Gradien suatu garis yang melalui dua buah titik adalah

Rumus Gradien adalah rumus yang di pakai untuk mengukur pada kemiringan suatu garis, Berikut ini akan kami jelaskan lengkap mengenai rumus gradien yang meliputi pengertian, rumus dan contoh soalnya

Gradien disebut juga sebagai koefisien arah pada garis lurus dan dilambangkan huruf m.. Untuk lebih jelasnya simak pembahasan di bawah ini

Gradien adalah nilai kemiringan pada suatu garis yang membandingkan antara komponen Y dengan komponen X

Rumus Mencari Gradien

Terdapat beberapa kondisi ataupun keadaan untuk mencari gradien garis, perhatika pembahasa berikut ini

1. Gradien Garis Melalui Titik Pusat (0,0) dan Titik (x, y)

Diketahui bahwa persamaan garis yang melalui titik pusat (0,0) dan titik (x, y) adalah

y = mx.

Perhatikan contoh berikut ini.

Mari kita bahas dengan soal dan pembahasannya

Tentukanlah gradien persamaan garis melalui titik pusat dan titik (3, 5)!

Penyelesaian:

Persamaan garis melalui titik (0, 0) dan (3, 5) adalah y = (5/3)x.
Hingga gradiennya yaitu 5/3.

Dari contoh soal tersebut bisa kita simpulkan bahwa gradien dari persaman garis y = mx adalah m.

Kesimpulan perbandingan antara komponen y dengan komponen x pada tiap ruas garis adalah sama. Nilai perbandingan itu dinamakan gradien.

Maka, persamaan garis y = mx mempunyai gradien m dengan m = y/x.

2. Gradien Garis Melalui Dua Buah Titik (x1, y1) dan (x2, y2)

Tidak selalu bahwa sebuah garis tersebut melewati titik pusat (0,0). Jika suatu garis tidak melalui titik pusat (0,0), dapatkah kamu menentukan gradiennya?

Mari kita bahas contoh soal dan pembahasannya

Tentukanlah gradien persamaan garis melalui titik (6, 2) dan titik (3, 5)!

Penyelesaian:

x1 = 6; y1 = 2; x2 = 3; y2 = 5

Jadi, gradien persamaan garisnya adalah -1.

Kesimpulan perbandingan komponen x dan komponen y untuk setiap ruas garis yaitu sama, yaitu 1. Bilangan 1 ini adalah gradien dari persamaan garis y = x + 2.

Maka, persaman garis y = mx, c ≠ 0 mempunyai gradien m dengan;

3. Gradien Garis Sejajar Sumbu-x dan Sumbu-y

Untuk mencari gradien garis yang sejajar sumbu-x dan gradien garis yang sejajar sumbu-y bisa memakai rumus berikut

Perhatikan gambar berikut ini

Garis o sejajar dengan sumbu-x dan garis n sejajar dengan sumbu-y.

Pada gambar tersebut terlihat jelas bahwa garis o melalui titik (-4, 2) dan (5, 2). Gradien garis o yaitu

Maka, gradien garis sejajar sumbu-x adalah 0.

Perhatikan garis n di bawah ini!

Garis n melalui titik (4, 8) dan (4, -5).
Gradien garis n yaitu m = (–5 – 8):(4 – 4) = 13/0 = (tidak didefinisikan).

Maka, gradien garis sejajar sumbu-y tidak didefinisikan.

4. Gradien Garis Yang Saling Sejajar

Gradien garis sejajar sumbu-x yaitu 0. Bagaimana dengan gradien dengan dua buah garis yang sejajar seperti terlihat pada gambar berikut?

Perhatikan gambar tersebut, lalu kemudian lakukan kegiatan di bawah ini guna mencari gradien garis yang sejajar. Apa yang bisa di simpulkan berdasarkan kegiatan itu ?

Carilah gradien ruas garis AB, PQ, MN, dan RS pada gambar tersebut dengan melengkapi titik-titik berikut ini!

• Titik A (1, 4) ; B (6, 11)
Gradien AB = (11 – 4):(6 – 1) = 7/5

• Titik P (2,2) ; Q (7,9)
Gradien PQ = (9 – 2):(7 – 2) = 7/5

• Titik M (6,3); N (11,10)
Gradien MN = (10 – 3):(11–6) = 7/5

• Titik R (1,4); S (6,11)
Gradien RS = (11 – 7):(6 – 1) = 7/5

Maka, gradien garis AB = PQ = MN = RS = 7/5 .

5. Gradien Garis Saling Tegak Lurus

Selain kedudukan 2 buah garis sejajar, ada juga kedudukan 2 garis yang saling tegak lurus. Bagaimana gradien garis yang tegak lurus? Apakah gradiennya sama?

