Definisi 1 Fungsi pembangkit dari barisan bilangan real $a_1,a_2,\ldots,a_k,\ldots$ adalah sebuah deret takhingga \begin{align*} G(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_kx^k+\ldots=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k \end{align*} |
Pada deret tersebut, pangkat dari variabel $x$ merupakan indikator sedemikian hingga koefisien dari $x^n$ adalah nilai barisan ke-$n$. Untuk sebuah barisan $a_n$ digunakan nama $G(x)$ untuk menyatakan fungsi pembangkitnya.
Contoh 1 Fungsi pembangkit untuk barisan $(a_k)$ dengan $a_k=3,$ $a_k=k+1,$ dan $a_k=2^k$ adalah $\sum_{k=0}^\infty 3x^k,$ $\sum_{k=0}^\infty (k+1)x^k,$ dan $\sum_{k=0}^\infty 2^kx^k.$ |
Kita dapat mendefinisikan fungsi pembangkit untuk barisan bilangan real berhingga dengan mengembangkan barisan berhingga $a_0,a_1.\ldots,a_n$ kedalam barisan tak hingga dengan mengatur $a_{n+1}=0, a_{n+2},$ dan seterusnya. Fungsi pembangkit barisan tak hingga $(a_n)$ ini adalah polinomial dengan derajat $n$, karena untuk $j>n$ tidak ada suku yang berbentuk $a_jx^j$, fungsi pembangkitnya berbentuk \begin{align*} G(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n
\end{align*}
Contoh 2 Bagaimanakah fungsi pembangkit untuk barisan 1,1,1,1,1,1,0,0,....? |
Jawab: Fungsi pembangkit untuk barisan 1,1,1,1,1,1,0,0,... adalah \begin{align*} G(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5 \end{align*}Berdasarkan rumus deret geometri jika $r<1,$ maka \begin{align*} G(x)=\sum_{k=0}^5 x^k= \frac{1-x^{5+1}}{1-x}= \frac{1-x^6}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5
\end{align*}dengan $x < 1$. Jadi, fungsi pembangkit untuk barisan 1,1,1,1,1,1 adalah $G(x)=\frac{1-x^6}{1-x}$.
$\tag*{$\blacklozenge$}$
Latihan
|
Fakta Tentang Power Series
Contoh 3 Fungsi $f(x)=\frac{1}{(1-x)}$ adalah fungsi pembangkit dari barisan 1,1,1,..., karena \begin{align*} \frac{1}{(1-x)}=1+x+x^2+\ldots \end{align*} untuk $|x|<1$. |
Contoh 4 Fungsi $f(x)=\frac{1}{(1-ax)}$ adalah fungsi pembangkit dari barisan $1,a,a^2,a^3$,..., karena \begin{align*} \frac{1}{(1-ax)}=1+ax+a^2x^2+\ldots \end{align*} dengan $|ax|<1$ atau ekivalen dengan $|x|<\frac{1}{|a|}$ untuk $a \neq 0$. |
Latihan
|
Teorema 1 Misalkan $f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k$ dan $g(x)=\sum_{k=0}^\infty b_kx^k$. Maka $f(x)+g(x)=\sum_{k=0}^\infty (a_k+b_k)x^k$ $f(x)g(x)=\sum_{k=0}^\infty (\sum_{j=0}^k a_jb_{k-j})x^k$ |
Contoh 5 Misalkan $f(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$, gunakan Contoh 3 untuk menemukan koefisien $a_0,a_1,a_2,\ldots$ dalam ekspansi $f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k$ |
Jawab: Berdasarkan Contoh 3\begin{align*}\frac{1}{(1-x)}=1+x+x^2+x^3+\ldots\end{align*} Sehingga berdasarkan Teorema 1, diperoleh\begin{align*}\frac{1}{(1-x)^2}= \sum_{k=0}^\infty (\sum_{j=0}^k1)x^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)x^k
\end{align*}
$\tag*{$\blacklozenge$}$
Contoh 6 Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 3,1,3,1,3,1,... |
Jawab: Fungsi pembangkit barisan 3,1,3,1,3,1,... dapat diperoleh dengan mengkombinasikan fungsi pembangkit dua barisan, yaitu barisan 1,1,1,1,1,... dan barisan 2,0,2,0,2,0,.... Fungsi pembangkit daribarisan 2,0,2,0,2,0,... adalah \begin{align*}G(x)=2+2x^2+2x^4+\ldots = 2(1+x^2+x^4+\ldots)=\frac{2}{1-x^2}\end{align*} Sehingga fungsi pembangkit untuk barisan 3,1,3,1,3,1,... adalah\begin{align*}G(x)=\frac{1}{1-x}+\frac{2}{1-x^2}
\end{align*}
$\tag*{$\blacklozenge$}$
Kadangkala integral dan turunan dari deret tak hingga dapat digunakan untuk mendapatkan fungsi pembangkit dari berbagai macam barisan.
