belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Trigonometri. Materi trigonometri yang kita diskusikan berikut kita rangku
The good student, Calon Guru belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Trigonometri. Materi trigonometri yang kita diskusikan berikut kita rangkum soal-soal UJian Nasional (UN), Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri yang dilaksanakan secara mandiri atau secara bersama.
Untuk dapat mengikuti belajar matematika dasar trigonometri ini, maka ada baiknya kita sudah sedikit paham tentang teorema phytagoras, karena ini adalah salah satu syarat perlu, agar lebih cepat dalam belajar trigonometri dasar.
Penerapan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya mengukur tinggi gedung tanpa harus naik ke atas gedung. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada trigonometri juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal trigonometri dan menemukan solusinya.
Matematika dasar tentang trigonometri ini kita mulai dari pertanyaan siswa tentang trigonometri yang saya sebut merusak merusak RPP [Rencana Pelaksanaan Pembelajaran]. Merusak RPP?, iya benar merusak RPP. Rencana pembelajaran yang sudah disusun berubah seketika setelah siswa mendapat satu masalah dari $10$ soal yang diberikan pada pertemuan sebelumnya.
Satu soal yang menjadi masalah ini ternyata tidak hanya membingungkan satu siswa saja, tetapi juga teman-temannya dan juga termasuk gurunya👀. Soal indentitas trigonometri ini terlihat sederhana, tetapi setelah dilakukan beberapa kali eksplorasi ternyata masih belum mendapatkan hasil yang memuaskan. Ding... Dong... waktunya istirahat... Ding... Dong... it's time to have break...
Soal yang menjadi masalah adalah soal yang dikutip dari soal latihan uji kompetensi buku matematika kelas XI IPA penerbit yudisthira penulis Drs. H. Sigit Suprijanto pada halaman 194. Pada buku matematika IPA kelas XI Penerbit Esis penulis Sulistiyono dan kawan-kawan halaman 169 disampaikan bahwa soal tersebut sudah pernah disajikan pada saat UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) tahun 2001. Perbedaannya hanya pada buku matematika penerbit Yudistira soal disajikan dalam bentuk uraian sedangkan pada buku penerbit Esis disajikan pilihan ganda. Soalnya kurang lebih disajikan sebagai berikut; $\begin{align} (A)\ & \dfrac{a}{a+1} \\
(B)\ & \dfrac{1}{a+1} \\
(C)\ & \dfrac{a+1}{a-1} \\
(D)\ & \dfrac{a-1}{a+1} \\
(E)\ & 2a^{2}
\end{align}$ Untuk mengerjakan soal diatas, ada beberapa data yang kita perlukan, yaitu:
\end{align}$ 2. Soal UM UGM 2009 |*Soal LengkapJika $\sin\ A=\sqrt{2pq}$ dan $\tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$, maka $p^{2}+q^{2}=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{4} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & 1Alternatif Pembahasan: Dari soal ada beberapa data yang bisa kita ambil dan kembangkan yaitu: $ \sin\ A =\sqrt{2pq}$ ruas kiri dan kanan persamaan diatas sama-sama dikuadratkan menjadi $ \sin^{2}A=2pq$. Berikutnya diketahui $ tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$ $\begin{align} \dfrac{\sin\ A}{\cos\ A} &=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q} \\ \dfrac{\sin\ A}{\cos\ A} &=\dfrac{\sin\ A}{p-q} \end{align}$ diperoleh persamaan $ \cos\ A=p-q$ Ruas kiri dan kanan persamaan $ \cos\ A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi: $\begin{align} \left (p-q \right )^{2} &=\cos^{2}A \\ p^{2}+q^{2}-2pq &=\cos^{2}A \\ p^{2}+q^{2} &=\cos^{2}+2pqA \\ &=\cos^{2}+\sin^{2}A \\ &=1 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 1$ 3. SIMAK UI 2015 Kode 302 |*Soal LengkapDiketahui $\sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$, dengan $0 \lt \alpha \lt 45^{\circ}$. Nilai dari $\cos(10^{\circ}+\alpha)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}+b \right) \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{(1-b^{2})}-b \right) \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{(1-b^{2})} \right) \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{3(1-b^{2})} \right) \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)Alternatif Pembahasan: Kita coba kerjakan dengan memisalkan $m=40^{\circ}+ \alpha$ sehingga $m-40^{\circ}=\alpha$. $\sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$ $\sin\ m=b$ dengan menggunakan identitas dasar trigonometri atau defenisi trigonometri pada segitiga siku-siku, kita peroleh: $\begin{align} \sin^{2}\ m+\cos^{2}\ m & = 1 \\ b^{2}+\cos^{2}\ m & = 1 \\ \cos\ m & = \pm \sqrt{1-b^{2}} \\ \end{align}$ Karena $m$ pada kwadran satu maka $ \cos\ m=\sqrt{1-b^{2}}$ $\begin{align} & \cos(10^{\circ}+\alpha) \\ & = \cos(10^{\circ}+m-40^{\circ}) \\ & = \cos(m-30^{\circ}) \\ & = \cos\ m\ \cos\ 30^{\circ} + \sin\ m\ \sin\ 30^{\circ} \\ & = \sqrt{1-b^{2}} \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) + b\ \left(\dfrac{1}{2} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{1-b^{2}} \left(\sqrt{3} \right) + b \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{3 \left(1-b^{2} \right)} + b \right) \end{align}$$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)$ 4. SIMAK UI 2015 Kode 354 |*Soal LengkapJika $\cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, maka $9\left(\sin^{6}A+\cos^{6}A \right)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6Alternatif Pembahasan: Kita ketahui bahwa identitas aljabar atau identitas dasar trigonometri sebagai berikut;
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$ 5. SIMAK UI 2015 Kode 354 |*Soal LengkapBentuk identitas trigonometri berikut yang benar adalah... $\begin{align} (1)\ & \dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x}=\tan\ 2x-\sec\ 2x \\ (2)\ & \tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = \dfrac{1-\sin(-2x)}{\cos(2x)} \\ (3)\ & \dfrac{1+2\sin^{2}x}{2\cot(\frac{\pi}{4}+x)\cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)}=-1 \\ (4)\ & \dfrac{\cot^{2}2x-1}{2\cot\ 2x}-\cos\ 8x\ \cot\ 4x=\sin\ 8xAlternatif Pembahasan: Dengan menggunakan beberapa identitas dasar trigonometri dan manipulais alajabar, maka akan kita peroleh; Untuk pernyataan (1): $\begin{align} & \dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x} \\ &=\dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x} \times \dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x+\sin\ x} \\ &=\dfrac{\cos^{2}x+\sin^{2}x+2\sin\ x\ \cos\ x}{\cos^{2}x-\sin^{2}x} \\ &=\dfrac{1+2\sin\ x\ \cos\ x}{\cos(2x)} \\ &=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{2\sin\ x\ \cos\ x}{\cos(2x)} \\ &=sec(2x)+\dfrac{sin(2x)}{\cos(2x)} \\ &=sec(2x)+\tan(2x) \neq \tan\ 2x-sec\ 2x \end{align}$ Kesimpulan: Pernyataan $(1)$ Salah. Untuk pernyataan (2): $\begin{align} & \dfrac{1-sin(-2x)}{cos(2x)} \\ &=\dfrac{1+sin(2x)}{cos(2x)} \\ &=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)} \\ &=sec(2x)+\tan(2x) \\ &=\dfrac{\cos\ x+\sin\ x}{\cos\ x-\sin\ x} \\ &=\dfrac{1+\dfrac{\sin\ x}{\cos\ x}}{1-\dfrac{\sin\ x}{\cos\ x}} \\ &=\dfrac{1+\tan\ x}{1-\tan\ x} \\ &=\dfrac{\tan\ \frac{\pi}{4}+\tan\ x}{\tan\ \frac{\pi}{4}-\tan\ x} \\ &=\tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right) \end{align}$ Kesimpulan: Pernyataan $(2)$ Benar. Untuk pernyataan (3): $\begin{align} &\dfrac{1+2\sin^{2}x}{2cot(\frac{\pi}{4}+x)\cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{2 \cdot \dfrac{\cos\ x -\sin\ x}{\cos\ x +\sin\ x} \left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2} (\cos\ x +\sin\ x)} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{(\cos\ x -\sin\ x)(\cos\ x +\sin\ x)} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{\cos^{2} x -\sin^{2} x} \\ &=\dfrac{1+2\sin^{2}x}{1-2\sin^{2} x} \neq -1 \end{align}$ Kesimpulan: Pernyataan $(3)$ Salah. Untuk pernyataan (4): $\begin{align} & \dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-\cos\ 8x\ cot\ 4x \\ &=\dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-\cos\ 8x\ cot\ 4x \\ &=\dfrac{cot\ 2x}{2} - \dfrac{1}{2cot\ 2x}-\cos\ 8x\ cot\ 4x \\ &=\dfrac{\cos\ 2x}{2\sin\ 2x} - \dfrac{\sin\ 2x}{2\cos\ 2x}-\cos\ 8x\ \dfrac{\cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{2\cos^{2} 2x-2\sin^{2} 2x}{4\sin\ 2x\ \cos\ 2x} -\dfrac{\cos\ 8x\ \cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{2\cos\ 4x}{2 \sin\ 4x} -\dfrac{\cos\ 8x\ \cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x-\cos\ 8x\ \cos\ 4x}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x\left (1-\cos\ 8x\ \right )}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x\left (\sin^{2}4x+\cos^{2}4x-\cos^{2}4x+\sin^{2}4x \right )}{\sin\ 4x} \\ &=\dfrac{\cos\ 4x\ 2\sin^{2}4x}{\sin\ 4x} \\ &=2sin 4x\ \cos\ 4x\ \\ &=\sin\ 8x \end{align}$ Kesimpulan: Pernyataan $(4)$ Benar. $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$ 6. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 |*Soal LengkapJika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan $2\sin^{2}x-\cos\ x=1$, $0 \leq x \leq \pi$, nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{\pi}{3} \\ (B)\ & \dfrac{2\pi}{3} \\ (C)\ & \pi \\ (D)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\ (E)\ & 2\piAlternatif Pembahasan: $2\sin^{2}x-\cos\ x=1$ dengan bantuan identitas trigonometri $\sin^{2}x=1-\cos^{2}$ sehingga persamaan dapat kita rubah menjadi: $\begin{align} 2(1-\cos^{2})-\cos\ x & =1 \\ 2-2\cos^{2}-\cos\ x & =1 \\ 2\cos^{2}+\cos\ x-2+1 & = 0 \\ 2\cos^{2}+\cos\ x-1 & = 0 \\ (2\cos\ x -1)(\cos\ x +1) & = 0 \\ \hline 2\cos\ x -1 & = 0 \\ \cos\ x & = \dfrac{1}{2} \\ x_{1} & = \dfrac{\pi}{3} \\ \hline \cos\ x +1 & = 0 \\ \cos\ x & = -1 \\ x_{2} & = \pi \\ x_{1}+x_{2} & = \dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{4}{3}\pi \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}\pi $ 7. Soal UM UGM 2014 Kode 522 |*Soal LengkapJika sudut $\alpha$ memenuhi: $\cos^{2}\alpha+2 \sin\left ( \pi-\alpha \right )=\sin^{2}\left ( \pi+\alpha \right )+1\frac{1}{2}$ maka $\sin\ \alpha=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (D)\ & \sqrt{3} \\ (E)\ & 1Alternatif Pembahasan: Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{2}$ 8. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 |*Soal LengkapDiketahui segitiga $ABC$ mempunyai panjang sisi $AC=b\ cm$, $BC=a\ cm$, $a+b=12\ cm$. Jika sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$, maka panjang sisi $AB=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -12\sqrt{3}-12 \\ (B)\ & 12\sqrt{3}-12 \\ (C)\ & 12-6\sqrt{3} \\ (D)\ & 12+6\sqrt{3} \\ (E)\ & 12\sqrt{3}+12Alternatif Pembahasan: Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$, karena sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$ sehingga berlaku Teorema Pythagoras. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, kita peroleh: $\begin{align} AB^{2} & = a^{2}+b^{2} \\ \left( 2b \right)^{2} & = \left( b-12 \right)^{2}+b^{2} \\ 4b^{2} & = b^{2}-24b+14+b^{2} \\ 0 & = 2b^{2}+24b-144 \\ 0 & = b^{2}+12b-72 \\ \hline b_{12} & = \dfrac{-12 \pm \sqrt{12^{2}-4(1)(-72)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{-12 \pm \sqrt{144+288}}{2} \\ & = \dfrac{-12 \pm \sqrt{432}}{2} \\ &= \dfrac{-12 \pm 12 \sqrt{3}}{2} \\ &= -6 \pm 6 \sqrt{3} \\ b & = -6 + 6 \sqrt{3} \\ \hline AB & = 2b \\ & = 2 \left( -6 + 6 \sqrt{3} \right) \\ & = -12 + 12 \sqrt{3} \end{align}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12\sqrt{3}-12$ 9. Soal SBMPTN 2014 Kode 683 |*Soal LengkapJika $\cos\ x=2\sin\ x$, maka nilai $\sin\ x\ \cos\ x$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{5} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & \dfrac{1}{3} \\ (D)\ & \dfrac{2}{5} \\ (E)\ & \dfrac{2}{3}Alternatif Pembahasan: $\begin{align} \cos\ x &= 2\sin\ x \\ \dfrac{\cos\ x}{\sin\ x} &= 2 \\ cot\ x &= \dfrac{2}{1} \end{align}$ Jika $cot\ x= \dfrac{2}{1}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini; $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2}{5}$ 10. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal LengkapDiketahui bahwa $\sqrt[3]{\sin^{2}x}+\sqrt[3]{\cos^{2}x}=\sqrt[3]{2}$, maka $\cos^{2}2x=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{27} \\ (B)\ & \dfrac{8}{27} \\ (C)\ & \dfrac{9}{27} \\ (D)\ & \dfrac{25}{27} \\ (E)\ & 1Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan soal ini kita coba dengan memisalkan $\sqrt[3]{\sin^{2}x}=m$ dan $\sqrt[3]{\cos^{2}x}=n$ sehingga $m^{3}+n^{3}=\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ dan manipulasi aljabar yang dapat kita lakukan pada soal kurang lebih seperti berikut ini: $\begin{align} m+n & = \sqrt[3]{2} \\ (m+n)^{3} & = \left(\sqrt[3]{2} \right)^{3} \\ m^{3}+n^{3}+3mn(m+n) & = 2 \\ 1+3\cdot \sqrt[3]{\sin^{2}x} \cdot \sqrt[3]{\cos^{2}x} \left( \sqrt[3]{2} \right) & = 2 \\ 3\cdot \sqrt[3]{2\sin^{2}x\ \cos^{2}x} & = 2-1 \\ \sqrt[3]{2\sin^{2}x\ \cos^{2}x} & = \dfrac{1}{3} \\ 2\sin^{2}x\cos^{2}x & = \dfrac{1}{27} \\ \hline \sin\ 2x = 2\sin\ x\ \cos\ x & \\ \dfrac{1}{2}\sin\ 2x = \sin\ x\ \cos\ x & \\ \hline 2 \left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\ 2 \left( \dfrac{1}{2}\sin\ 2x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\ 2 \cdot \dfrac{1}{4}\sin^{2}2x & = \dfrac{1}{27} \\ \dfrac{1}{2} \left(1-\cos^{2}2x \right) & = \dfrac{1}{27} \\ 1-\cos^{2}2x & = \dfrac{2}{27} \\ 1-\dfrac{2}{27} & = \cos^{2}2x \\ \dfrac{25}{27} & = \cos^{2}2x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{25}{27}$ 11. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 |*Soal LengkapNilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\cos^{6}x + \sin^{4}x-1 \geq 4x^{4}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{3} \\ (C)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \\ (D)\ & \dfrac{\pi}{3} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \\ (E)\ & 0 \lt x \lt \inftyAlternatif Pembahasan: $\begin{align} \cos^{6}x + \sin^{4}x-1 & \geq 4x^{4} \\ \cos^{6}x + \sin^{4}x-\sin^{2}x - \cos^{2}x & \geq 4x^{4} \\ \cos^{6}x- \cos^{2}x + sin^{4}x-\sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + \sin^{2}x \left( \sin^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + \sin^{2}x \left( \cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x \left(cos^{4}x- 1 + \sin^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{2}x \left(cos^{4}x-\cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{4}x \left(\cos^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\ \cos^{4}x\ \sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\ \cos^{4}x\ \sin^{2}x - 4x^{4} & \geq 0 \\ \left( \cos^{2}x\ \sin\ x - 2x^{2} \right)\left( \cos^{2}x\ \sin\ x + 2x^{2} \right) & \geq 0 \\ \end{align}$ Pembuat nol $\begin{align} \cos^{2}x\ \sin\ x - 2x^{2} & = 0 \\ \cos^{2}x\ \sin\ x & = 2x^{2} \\ x & = 0 \\ \hline \cos^{2}x\ \sin\ x + 2x^{2} & = 0 \\ \cos^{2}x\ \sin\ x & = -2x^{2} \\ x & = 0 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$ 12. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 |*Soal LengkapJika diketahui bahwa $2^{\cos\ 2x} + 2^{\cos^{2}x} = 3 \cdot 2^{-\cos\ 2\pi}$, nilai $x$ adalah .... $\begin{align} (1)\ & \dfrac{\pi}{2} \\ (2)\ & \dfrac{\pi}{3} \\ (3)\ & \dfrac{3\pi}{2} \\ (4)\ & \piAlternatif Pembahasan: $\begin{align} 2^{\cos\ 2x} + 2^{\cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-\cos\ 2\pi} \\ 2^{\cos\ 2x} + 2^{\cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-1} \\ 2 \cdot 2^{\cos\ 2x} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ 2^{\cos\ 2x+1} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ 2^{2\cos^{2}x-1+1} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ 2^{2\cos^{2}x} + 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} & = 3 \\ \left( 2^{\cos^{2}x} \right)^{2}+ 2 \cdot 2^{\cos^{2}x} - 3 & = 0 \\ \hline m^{2}+ 2 \cdot m - 3 & = 0 \\ (m+3)(m-1) & = 0 \\ m=-3\ \text{atau}\ m= 1 & \\ \hline \Rightarrow 2^{\cos^{2}x} & = -3\ \text{(TM)} \\ \Rightarrow 2^{\cos^{2}x} & = 1 \\ 2^{\cos^{2}x} & = 2^{0} \\ \cos^{2}x & = 0 \\ x & = \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}, \cdots \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ (1)(3)\ \text{Benar}$ 13. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 |*Soal LengkapDiketahui bahwa $\dfrac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin\ x\ \cos\ x}=a$, maka $\cot^{2}x+\tan^{2}x=\cdots$ $\begin{align}Alternatif Pembahasan: $\begin{align} \dfrac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin\ x\ \cos\ x} & = a \\ \dfrac{\cos\ 2x}{\frac{1}{2} \cdot \sin\ 2x} & = a \\ \dfrac{\cos\ 2x}{\sin\ 2x} & = \dfrac{1}{2}a \\ \cot\ 2x & = \dfrac{1}{2}a \end{align}$ Jika $cot\ 2x= \dfrac{a}{2}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini; $\begin{align} \cot^{2}x+\tan^{2}x & = \dfrac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} \\ & = \dfrac{cos^{4}x+sin^{4}x}{\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x} \\ & = \dfrac{\left( \sin^{2}x+\cos^{2}x \right)^{2}-2\sin^{2}x\ \cos^{2}x}{\left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1-2 \left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2}}{\left( \sin\ x\ \cos\ x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1-2 \left( \frac{1}{2} \sin\ 2x \right)^{2}}{\left( \frac{1}{2}\sin\ 2x \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2}2x}{ \frac{1}{4}\sin^{2} 2x} \\ & = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2} }{ \frac{1}{4} \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}} \\ & = \dfrac{1- \frac{2}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{a^{2}+4}} \\ & = \dfrac{a^{2}+4-2}{a^{2}+4} \cdot \dfrac{a^{2}+4}{1} \\ & = a^{2}+2 \\ \end{align}$ Alternatif Pembahasan By Heriady Gultom $\begin{align} $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ a^{2}+2$ 14. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 |*Soal LengkapJika diketahui bahwa $\cos\ \frac{1}{2} \theta =\sqrt{\dfrac{x+1}{2x}}$, maka $x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}=\cdots$ $\begin{align}Alternatif Pembahasan: $\begin{align} \cos\ \frac{1}{2} \theta & = \sqrt{\dfrac{x+1}{2x}} \\ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = \dfrac{x+1}{2x} \\ 2x \cdot \cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = x+1 \\ 2x \cdot \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - x& = 1 \\ x \left( 2 \cdot \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1 \right) & = 1 \end{align}$ Dari persamaan di atas kita peroleh nilai $x$, yaitu: $\begin{align} x & = \dfrac{1}{ 2\ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1} \\ x & = \dfrac{1}{ 2\ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - \sin^{2} \frac{1}{2} \theta-\cos^{2} \frac{1}{2} \theta} \\ x & = \dfrac{1}{ \cos^{2} \frac{1}{2} \theta - \sin^{2} \frac{1}{2} \theta} \\ x & = \dfrac{1}{ \cos\ \theta} \end{align}$ $\begin{align} x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}} & = \left( \dfrac{1}{ \cos\ \theta} \right)^{2}- \left( \cos\ \theta \right)^{2} \\ & = \dfrac{1}{ \cos^{2} \theta} - \cos^{2} \theta \\ & = \dfrac{1-cos^{4} \theta}{ \cos^{2} \theta} \\ & = \dfrac{\left( 1-\cos^{2} \theta \right)\left( 1+\cos^{2} \theta \right)}{ \cos^{2} \theta} \\ & = \dfrac{\sin^{2} \theta \cdot \left( 1+\cos^{2} \theta \right)}{ \cos^{2} \theta} \\ & = \dfrac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} \cdot \left( 1+\cos^{2} \theta \right) \\ & = \dfrac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}+\sin^{2} \theta \\ & = \tan^{2} \theta +\sin^{2} \theta \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \tan^{2}\theta+\sin^{2}\theta$ 15. Soal UM UGM 2013 Kode 251 |*Soal LengkapJika $1-\cot\ a=-\dfrac{1}{3}$ maka nilai $\sin\ 2a+\cos\ 2a=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{17}{25} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \dfrac{6}{5} \\ (D)\ & \dfrac{31}{25} \\ (E)\ & \dfrac{7}{5}Alternatif Pembahasan: $\begin{align} 1-\cot\ a & = -\dfrac{1}{3} \\ 1+\dfrac{1}{3} & = \cot\ a \\ \dfrac{4}{3} & = \cot\ a \end{align}$ Jika $\cot\ a = \dfrac{4}{3}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku seperti gambar berikut ini; $\begin{align} & \sin\ 2a+\cos\ 2a \\ & = 2\ \sin\ a\ \cos\ a + \cos^{2}a-\sin^{2}a \\ & = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} + \left( \dfrac{4}{5} \right)^{2} - \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \\ & = \dfrac{24}{25} + \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} \\ & = \dfrac{31}{25} \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{31}{25}$ 16. Soal UM UGM 2013 Kode 251 |*Soal LengkapHasil penjumlahan semua penyelesaian $\sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{1}{2}$ untuk $0 \lt x \lt 2\pi$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\ (B)\ & 2\pi \\ (C)\ & \dfrac{8}{3}\pi \\ (D)\ & \dfrac{10}{3}\pi \\ (E)\ & \dfrac{14}{3}\piAlternatif Pembahasan: $\begin{align} \sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2} \\ \sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \sqrt{\dfrac{1}{2}} \\ \sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{align}$ Dengan menggunkan persamaan trigonometri untuk sinus: Jika $\sin\ x = \sin\ \alpha$ maka $x=\alpha+k \cdot 360$ atau $x=180-\alpha+k \cdot 360$ $\begin{align} \sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ \sin \left( x- 30 \right) &= \sin\ 45 \\ \hline x- 30 &= 45+k \cdot 360 \\ x &= 75+k \cdot 360 \\ x &= 75 \\ \hline x- 30 &= 180-45+k \cdot 360 \\ x &= 165+k \cdot 360 \\ x &= 165 \end{align}$ $\begin{align} \sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ \sin \left( x- 30 \right) &= \sin\ 225 \\ \hline x- 30 &= 225+k \cdot 360 \\ x &= 255+k \cdot 360 \\ x &= 255 \\ \hline x- 30 &= 180-225+k \cdot 360 \\ x &= -15+k \cdot 360 \\ x &= 345 \end{align}$ Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi adalah $345+225+165+75=840$ atau $\dfrac{14}{3}\pi$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{14}{3}\pi$ 17. Soal SBMPTN 2013 Kode 130 |*Soal Lengkap$\cot\ 105^{\circ}\ \tan\ 15^{\circ}=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -7+4\sqrt{3} \\ (B)\ & 7+4\sqrt{3} \\ (C)\ & 7-4\sqrt{3} \\ (D)\ & -7-4\sqrt{3} \\ (E)\ & -7+2\sqrt{3}Alternatif Pembahasan: Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7+4\sqrt{3}$ 18. Soal SBMPTN 2013 Kode 130 |*Soal LengkapJika $\sin\ \alpha -\sin\ \beta =\sqrt{A}$ dan $\cos\ \alpha +\cos\ \beta =\sqrt{B}$, maka $cos(\alpha + \beta)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & A+B-1 \\ (B)\ & \dfrac{A+B-1}{2} \\ (C)\ & A+B-2 \\ (D)\ & \dfrac{A+B-2}{2} \\ (E)\ & \dfrac{A+B-2}{4}Alternatif Pembahasan: Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menyelesaikan soal di atas, antara lain:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{A+B-2}{2}$ 19. Soal UMB 2013 Kode 372 |*Soal LengkapPerhatikan kurva fungsi trigonometri di bawahAlternatif Pembahasan: Kurva Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus berlaku: $y=A\ \sin\ k(x \pm \theta) \pm C$
20. Soal UMB 2013 Kode 172 |*Soal LengkapGrafik fungsi $y=-2-\cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$ $(A)\ $ Terletak di bawah sumbu $x$ $(B)\ $ Terletak di atas sumbu $x$ $(C)\ $ Menyinggung sumbu $x$ di banyak titik $(D)\ $ Memotong sumbu $x$ di banyak titikAlternatif Pembahasan: Grafik Fungsi $y=-2-\cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ $ Terletak di bawah sumbu $x$ 21. Soal UM STIS 2011 |*Soal LengkapDiketahui $A$ dan $B$ adalah sudut lancip yang memenuhi $\tan\ (A+B)=\dfrac{1}{2}$ dan $\tan\ (A-B)=\dfrac{1}{3}$. Nilai $\tan\ A $ adalah... $\begin{align} (A)\ & \sqrt{2}+1 \\ (B)\ & \sqrt{2}-1 \\ (C)\ & -\sqrt{2}-1 \\ (D)\ & \dfrac{1}{12} \\ (E)\ & \dfrac{5}{12}Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang Trigonometri yang mungkin membantu yaitu $\tan\ (A+B)=\dfrac{\tan\ A+tan\ B}{1-\tan\ A \cdot tan\ B}$ dan $\tan\ (A-B)=\dfrac{\tan\ A-tan\ B}{1+\tan\ A \cdot tan\ B}$. $\begin{align} \tan\ (A+B) &= \dfrac{\tan\ A+tan\ B}{1-\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ \dfrac{1}{2} &= \dfrac{\tan\ A+tan\ B}{1-\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ 1-\tan\ A \cdot \tan\ B &= 2\tan\ A+2tan\ B\ \cdots\ pers.