Bila kita perhatikan, suatu koin memiliki 2 sisi, angka dan gambar. Apabila dilempar 10 kali ke udara, ada berapa kesempatan gambar berada di posisi atas? Berapa kali angka muncul di atas? Konsep ini biasa kita kenal dengan peluang. Untuk mengetahui nilai peluang dari kejadian tersebut, maka kamu akan butuh yang namanya rumus peluang. Show Rumus ini akan sering sekali kamu gunakan ketika mempelajari peluang dalam salah satu mata pelajaran, yaitu matematika. Untuk bisa menguasai rumus peluang ini dengan baik maka kamu harus memperhatikan ulasan di bawah ini. Mengenal Rumus PeluangPeluang bisa kita definisikan sebagai sebuah cara untuk mengetahui nilai kemungkinan terjadinya suatu peristiwa acak berdasarkan kemungkinan hasil peristiwa tersebut. Kembali pada contoh kita sebelumnya mengenai uang logam yang memiliki 2 sisi, yaitu angka dan gambar. Sisi Angka akan kita sebut sebagai A, sedangkan gambar adalah B. Apabila kita melemparkannya ke udara sebanyak sepuluh kali, kita tidak akan tahu hasil lemparan secara pasti. Kita hanya dapat menghitung peluang gambar akan muncul di atas. Kegiatan melemparkan koin ini dinamai dengan percobaan acak. Percobaan ini bisa kita ulang beberapa kali. Rangkaian beberapa percobaan tersebut disebut sebagai eksperimen. Nah, dalam rumus peluang kita akan mengenal Frekuensi Relatif, Ruang Sampel, dan Titik Sampel. Frekuensi RelatifFrekuensi Relatif adalah nilai perbandingan antara banyak kejadian yang kita amati dengan banyak percobaan yang kita lakukan. Berdasarkan eksperimen yang kita lakukan, maka kita dapat mendapatkan rumus: Seperti contoh yang sudah kita jabarkan sebelumnya, dalam 10 kali percobaan pelemparan koin, sisi B muncul sebanyak 5 kali, maka kita akan mendapatkan hasil frekuensi relatif sebanyak . Ruang SampelRuang sampel bisa kita definisikan sebagai himpunan dari seluruh kemungkinan hasil percobaan dalam suatu eksperimen. Ruang sampel biasanya dilambangkan dengan S. Dalam eksperimen melempar sebuah uang logam yang memiliki sisi A dan B, maka ruang sampelnya adalah S = {A,B}. Jika kita lemparkan dua buah uang logam, maka ruang sampelnya dapat dituliskan dalam tabel berikut.
Ruang sampelnya yakni S = {(A,A), (A,B), (B,A), (B,B)} Kejadian A1 yang memuat dua sisi B adalah = {(B,B)} Kejadian A2 yang tidak memuat dua sisi B adalah = {(A,A),(A,B),(B,A)} Titik SampelNah, yang satu ini masih ada hubungannya dengan Ruang sampel. Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel. Misalnya pada contoh di atas, dari ruang sampel S={(A,A), (A,B), (B,A), (B,B)}, maka titik sampelnya adalah (A,A), (A,B), (B,A), dan (B,B). Banyak titik sampel tersebut dapat dituliskan dengan n(S)=4. Apabila sudah mengenal 3 hal ini, barulah kita bisa mempelajari rumus peluang matematika secara lebih lanjut. Peluang Kejadian APeluang kejadian A dapat dituliskan sebagai P(A). Coba kita ambil contoh sebuah dadu yang memiliki ruang sampel S= {1,2,3,4,5,6} maka nilai dari n(S) adalah 6. Lalu ada kejadian A yang berupa munculnya angka 1,2,3. Kejadian A={1,2,3} memiliki nilai n(A) =3. Peluang kejadian A bisa dinyatakan dalam rumus: sehingga Peluang Kejadian MajemukSetelah kamu mempelajari peluang kejadian tunggal, selanjutnya kamu harus mengetahui peluang kejadian majemuk. Peluang kejadian majemuk antara lain: 1. Kejadian Saling LepasDua buah kejadian A dan B dikatakan saling lepas apabila kedua kejadian tidak memiliki irisan. Dua kejadian tidak memiliki irisan jika tidak ada elemen kejadian A yang merupakan elemen kejadian B, atau sebaliknya. Rumus