Contoh 7 Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 1,2,3,4,... |
Jawab: Fungsi pembangkit barisan 1,2,3,4,... adalah\begin{align*}G(x)&=1+2x+3x^2+4x^+\ldots=\frac{d}{dx}(x+x^2+x^3+x^4+\ldots)\\&=\frac{d}{dx}(1+x+x^2+x^3+x^4+\ldots)=\frac{d}{dx}(\frac{1}{1-x})=\frac{1}{(1-x)^2}
\end{align*}
$\tag*{$\blacklozenge$}$
Latihan
|
Teorema 2 Misalkan barisan $a_0,a_1,a_2,a_3,\ldots$ memiliki fungsi pembangkit $f(x)$, maka untuk setiap $k \in \mathbb{N}$, fungsi pembangkit dari barisan\begin{align*}\underbrace{0,0,0,0,0}_{k},a_0,a_1,a_2,a_3,\ldots \end{align*} |
Bukti: Fungsi pembangkit dari $\underbrace{0,0,0,0,0}_{k},a_0,a_1,a_2,a_3,\ldots$ adalah\begin{align*}a_0x^k+a_1x^{k+1}+a_2x^{k+2}+a_3x^{k+3}+\ldots&=x^k(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots)\\&=x^kf(x)
\end{align*}
$\tag*{$\blacksquare$}$
Contoh 8 Fungsi pembangkit dari barisan 0,1,1,1,1,... adalah $\frac{x}{1-x}$ dan fungsi pembangkit dari barisan 0,0,0,0,0,1,2,3,4,... adalah $\frac{x^5}{(1-x)^2}$ serta fungsi pembangkit dari 0,0,0,0,3,1,3,1,3,1,... adalah$\frac{x^4}{1-x}$+$\frac{2x^4}{1-x^2}$ |
Contoh 9 Tentukan fungsi pembangkit dari barisan $a_0,a_1,a_2,\ldots$ dimana $a_n=n^2+n$ untuk setiap $n$ bilangan bulat nonnegatif. |
Jawab: Untuk menemukan fungsi pembangkit dari barisan tersebut, misalkan $F(x)$ dan $G(x)$ menotasikan fungsi pembangkit dari barisan $0,1^2,2^2,3^2,4^2,\ldots$ dan $0,1,2,3,4,\ldots$. Dari Contoh 8, dapat ditemukan bahwa $G(x)=\frac{x}{(1-x)^2}$. Sedangkan untuk mencari $F(x)$, pandanglah fungsi pembangkit dari barisan $1^2,2^2,3^2,4^2,\ldots$ berikut ini.\begin{align*}1^2+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+\ldots&=\frac{d}{dx}(x+2x^2+3x^3+4x^4+\ldots)\\&=\frac{d}{dx}(G(x))=\frac{d}{dx}(\frac{x}{(1-x)^2})=\frac{1+x}{(1-x)^3}\end{align*} Sehingga, berdasarkan Teorema 2 didapatkan $F(x)=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$. Dengan demikian, fungsi pembangkit yang dicari adalah\begin{align*}H(x)=F(x)+G(x)=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}+\frac{x}{(1-x)^2}=\frac{2x}{(1-x)^3}
\end{align*}
$\tag*{$\blacklozenge$}$
Full PDF PackageDownload Full PDF Package
This Paper
A short summary of this paper
37 Full PDFs related to this paper
Download
PDF Pack
Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai fungsi pembangkit bagian dasar yang cocok dipelajari untuk meningkatkan pemahaman tentang materi yang bersangkutan. Pos ni merupakan lanjutan dari pos sebelumnya yang ada pada tautan berikut.
Baca: Soal dan Pembahasan – Fungsi Pembangkit Bagian Dasar (Bagian 1)
Setelah ini, kita dapat mempelajari penerapan fungsi pembangkit untuk memecahkan persoalan kombinatorika terkait permutasi dan kombinasi. Silakan cek tautan di bawah.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Fungsi Pembangkit untuk Kombinasi
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Fungsi Pembangkit untuk Permutasi
Quote by Sigmund Freud
The only person with whom you have to compare yourself is you in the past.
Soal Nomor 16
Tentukan koefisien $x^{12}$ dalam ekspresi$ (x^3 + x^4 + x^5 + \cdots)^3$.
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} & (x^3 + x^4 + x^5 + x^6 \cdots)^3 \\ & = (x^3(1 + x + x^2 + x^3 \cdots))^3 \\ & =x^9(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots)^3. \end{aligned}$
Untuk memperoleh koefisien $x^{12}$, kita hanya perlu menentukan koefisien $x^3$ dalam ekspresi kurungnya. Perhatikan bahwa ekspresi yang dimaksud dalam keadaan dipangkatkan $3$ sehingga kita tidak bisa langsung menyimpulkan bahwa koefisien $x^3$-nya adalah $1$.
Ingat kembali preposisi berikut.
$$\boxed{(1+x+x^2+\cdots)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n-1+k}{k}x^k}$$Kita akan menentukan koefisien $x^3$, berarti $k$ yang dipilih adalah $3$. Jadi, koefisien $x^3$ dalam ekspresi tersebut adalah
$\displaystyle \binom{3-1+3}{3} = \binom{5}{3} = \dfrac{5!}{3!2!} = 10.$
Dengan demikian, koefisien $x^{12}$ dalam ekspresi$ (x^3 + x^4 + x^5 + \cdots)^3$ adalah $\boxed{10}$
Soal Nomor 17
Tentukan koefisien $x^{24}$ dalam ekspresi $(x^3 + x^4 + \cdots + x^{12})^4$.
Perhatikan bahwa,
$\begin{aligned} & (x^3 + x^4 + \cdots + x^{12})^4 \\ & = \left(\dfrac{(1-x)(x^3 + x^4 + \cdots + x^{12})}{1-x}\right)^4 \\ & = \left(\dfrac{x^3- x^{13}}{1-x}\right)^4 \\ & = (x^3- x^{13})^4 \left(\dfrac{1}{1-x}\right)^4. \end{aligned}$
Dengan menggunakan metode Segitiga Pascal atau Teorema Binomial pada ekspresi $(x^3- x^{13})^4$, diperoleh
$(x^{12}- 4x^{22} + 6x^{32}- 4x^{42} + x^{52})$ $(1+x+x^2+\cdots)^4.$
Karena yang akan dicari adalah koefisien $x^{24}$, maka kita temukan bahwa hanya dua suku pertama dalam ekspresi $(x^{12}- 4x^{22} + 6x^{32}- 4x^{42} + x^{52})$ yang akan ditinjau karena pangkatnya tidak melebihi $24$, yaitu $x^{12}$ dan $-4x^{22}$.
- Karena $x^{24} = x^{12} \cdot x^{12}$, maka langkah yang perlu dilakukan adalah menentukan koefisien $x^{12}$ dalam $(1+x+x^2+\cdots)^4$. Dengan menggunakan preposisi yang sama pada Soal Nomor 16, didapat
$$\text{Koef.}~x^{12} = \displaystyle \binom{4-1+12}{12} = \binom{15}{12} = \dfrac{15!}{12! \cdot 3!} = 455.$$ - Karena $x^{24} = x^{22}.x^{2}$, maka langkah yang perlu dilakukan adalah menentukan koefisien $x^{2}$ dalam $(1+x+x^2+\cdots)^4$. Dengan menggunakan prinsip yang sama,
$\begin{aligned} \text{Koef.}~x^{2} & = \displaystyle \binom{4-1+2}{2} \\ & = \binom{5}{2} = \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} = 10. \end{aligned}$
Jadi, koefisien $x^{24}$ adalah $\boxed{1(455)- 4(10) = 415}$
Catatan: Angka $1$ dan $4$ didapat dari koefisien $x^{12}$ dan $x^{22}$ dalam ekspresi $(x^{12}- 4x^{22} + 6x^{32}- 4x^{42} + x^{52})$.
Soal Nomor 18
Tentukan FPB dari barisan $\left(0, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots \right).$
Misalkan $P(x)$ adalah FPB dari $(a_n) = \left(0, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots \right)$ sehingga menurut definisinya,
$$\begin{aligned} P(x) & = 0x^0 + 1.x+\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 + \cdots \\ & =x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 + \cdots \\ & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa ekspresi $\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$ merupakan hasil integrasi dari $x^n$ terhadap $x$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int \sum_{n=0}^{\infty}x^n~dx & = \int \dfrac{1}{1-x}~dx \\ & =-\ln|1-x|. \end{aligned}$
Jadi, FPB dari barisan tersebut adalah $\boxed{-\ln|1-x|}$
Soal Nomor 19
Tentukan FPB dari barisan $(0, 1, 0, 1, 0, 1, \cdots)$ dan $(1, 0, 1, 0, 1, 0, \cdots)$.
Misalkan $G(x)$ merupakan FPB dari $(a_n) = (0, 1, 0, 1, 0, 1, \cdots)$ sehingga
$$\begin{aligned} P(x) & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n \\ & =0 \cdot x^0 + 1 \cdot x + 0 \cdot x^2 + 1 \cdot x^3 + 0 \cdot x^4 + \cdots \\ & =x + x^3 + x^5 + \cdots \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n+1} = x\sum_{n=0}^{\infty} (x^2)^n. \end{aligned}$$Gunakan perluasan ekspansi dari
$$\boxed{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x} \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (x^2)^n = \dfrac{1}{1-x^2}}$$Ganti $x$ menjadi $x^2$) sehingga diperoleh
$P(x) = x\left(\dfrac{1}{1-x^2}\right)= \dfrac{x}{1-x^2}.$
Jadi, FPB dari barisan $a_n$ adalah $\boxed{\dfrac{x}{1-x^2}}$
Sekarang, misalkan $G(x)$ merupakan FPB dari $(b_n) = (1, 0, 1, 0, 1, 0, \cdots)$ sehingga
$$\begin{aligned} G(x) & = 1x^0 + 0x + 1x^2 + 0x^3 + 1x^4 + \cdots \\ & =1 + x^2 + x^4 + x^6 + \cdots \\ & =(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots)- (x + x^3 + x^5 + \cdots). \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus ekspansi, diperoleh
$\begin{aligned} P(x) & = \dfrac{1}{1-x}- \dfrac{x}{1-x^2} \\ & = \dfrac{1+x-x}{1-x^2} \\ & = \dfrac{1}{1-x^2}. \end{aligned}$
Jadi, FPB dari barisan $b_n$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{1-x^2}}$
Soal Nomor 20
Tentukan FPB dari barisan $(2, 0, \dfrac{2}{3}, 0, \dfrac{2}{5}, 0, \cdots).$
Misalkan $P(x)$ adalah FPB dari $(a_n) = \left(2, 0, \dfrac{2}{3}, 0, \dfrac{2}{5}, 0, \cdots \right)$ sehingga dengan definisi FPB, diperoleh,
$$\begin{aligned} P(x) & = 2 \cdot x^0 + 0 \cdot x + \dfrac{2}{3}x^2 + 0 \cdot x^3 + \dfrac{2}{5}x^4 + \cdots \\ & = 2 + \dfrac{2}{3}x^2 + \dfrac{2}{5}x^4 + \cdots \\ & = 2\left(1 + \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{1}{5}x^4 + \cdots\right) \\ & =\dfrac{2}{x}\left(x + \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{5}x^5 + \cdots \right) \\ &=\dfrac{2}{x} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1}. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $\displaystyle \int x^{2n}~dx = \left(\dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1}\right)+ C.$
Abaikan $C$ (karena $C = 0$) sehingga bentuk sigma di atas dapat ditulis menjadi
$P(x) = \dfrac{2}{x} \displaystyle \int \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}~\text{d}x.$
Dengan menggunakan perluasan dari $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \dfrac{1}{1-x}$, diperoleh
$\begin{aligned} P(x) & =\displaystyle \dfrac{2}{x} \int \dfrac{1}{1-x^2}~\text{d}x \\ & = \dfrac{2}{x} \left(\dfrac{1}{2} \ln \left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|\right) \bigstar \\ & = \dfrac{1}{x}\ln \left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|. \end{aligned}$
Jadi, FPB dari barisan tersebut adalah $ \boxed{\dfrac{1}{x}\ln \left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|}$
Catatan: $\bigstar$ Untuk mengintegrasikan bentuk integral ini, teman-teman perlu menguasai teknik dekomposisi pecahan parsial (karena penyebutnya dapat difaktorkan secara langsung).