(1) \\ \hline \tan\ (A-B) &= \dfrac{\tan\ A - tan\ B}{1+\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ \dfrac{1}{3} &= \dfrac{\tan\ A - tan\ B}{1+\tan\ A \cdot \tan\ B} \\ 1+\tan\ A \cdot \tan\ B &= 3\tan\ A-3\tan\ B\ \cdots\ pers.(2) \\ \end{align}$ $\begin{array}{c|c|cc} 1-\tan\ A \cdot \tan\ B = 2\tan\ A+2\tan\ B & (\times 3)\\ 1+\tan\ A \cdot \tan\ B = 3\tan\ A-3\tan\ B & (\times 2)\\ \hline 3-3\tan\ A \cdot \tan\ B = 6\tan\ A+6\tan\ B & \\ 2+2\tan\ A \cdot \tan\ B = 6\tan\ A-6\tan\ B & (-)/(+)\\ \hline 1-5\tan\ A \cdot \tan\ B = 12\tan\ B & (-) \\ 12\tan\ B + 5\tan\ A \cdot \tan\ B = 1 & \\ \tan\ B \left( 12 + 5 \tan\ A \right) = 1 & \\ \tan\ B = \dfrac{1}{12 + 5 \tan\ A} & pers.(3)\\ \hline 5- \tan\ A \cdot \tan\ B = 12\tan\ A & (+) \\ 12\tan\ A + \tan\ A \cdot \tan\ B = 5 & pers.(4) \end{array} $ Dari persamaan $(3)$ dan $(4)$ kita peroleh: $\begin{align} 12\tan\ A + \tan\ A \cdot \tan\ B &= 5 \\ 12\tan\ A + \tan\ A \cdot \dfrac{1}{12 + 5 \tan\ A} &= 5 \\ 12\tan\ A (12 + 5 \tan\ A) + \tan\ A &= 5 (12 + 5 \tan\ A) \\ 144 \tan\ A + 60 \tan^{2} A + \tan\ A &= 60 + 25 \tan\ A \\ 144 \tan\ A + 60 \tan^{2} A + \tan\ A -60 -25 \tan\ A &= 0 \\ 60 \tan^{2} A+120 \tan\ A - 60 &= 0 \\ \tan^{2} A+2 \tan\ A - 1 &= 0 \\ \end{align}$ Akar-akar persamaan kuadrat dengan variabel $tan\ A$ adalah: $\begin{align} \tan\ A &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ &= -1 \pm \sqrt{2} \end{align}$ Karena $A$ adalah sudut lancip maka nilai $\tan\ A$ adalah positif yaitu $-1 + \sqrt{2}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \sqrt{2}-1 $ 22. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal LengkapDiketahui $\sin\ A=\dfrac{1}{a}$, $A$ adalah sudut tumpul. Nilai $\cos\ A=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+1}} \\ (B)\ & \dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+1}} \\ (C)\ & \dfrac{\sqrt{a^{2}+1}}{a} \\ (D)\ & -\dfrac{\sqrt{a^{2}+1}}{a} \\ (E)\ & -\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}Alternatif Pembahasan: Masalah trigonometri di atas dapat kita selesaikan dengan menggunakan bantuan segitiga siku-siku lalu defenisi sinus dan cosinus. Tetapi berikut ini kita coba selesaikan dengan menggunakan identitas trigonometri dasar yaitu: $\begin{align} \sin^{2}A+\cos^{2}A &=1 \\ \cos^{2}A &=1-\sin^{2}A \\ &=1-\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} \\ &=1- \dfrac{1}{a^{2}} \\ &=\dfrac{a^{2}}{a^{2}}-\dfrac{1}{a^{2}} \\ &=\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}} \\ \cos\ A &=\pm \sqrt{\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}}} \\ \cos\ A &=\pm \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a} \end{align}$ Karena $A$ adalah sudut tumpul, maka $A$ berada di kwadran kedua sehingga $\cos\ A$ bernilai negatif, $\cos\ A =- \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}$ 23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal LengkapGrafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$ adalah...Alternatif Pembahasan: Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$ 24. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal LengkapSebidang tanah berbentuk segitiga dengan setiap titik sudutnya diberi tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$. Jika jarak antara tonggak $A$ dan $B$ adalah $300\ m$, sudut $ABC=45^{\circ}$, dan sudut $BCA=60^{\circ}$, jarak antara tonggak $A$ dan $C$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 50\sqrt{6}\ m \\ (B)\ & 100\sqrt{3}\ m \\ (C)\ & 150\sqrt{2}\ m \\ (D)\ & 100\sqrt{6}\ m \\ (E)\ & 300\sqrt{6}\ mAlternatif Pembahasan: Sebagai ilustrasi jika kita gambarkan tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$ beserta ukurannya, dapat digambarkan seperti berikut: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 100 \sqrt{6}$ 25. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal LengkapPerhatikan gambar berikut:Alternatif Pembahasan: Drone begerak dengan arah $045^{\circ}$ artinya diukur $45^{\circ}$ dari Utara dan searah jarum jam (Jurusan Tiga Angka). Jika apa yang disampaikan di atas kita gambarkan kembali, seperti berikut ini: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 670\ m $ 26. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui sistem persamaan: $\left\{\begin{matrix} \sin\left ( x+y \right )=1+\dfrac{1}{5}\cos\ y\\ \sin\left ( x-y \right )=-1+\cos\ y\\ \end{matrix}\right.$ dengan $0 \lt y \lt \dfrac{\pi}{2}$. maka $\cos\ 2x=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{7}{25} \\ (B)\ & \dfrac{7}{24} \\ (C)\ & -\dfrac{7}{25} \\ (D)\ & -\dfrac{7}{24} \\ (E)\ & -\dfrac{17}{25}Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{7}{25}$ 27. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui sistem persamaan: $\left\{\begin{matrix} \cos\ 2x+\cos\ 2y= \dfrac{2}{5} \\ \sin\ x=2\ \sin\ y\\ \end{matrix}\right.$ Untuk $x \gt 0$ dan $y \gt \pi$. Nilai $3\ \sin\ x-5\ \sin\ y=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -\dfrac{3}{5} \\ (B)\ & -\dfrac{2}{5} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{2}{5} \\ (E)\ & \dfrac{3}{5}Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{2}{5}$ 28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui sistem persamaan: $\left\{\begin{matrix} \cos\left ( a-b \right )=\dfrac{4}{5}\sin\left ( a+b \right )\\ \sin\ 2a+\sin\ 2b=\dfrac{9}{10} \\ \end{matrix}\right.$ Nilai dari $\sin\left ( a+b \right )=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{7} \\ (B)\ & \dfrac{7}{10} \\ (C)\ & \dfrac{2}{5} \\ (D)\ & \dfrac{3}{4} \\ (E)\ & \dfrac{3}{5}Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{3}{4}$ 29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui: $\left\{\begin{matrix} x =\cos\ A - 2 \sin\ B\\ y =\sin\ A + 2 \cos\ B \end{matrix}\right.$ Nilai minimum dari $x^{2}+y^{2}=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 7Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$ 30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui: $\left\{\begin{matrix} x =\sin\ \alpha + \sqrt{3}\ \sin\ \beta \\ y =\cos\ \alpha + \sqrt{3}\ \cos\ \beta \end{matrix}\right.$ Nilai maximum dari $x^{2}+y^{2}$ adalah $a+b\sqrt{3}$. Nilai $a+b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 8Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$ 31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui sistem persamaan: $\left\{\begin{matrix} a =\sin\ x + \cos\ y\\ b =\cos\ x - \sin\ y \end{matrix}\right.$ Nilai miaximum dari $4a^{2}+4b^{2}+4$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 16 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 24 \\ (D)\ & 28 \\ (E)\ & 32Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20$ 32. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapJika $(x,y)$ dengan $0 \lt x,\ y \lt \dfrac{\pi}{2}$, merupakan penyelesaian dari sistem persamaan: $\left\{\begin{matrix} \cos\ 2x+\cos\ 2y= -\dfrac{2}{5} \\ \cos\ y=2\ \cos\ x\\ \end{matrix}\right.$ maka $\cos\ x+\cos\ y=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -\dfrac{6}{5} \\ (B)\ & -\dfrac{3}{5} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{3}{5} \\ (E)\ & \dfrac{6}{5}Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{6}{5}$ 33. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui: $\left\{\begin{matrix} x =\sin\ \alpha - \sin\ \beta \\ y =\cos\ \alpha + \cos\ \beta \end{matrix}\right.$ maka nilai terbesar dari $x^{2}+y^{2}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 7 \\ (E)\ & 8Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4$ 34. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui $0 \lt x,y \lt \pi $, $\dfrac{\pi}{2} \lt x-y \lt \pi $, memenuhi: $\left\{\begin{matrix} 2\sin\ x+\cos\ y =2\\ 2\cos\ x-\sin\ y =\sqrt{3}\\ \end{matrix}\right.$ Nilai $cos \left( x-y \right)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (E)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ 35. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal LengkapNilai dari $\cos\ 300^{\circ}+\sin\ 150^{\circ}-tan\ 135^{\circ}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \sqrt{3}-1 \\ (B)\ & \sqrt{3}+1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2Alternatif Pembahasan: Materi pokok dari soal ini adalah Trigonometri, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Trigonometri. Dari apa yang disampaika pada soal, kita kerjakan satu persatu menjadi:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$ 36. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal LengkapPeriode grafik fungsi $f(x)=2 \ cos \left( \dfrac{3}{4}x+ \pi \right)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{8}{3} \pi \\ (B)\ & \dfrac{3}{2} \pi \\ (C)\ & \dfrac{4}{3} \pi \\ (D)\ & \dfrac{3}{4} \pi \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \piAlternatif Pembahasan: Materi pokok dari soal ini adalah Trigonometri, sebagai tambahan soal latihan silahkan dicoba 👀 Soal dan Pembahasan Trigonometri. Kurva Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus berlaku: $y=A\ \sin\ k(x \pm \theta) \pm C$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{8}{3} \pi$ 37. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal LengkapAndi berada di titik $A$ dan berjarak $6\sqrt{3}\ m$ dari titik $B$ dengan sudut elevasi di titik $A$ terhadap puncak tiang bendera adalah $60^{\circ}$. Andi ingin memasang tali dengan cara merobohkan tiang bendera. Dia harus bergerak menuju titik C sehingga jarak antara ujung tiang bendera ke titik $C$ adalah $2\ m$ seperti gambar berikut.Alternatif Pembahasan: Jika keterangan pada soal kita tambahkan pada gambar, menjadi seperti berikut ini: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9$ 38. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal LengkapJika $f(x)=2 -\sin^{2}x$, maka fungsi $f$ memenuhi...Alternatif Pembahasan: Batasan nilai $\sin\ x$ adalah $-1 \leq \sin x \leq 1$ sedangkan batasan $\sin^{2} x$ adalah $0 \leq \sin^{2}x \leq 1$ sehingga kita peroleh: \begin{aligned} 0 \leq &\sin^{2}x \leq 1 \\ 0 \geq -&\sin^{2}x \geq -1 \\ -1 \leq -&\sin^{2}x \leq 0 \\ -1+2 \leq -&\sin^{2}x+2 \leq 0+2 \\ 1 \leq 2-&\sin^{2}x \leq 2 \\ 1 \leq &f(x) \leq 2 \\ \end{aligned} $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 1 \leq f(x) \leq 2$ 39. Soal SBMPTN 2014 |*Soal LengkapNilai dari $\cos\ \dfrac{2\pi}{7} + \cos\ \dfrac{4\pi}{7} + \cos\ \dfrac{6\pi}{7}=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & \sqrt{2-\sqrt{2}} \\ (C)\ & \dfrac{1}{4} \sqrt{2} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (E)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}Alternatif Pembahasan: Ide dasar jika melihat bentuk trigonometri, setidaknya kita akan mulai dengan mencoba menjumlahkan $\cos\ \dfrac{2\pi}{7} + \cos\ \dfrac{4\pi}{7}$ dan seterusnya. Tetapi apa yang kita lakukan tersebut belum mendapatkan hasil seperti yang di harapkan pada pilihan, sehingga kita butuh sebuah ide untuk dapat menyederhanakan bentuk soal. Dengan bantuan identitas trigometri dan sedikit manipulasi aljabar, maka penjabaran soal yang mungkin kita lakukan seperti berikut ini: $\begin{align} & \cos\ \frac{2\pi}{7} + \cos\ \frac{4\pi}{7} + \cos\ \frac{6\pi}{7} \\ &= \cos\ \frac{2\pi}{7} + \cos\ \frac{4\pi}{7} + \cos\ \frac{6\pi}{7} \cdot \frac{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}}{ 2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{2\ \cos\ \frac{2\pi}{7} \cdot \sin\ \frac{\pi}{7} + 2\ \cos\ \frac{4\pi}{7} \cdot \sin\ \frac{\pi}{7} +2\ \cos\ \frac{6\pi}{7} \cdot \sin\ \frac{\pi}{7} }{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{\sin\ \frac{3\pi}{7} - \sin\ \frac{\pi}{7} + \sin\ \frac{5\pi}{7} - \sin\ \frac{3\pi}{7} +\sin\ \frac{7\pi}{7} - \sin\ \frac{5\pi}{7} }{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{ - \sin\ \frac{\pi}{7} +\sin\ \frac{7\pi}{7}}{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{ - \sin\ \frac{\pi}{7} + 0}{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} \\ &= \dfrac{ - \sin\ \frac{\pi}{7}}{2\ \sin\ \frac{\pi}{7}} = \dfrac{ - 1}{2} \end{align}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{1}{2}$ 40. Soal SPMB 2003 |*Soal LengkapNilai dari $\dfrac{2\ \tan\ \theta}{1+\tan^{2}\theta}=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 2\ \sin\ \theta\ \cos\ \theta \\ (B)\ & \sin\ \theta\ \cos\ \theta \\ (C)\ & 1- 2\ \sin\ \theta \\ (D)\ & 2\ \sin\ \theta \\ (E)\ & 2\ \cos\ \theta \\Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh: $\begin{align} \dfrac{2\ \tan\ \theta}{1+\tan^{2}\theta} & = \dfrac{2\ \tan\ \theta}{sec^{2}\theta} \\ & = 2\ \tan\ \theta \cdot \dfrac{1}{sec^{2}\theta} \\ & = 2\ \dfrac{\sin\ \theta}{\cos\ \theta} \cdot \cos^{2}\theta \\ & = 2\ \sin\ \theta \cdot \cos\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2\ \sin\ \theta\ \cos\ \theta$ 41. Soal SPMB 2004 Kode 741 |*Soal LengkapJika $\alpha$ dan $\beta$ merupakan sudut lancip dari suatu segitiga siku-siku dan $\tan\ \alpha = \sqrt{2}\ \sin\ \beta$, maka $\sin^{2}\alpha =\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{4}{5} \\ (B)\ & \dfrac{3}{4} \\ (C)\ & \dfrac{2}{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{1}{3}Alternatif Pembahasan: Diketahui $\alpha$ dan $\beta$ merupakan sudut lancip dari suatu segitiga siku-siku sehingga berlaku $\alpha+\beta =90^{\circ}$. Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh: $\begin{align} \tan\ \alpha &= \sqrt{2}\ \sin\ \beta \\ \tan\ \alpha &= \sqrt{2}\ \sin\ \left( 90^{\circ}-\alpha \right) \\ \dfrac{\sin\ \alpha}{\cos\ \alpha} &= \sqrt{2}\ \cos\ \alpha \\ \sin\ \alpha &= \sqrt{2}\ \cos^{2}\alpha \\ \sin\ \alpha &= \sqrt{2}\ \left( 1-\sin^{2}\alpha \right) \\ \sin\ \alpha &= \sqrt{2}-\sqrt{2}\ \sin^{2}\alpha \\ 0 &= \sqrt{2}\ \sin^{2}\alpha +\sin\ \alpha - \sqrt{2} \\ 0 &= \left( \sqrt{2}\ \sin\ \alpha - 1 \right)\left( \sin\ \alpha + \sqrt{2} \right) \\ \sin\ \alpha & = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \text{atau}\ \sin\ \alpha = -\sqrt{2} \end{align}$ karena $\alpha$ merupakan sudut lancip maka $\sin\ \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ dan $\sin^{2}\alpha = \dfrac{1}{2}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}$ 42. Soal SPMB 2004 Kode 140 |*Soal LengkapJika $\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $C$ dan memenuhi $2\ \tan\ A = \sin\ B$, maka $\sin\ A=\cdots$ $\begin{align}Alternatif Pembahasan: $\bigtriangleup ABC$ siku-siku di $C$ sehingga $A$ dan $B$ merupakan sudut lancip dan berlaku $A+B =90^{\circ}$. Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh: $\begin{align} 2\ \tan\ A &= \sin\ B \\ 2\ \tan\ A &= \sin\ \left( 90^{\circ}-A \right) \\ 2\ \dfrac{\sin\ A}{\cos\ A} &= \cos\ A \\ 2\ \sin\ A &= \cos^{2} A \\ 2\ \sin\ A &= 1-\sin^{2}A \\ 0 &= \sin^{2} A + 2 \sin\ A - 1 \\ \hline \sin\ A_{12} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{(2)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ &= -1 \pm \sqrt{2} \end{align}$ karena $A$ merupakan sudut lancip maka $\sin\ A = -1 + \sqrt{2}$$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{2}-1$ 43. Soal SPMB 2005 Kode 772 |*Soal LengkapJika sudut $\theta$ di kuadran IV dan $\cos\ \theta=\dfrac{1}{a}$, maka $\sin\ \theta=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -\sqrt{a^{2}-1} \\ (B)\ & -\sqrt{1-a^{2}} \\ (C)\ & \dfrac{-1}{\sqrt{a^{2}-1}} \\ (D)\ & \dfrac{-\sqrt{a^{2}-1}}{a} \\ (E)\ & \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, maka akan kita peroleh: $\begin{align} \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta &= 1 \\ \sin^{2}\theta+\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} &= 1 \\ \sin^{2}\theta + \dfrac{1}{a^{2}} &= 1 \\ \sin^{2}\theta &= 1 - \dfrac{1}{a^{2}} \\ \sin^{2}\theta &= \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a^{2}} \\ \sin\ \theta &=\pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a^{2}}} \\ \sin\ \theta &=\pm \dfrac{\sqrt{\sqrt{a^{2}-1}}}{a} \end{align}$ karena $\theta$ di kuadran IV maka $\sin\ \theta =- \dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{-\sqrt{a^{2}-1}}{a}$ 44. Soal SPMB 2005 Kode 270|*Soal LengkapNilai $x$ yang memenuhi $2\ \cos^{2}x+\cos\ x-1=0$, untuk $0 \leq x \leq \pi$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3} \pi\ \text{atau}\ \pi \\ (B)\ & \dfrac{1}{3} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{2}{3} \pi \\ (C)\ & \dfrac{1}{3} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{3}{4} \pi \\ (D)\ & \dfrac{1}{4} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{3}{4} \pi \\ (E)\ & \dfrac{1}{4} \pi\ \text{atau}\ \dfrac{2}{3} \piAlternatif Pembahasan: Dengan konsep pada persamaan kuadrat untuk menentukan nilai akar-akar persamaan kudrat dan nilai perbandingan trigonometri, maka akan kita peroleh: $\begin{align} 2\ \cos^{2}x+\cos\ x -1 &= 0 \\ \left( 2\ \cos\ x -1 \right)\left( \cos\ x + 1 \right) &= 0 \\ \cos\ x = \dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \cos\ x = -1 & \\ \end{align}$ Saat $\cos\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=60^{\circ},\ 300^{\circ}, \cdots$ dan saat $\cos\ x = -1$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^{\circ},\ 540^{\circ}, \cdots$. Karena $0 \leq x \leq \pi$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $60^{\circ},\ 180^{\circ}$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{3} \pi\ \text{dan}\ \pi$ 45. Soal SPMB 2005 Kode 280 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian persamaan $\cos\ 2x + \cos\ x =0$, dimana $0 \leq x \leq 2\pi$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left \{ 0,\ \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3} \right \} \\ (B)\ & \left \{ \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{2\pi}{3},\ \pi \right \}\\ (C)\ & \left \{ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{4\pi}{3} \right \} \\ (D)\ & \left \{ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3} \right \} \\ (E)\ & \left \{ \dfrac{2\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3} \right \}Alternatif Pembahasan: Dengan konsep pada persamaan kuadrat untuk menentukan nilai akar-akar persamaan kuadrat dan nilai perbandingan trigonometri, maka akan kita peroleh: $\begin{align} \cos\ 2x + \cos\ x &= 0 \\ \cos^{2}x-\sin^{2}x + \cos\ x &= 0 \\ \cos^{2}x-\left( 1 - \cos^{2}x \right) + \cos\ x &= 0 \\ \cos^{2}x- 1 + \cos^{2}x + \cos\ x &= 0 \\ 2\cos^{2}x+\cos\ x -1&= 0 \\ \left( 2\cos\ x - 1 \right)\left(\cos\ x + 1 \right) &= 0 \\ \cos\ x = \dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \cos\ x = -1 & \\ \end{align}$ Saat $\cos\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=60^{\circ},\ 300^{\circ}, \cdots$ dan saat $\cos\ x = -1$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=180^{\circ},\ 540^{\circ}, \cdots$. Karena $0 \leq x \leq 2\pi$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $60^{\circ},\ 180^{\circ}, 300^{\circ}$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left \{ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3} \right \}$ 46. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324|*Soal LengkapJika $a-b=\sin\ \theta$ dan $\sqrt{2ab}=\cos\ \theta$, maka $\left( a+b \right)^{2}=\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan manipulasi aljabar, dapat kita tuliskan: $\begin{align} a-b & = \sin\ \theta \\ \left(a-b \right)^{2} & = \sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2}-2ab & = \sin^{2} \theta \\ \hline \sqrt{2ab} & =\cos\ \theta \\ 2ab & =\cos^{2} \theta \\ \hline a^{2}+b^{2}-2ab & = \sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2}-\cos^{2} \theta & = \sin^{2} \theta \\ a^{2}+b^{2} & = \sin^{2}+\cos^{2} \theta \theta \\ a^{2}+b^{2} & = 1 \end{align}$ $\begin{align} \left(a+b \right)^{2} & = a^{2}+b^{2}+2ab \\ & = 1+\cos^{2} \theta \\ & = 1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\cos\ 2\theta \\ & = \frac{1}{2} \left( 3+ \cos\ 2\theta \right) \end{align}$ $\begin{align} \cos\ (2A)\ & = \cos\ A \cdot \cos\ A - \sin\ A \cdot \sin\ A \\ & = \cos^{2} A - \sin^{2} A \\ & = \cos^{2} A - \left( 1-\cos^{2} A \right) \\ & = 2\cos^{2} A - 1\\ \cos\ (2A) + 1 \ & = 2\cos^{2} A \\ \frac{1}{2}\cos\ (2A) + \frac{1}{2} \ & = \cos^{2} A \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{2} \left(3+\cos\ 2 \theta \right)$ 47. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal LengkapJika $\cos\ \alpha=\dfrac{1}{3}$, maka $ \dfrac{\sin\left ( \pi+\alpha \right )+\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )}{\tan\ \alpha} =\cdots$Alternatif Pembahasan: Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;
$\begin{align} \sin^{2}\alpha & = 1-\cos^{2}\alpha \\ & = 1- \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} \\ & = 1- \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} \\ \sin\ \alpha & = \sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{2}{3}\sqrt{2} \\ \tan\ \alpha & = \dfrac{\sin\ \alpha}{\cos\ \alpha}=\dfrac{\frac{2}{3}\sqrt{2}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2} \\ \hline & \dfrac{\sin\left ( \pi+\alpha \right )+\sin\left ( \frac{\pi}{2}+\alpha \right )}{\tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-\sin\ \alpha + \cos\ \alpha }{\tan\ \alpha} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2} + \frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{-\frac{2}{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} +\dfrac{\frac{1}{3} }{2\sqrt{2}} \\ & = -\dfrac{1}{3 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = -\dfrac{4}{12 } + \dfrac{1}{12} \sqrt{2} \\ & = \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 } \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{\sqrt{2}-4}{12 }$ 48. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal LengkapJika $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$, maka nilai minimum dari $\cot\ \left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)-\tan\ \left( \dfrac{2\pi}{3}-x \right)$ tercapai saat $x=\cdots$Alternatif Pembahasan: Interval nilai $x \in \left [ -\dfrac{\pi}{6},0 \right ]$ dapat juga kita tuliskan dengan $-30^{\circ} \leq x \leq 0$. Dengan menggunakan beberapa identitas trigonometri, salah satu cara untuk mendapatkan nilai minimum dari fungsi di atas adalah: Nilai fungsi $y= \dfrac{2}{\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)}$ akan minimum saat nilai $\sin\ 2\left( 30^{\circ} - x \right)$ maksimum yaitu $1$. Sehingga dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{\pi}{12}$ 49. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal LengkapJika $-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ dan $x$ memenuhi $5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x \geq 1$, maka himpunan semua $y=\tan\ x$ adalah...Alternatif Pembahasan: $\begin{align} 5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x & \geq 1 \\
5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x & \geq \sin^{2}x+\cos^{2}x \\
5\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x -\sin^{2}x-\cos^{2}x& \geq 0 \\
4\cos^{2} x+3 \sin\ x\ \cos\ x -\sin^{2}x & \geq 0 \\
\hline
\text{dibagi}\ \cos^{2} x & \\
\hline
\dfrac{4\cos^{2} x}{\cos^{2} x} +\dfrac{3 \sin\ x\ \cos\ x}{\cos^{2} x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\
4 +\dfrac{3 \sin\ x }{\cos\ x} -\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2} x} & \geq 0 \\ 4 + 3 \tan\ x -tan^{2}x & \geq 0 \\ \tan^{2}x - 3 \tan\ x - 4 & \leq 0 \\ y^{2} - 3y - 4 & \leq 0 \\
\left ( y-4 \right )\left ( y+1 \right ) & \leq 0 \\ y=4\ \text{atau}\ y=-1 & \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ y \in \mathbb{R}: -1 \leq y \leq 4 \right \}$ 50. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal LengkapJika $\sin\ x + \sin\ 2x+ \sin\ 3x=0$ untuk $\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$, maka $\tan\ 2x =\cdots$Alternatif Pembahasan: $\begin{align} \sin\ x + \sin\ 2x+ \sin\ 3x & =0 \\
\sin\ x + \sin\ 3x+ \sin\ 2x & =0 \\
2\ \sin\ \left(\frac{x+3x}{2} \right)\ \cos\ \left(\frac{x-3x}{2} \right) + \sin\ 2x & =0 \\
2\ \sin\ 2x\ \cos\ \left( -x \right) + \sin\ 2x & =0 \\
2\ \sin\ 2x\ \cos\ x + \sin\ 2x & =0 \\ \sin\ 2x \left( 2\cos\ x + 1 \right) & =0 \\
\sin\ 2x=0\ \text{atau}\ \cos\ x + 1=0 & \\