peluang kejadian saling lepas adalah: P (A∪B) = P(A) + P(B) 2. Kejadian Tidak Saling LepasKejadian ini merupakan kebalikan dari kejadian saling lepas.Terdapat irisan antara kejadian A dan kejadian B, sehingga rumusnya dapat dituliskan seperti ini: P (A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 3. Kejadian BersyaratKejadian bersyarat ini dapat terjadi apabila kejadian A dapat mempengaruhi munculnya kejadian B atau sebaliknya. Rumusnya bisa dituliskan seperti ini: Peluang kejadian B bersyarat A: P (A∩B) = P(A) × P(B|A) Peluang kejadian A bersyarat B: P (A∩B) = P(B) × P(A|B) 4. Kejadian Saling BebasJika dua kejadian tidak saling mempengaruhi, maka dua kejadian ini saling bebas. Peluang kejadian saling bebas dapat dirumuskan sebagai berikut: P (A∩B) = P(A) × P(B) Nah itu dia beberapa hal yang harus kamu ketahui dari rumus peluang. Hal-hal ini akan bisa membantu kamu untuk memahami materi peluang dengan mudah. Apabila kamu memiliki pertanyaan mengenai hal ini, silahkan tulis di kolom komentar. Jangan lupa untuk di-share ya.
Pelajari pertanyaan-pertanyaan pada masing-masing kegiatan belajar dan kemudian jawablah soal latihan yang tersedia. A. Kegiatan Belajar 1 : Masalah tentang Ruang Sampel dan Penggunaan Tabel Jawablah terlebih dahulu soal-soal berikut, sebelum Anda melanjutkan membaca modul ini. Setelah Anda berusaha untuk menjawab soal-soal ini, lakukan refleksi: Bagaimana menyusun ruang sampel dari suatu percobaan yang terdiri atas beberapa percobaan kecil? Bagaimana menggunakan bantuan tabel pada percobaan sejenis? Apakah saya mengalami kesulitan mengenai soal tersebut? Apakah saya seharusnya dapat menjawab soal tersebut? Pernahkan saya menjumpai soal yang mirip dengan soal tersebut? Setelah itu, bacalah kelanjutan pembahasan pada modul dan bandingkan atau temukan jawaban dari penjelasan yang diberikan di modul ini. Soal Dilakukan sebuah percobaan: 2 buah mata uang logam dan sebuah dadu dilambungkan 1 kali. Tentukan ruang sampel dari percobaan tersebut! Bagaimana Anda menggunakan bantuan tabel untuk menentukan ruang sampel percobaan di atas? Pembahasan Ingat kembali pengertian “ruang sampel” yaitu himpunan semua hasil (outcome) yang mungkin pada suatu percobaan (experiment). Jika sebuah mata uang logam dilambungkan sekali, maka kemungkinan sisi apa yang muncul? Jelas, karena sebuah mata uang logam hanya memiliki 2 sisi, katakan sisi angka (A) dan sisi gambar (G), maka ada 2 kemungkinan hasil: A atau G. Tidak ada kemungkinan hasil yang lain (dengan menganggap tidak mungkin mata uang logam dapat berdiri pada percobaan pelambungan). Dengan demikian ruang sampel percobaan melambungkan sebuah mata uang logam sekali adalah {A, G} atau {G, A}. Sekarang, bagaimana bila 2 mata uang logam secara serempak dilambungkan 1 kali? Dalam hal percobaan yang dilakukan dapat dipandang sebagai rangkaian 2 “percobaan kecil”. Mata uang logam yang mana saja dapat dianggap sebagai “percobaan kecil 1” dan mata uang logam yang lain sebagai “percobaan kecil 2”. Mudah dipahami bahwa apa yang kita sebut hasil dari percobaan di atas, tentu saja bukan hasil salah satu “percobaan kecil”. Tetapi rangkai hasil dari “percobaan- percobaan kecil” itu. Untuk “percobaan kecil 1” terdapat dua hasil yang mungkin yaitu A atau G sehingga ruang sampelnya {A, G}. Untuk “percobaan kecil 2” juga terdapat dua hasil yang mungkin yaitu A atau G sehingga ruang sampelnya {A, G}. Nah, rangkaian yang mungkin hasil-hasil dari “percobaan-percobaan kecil” inilah yang membentuk hasil pada percobaan semula. Ada