga termasuk suku banyak berderajat 5. Jadi, hasil operasi P(x) – Q(x) adalah –x5+2x4-5x3+6x2-x-1 2. Soal : Operasi Penjumlahan dari PolinomialJika Px=3x-3x2-1 dan Qx=3x2+x-2, maka operasi dari P(x) + Q(x) beserta derajatnya adalah ……… Pembahasan : P(x) + Q(x) memiliki nilai pangkat tertinggi 1, sehingga termasuk suku banyak berderajat 1, jadi hasil operasi P(x) + Q(x) adalah 4x -3 dengan derajat 1. 3. Soal : Pembagian bersusun PolinomialSisa pembagian 3x3+6x2-5x-6 oleh x2+2x+3 Pembahasan : Jadi, sisa pembagian 3x3+6x2-5x-6 oleh x2+2x+3 adalah -14x-6 Bagaimana Quipperian sudah mulai memahami tentang teori dan konsep dasar tentang suku banyak (polinomial) ? Ternyata mempelajari matematika bukanlah perkara yang sulit apabila kita mulai dari konsep yang dasar lalu banyak berlatih latihan soal. Kalau kalian sudah mulai tertarik memahami konsep-konsep matematika seperti yang dijabarkan di atas, jangan ragu untuk bergabung bersama Quipper Video. Karena akan banyak video yang menarik dengan penjelasan yang gampang dimengerti dan disertai animasi-animasi kece sehingga kamu memahami setiap konsep pelajaranmu dengan gampang, asyik, dan menyenangkan. Tidak hanya itu, di Quipper juga tersedia bank soal yang disertai pembahasan sehingga dapat membantu kamu menjawab setiap soal-soal ujian di sekolah kalian. Salam Quipper!
Penulis: William Yohanes |