\hline \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \sqrt{3}$ 51. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal LengkapJika $\tan x=2$, maka $\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=\cdots$Alternatif Pembahasan: Dari nilai $\tan x=2$ dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$ 52. Soal UM UGM 2019 Kode 934 |*Soal LengkapJika $x$ adalah sudut, dengan $90^{\circ} \lt x \lt 180^{\circ}$ dan $4-2 \cos^{2} x= 5 \sin x$, maka $\cos x = \cdots $Alternatif Pembahasan: Dari persamaan $4-2 \cos^{2} x= 5 \sin x$ dan beberapa identitas trigonometri dapat kita peroleh: $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ 53. Soal SPMB 2004 Kode 440 |*Soal LengkapPada $\bigtriangleup ABC$ diketahui $\angle B=45^{\circ}$ dan $CT \perp AB$. Jika $BC=x$ dan $AT=1\frac{1}{2}\sqrt{x}$, maka $\cos x=\cdots$Alternatif Pembahasan: Jika kta gambarkan segitiga $ABC$ seperti yang disampaikan pada soal, ilustrasinya seperti berikut ini: Pada segitiga siku-siku $CBT$, karena $\angle B=45^{\circ}$ maka berlaku: Pada segitiga siku-siku $ACT$, berlaku: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{3}{10}\sqrt{10}$ 54. Soal SPMB 2004 Kode 440 |*Soal LengkapPada $\bigtriangleup ABC$ diketahui titik $D$ adalah titik tengah $AC$. Jika $BC=a$, $AC=B$, $AB=c$ dan $BD=d$, maka $d^{2}=\cdots$Alternatif Pembahasan: Jika kita gambarkan segitiga $ABC$ seperti yang disampaikan pada soal, ilustrasinya seperti berikut ini: Pada $\bigtriangleup ABD$ dan $\bigtriangleup ABC$, dapat kita terapakn aturan cosinus yaitu: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{4}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2}$ 55. Soal SPMB 2004 Kode 241 |*Soal LengkapJika $0 \lt x \lt \frac{1}{2} \pi $ dan $\cos x =p$, maka $\tan\ x + \sin x=\cdots$Alternatif Pembahasan: Jika kita misalkan sudut $x$ dan $\cos x =p$ pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$, gambarannya seperti berikut ini: Dari segitiga di atas dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1+p}{p}\sqrt{1-p^{2}}$ 56. Soal SPMB 2004 Kode 640 |*Soal LengkapJika $2 \tan^{2} x + 3 \tan x -2 = 0$ dan $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $, maka $\sin x + \cos x=\cdots$Alternatif Pembahasan: $\begin{align} 2 \tan^{2} x + 3 \tan x -2 &= 0 \\
\left(2 \tan x -1 \right)\left( \tan x + 2 \right) &= 0 \\ \tan x = \frac{1}{2}\ \text{atau} \tan x = -2 &
\end{align}$ Jika kita misalkan sudut $x$ dan $\tan x = -2$ pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$, gambarannya seperti berikut ini: Dari segitiga di atas dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{5} \sqrt{5}$ 57. Soal SPMB 2004 Kode 541 |*Soal LengkapJika $x$ memenuhi $\sin^{2} x - \sin x + \frac{1}{4} = 0$ dan $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $, maka $\cos x=\cdots$Alternatif Pembahasan: $\begin{align} \sin^{2} x - \sin x + \frac{1}{4} &= 0 \\ 4\sin^{2} x - 4\sin x + 1 &= 0 \\ \left(2 \sin x - 1 \right)\left( 2 \sin x - 1 \right) &= 0 \\ \sin x = \frac{1}{2}\ \text{atau} \sin x = \frac{1}{2} & \end{align}$ Untuk $\sin x = \frac{1}{2}$ dan $\frac{1}{2} \pi \lt x \lt \pi $ maka $x=150^{\circ}$. Nilai $\cos 150^{\circ}=-\frac{1}{2} \sqrt{3}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\frac{1}{2} \sqrt{3}$ 58. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal LengkapPada $\bigtriangleup ABC$ dengan sisi $a,b,$ dan $c$ berlaku $a^{2}-b^{2}=c^{2}-bc$. Besarnya sudut $A$ adalah...Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 60^{\circ}$ 59. Soal SPMB 2005 Kode 470 |*Soal LengkapPanjang bayangan sebuah menara adalah $12\ \text{meter}$. Jika sudut elevasi matahari pada saat itu $60^{\circ}$, maka tinggi menara adalah...Alternatif Pembahasan: Jika kita gambarkan menara dan sudut elevasinya, gambarannya seperti berikut ini: Dari gambar di atas dapat kita hitung tinggi menara dengan menggunakan tangen, $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 12\sqrt{3}\ \text{meter}$ 60. Soal SPMB 2005 Kode 772 |*Soal LengkapBilangan bulat terkecil $n$ yang memenuhi $n \cdot \cos \frac{1}{6} \pi \gt 30$ adalah...$\left(*\text{gunakan}\ \sqrt{3}=1,732 \right)$Alternatif Pembahasan: Dari pertidaksamaan pada soal dapat kita peroleh: $\begin{align} n \cdot \cos \frac{1}{6} \pi & \gt 30 \\ n \cdot \cos 30^{\circ} & \gt 30 \\ n \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} & \gt 30 \\ n\ & \gt \frac{60}{\sqrt{3}} \\ n\ & \gt 20 \sqrt{3} \\ n\ & \gt 20 \cdot 1,732 \\ n\ & \gt 34,64 \end{align}$ $n$ bilangan bulat terkecil adalah $35$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 35$ 61. Soal SPMB 2005 Kode 772 |*Soal LengkapPada gambar di bawah ini, jika $\angle AOB = \theta$, $AB=p$ dan $OA=q$ maka $\cos \theta=\cdots$Alternatif Pembahasan: Dari gambar dapat kita peroleh bahwa $OA=OB=q$ karena keduanya merupakan jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{2q^{2}-p^{2}}{2q^{2}}$ 62. Soal SPMB 2005 Kode 370 |*Soal LengkapJika $2\ \cos^{2} x+ \cos x\ \sin x - \sin^{2}x = 0$, maka $\tan x =\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat aljabar dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -1\ \text{dan}\ 2$ 63. Soal SPMB 2006 Kode 111 |*Soal LengkapJika $\cos x\ \tan x + \frac{1}{2}\sqrt{3}=0$ untuk $1\frac{1}{2} \pi \lt x \lt 2 \pi$, maka $\cos x =\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \frac{1}{2}$ 64. Soal SPMB 2006 Kode 111 |*Soal LengkapJika $\tan x\ - 3 \sin^{2} x =0$ maka $\sin x\ \cos x =\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{1}{3}$ 65. Soal SPMB 2006 Kode 411 |*Soal LengkapJika $\tan x=- \frac{2}{3}$ maka $\dfrac{5\ \sin x + 6\ \cos x}{2\ \cos x - 3\ \sin x} =\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \frac{1}{3}$ 66. Soal SPMB 2006 Kode 411 |*Soal LengkapJika sudut lancip $\alpha$ memenuhi $\sin \alpha =\frac{1}{3}\sqrt{3}$, maka $\tan \left(\frac{1}{2}\pi-\alpha \right) +3 \cos \alpha =\cdots$Alternatif Pembahasan: Jika kita misalkan sudut $\alpha$ dan $\sin \alpha =\frac{1}{3}\sqrt{3}$ pada sebuah segitiga siku-siku $ABC$, gambarannya seperti berikut ini: Dari segitiga di atas dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \sqrt{6}+\sqrt{2}$ 67. Soal SPMB 2006 Kode 310 |*Soal LengkapJika $x+y=\pi$ maka $\sin \left( x-\frac{1}{2}\pi \right) =\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \cos y$ 68. Soal SPMB 2006 Kode 310 |*Soal LengkapDalam bentuk lain, $3\ \sin^{2}x- 2\ \cos^{2}x= \cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2\ + 5\ \sin^{2}x$ 69. Soal SPMB 2006 Kode 610 |*Soal LengkapJika $\alpha,\ \beta,$ dan $\gamma$ sudut-sudut dalam segitiga $ABC$, maka $\sin \frac{1}{2}\left(\alpha + \beta \right)= \cdots$Alternatif Pembahasan: $\alpha,\ \beta,$ dan $\gamma$ adalah sudut-sudut dalam segitiga $ABC$ sehingga dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \cos \frac{1}{2} \gamma$ 70. Soal SPMB 2006 Kode 610 |*Soal LengkapJika $p=\tan x - \frac{1}{\cos x}$ dan $q=\sin x$, maka $\dfrac{p}{q}=\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{-\cos x}{\sin^{2}x+\sin x}$ 71. Soal SPMB 2006 Kode 510 |*Soal LengkapDalam bentuk sinus dan cosinus $\dfrac{ 2\ \tan x}{1+ \tan^{2} x} =\cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 2 \sin x\ \cos x$ 72. Soal SPMB 2004 Kode 640 |*Soal LengkapJika $\bigtriangleup PQR$ sama kaki dan siku-siku di $Q$, $S$ titik tengah $QR$, dan $\angle SPR =\alpha$ maka $\cos \alpha=\cdots$Alternatif Pembahasan: Jika kita gambarkan sudut $\angle$ dan segitiga $PQR$ seperti pada soal, gambarannya seperti berikut ini: Dari gambar di atas dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{3}{10} \sqrt{10}$ 73. Soal SPMB 2004 Kode 710 |*Soal LengkapDiketahui $\bigtriangleup PQR$ dengan $PR=QR=5$ dan $PQ=6$. Nilai $\sin R =\cdots$Alternatif Pembahasan: Jika kita gambarkan sudut $\bigtriangleup PQR$ dengan $PR=QR=5$ dan $PQ=6$ seperti pada soal, gambarannya seperti berikut ini: Dari gambar di atas dengan menggunakan aturan cosinus, dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{24}{25}$ 74. Soal SPMB 2006 Kode 510 |*Soal LengkapJika $\alpha = \frac{4}{3} \pi$ maka $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan \alpha\ \sin \alpha + \cos \alpha=\cdots$Alternatif