berapa banyak hasil yang mungkin pada percobaan dimaksud? Salah satu cara untuk menentukan semua ruang sampel adalah menggunakan pencacahan langsung (direct counting). Misal hasil “percobaan kecil 1” adalah A maka hasil “percobaan kecil 2” bisa A bisa G, jadi ada dua rangkaian yang mungkin yaitu A-A dan A-G, untuk mudahnya cukup kita tulis AA dan AG. Nah, untuk kemungkinan hasil pada “percobaan kecil 1” adalah G terdapat dua rangkaian hasil “percobaan-percobaan kecil” yaitu GA dan GG. Secara keseluruhan terdapat 4 buah hasil yang mungkin. Jadi, ruang sampel pada percobaan yang dimaksud pada masalah ini adalah {AA, AG, GA, GG}. Selain cara pencacahan langsung di atas, terdapat pula cara sistematis dengan menggunakan diagram pohon yang sesungguhnya merupakan ilustrasi dari pencacahan langsung. Berikut diagram pohon yang dimaksud. Bagaimana dengan tabel? Tabel umumnya memiliki baris dan kolom sehingga kita dapat menggunakan judul baris sebagai tempat hasil-hasil “percobaan kecil 1” dan judul-judul kolom sebagai tempat hasil-hasil “percobaan kecil 2”. Berikut ini tabel untuk percobaan dimaksud. A G A AA AG G GA GG A A G G A G = AA = AG = GA = GG Menyusun Ruang Sampel dari percobaan yang terdiri atas beberapa percobaan kecil yang tidak sejenis Bagaimana bila percobaannya terdiri atas percobaan-percobaan kecil yang tidak sejenis, misalnya pelambungan sebuah dadu dan sebuah mata uang logam 1 kali? Ingat kembali definisi ruang sampel sebagai himpunan. Pada kasus ini pentingkah urutan “percobaan mata uang logam” dan “percobaan dadu”? Jika penting artinya rangkaian hasil dari “percobaan-percobaan kecil” ini membentuk suatu urutan (analog dengan koordinat (x, y)). Pada kasus ini, jelas bahwa urutan ini tidak penting atau urutannya tidak diperhatikan, jadi rangkaian hasil A3 (sisi angka dan mata dadu 3) dianggap sama dengan 3A (mata dadu 3 dan sisi angka). Dengan menganggap “percobaan 1” adalah pelambungan dadu, maka diperoleh diagram pohon di bawah ini. Jadi, ruang sampelnya {1A, 1G, 2A, 2G, 3A, 3G, 4A, 4G, 5A, 5G, 6A, 6G} Dengan cara yang sama dapat pula ditulis {A1, A2, A3, A4, A5, A6, G1, G2, G3, G4, G5, G6} 1 A G 2 A G = 1A = 1G = 2A = 2G 3 A G 4 A G = 3A = 3G = 4A = 4G 5 A G 6 A G = 5A = 5G = 6A = 6G Dengan menggunakan tabel sebagai berikut: 1 2 3 4 5 6 A A1 A2 A3 A4 A5 A6 G G1 G2 G3 G4 G5 G6 Nah, selanjutnya untuk suatu percobaan yang terdiri atas 3 atau lebih “percobaan kecil” dapat ditentukan ruang sampelnya dengan cara-cara seperti di atas. Barangkali yang menjadi permasalahan krusial adalah bagaimana menggunakan cara tabel menentukan ruang sampelnya. Anda mungkin berpikir karena tabel hanya terdiri atas baris dan kolom maka percobaan dengan 3 atau lebih “percobaan kecil” tidak dapat dinyatakan dengan tabel. Jika Anda berpikiran demikian maka Anda salah. Sesungguhnya kita dapat pula mempartisi atau membagi kolom menjadi sub-subkolom, demikian pula baris menjadi sub- subbaris. Perluasan baris dan kolom inilah yang diterapkan untuk menentukan ruang sampel. Berikut ini contoh sederhana untuk memberi ilustrasi bagaimana menentukan ruang sampel dengan perluasan tabel. Pandang percobaan melambungkan 3 mata uang logam sekaligus. Untuk percobaan ini, terdapat tiga “percobaan kecil” yaitu melambungkan sebuah mata uang logam. Karena tabel sederhana hanya memuat judul untuk baris dan kolom, maka kita perlu membuat partisi pada baris atau kolom. Di sini akan kita pergunakan partisi kolom. Diberikan tabel sebagai berikut: A G A G A G A AAA AAG AGA AGG G GAA GAG GGA GGG