Persamaan kuadrat yang melalui titik min 1,0 dan koordinat. puncaknya di dua koma

Salah satu cara untuk mencari persamaan dari fungsi kuadrat adalah dengan menggunakan titik potong fungsi tersebut pada sumbu x. Selain dua titik potong pada sumbu x, diperlukan satu titik tambahan yang berguna untuk melengkapkan fungsinya.

Contoh soal :

1. Sebuah fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik yaitu (3,0) dan (-1,0). Grafik fungsi ini juga melalui titik (0,-3).

Bagaimanakah persamaan fungsi kuadrat ini?

• titik potong pada sumbu x
• melalui titik (0, -3)

Rumus yang bisa digunakan untuk mencari fungsi kuadrat ini adalah rumus yang menggunakan dua titik potong di sumbu x.

Mencari jawaban
Rumus untuk fungsi kuadrat yang memotong dua titik disumbu x adalah

f(x) = y = a(x - x1)(x - x2)

• Titik potong pada sumbu x, terjadi pada titik (3,0) dan (-1,0).

Nilai 0 tidak digunakan, karena hanya "x" saja yang dipakai..

➜ x1  = 3

➜ x2  = -1

Sudah mengerti kan? 

Koordinat titik potong sumbu selalu (x,y). Pakai hanya nilai awal (x) pada titik potong di sumbu x-nya.

Sekarang kita masuk ke rumus persamaannya..

y = a(x - x1)(x - x2)

➜ Ganti x1  = 3 dan  x2  = -1

y = a(x - 3)(x - (-1))

y = a (x-3)(x+1) ........(1)

Nilai "a" belum ketemu!!

Inilah saatnya kita menggunakan titik yang lagi satu, yaitu (0,-3).

Titik (0,-3) bisa diartikan bahwa :

x = 0

y = -3.

Masukkan nilai x dan y ke persamaan (1), yang ada tulisan merah diatas..

y = a (x-3)(x+1)

-3 = a (0-3)(0+1)

-3 = a (-3)(1)

-3 = a (-3)

-3 = -3a

• Untuk mendapatkan "a", bagi kedua ruas dengan (-3)

-3 = -3a

-3     -3

1 = a

Jadi nilai a = 1.

Persamaan utuhnya 

Sekarang kita masukkan "a" ke persamaan (1)

y = a (x-3)(x+1)

y = 1. (x-3)(x+1)

• Karena dikali 1, maka persamaannya menjadi seperti dibawah

y = (x-3)(x+1)

• Sekarang tinggal buka kurung keduanya dengan mengalikan masing-masing faktor.

y = x(x+1) -3 (x+1)

y = x² + x -3x - 3

y = x² - 2x - 3.

Inilah persamaan fungsi kuadrat yang kita cari.. 

Catatan!!
Untuk  grafik yang diketahui dua titik potongnya pada sumbu x, maka rumusnya seperti diatas ya!!

Baca juga :

         Blog Koma - Pada materi sebelumnya (sketsa grafik fungsi kuadrat), kita memiliki fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ dan diminta untuk menggambar grafiknya. Namun untuk materi ini sebaliknya yaitu ada grafik dan kita akan menentukan atau menyusun fungsi kuadratnya. Fungsi kuadrat bisa disusun berdasarkan yang diketahui, yaitu diketahui titik puncaknya, titik potong terhadap sumbu X, dan tiga titik sembarang yang dilalui oleh grafik.

         Pada soal-soal yang terkait dengan luas dan volume benda putar juga membutuhkan cara Menyusun dan Menentukan Fungsi Kuadrat, karena kebanyakan pasti grafik yang ditampilkan adalah grafik fungsi kuadrat sehingga kita harus menetukan bentuk fungsi kuadratnya. Setelah itu baru kita bisa mengintegralkan untuk menentukan luas atau volume daerah yang diminta.

Rumus Dasar dalam Menyusun Fungsi Kuadrat

(i). Diketahui titik puncaknya $(x_p , y_p) $

         Rumus : $ y = a(x-x_p)^2 + y_p $
dengan nilai $ a \, $ diperoleh dari titik lain yang diketahui.

(ii). Parabola memotong sumbu X di $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ [ $(x_1,0) \, $ dan $(x_2,0)$]

         Rumus : $ y = a(x-x_1)(x-x_2) $
dengan nilai $ a \, $ diperoleh dari titik lain yang diketahui.

(iii). Parabola melalui tiga titik sembarang selain titik-titik yang telas disebutkan di atas

         Cara : Untuk menentukan fungsi kuadratnya, substitusikan ketiga titik yang diketahui ke bentuk umum FK $ y = ax^2+bx+c \, $ , lalu eliminasi untuk menentukan nilai $ a , \, b , \, $ dan $ c $

Contoh 1.

Tentukan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak $(-1,2) \, $ dan melalui titik $(0,1)$ ?

Penyelesaian : $\clubsuit \,$ Titik puncaknya : $(x_p,y_p) = (-1,2) $ $\clubsuit \,$ Menyusun FK yang diketahui titik puncaknya $\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-(-1))^2 + 2 \\ y & = a(x+1)^2 + 2 \end{align}$ $\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dengan substitusi titik (0,1) $\begin{align} (x,y)=(0,1) \rightarrow y & = a(x+1)^2 + 2 \\ 1 & = a(0+1)^2 + 2 \\ 1 & = a + 2 \\ a & = -1 \end{align}$ $\clubsuit \,$ Substitusi nilai $ a = -1 $ $\begin{align} a = -1 \rightarrow y & = a(x+1)^2 + 2 \\ y & = (-1).(x+1)^2 + 2 \\ y & = (-1).(x^2+2x+1) + 2 \\ y & = -x^2 -2x -1 + 2 \\ y & = -x^2 -2x + 1 \end{align}$

Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = -x^2 -2x + 1 . \heartsuit $

Tentukan fungsi kuadrat dari kurva parabola di bawah ini ?

Penyelesaian : $\spadesuit \, $ Parabola memotong sumbu X di (1,0) dan (4,0), artinya $ x_1 = 1 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ , serta melalui titik (0,2). $\spadesuit \, $ Menyusun FK : $ y = a(x-x_1)(x-x_2) $ $\begin{align} y & = a(x-x_1)(x-x_2) \\ y & = a(x-1)(x-4) \end{align}$ $\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dengan substitusi titik (0,2) $\begin{align} (x,y)=(0,2) \rightarrow y & = a(x-1)(x-4) \\ 2 & = a(0-1)(0-4) \\ 2 & = 4a \\ a & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align}$ $\spadesuit \, $ Substitusi nilai $ a $ $\begin{align} a=\frac{1}{2} \rightarrow y & = a(x-1)(x-4) \\ y & = \frac{1}{2}(x-1)(x-4) \\ y & = \frac{1}{2}(x^2 - 5x + 4) \\ y & = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x + 2 \end{align}$

Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x + 2 . \heartsuit $

Tentukan fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu X di titik (1,0) dan melalui titik (0,-1) ?

Penyelesaian : $\clubsuit \,$ Kurva menyinggung sumbu X di titik (1,0), artinya titik puncaknya : $(x_p,y_p) = (1,0) $ $\clubsuit \,$ Menyusun FK yang diketahui titik puncaknya $\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-1)^2 + 0 \\ y & = a(x-1)^2 \end{align}$ $\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dengan substitusi titik (0,-1) $\begin{align} (x,y)=(0,-1) \rightarrow y & = a(x-1)^2 \\ -1 & = a(0+1)^2 \\ -1 & = a \end{align}$ $\clubsuit \,$ Substitusi nilai $ a = -1 $ $\begin{align} a = -1 \rightarrow y & = a(x-1)^2 \\ y & = (-1).(x-1)^2 \\ y & = (-1).(x^2-2x+1) \\ y & = -x^2 +2x -1 \end{align}$

Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = -x^2 +2x -1 . \heartsuit $

Tentukan fungsi kuadrat dari kurva parabola di bawah ini ?

Penyelesaian : $\spadesuit \, $ Parabola melalui titik (0,1), (3,1), dan (-1,0). Karena titik yang diketahui bukan titik puncak atau bukan titik potong sumbu X, maka kita gunakan cara ketiga yaitu substitusi semua titik tersebut ke bentuk umum FK : $ y = ax^2 + bx + c \, $ $\spadesuit \, $ Substitusi semua titik ke FK : $ y = ax^2 + bx + c $ $\begin{align} (x,y)=(0,1) \rightarrow 1 & = a.0^2 + b.0 + c \\ c & = 1 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ (x,y)=(3,1) \rightarrow 1 & = a.3^2 + b.3 + c \\ 9a+3b+c & = 1 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ (x,y)=(-1,0) \rightarrow 0 & = a.(-1)^2 + b.(-1) + c \\ a-b+c & = 0 \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align}$ $\spadesuit \, $ Eliminasi dan substitusi ketiga persamaan di atas untuk menentukan nilai $ a, \, b, \, $ dan $ c \, $ . Diperoleh nilainya : $ a = -\frac{1}{4}, \, b = \frac{3}{4}, \, $ dan $ c = 1 $ $\spadesuit \, $ Fungsi kuadratnya menjadi $\begin{align} y & = ax^2 + bx + c \rightarrow y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}x + 1 \end{align}$

Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}x + 1 . \heartsuit $

         Menyusun fungsi kuadrat biasanya selalu keluar dalam Ujian Nasional atau ujian Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri baik ujian bersama maupun ujian mandirinya. Selamat belajar, semoga bermanfaat, dan terima kasih.