Gradien 2 buah garis yang tegak lurus jika dikalikan hasilnya sama dengan –1.

Maka, jika l adalah sebuah garis tegak lurus dengan garis p maka berlaku ml × mp = –1.

Contoh Soal

Untuk memudahkan dala pemahaman, sima beberapa contoh soal dibawah ini

Soal No.1
Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut ini:

a) y = 3x + 2
b) 10x − 6y + 3 = 0

Jawab :

a) y = 3x + 2
Pola persamaan garis pada soal a adalah y = mx + C
Hingga mudah menemukan gradien garisnya m = 3

b) 18x − 6y + 24 = 0
Ubah persamaan b jadi pola y = mx + c

18x − 6y + 24 = 0 18x + 24 = 6y 6y = 18x + 24 bagi dengan 6 y = 3x + 4

hingga m = 3

Pada artikel ini, kamu akan mempelajari cara untuk mencari kemiringan (gradien) dari sebuah garis lurus disertai dengan masing-masing contoh soalnya.

--

Siapa yang pernah naik pesawat terbang?

Tahukah kamu saat pesawat lepas landas (take off) atau ingin mendarat (landing), pesawat memerlukan kemiringan tertentu agar bisa terbang atau tiba di landasan dengan sempurna. Nah, salah satu perhitungan matematika yang dapat diaplikasikan dalam menentukan kemiringan badan pesawat saat lepas landas atau mendarat akan kita bahas pada artikel kali ini. So, stay tuned, ya!

Squad, coba deh kamu perhatikan gambar di atas. Jika kita anggap lintasan yang dilalui pesawat adalah suatu garis lurus, maka saat pesawat bergerak menuju udara, pesawat akan berjalan lurus ke atas dengan kemiringan tertentu. Begitu juga saat pesawat kembali menuju darat. Nah, kemiringan pada garis lurus ini dalam matematika disebut dengan gradien.

“Gradien adalah nilai yang menunjukkan kemiringan/kecondongan suatu garis lurus”.

Umumnya, gradien disimbolkan dengan huruf “m”. Gradien akan menentukan seberapa miring suatu garis pada koordinat kartesius. Gradien suatu garis dapat miring ke kanan, miring ke kiri, curam, ataupun landai, tergantung dari nilai komponen X dan komponen Y nya. Contoh macam-macam kemiringan (gradien) pada garis lurus dapat kamu lihat melalui gambar di bawah ini:

“Garis yang gradiennya positif akan miring ke kanan, sedangkan garis yang gradiennya negatif akan miring ke kiri”.

Sekarang, kita coba cari tahu yuk mana garis yang gradiennya positif dan mana garis yang gradiennya negatif. Pada gambar nomor 1, ternyata garisnya miring ke kanan, sehingga dapat diketahui kalau gradiennya akan bernilai positif. Sementara itu, pada gambar nomor 4, garisnya miring ke kiri, sehingga gradiennya akan bernilai negatif.

Nah, kalau gambar nomor 2 dan 3, garisnya miring ke mana, ya? Kira-kira, gradiennya bernilai positif atau negatif? Hayoo… ada yang tau?

Baca juga: Penerapan dan Manfaat Prinsip Bidang Miring

Oke, setelah kita mengetahui apa itu gradien suatu garis, materi yang akan kita bahas selanjutnya adalah bagaimana cara mencari nilai gradien tersebut. Wah, penasaran nggak, sih? Kalau gitu, langsung saja yuk kita simak!

Terdapat dua cara untuk mencari nilai gradien suatu garis yang bisa kamu ketahui, yaitu:

I. Jika diketahui bentuk persamaan garisnya

Secara umum, bentuk persamaan garis lurus ada dua macam, sehingga cara untuk menentukan gradiennya juga berbeda beda, tergantung dari bentuk persamaan garisnya.

a. Persamaan garis y = mx + c

Pada persamaan garis ini, gradien dapat dicari dengan mudah, Squad. Kenapa? Karena gradiennya adalah koefisien dari variabel x itu sendiri, yaitu m.

Contoh:

1. Garis y = 3x + 2, koefisien x adalah 3. Jadi, gradien garis tersebut adalah 3.
2. Garis y = -2x + 8, koefisien x adalah -2. Jadi, gradien garis tersebut adalah -2.

b. Persamaan garis ax + by + c = 0

Jika diketahui persamaan garis ax + by + c = 0, maka langkah pertama yang harus kamu lakukan adalah ubah persamaan garis tersebut ke bentuk y = mx + c, dengan m adalah gradien garis tersebut. Di sini, kamu harus perhatikan tanda +/- dari koefisien masing-masing variabelnya, ya. Soalnya, tanda +/- akan berubah ketika kita pindah ruas persamaannya. Nah, kalau kamu merasa bingung, coba perhatikan contoh soal di bawah ini, ya.