Percobaan kecil 1 Percobaan kecil 2 (mata uang logam 2) Perhatikan bahwa sub-subkolom pada tabel di atas harus dibuat untuk semua kolom utama. Mengapa demikian? Hal ini sesungguhnya representasi ulang dari penggunaan diagram pohon, yaitu bahwa semua hasil (outcome) suatu percobaan “kompleks” merupakan rangkaian seluruh hasil-hasil yang mungkin dari tiap “subpercobaan” atau “percobaan kecilnya”. Perhatikan pula pada pembacaan sebuah tabel secara umum disepakati mulai dari judul baris baru kemudian judul kolom. Untuk tiap baris dimulai dari baris utama, kemudian subbaris di bawah atau di dalamnya, kemudian sub subbaris di dalamnya, demikian seterusnya. Demikian pula untuk kolom utama, subkolom, sub-subkolom, dan seterusnya. Setelah Anda mengikuti pembelajaran dan pembahasan di muka, seharusnya Anda sudah mulai atau lebih memahami bagaimana menentukan suatu percobaan yang kompleks, khususnya menjawab soal pada Kegiatan Belajar 1 ini. B. Kegiatan Belajar 2 : Masalah tentang Peluang Kejadian Sederhana Jawablah terlebih dahulu soal-soal berikut, sebelum Anda melanjutkan membaca modul ini. Setelah Anda berusaha untuk menjawab soal-soal ini, lakukan refleksi: Apakah saya mengalami kesulitan mengenai soal tersebut? Apakah saya Soal Latihan 1. Diberikan 3 keranjang, masing-masing keranjang berisi: 1 pulpen, 1 pensil, dan 1 spidol. Dilakukan suatu percobaan yaitu mengambil satu benda dari tiap keranjang. Tentukan ruang sampel yang terjadi! 2. Tentukan ruang sampel dari percobaan melambungkan 2 dadu dan 2 mata uang logam sekaligus dengan menggunakan tabel! Apa yang dimaksud dengan kejadian sederhana? Apa pengertian peluang? Bagaimana menentukan peluang kejadian sederhana? seharusnya dapat menjawab soal tersebut? Pernahkan saya menjumpai soal yang mirip dengan soal tersebut? Setelah itu, bacalah kelanjutan pembahasan pada modul dan bandingkan atau temukan jawaban dari penjelasan yang diberikan di modul ini. Soal 1 Jika sebuah mata uang logam dilambungkan, maka hasil yang mungkin adalah muncul sisi angka (A) atau muncul sisi gambar (G). Syarat apa yang harus dipenuhi agar peluang muncul sisi angka benar-benar setengah, yaitu P(A) = ½ ? Soal 2 Tito ingin mengundi siapa dari keenam orang (ia beserta lima temannya) yang harus mentraktir bakso pada hari Sabtu. Karena banyaknya orang adalah enam, Tito berinisiatif menggunakan dadu untuk mengundi. Jika setiap orang diwakili oleh satu sisi dadu yang berbeda, maka berapa peluang Tito akan mentraktir bakso pada hari Sabtu? Berapa pula peluang bukan Tito yang mentraktir? Pembahasan Konsep peluang di dalam matematika memiliki banyak pengertian dan pendekatan. Salah satu pendekatan yang disebut pendekatan klasik adalah bahwa peluang dapat dihitung bila setiap hasil yang mungkin memiliki “kesempatan“ yang sama. Walaupun pada banyak percobaan, syarat tersebut sangat sulit untuk dipenuhi, tetapi kita dapat menganggap syarat ini dipenuhi dengan sedikit pengabaian. Contohnya bila kita mengambil sebuah mata uang logam, yang menjadi pertanyaan kritis dalam hal ini adalah apakah mata uang logam tersebut benar- benar ideal dalam pengertian benar-benar berupa tabung pipih yang sempurna dan memiliki berat yang seragam di tiap titik dalamnya (secara kimia-fisika berarti kerapatan dan unsur-unsur pembuatnya di setiap titik dalam mata uang logam adalah sama). Tentu untuk membuat mata uang logam yang “sempurna“ seperti ini adalah tidak mungkin. Oleh karena itu, kita selalu diperbolehkan untuk mengabaikan “ketidaksempurnaan“ itu. Dalam bahasa yang sederhana kita katakan mata uang logam itu dianggap sempurna. Apakah permasalahannya sudah selesai? Jika diteliti lebih dalam, bisa pula muncul problem selanjutnya. Jika mata uang logam yang dianggap sempurna itu dilambungkan, apakah pasti akan muncul sisi dari mata uang logam? Bukankah dapat terjadi mata uang logam itu berdiri, mata uang logam itu hancur, dan lain- lain. Tetapi sekali lagi, percobaan ini pun dianggap “sempurna“. Kadang untuk menunjukkan ke arah kesempurnaan, kita katakan bahwa mata uang logam dilambungkan di atas lantai yang datar. Dengan pengertian “sempurna“ di atas, maka peluang sebuah hasil (outcome) dari suatu ruang sampel adalah perbandingan banyak kemunculannya dibanding banyaknya anggota ruang sampel. Definisi inilah yang disebut definisi teoretis dan nilai peluangnya disebut peluang teoretis. Perhatikan contoh-contoh berikut. Contoh 1 Oleh karena ruang sampel percobaan melambungkan sebuah mata uang logam adalah {A, G} maka peluang muncul sisi angka ditulis P(A) adalah ½. Juga P(G) = ½. Contoh 2 Pada pelambungan sebuah dadu, maka peluang muncul sisi 1 adalah P(1) = 1/6. Mudah dipahami juga bahwa P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6. Contoh 3 Pada percobaan melambungkan 2 mata uang logam, ruang sampelnya {AA, AG, GA, GG}. Dengan demikian peluang muncul kedua mata uang logam sisi angka, P(AA) = ¼. Juga mudah dipahami bahwa P(AG) = P(GA) = P(GG) = ¼. Perhatikan pada ruang sampel di atas, bila yang ditanya peluang muncul sisi yang berlainan, maka ada dua hasil yang sesuai yaitu AG dan GA. Dengan demikian P(2 sisi berlainan) = 2/4. Selanjutnya yang dimaksud dengan kejadian sederhana (elementary event) adalah kejadian berupa salah satu hasil dari percobaan atau anggota dari ruang sampel. Kesimpulan dari pembahasan di depan adalah bahwa peluang untuk kejadian sederhana merupakan peluang “teoretis“ yaitu dengan anggapan benda yang dicobakan dalam keadaan sempurna sehingga setiap hasil mempunyai “kesempatan“ yang sama untuk muncul, serta proses percobaan dilakukan sempurna. Inilah jawaban dari soal 1 di atas. Untuk soal 2, dengan anggapan setiap sisi memiliki kesempatan yang sama atau dengan kata lain dadu dalam sempurna (dalam bahasa lain dikatakan “setimbang”) maka setiap sisi dadu memiliki nilai peluang 1/6. Dengan demikian, peluang Tito mentraktir bakso pada hari Sabtu adalah 1/6. Berapa peluang yang mentraktir bukan Tito? Untuk menjawab masalah ini, kita harus mengingat bahwa peluang sebarang sisi dadu yang muncul adalah 1, suatu kepastian. Dengan kata lain, peluang ada sisi dadu yang muncul adalah 1. Oleh karena itu seharusnya berlaku bahwa peluang Tito mentraktir ditambah peluang bukan Tito mentraktir adalah 1. Jadi, mudah dipahami bahwa peluang bukan Tito yang mentraktir adalah 1 – 1/6 = 5/6. Dapat disimpulkan bahwa pada suatu percobaan dengan A suatu kejadian sederhana maka P(A) + P(bukan A) = 1. Bila kita eksplorasi lebih lanjut, peluang bukan Tito yang mentraktir adalah jumlah dari peluang masing-masing teman Tito. Oleh karena peluang setiap orang mentraktir adalah sama yaitu 1/6, maka peluang bukan Tito yang mentraktir adalah 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6. Ternyata nilainya sama dengan hasil sebelumnya. Soal Latihan 3. Suatu percobaan melambungkan 2 dadu. Berapa peluang muncul sisi angka 3 pada dadu yang satu dan angka 4 pada dadu yang lain? C. Kegiatan Belajar 3 : Masalah tentang Frekuensi Relatif dan Frekuensi Harapan Jawablah terlebih dahulu soal-soal berikut, sebelum Anda melanjutkan