Tinjau integrannya (ambil salah satu, misalkan untuk variabel $x$):
$\begin{aligned} \dfrac{1}{1-x^2} & = \dfrac{1}{(1-x)(1+x)} \\ & = \dfrac{A}{1-x} + \dfrac{B}{1+x}. \end{aligned}$
Dalam hal ini, kita akan menentukan nilai $A$ dan $B$. Samakan kembali penyebutnya,
$$ \dfrac{A(1+x) + B(1-x)}{(1-x)(1+x)} = \dfrac{(A-B)x + (A + B)}{1-x^2}.$$Dengan hanya meninjau pembilangnya, kita tahu bahwa $(A-B)x + (A+B) = 1.$
Berarti, $A-B = 0$ dan $A + B = 1$. Selesaikan SPLDV ini sehingga didapat bahwa $A = B = \dfrac{1}{2}$. Jadi, integrannya dapat diubah menjadi $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1-x} + \dfrac{1}{1+x}\right)$. Proses integrasi dengan integran seperti ini tidak akan menjadi hal yang sulit lagi untuk dilakukan.
Soal Nomor 21
Tentukan fungsi pembangkit eksponensial dari $a_n = n + 5$.
Misalkan $P(x)$ adalah FPE dari $a_n = n + 5$. Dengan menggunakan definisi FPE, kita peroleh
$\begin{aligned} P(x) & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_n}{n!}x^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{n+5}{n!}x^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{n}{n!}x^n + \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{5}{n!}x^n. \end{aligned}$
Tinjau operator sigma pada suku pertama.
Gunakan teorema turunan pada fungsi pembangkit.
Katakanlah kita mempunyai barisan baru, sebut saja $(b_n) = 1$, yang memiliki FPE $$G(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{1}{3!}x^3 + \cdots = e^x$$ dan kita ketahui bahwa turunan pertama $G(x)$ adalah $G'(x) = e^x.$
Ini berarti, barisan lain, sebut saja $(c_n) = n.b_n = n.1 = n$ memiliki FPE $x \cdot G'(x) = x \cdot e^x.$
Lanjutkan ke bentuk $P(x).$
$\begin{aligned} P(x) & = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{n}{n!}x^n + 5\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!}x^n \\ & = x \cdot e^x + 5e^x = e^x(x + 5). \end{aligned}$
Jadi, FPE dari barisan tersebut adalah $\boxed{e^x(x+5)}$
Soal Nomor 22
Tentukan barisan yang memiliki FPE $(1 + x^2)^n$.
Misalkan $P(x) = (1 + x^2)^n$ merupakan FPE dari barisan yang dimaksud, sebut saja $(a_k)$. Dengan menggunakan perluasan Teorema Binomial, yaitu
$\boxed{(1+ x^a)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^{ak}} \bigstar$
kita peroleh bahwa,
$\begin{aligned} P(x) & = (1 + x^2)^n \\ & = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^{2k} \\ & = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{\binom{n}{k}.(2k)!}{(2k)!} x^{2k}. \end{aligned}$
Dengan meninjau kembali definisi FPE bahwa
$\boxed{G(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_n}{n!}x^n}$
dengan $n = 2k$, batas bawah operator sigma tidak memengaruhi, diperoleh bahwa
$\boxed{a_k = \displaystyle \binom{n}{k}(2k)!}$
$\bigstar$ Ingat bahwa batas atas $n$ atau $\infty$ pada bentuk ini menghasilkan nilai yang sama, sebab apabila $k > n$, maka didefinisikan nilai binomnya adalah $0$.
Soal Nomor 23
Tentukan barisan yang memiliki fungsi pembangkit biasa $G(x) = \dfrac{3}{2- 8x} + \dfrac{3x}{1-x}$.
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} G(x) & = \dfrac{3}{2-8x} + \dfrac{3x}{1-x} \\ & = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{1-4x} + 3x \times \dfrac{1}{1-x} \\ &= \dfrac{3}{2} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (4x)^n + 3x \sum_{n=0}^{\infty} x^n \\ & = \dfrac{3}{2} (1 + 4x + 16x^2 + \cdots) + 3x(1 + x + x^2 + \cdots) \\ & = \left(\dfrac{3}{2} + 6x + 24x^2 + \cdots\right) + (3x + 3x^2 + 3x^3 + \cdots) \\ & = \dfrac{3}{2} + 9x + 27x^2 + \cdots \end{aligned}$$Jadi, barisan yang dimaksud adalah $\left(\dfrac{3}{2}, 9, 27, \cdots\right)$ atau bila ditulis dalam bentuk rumus sebagai berikut.
$\boxed{a_n = \begin{cases} \dfrac{3}{2} & \text{jika}~n = 0 \\ \dfrac{3}{2} \cdot 4^n + 3 & \text{jika}~n > 0 \end{cases}}$
Soal Nomor 24 (Soal ON MIPA-PT Bidang Matematika)
Dalam bentuk yang paling sederhana, fungsi pembangkit biasa (ordinary generating function) $g(x)$ dari barisan $(1, 2, 3, 4, \cdots)$ adalah $\cdots \cdot$
Misalkan $a_n = (1, 2, 3, 4, \cdots) = n + 1.$ Berdasarkan definisi fungsi pembangkit biasa, dapat ditulis
$\begin{aligned} g(x) & = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} a_nx^n \\ & = \sum_{n = 0}^{\infty} (n+1)x^n \\ & = \sum_{n = 0}^{\infty} nx^n + \sum_{n = 0}^{\infty} x^n \end{aligned}$
(Baca: penyelesaian soal nomor 10)
$\begin{aligned} g(x) & = \dfrac{x}{(1-x)^2} + \dfrac{1}{1-x} \\ & = \dfrac{x}{(1-x)^2} + \dfrac{1-x}{(1-x)^2} \\ & = \dfrac{1}{(1-x)^2} \end{aligned}$
Jadi, fungsi pembangkit biasa dari barisan $(1, 2, 3, 4, \cdots)$ adalah
$\boxed{g(x) = \dfrac{1}{(1-x)^2}}$
Soal Nomor 25
Diberikan barisan rekursif $a_{n+1}- 2a_n = 2^n$ dengan $a_0 = 1$. Tentukan fungsi pembangkit biasa dari barisan tersebut.
Ubah rumus barisan rekursif tersebut menjadi rumus barisan eksplisit.
Bagi kedua ruas dengan $2^{n+1}$ sehingga diperoleh
$\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}- \dfrac{2a_n}{2^{n+1}} = \dfrac{2^n}{2^{n+1}}$
$\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}- \dfrac{a_n}{2^n} = \dfrac{1}{2}.$
Misalkan $b_n = \dfrac{a_n}{2^n}$ sehingga diperoleh rumus barisan baru, yaitu $b_{n+1}- b_n = \dfrac{1}{2}.$
Karena $a_0 = 1$, maka $b_0 = \dfrac{1}{2^0} = 1,$ maka diperoleh suatu barisan bilangan $(1, \dfrac{3}{2}, 2, \dfrac{5}{2}, \cdots)$, yang berarti $b_n = \dfrac{n + 2}{2}$. Dengan demikian,
$\dfrac{n+2}{2} = \dfrac{a_n}{2^n}$
$\Rightarrow a_n = 2^{n-1}(n+2).$
Berdasarkan definisi fungsi pembangkit biasa,
$$ \displaystyle \begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} a_nx^n & = \sum_{n = 0}^{\infty} (2^{n-1}(n+2)) x^n \\ & = \dfrac{1}{2}\left(\sum_{n = 0}^{\infty} n(2x)^n + \sum_{n = 0}^{\infty} (2x)^n\right) \\ & = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2x}{(1- 2x)^2} + \dfrac{1}{1- 2x}\right) \\ & = \dfrac{1}{2(1- 2x)^2}. \end{aligned}$$Jadi, FPB dari barisan rekursif tersebut adalah $\boxed{\dfrac{1}{2(1- 2x)^2}}$
Soal Nomor 26
Diberikan barisan bilangan berikut
$$\begin{aligned} & 2, 2\sqrt{2}, \sqrt{2}(\sqrt{2}- 1), \\ & \dfrac13\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2), \\ & \dfrac{1}{(3)(4)}\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}-3), \\ & \dfrac{1}{(3)(4)(5)}\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}-4),\cdots \end{aligned}$$Tentukan fungsi pembangkit biasa dari barisan tersebut.
Kita akan mendapatkan nilai rasio yang unik dari barisan tersebut.
$$\begin{aligned} \dfrac{a_1}{a_0} & = \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}- 0}{1} \\ \dfrac{a_2}{a_1} & = \dfrac{2(\sqrt{2}- 1)}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}- 1}{2} \\ \dfrac{a_3}{a_2} & = \dfrac{\dfrac13\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)}{2(\sqrt{2}- 1)} = \dfrac{\sqrt{2}- 2}{3} \\ & \vdots~~~\vdots~~~\vdots \\ \dfrac{a_n}{a_{n-1}} & = \dfrac{\sqrt{2}- (n-1)}{n} \end{aligned}$$Bentuk di atas jelas bukan rumus barisan standar untuk menentukan fungsi pembangkit biasa, tapi kita akan menemukan bahwa
$\displaystyle \binom{\alpha}{n} \div \binom{\alpha}{n-1} = \frac{\alpha- (n- 1)}{n}.$
Jika kita bandingkan dengan rasio tadi, kita peroleh $\alpha = \sqrt{2}$. Jadi,
$a_n = \displaystyle a\binom{\sqrt{2}}{n}$.
Untuk mendapatkan koefisien $a$, bandingkan terhadap nilai $a_0$ sebagai berikut.
$a_0 = \displaystyle a \binom{\sqrt{2}}{0} = a\dfrac{(\sqrt{2})!}{(\sqrt{2})!0!}$
$\Rightarrow 2 = a \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
Berarti, $a = 2$
Dengan demikian, $a_n = \displaystyle 2\binom{\sqrt{2}}{n}.$
Misalkan $F(x)$ fungsi pembangkit biasa dari barisan $a_n$ sehingga
$F(x) = 2 \displaystyle \sum_{n \ge 0} \binom{\sqrt{2}}{n}x^n$
$\Rightarrow F(x) = 2(1 + x)^{\sqrt{2}}.$
Jadi, fungsi pembangkit biasa dari barisan yang dimaksud adalah
$\boxed{F(x) = 2(1 + x)^{\sqrt{2}}}$
Soal Nomor 27
Dengan menggunakan fungsi pembangkit biasa, tentukan jumlah dari
$\underbrace{12 + 12 + 12 + \cdots + 12}_{n + 1}.$
Rumus barisan di atas adalah $a_n = (12)$, yang memiliki fungsi pembangkit biasa
$$G(x) = 12 + 12x + 12x^2 + \cdots = \dfrac{12}{1-x}.$$Berdasarkan teorema fungsi pembangkit mengenai koefisien jumlah suatu barisan, kita dapatkan
$H(x) = \dfrac{G(x)} {1-x} = \dfrac{12}{(1-x)^2}.$
Jumlah yang dimaksud adalah koefisien $x^n$ dari $H(x)$, yaitu
$\begin{aligned} 12\displaystyle \binom{n + 2-1}{n} & = 12\binom{n+1}{n} \\ & = 12(n+1). \end{aligned}$$Diperolehlah jawaban persis seperti apa yang kita harapkan.
Soal Nomor 28
Hitunglah jumlah dari $2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 2^2 + \cdots + 2r^2$.
Fungsi pembangkit dari barisan $a_n = 2n^2$ adalah $G(x) = \dfrac{2(x^2+x)} {(1-x)^3}.$
(Lihat jawaban soal nomor 11)
Jumlah dari $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ adalah koefisien dari $x^n$ dalam
$\begin{aligned} H(x) & = \dfrac{G(x)} {1-x} \\ & = \dfrac{2(x^2+x)} {(1-x)^4} \\ & = 2x(1-x)^{-4} + 2x^2(1-x)^{-4}. \end{aligned}$
Koefisien dari $x^n$ dalam $2x(1-x)^{-4}$ adalah koefisien $x^{n-1}$ dalam $2(1-x)^{-4}$, sedangkan koefisien $x^n$ dalam $2x^2(1-x)^{-4}$ adalah koefisien $x^{n-2}$ dalam $2(1-x)^{-4}$.
Dengan demikian, jumlah yang dimaksud adalah
$$\displaystyle 2\binom{(n-1)+4-1}{n-1} + 2\binom{(n-2)+4-1}{n-2} = 2\binom{n+2}{3} + 2\binom{n+1}{3}.$$
Soal Nomor 29
Tentukan fungsi pembangkit dari $a_r = (r+1)r(r-1)$.
Diberikan barisan $a_r = r^3- r$. Untuk mencari fungsi pembangkitnya, kita harus melakukan dua tahap/proses, yaitu mencari fungsi pembangkit dengan koefisien $r^3$ dan $r$ (gunakan teorema turunan dalam fungsi pembangkit). Selain itu, kita dapat menggunakan cara lain sebagai berikut.
Misalkan fungsi pembangkit $\dfrac{3!} {(1-x)^4}$ mempunyai koefisien $a_r$ dengan
$\begin{aligned} a_r & = 3! \displaystyle \binom{r + 4- 1}{r} \\ & = \dfrac{3!(r+3)!} {r! \cdot 3!} \\ & = (r+3)(r+2)(r+1) \end{aligned}$
sehingga ekspansi deret pangkat dari $3!(1-x)^{-4}$ adalah
$\begin{aligned} & \dfrac{3!} {(1-x)^4} = 3 \cdot 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 \cdot 2 + \\ & \cdots + (r+3)(r+2)(r+1)x^r + \cdots \end{aligned}$
Bila ini dibandingkan dengan fungsi pembangkit
$\begin{aligned} h(x) & = 3 \cdot 2 \cdot 1x^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2x^3 \\ & + \cdots + (r+1)r(r-1)x^r + \cdots \end{aligned}$
maka ini berarti $\boxed{h(x) = 3!x^2(1-x)^{-4}}$
Soal Nomor 30
Tentukan fungsi pembangkit biasa dari barisan $(2,-1, 2,-1, 2,-1, \cdots)$.
Misalkan $G(x)$ adalah FPB dari barisan $a_n = (2,-1, 2,-1, 2,-1, \cdots),$ maka berdasarkan definisi FPB, dapat ditulis
$$\begin{aligned} G(x) & = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} a_nx^n \\ & = 2x^0- x + 2x^2- x^3 + 2x^4- x^5 + 2x^6- \cdots \\ & = 2(x^0 + x^2 + x^4 + \cdots)- (x + x^3 + x^5 + \cdots) \\ & = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2n}- \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n-1} \\ & = \dfrac{2}{1-x^2}- \dfrac{1}{x(1-x^2)} \\ & = \dfrac{2x- 1}{x(1-x^2)}. \end{aligned}$$Jadi, fungsi pembangkit biasa dari barisan tersebut adalah $\boxed{\dfrac{2x- 1}{x(1-x^2)}}$ NB: Ingat bahwa
$\boxed{\dfrac{1}{1-x} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n}$
Soal Nomor 31
Diketahui barisan $(a_n) = (2,-1, 5,-7, 17, \cdots)$ merupakan hasil penjumlahan suku yang bersesuaian dari barisan $(1, 1, 1, \cdots)$ dan $(1,-2, 4,-8, \cdots)$. Tentukan fungsi pembangkit biasa dari barisan $a_n$.
Misalkan $(b_n) = (1,1,1, \cdots)$ yang memiliki rumus $b_n = 1$ dan $(c_n) = (1,-2,4,-8,\cdots)$ yang memiliki rumus $c_n = (-2)^n$ untuk $n \geq 0$.
FPB dari barisan $(b_n) = (1,1,1, \cdots)$ dinyatakan oleh
$\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} b_nx^n = \sum_{n = 0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}.$
FPB dari barisan $(c_n) = (1,-2, 4,-8, \cdots)$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} c_nx^n & = \sum_{n = 0}^{\infty} (-2)^nx^n \\ & = \sum_{n = 0} (-2x)^n \\ & = \dfrac{1}{1 + 2x}. \end{aligned}$
Dengan demikian, FPB dari barisan $(a_n) = (2,-1, 5,-7, 17, \cdots)$ adalah
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{1-x} + \dfrac{1}{1 + 2x} & = \dfrac{(1+2x)+(1-x)}{(1-x) (1+2x)} \\ & = \dfrac{x + 2} {-2x^2 + x + 1}. \end{aligned}$$
Soal Nomor 32
Tentukan barisan yang dibangkitkan oleh fungsi $f(x) = \dfrac{1}{2- x}.$
Perhatikan bahwa $(1+x+x^2+\cdots)$ merupakan Ekspansi Maclaurin dari $f(x)=\dfrac{1}{1-x}.$
Bentuk $\dfrac{1}{2-x}$ dapat diekspansikan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{2-x} & = \dfrac{1}{\dfrac12\left(1- \dfrac12x\right)} \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac{1}{1- \dfrac12x} \\ & = \dfrac12\left(1 + \dfrac12x + \left(\dfrac12x\right)^2 + \cdots\right) \\ & = \dfrac12 + \dfrac14x + \dfrac18x^2 + \cdots \end{aligned}$$Dengan memperhatikan koefisien setiap suku, diperoleh barisan geometri: $\dfrac12, \dfrac14, \dfrac18, \cdots$ dengan rumus $a_n = \dfrac{1}{2^{n+1}}$ untuk $n \geq 0$.
Jadi, barisan yang dibangkitkan oleh fungsi tersebut adalah $\boxed{a_n = \dfrac{1}{2^{n+1}}, n \geq 0}$