Contoh:

1. Hitunglah kemiringan (gradien) pada persamaan garis berikut:

a) 5x + 2y - 8 = 0

b) 2x - 3y = 7

Penyelesaian:

a) Pertama-tama, kita ubah dulu persamaan 5x + 2y - 8 = 0 ke bentuk y = mx + c, sehingga persamaannya menjadi,

5x + 2y - 8 = 0

2y = -5x + 8

Koefisien x bernilai positif, yaitu 5, sehingga setelah kita pindah ruas ke kanan akan bernilai negatif. Begitu juga dengan konstanta -8 yang berubah tanda menjadi 8 karena pindah ruas ke kanan. Selanjutnya, kita bagi kedua ruas dengan 2.

y = (-5/2)x + 4

Jadi, gradien dari persamaan garis tersebut adalah -5/2.

Gimana? Kamu paham nggak sampai sini? Oke, supaya kamu semakin paham, coba kamu kerjakan contoh poin b. Terus, jawabannya kamu share deh di kolom komentar. Ditunggu ya jawabannya!

II. Jika diketahui dua titik yang dilalui garis

Jika diketahui dua titik yang dilalui suatu garis lurus, misalnya (x1,y1) dan (x2,y2), maka gradiennya dapat diperoleh dengan rumus m = ∆y/∆x = (y2-y1)/(x2-x1). Contoh soalnya seperti ini, Squad.

Contoh:

Perhatikan gambar berikut:

Penyelesaian:

Diketahui dua buah titik yang dilalui oleh garis k, yaitu (4,0) dan (0,6). Misalnya kita pilih (x1,y1) = (4,0) dan (x2,y2) = (0,6), gradien garis tersebut dapat dicari menggunakan rumus m = ∆y/∆x = (y2-y1)/(x2-x1).

Jadi, gradien garis tersebut adalah -3/2. Di sini kamu bebas untuk memilih titik mana yang jadi (x1,y1) dan titik mana yang jadi (x2,y2) ya karena hasilnya akan sama saja.

Wah, ternyata mudah ya untuk mencari kemiringan suatu garis? Rumusnya juga simpel lagi. Nah, untuk lebih memudahkan kamu dalam mengerjakan soal-soal tentang gradien, artikel ini sudah merangkup rumus-rumus di atas tadi, lho.

Tapi ingat, kamu jangan hanya hafal rumus-rumusnya saja, ya. Kamu juga harus pahami konsepnya. Caranya gimana? Kamu bisa identifikasi soalnya, apakah di soal diketahui persamaannya saja atau diketahui dua titik yang dilalui persamaan garis itu. Biasanya sih, untuk cara nomor dua, soal yang disediakan berupa gambar grafik, Squad. Setelah itu, baru deh  kamu bisa gunakan rumus-rumus yang sudah dijelaskan sebelumnya. 

Cara mencari kemiringan (gradien) suatu garis lurus banyak sekali diterapkan untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari, lho. Salah satunya, seperti yang sudah disebutkan di awal tadi, yaitu untuk memperhitungkan kemiringan badan pesawat saat lepas landas maupun mendarat. Bayangkan saja jika pilot tidak memperhitungkan kemiringan pesawat saat ingin mendarat, pasti jadinya bakal kayak gini,

Jadi, nggak ada alasan lagi buat kamu untuk malas belajar matematika dengan bilang kalau rumus matematika nggak ada manfaatnya sama sekali. Trust me, setiap ilmu yang kamu pelajari pasti ada manfaatnya!

Oke, kita masuk ke materi yang terakhir ya, yaitu hubungan antara dua garis lurus. Hubungan dua garis lurus ini juga sangat penting untuk kamu ketahui karena biasanya untuk mencari gradien suatu garis akan bergantung dengan garis yang lain. Gimana sih maksudnya? Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan gambar di bawah ini!   

Yuhuu... selesai sudah materi kita kali ini. Jika kamu ada pertanyaan, jangan ragu untuk menuliskannya di kolom komentar, ya. Nah, kalau menurutmu materi ini kurang lengkap, kamu bisa lho belajar lebih dalam lagi di ruangbelajar. Selamat belajar, selamat meraih mimpi!

Referensi:

As'ari A.R, Tohir M, Valentino E, Imron Z, Taufiq I. (2017) Matematika SMP/MTs Kelas VIII Semester 1. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

Artikel diperbarui pada 23 Desember 2020