membaca modul ini. Setelah Anda berusaha untuk menjawab soal-soal ini, lakukan refleksi: Apakah saya mengalami kesulitan mengenai soal tersebut? Apakah saya seharusnya dapat menjawab soal tersebut? Pernahkan saya menjumpai soal yang mirip dengan soal tersebut? Setelah itu, bacalah kelanjutan pembahasan pada modul dan bandingkan atau temukan jawaban dari penjelasan yang diberikan di modul ini. Soal Pada suatu percobaan melambungkan sebuah koin masing-masing oleh 5 siswa berbeda diperoleh bahwa 4 siswa mendapatkan sisi angka yang muncul dan hanya satu siswa yang memperoleh sisi gambar yang muncul. Apakah ini berarti bahwa secara teori, peluang muncul sisi angka lebih besar dari peluang muncul sisi gambar? Pembahasan Bila diaplikasikan suatu percobaan, maka kemunculan suatu hasil tidak menunjukkan nilai peluang hasil itu. Nilai peluang suatu hasil hanya dapat didekati lewat percobaan yang diulang sebanyak mendekati tak-hingga lewat perbandingan banyak muncul hasil tersebut terhadap banyak percobaan. Bila banyak percobaan berhingga (tidak mendekati tak-hingga) maka perbandingan banyak kemunculan hasil tersebut terhadap banyak percobaan disebut frekuensi relatif (pada banyak percobaan tersebut). Jadi, tindakan melakukan percobaan tidak dapat menjustifikasi (membenarkan) nilai peluang suatu hasil. Walaupun demikian, tindakan percobaan dapat dilakukan Bagaimana bila peluang ditentukan lewat praktek percobaan yang berulang-ulang (duplikasi)? Apa yang dimaksud dengan frekuensi harapan? untuk melihat kecenderungan (trend). Contohnya, untuk melihat kecenderungan yang cukup jelas pada kasus pelambungan mata uang logam, minimal dilakukan 100 kali percobaan yang sama (mengikuti saran dari Kuchenhoff, Helmut, 2000). Jadi, peluang yang dipelajari di SMP sesungguhnya peluang dalam definisi “sempurna“ ini. Oleh karena itu, jika kita benar-benar melakukan percobaan melambungkan sebuah mata uang logam di kelas, maka bisa jadi hasilnya tidak seperti yang diharapkan. Jika kita melakukan percobaan, misalnya, melambungkan sebuah mata uang logam, tentu mungkin yang akan muncul sisi angka (A) atau sisi gambar (G). Bagaimana meyakinkan diri (termasuk kepada para siswa) bahwa peluang muncul A benar-benar ½, walaupun setelah dilakukan percobaan tetap yang muncul sisi gambar (G)? Menurut pendekatan empiris menyatakan bahwa bila kita melakukan suatu percobaan dan percobaan itu dilakukan kembali (duplikasi) sebanyak mendekati tak-hingga maka perbandingan muncul suatu hasil terhadap jumlah percobaan akan mendekati peluang kejadian hasil itu. Contoh 1 Bila kita melakukan percobaan melambungkan sebuah mata uang logam berulang-ulang mendekati tak-hingga maka perbandingan banyaknya muncul sisi angka (A) terhadap banyak percobaan mendekati peluang muncul sisi angka P(A), yaitu ½. Bagaimana mungkin kita dapat meyakinkan siswa bila percobaan yang diperlukan harus sebanyak mendekati tak-hingga? Untuk itu sesungguhnya kita cukup melakukan pengulangan percobaan secara bertahap mulai dari 10 kali, lalu 20 kali, 50 kali, dan terus semakin besar hingga pada banyak percobaan yang masih mungkin dapat dilakukan. Data frekuensi munculnya sisi angka (A) pada tiap tahap, lalu kita hitung perbandingannya terhadap banyak percobaan. Diharapkan bahwa perbandingan yang diperoleh semakin mendekati ½. Walaupun demikian kecenderungan ini tetap saja merupakan harapan. Perbandingan yang diperoleh untuk tiap tahap di atas dikenal dengan nama frekuensi relatif muncul sisi angka. Jadi, semakin besar jumlah percobaannya maka frekuensi relatif akan semakin mendekati nilai peluang yang sebenarnya (keadaan sempurna). Contoh 2 Di bawah ini diberikan ilustrasi percobaan melambungkan sebuah dadu. Jumlah percobaan 10 30 50 100 Jumlah muncul sisi bernomor 3 2 7 9 16 Frekuensi relatif muncul 3 2/10 = 0,2 7/30 = 0,233.. 9/50 = 0,18 0,16 Bandingkan dengan peluang “sesungguhnya“, P(3) = 1/6 = 0,16666.... Berbeda dengan frekuensi relatif, maka bila kita telah mengetahui peluang suatu kejadian, P(A), apa yang disebut frekuensi harapan (Fh )kejadian tersebut untuk banyak duplikasi percobaan n adalah P(A)×n. Contoh 3 Perhatikan tabel sebelumnya. Pada jumlah percobaan 100 diperoleh frekuensi relatif 0,17. Untuk jumlah percobaan yang sama, maka frekuensi harapannya adalah (1/6)×100 = 16,666… yang dapat dibulatkan menjadi 17. Jadi, bila sebuah dadu dilambungkan sebanyak 100 kali maka kita berharap (sesuai pengetahuan kita bahwa P(3) = 1/6) bahwa mata dadu bernomor 3 muncul sebanyak 16,66… atau dibulatkan 17 kali. Jelas dalam hal ini, mengapa frekuensi harapan menggunakan kata “harapan” oleh karena dalam prakteknya belum tentu sama persis. Pada pelambungan 1000 kali sebuah mata uang logam, berapa frekuensi harapan muncul sisi gambar dari mata uang logam itu? Kita tahu bahwa peluang muncul sisi gambar pada pelambungan sebuah mata uang logam adalah ½. Oleh karena itu, frekuensi harapan pelambungan 1000 kali sebuah mata uang logam adalah ½ × 1000 = 500. Soal Latihan 1. Suatu percobaan melambungkan paku pines (atau paku payung yang kecil). Percobaan dilakukan sebanyak 100 kali, dan ternyata paku dalam keadaan “terlentang” yaitu dengan posisi ujung paku di atas terjadi sebanyak 76 kali. Berapa peluang paku pines terlentang? Berikan ulasan Anda! 2. Pada percobaan melambungkan sebuah mata uang logam, sebanyak 1000 kali, diperoleh bahwa banyak kemunculan sisi angka adalah 810 kali, sementara kemunculan sisi gambar hanya sebanyak 190 kali. Kesimpulan apa yang dapat ditarik dari percobaan tersebut? BAB IVPENUTUPA. Rangkuman Materi Statistika dan Peluang dalam Standar Isi Permendiknas Nomor 22 tahun 2006, mempunyai empat kompetensi dasar yang harus dicapai oleh siswa yaitu: 1. menentukan rata-rata (mean), median dan modus data tunggal serta penafsirannya, 2. menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis dan lingkaran, 3. menentukan ruang sampel suatu percobaan, dan 4. menentukan peluang suatu kejadian sederhana. Akan tetapi banyak permasalahan yang dihadapi guru berkaitan dengan materi statistika khususnya menyajikan data dalam diagram lingkaran rata-rata (mean) pada aspek pemecahan masalah, median dan modus, sedangkan materi peluang yang berkaitan dengan aspek memahami konsep kejadian sederhana serta menentukan peluang dari suatu kejadian sederhana. Modul ini diharapkan dapat digunakan para guru sebagai bahan diskusi dalam pertemuan di MGMP. B. Tes 1. Jelaskan pengertian ukuran pemusatan! 2. Dari sembilan kali ulangan seorang siswa mendapat nilai: 60, 62, 58,61, 62, 56, 54, 59, dan 57. Manakah dari tiga ukuran pemusatan rata-rata (mean), modus atau median yang menguntungkan bila dipilih untuk menentukan nilai rapor? 3. Anwar mempunyai sebuah kotak berisi 10 kelereng merah, 5 kelereng hijau dan 5 kelereng kuning. Ia akan mengambil sebuah kelereng secara acak. Berapa peluang akan terambil kelereng merah ? Berapa peluang akan terambil kelereng kuning? 4. SMP Merdeka mengadakan ulangan matematika kelas VII di tiga kelas. Banyak siswa kelas VII A adalah 36 dan mendapat nilai rata-rata (mean) 70. Banyak siswa kelas VII B adalah 35 dan mendapat nilai rata-rata (mean) 80. Banyak siswa kelas VII C adalah 29 dan mendapat nilai rata-rata (mean) 74. Berapa nilai rata-rata (mean) dari seluruh siswa kelas VII? 5. Ulangan Matematika diberikan kepada tiga kelas siswa yang berjumlah 100. Nilai rata-rata (mean) kelas pertama, kedua dan ketiga berturut-turut 7, 8, dan 7,5. Jika banyak siswa kelas pertama 25 dan kelas ketiga 5 siswa lebih banyak dari kelas kedua, maka nilai rata-rata (mean) seluruh siswa tersebut adalah . . . 6. Berapakah modus dari data berikut ini: 21, 23, 26, 23, 24, 25, 24, 26, 27, 25, 21 7. Tulislah ruang sampel dari percobaan melambungkan lima (5) buah mata uang logam dengan menggunakan tabel! 8. Pada percobaan melambungkan 3 mata uang logam, berapa peluang muncul dua sisi angka dan sebuah sisi gambar? 9. Misal kita mempunyai sebuah dadu yang setimbang sempurna, lalu secara bergantian dilakukan percobaan oleh tiga kelompok berbeda. Hasil percobaan ketiga kelompok disajikan pada tabel berikut ini. Kelompok I Kelompok II Kelompok III Banyak kemunculan sisi angka 10 45 121 Banyak kemunculan sisi gambar 15 37 110 Berapa frekuensi relatif muncul sisi gambar pada masing-masing kelompok? Apa hubungannya dengan peluang muncul sisi gambar = ½ secara teoretis? Setelah Anda selesai mengerjakan tes di atas, sebaiknya periksa kembali jawabannya. Kemudian cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes tersebut yang terdapat di lampiran modul ini dan hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar. Kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengikuti tingkat penguasaan Anda dalam materi yang ada di modul ini. Rumus: Tingkat penguasaan = ×100% 5 benar yang Anda jawaban Jumlah Interpretasi tingkat penguasaan yang Anda capai: Dalam rentang 90% - 100% berarti baik sekali Dalam rentang 80% - 89% berarti baik Dalam rentang 70% - 79% berarti sedang Dalam rentang 0% - 70% berarti kurang Jika Anda mencapai tingkat penguasaan 80% ke atas, berarti penguasaan Anda terhadap modul ini bagus, berarti Anda sudah paham dengan isi modul ini. Kunci 1. - 2. Yang paling menguntungkan adalah nilai modus yaitu 62, karena nilai rata- rata (mean) = 58,8 dan nilai median = 59 3. Peluang akan terambil kelereng merah = 20 10 = 2 1 Peluang akan terambil kelereng kuning = 20 5 = 4 1 4. Alternatif penyelesaian Dari soal diketahui bahwa Banyak siswa kelas VII A adalah 36 dengan nilai rata-rata (mean) 70 Banyak siswa kelas VII B adalah 35 dengan nilai rata-rata (mean) 80 Banyak siswa kelas VII C adalah 29 dengan nilai rata-rata (mean) 74 Jumlah nilai siswa kelas VII A = 36 X 70 = 2520 Jumlah nilai siswa kelas VII B = 35 X 80 = 2800 Jumlah nilai siswa kelas VII C = 29 X 74 = 2146 Jumlah nilai seluruh kelas VII = 7466 Jumlah siswa kelas VII adalah = 36+35+29 = 100 Nilai rata-rata (mean) dari seluruh kelas VII = 100 7466 = 74,66 5. Alternatif penyelesaian Dari soal diketahui bahwa banyak siswa kelas I = 25 banyak siswa kelas II = X banyak siswa kelas III = X + 5 25 + X + ( 5+X ) = 100 30 + 2 X = 100 2 X = 70 X = 35 Nilai rata-rata (mean) seluruh siswa = 100 5 , 7 40 8 35 7 25× + × + × = 7,55 6. Modus: 21, 22, 23, 24, 25, dan 26. 7. Ada beberapa cara pengelompokan untuk baris dan kolom, sebagai berikut: Dalam pengelompokan 2-3 (atau 3-2) A G A G A G A AAAAA AAAAG AAAGA AAAGG A G AAGAA AAGAG AAGGA AAGGG A AGAAA AGAAG AGAGA AGAGG A G G AGGAA AGGAG AGGGA AGGGG A GAAAA GAAAG GAAGA GAAGG A G GAGAA GAGAG GAGGA GAGGG A GGAAA GGAAG GGAGA GGAGG G G G GGGAA GGGAG GGGGA GGGGG |