Pembahasan: Untuk $\alpha = \frac{4}{3} \pi=240^{\circ}$, dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}$ 75. Soal SPMB 2007 Kode 341 |*Soal LengkapJika sudut $\alpha$ memenuhi $\cos^{2} \alpha + 2\ \sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin^{2} \left(\pi+\alpha \right)+1\frac{1}{2}$, maka $\sin \alpha = \cdots$Alternatif Pembahasan: Dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat aljabar pada persamaan pada soal dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \frac{1}{2}$ 76. Soal SPMB 2007 Kode 341 |*Soal LengkapDalam $\bigtriangleup ABC$, jika $AC=8$, $BC=4\sqrt{2}$, dan $\angle ABC=45^{\circ}$ maka $\tan\ BAC =\cdots$Alternatif Pembahasan: Jika kita gambarkan $\bigtriangleup ABC$, jika $AC=8$, $BC=4\sqrt{2}$, dan $\angle ABC=45^{\circ}$ seperti pada soal, gambarannya seperti berikut ini: Dari gambar di atas dengan menggunakan aturan sinus, dapat kita peroleh: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \frac{1}{3}\sqrt{3}$ 77. Soal SPMB 2005 Regional II |*Soal LengkapNilai $x$ yang memenuhi $2 \cos^{2} x + \cos x - 1=0$ dimana $0 \leq x \leq \pi$ adalah...Alternatif Pembahasan: Dari persamaan pada soal $2 \cos^{2} x + \cos x - 1=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri. $\begin{align} 2 \cos^{2} x + \cos x - 1 &= 0 \\ \left( 2\cos x-1 \right)\left( \cos x+1\right) &= 0 \\ \hline 2\cos x-1 &= 0 \\ 2\cos x &= 1 \\ \cos x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= 60^{\circ},300^{\circ},\cdots \\ \hline & \text{atau} \\ \hline \cos x+1 &= 0 \\ \cos x &= -1 \\ x &= 180^{\circ}, 540^{\circ},\cdots \\ \end{align}$ Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0 \leq x \leq \pi$ adalah $\left \{ 60^{\circ}, 180^{\circ} \right \}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{3}\pi\ \text{dan}\ \pi$ 78. Soal UMPTN 1995 Rayon A |*Soal LengkapJika $0 \lt x \lt \pi$ dan $x$ memenuhi persamaan $\tan^{2} x - \tan x - 6=0$ maka himpunan nilai $\sin x$ adalah...Alternatif Pembahasan: Dari persamaan pada soal $\tan^{2} x - \tan x - 6=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri. $\begin{align} \tan^{2} x - \tan x - 6 &= 0 \\ \left( \tan x-3 \right)\left( \tan x+2\right) &= 0 \\ \hline \tan x-3 &= 0 \\ \tan x &= 3\\ \hline & \text{atau} \\ \hline \tan x+2 &= 0 \\ \tan x &= -2 \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ \dfrac{3\sqrt{10}}{10},\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \right \}$ 79. Soal UMPTN 1995 Rayon A |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian dari persamaan $2 \cos 3x^{\circ}=1$ untuk $0 \leq x \leq 180$, adalah...Alternatif Pembahasan: Dari persamaan pada soal $2 \cos 3x^{\circ}=1$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri. $\begin{align} 2 \cos 3x^{\circ} &= 1 \\ \cos 3x^{\circ} &= \dfrac{1}{2} \\ \cos 3x^{\circ} &= \cos 60^{\circ} \\ \hline 3x &= 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 3x &= -60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \end{align}$ Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$. $\begin{align} x &= 20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} - 120^{\circ} = -100^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} + 0 = 20^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} + 120^{\circ} = 140^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 20^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 20^{\circ} + 240^{\circ} = 260^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= -20^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= -20^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + 0 = -20^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= -20^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + 120^{\circ} = 100^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= -20^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= -20^{\circ} + 240^{\circ} = 220^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$ Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0 \leq x \leq 180$ adalah $\left \{ 20,\ 100,\ 140 \right \}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 0 \leq x \leq 180$ 80. Soal UM UNJ 2012 Kode 18 |*Soal LengkapHimpunan penyelesaian untuk $2 \sin \left( 3x+24^{\circ} \right)-1=0$ untuk $0 \leq x \leq 180^{\circ}$ adalah...Alternatif Pembahasan: Dari persamaan pada soal $2 \sin \left( 3x+24^{\circ} \right)-1=0$ dengan menggunakan aturan-aturan yang berlaku pada perbandingan trigonometri atau manipulasi aljabar, kita usahakan sampai ke salah satu bentuk dasar persamaan trigonometri. $\begin{align} 2 \sin \left( 3x+24^{\circ} \right)-1 &= 0 \\ 2 \sin \left( 3x+24^{\circ} \right) &= 1 \\ \sin \left( 3x+24^{\circ} \right) &= \dfrac{1}{2} \\ \sin \left( 3x+24^{\circ} \right) &= \sin 30^{\circ} \\ \hline 3x+24^{\circ} &= 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ 3x &= 30^{\circ}-24^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \hline & \text{atau} \\ \hline 3x+24^{\circ} &= 180^{\circ}-30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ 3x &= 126^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}\\ x &= 42^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \end{align}$ Dari persamaan yang kita peroleh di atas, kita pilih nilai $k$ bilangan bulat sehingga kita peroleh nilai $x$. $\begin{align} x &= 2^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} - 120^{\circ} = -118^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + 0 = 2^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + 120^{\circ} = 122^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 2^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 2^{\circ} + 240^{\circ} = 242^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \hline &\text{atau} \\ \hline x &= 42^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \text{saat}\ k=-1 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (-1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} - 120^{\circ} = -78^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \text{saat}\ k=0 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (0) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} + 0 = 42^{\circ} \\ \text{saat}\ k=1 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (1) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} + 120^{\circ} = 162^{\circ} \\ \text{saat}\ k=2 \longrightarrow x &= 42^{\circ} + (2) \cdot 120^{\circ} \\ x &= 42^{\circ} + 240^{\circ} = 282^{\circ}\ {\color{Red} \times } \\ \end{align}$ Dari beberapa nilai $x$ yang diperoleh di atas yang memenuhi $0 \leq x \leq 180$ adalah $\left \{ 2^{\circ},\ 122^{\circ},\ 42^{\circ}, 162^{\circ} \right \}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left \{ 2^{\circ},\ 42^{\circ},\ 122^{\circ},\ 162^{\circ} \right \}$ 81. Soal UM UNJ 2012 Kode 25 |*Soal LengkapSuatu segitiga memuat sudut $45^{\circ}$ dan $75^{\circ}$. Jika panjang sisi di hadapan sudut $45^{\circ}$ adalah $2\sqrt{2}\ cm$ maka luas segitiga tersebut adalah...$cm^{2}$.Alternatif Pembahasan: Jika segitiga yabg disampaikan pada soal kita misalkan adalah segitiga $ABC$, maka segitiga $ABC$ dapat kita gambarkan seperti berikut ini: Dari gambar di atas dapat kita hitung besar sudut $B$ yaitu $\angle B=180^{\circ}-45^{\circ}-75^{\circ}$ sehingga $\angle B=60^{\circ}$. Untuk menghitung luas segitiga $ABC$ dapat kita gunakan luas segitiga jika diketahui dua sudut satu sisi yaitu $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}ab \sin C$ Untuk dapat menggunakan aturan $\left[ ABC \right]=\dfrac{1}{2}ab \sin C$ kita perlu hitung terlebih dahulu panjang sisi $b$ dan nilai $\sin 75^{\circ}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3+\sqrt{3}$ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Trigonometri (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada;
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 80+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Trigonometri silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊. Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊 |