Dari gambar diatas dapat disimpulkan bahwa garis g

Dua garis dikatakan sejajar apabila kedua garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan tidak akan pernah berpotongan jika kedua garis tersebut diperpanjang sampai tak terhingga.

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Dua garis atau lebih dikatakan sejajar apabila garis-garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan tidak akan pernah bertemu atau berpotongan jika garis tersebut diperpanjang sampai tak terhingga. Dua garis sejajar dinotasikan dengan “//”.

Perhatikan Gambar 1 berikut.

Gambar 1. (a) Dua garis yang saling sejajar; (b) Dua garis yang tidak saling sejajar

Pada Gambar 1.a, garis g dan garis h dikatakan saling sejajar dan dinotasikan dengan \(g//h\). Akan tetapi, garis m dan n pada Gambar 1.b tidak sejajar, karena jika garis-garis tersebut diperpanjang sampai titik tertentu, maka kedua garis tersebut akan saling berpotongan.

Dua Garis Sejajar yang Berpotongan dengan Garis Lain

Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh sebuah garis lain, maka akan terbentuk beberapa macam pasangan sudut, yakni sudut sehadap, sudut dalam berseberangan, sudut luar berseberangan, sudut dalam sepihak, dan sudut luar sepihak.

Pada Gambar 2 di bawah, tampak dua garis lurus sejajar (garis g dan garis h) yang dipotong oleh sebuah garis lain sehingga terbentuk delapan sudut, yaitu

\[∠P_1, ∠Q_1, ∠P_2, ∠Q_2, ∠P_3, ∠Q_3, ∠P_4, ∠Q_4\]

Dalam hal ini berlaku:

1. \(∠P_1\) sehadap dengan \( ∠Q_1 \) sehingga \( ∠P_1 = ∠Q_1 \)
2. \(∠P_2\) sehadap dengan \( ∠Q_2 \) sehingga \( ∠P_2 = ∠Q_2 \)
3. \(∠P_3\) sehadap dengan \( ∠Q_3 \) sehingga \( ∠P_3 = ∠Q_3 \)
4. \(∠P_4\) sehadap dengan \( ∠Q_4 \) sehingga \( ∠P_4 = ∠Q_4 \)

Gambar 2. Garis k memotong garis g dan h yang saling sejajar

Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika dua garis sejajar dipotong oleh garis lain maka akan terbentuk empat pasang sudut sehadap yang besarnya sama.

Sekarang amati kembali Gambar 2 dan lihatlah sudut \(∠P_3\) dan \(∠Q_1\) serta \(∠P_4\) dan \(∠Q_2\). Pasangan sudut ini disebut pasangan sudut dalam bersebarangan dan besarnya sudut yang terbentuk adalah sama besar. Sekali lagi, lihatlah \(∠P_1\) dan \(∠Q_3\) serta \(∠P_2\) dan \(∠Q_4\). Pasangan sudut ini disebut pasangan sudut luar berseberangan dan besar sudut yang terbentuk adalah sama besar.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika dua garis sejajar dipotong oleh garis lain maka besar sudut-sudut dalam dan luar berseberangan yang terbentuk adalah sama besar.

Pasangan sudut lain pada Gambar 2 adalah pasangan sudut dalam sepihak dan luar sepihak. Pada sudut sepihak berdasarkan Gambar 2 adalah \(∠P_4\) dan \(∠Q_1\) serta \(∠P_3\) dan \(∠Q_2\). Jumlah besar sudut untuk pasangan sudut dalam sepihak adalah 1800. Sementara itu, pasangan sudut luar sepihak yaitu \(∠P_1\) dan \(∠Q_4\) serta \(∠P_2\) dan \(∠Q_3\). Jumlah besar sudut untuk pasangan sudut luar sepihak adalah 1800.

Gradien Dua Garis yang Sejajar

Amati Gambar 3! Terdapat dua persamaan garis lurus yaitu \(y = x + 2\) dan \(y = x – 1\). Apakah kedua garis yang terbentuk merupakan dua garis yang sejajar? Bagaimanakah Anda dapat membuktikan bahwa kedua persamaan tersebut sejajar?

Gambar 3. Grafik dua persamaan sejajar

Untuk menjawab pertanyaan ini, Anda dapat menguji gradien masing-masing garis tersebut dengan mengambil dua titik sembarang yang melalui masing-masing garis. Misalkan untuk garis \(g\) melalui titik \(A(-2,0)\) dan \(B(0,2)\), maka gradien garis \(g\) (\(m_1\)) adalah

Demikian pula, untuk garis \(h\) melalui titik \(C(0,-1)\) dan \(D(0,1)\), maka gradien garis \(h \ (m_2)\) adalah

Ternyata, \(m_1 = m_2 = 1\). Jadi, kedua garis tersebut sejajar.

Dengan demikian, dari persamaan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Definisi: Gradien Dua Garis Sejajar

Jika \(y_1 = m_1x + c_1\) dan \(y_2 = m_2x + c_2\) merupakan persamaan garis yang saling sejajar, maka besar gradien garis tersebut adalah sama. Secara matematis dapat ditulis:

Beberapa contoh berikut akan membantu kita memahami materi yang telah kita jelaskan di atas.

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (5,1) dan sejajar garis \(2y = 4x – 3\).

Pembahasan:

Penulisan persamaan garis ada dua, yaitu:

1. Bentuk implisit: \(ax + by = c\); gradien = \(m = - a/b\).
2. Bentuk eksplisit: \(y = mx + n\); gradien = \(m\).

Diketahui garis dengan persamaan: \(2y = 4x – 3\), maka

Karena kedua garis dianggap sejajar maka berlaku: \(m_1 = m_2\) sehingga diperoleh:

Jadi, persamaan garis tersebut adalah \(y = 2x – 9\).

Sumber:

Sunardi, Slamet Waluyo & Sutrisna. 2014. Konsep dan Penerapan Matematika SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Penerbit PT Bumi Aksara.

Jarak Titik ke Garis – Haii Sobat Bintang!! Pada kesempatan kali ini, mimin akan melanjutkan pembahasan yang telah mimin bahas sebelumnya. Mimin akan melanjutkan pembahasan modul Matemamatika Umum kelas 12 dari Kemendikbud yang membahas Jarak Dalam Ruang Bidang Datar.

Seperti yang telah mimin sampaikan sebelumnya bahwa materi ini terbagi menjadi 3 (tiga) sesi. Untuk sesi pertama sudah selesai mimin bahas pada tempo hari sebelumnya ya Sobat Bintang. Jadi, kali ini sudah saatnya masuk sesi yang ke dua. Pada sesi ke dua ini mimin akan membahas mengenai Jarak Titik ke Garis Dalam Ruang Bidang Datar.

Yuk, kita mulai Sobat Bintang. Simak baik-baik ya!!

Baca juga: Jarak Titik ke Titik Dalam Ruang Bidang Datar (Pembahasan Modul Kelas 12), Matematika Umum Bagian 1

Berikut Pembahasan Modul Kelas 12 tentang Jarak Titik ke Garis Dalam Ruang Bidang Datar

Tujuan Pembahasan

Seperti biasa sebelum kita masuk dalam pembahasan materi, mimin akan menjelasakan tujuan dari pembahasan kali ini. Jadi, tujuan dari pembahasan materi kali ini yakni, kalian dapat mendeskripsikan jarak titik ke garis dalam ruang. Kemudian, kalian dapat menjelaskan prosedur menentukan jarak titik ke garis, dan menentukan jarak titik ke garis dalam ruang bidang datar.

Konsep jarak titik ke garis

Nah, seperti biasa kita harus mengenali konsep dari jarak titik ke garis ini terlebih dahulu sebelum mengetahui pengertiannya. Yuk, kita perhatikan terlebih dahulu contoh di bawah ini. Perhatikan baik-baik ya Sobat Bintang!!

Pada gambar di atas, bisa kita lihat bahwa ada titik A yang terletak di luar garis g. Nah, pertanyaannya bagaimana menentukan jarak antara titik A dan garis g?

Kalian masih ingat pembahasan materi modul matematika umum kelas 12 sebelumnya tentang jarak titik ke titik? Yups, jarak titik ke titik adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik tersebut.

Nah, teorinya itu kurang lebih masih sama halnya dengan materi kali ini. Jika kita ingin mencari jarak antara titik A ke garis g, maka kita perlu membuat beberapa titik di dalam garis g. Setelah itu, kita tarik sebuah ruas garis dari titik A ke titik-titik yang ada di dalam garis g tersebut.

Dari gambar di atas, kalian pasti sudah melihat garis mana yang paling pendek kan? Yups, ruas garis AB merupakan ruas garis terpendek yang tegak lurus dan membentuk sudut siku-siku dengan garis g. Kenapa?

Jika kalian perhatikan antara ruas garis AB dan AC, terlihat titik ABC membentuk segitiga siku-siku di B. Selain itu, terlihat juga bahwa ruas garis AC merupakan sisi miring dari bentuk segitiga siku-siku tersebut. Dalam teori segitiga siku-siku, sisi yang miring merupakan sisi terpanjang dari sebuah segitiga siku-siku. Hal ini berarti bahwa ruas gari AB lebih pendek dari ruas garis AC.

Demikian juga pada garis lainnya yakni AD. Hal ini dapat membentuk segitiga ABD siku-siku di B dengan AD merupakan sisi yang miring. Berarti AD pun akan lebih panjang dari AB, dan demikian seterusnya.

Jadi, ruas garis terpendek dari contoh permasalahan di atas yakni ruas garis AB. Dengan begitu dapat kita simpulkan bahwa jarak titik A ke garis g adalah panjang ruas garis AB. Hal ini karena ruas garis AB yaitu ruas garis tegak lurus antara titik A ke garis g. Dalam hal ini, titik B dapat kita sebut sebagai proyeksi titik A terhadap garis g.

Nah, dari contoh permasalahan di atas kalian pasti sudah bisa menyimpulkan pengertian dari jarak titik ke garis kan?

Baca juga: 10 Cara Mudah Belajar Matematika

Pengertian Jarak Titik ke Garis

Jadi, jarak titik ke garis adalah ruas garis yang tegak lurus atau terpendek dari sebuah titik terhadap sebuah garis. Misal A adalah titik dan g adalah garis. Jarak titik A ke garis g adalah panjang ruas garis AB dengan B terletak di garis 𝑔, dan AB tegak lurus dengan garis 𝑔.

Prosedur Menghitung Jarak Titik ke Garis

Adapun langkah-langkah untuk menghitung jarak titik A ke garis g dengan bantuan titik B, C, dan D sebagai berikut.

• Menghubungkan titik A ke titik C dan titik D sehingga terbentuk segitiga ACD seperti gambar di bawah.

• Kemudian, Menghitung jarak antar dua titik, yaitu AC, AD, dan CD untuk menetapkan jenis segitiga.
• Terakhir yakni, menghitung tinggi segitiga ACD, yaitu AB yang merupakan jarak titik A ke garis g.

Dari langkah-langkah di atas, terdapat 3 jenis segitiga ACD yang mungkin terbentuk. Di bawah ini cara menghitung panjang ruas garis AB atau jarak titik A ke garis g.

Catatan

Sebelum masuk ke latihan soal ada catatan sedikit nih dari mimin. Perlu kalian ketahui cara mengetahui panjang diagonal bidang dan ruang pada kubus dengan rusuk yang sama ada cara mudahnya lho. Kalian hanya tinggal menambahkan √2 untuk panjang diagonal bidang dan √3 untuk panjang diagonal ruang.

Misalkan, pada kubus yang mempunyai panjang rusuk 10 cm. Jadi, panjang diagonal bidang kubus tersebut yakni 10√2 dan panjang diagonal ruang yakni 10√3. Untuk membuktikannya kalian bisa mencoba menghitungnya berdasarkan pembahasan pada sesi pertama (bagian 1).

Latihan Soal

Okey, seperti biasa setelah kalian mengetahui konsep, pengertian dan langkah-langkah cara menghitung jarak titik ke garis saatnya untuk latihan soal. Simak baik-baik ya Sobat Bintang latihan soal berikut ini.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Hitunglah jarak titik H ke garis AG.

Jawab:

Coba perhatikan gambar di bawah ini. Titik N terletak pada garis AG, dan ruas garis HN tegak lurus garis AG.

Pada gambar di atas dapat kita lihat terdapat segitiga AHG siku-siku di H dan garis tinggi HN. Berdasarkan Teorema Pythagoras, AH merupakan diagonal bidang kubus berarti AH = 8√2 cm dan AG merupakan diagonal ruang kubus berarti AG = 8√3.

Karena ini merupakan segitiga siku-siku, kita akan menghitung luas segitiga AHG dalam dua sudut pandang, yakni:

Luas segitiga AHG = 1/2 × AH × GH atau Luas segitiga AHG = 1/2 × AG × HN

Sehingga diperoleh,

Jadi, jarak titik H ke garis AG adalah 8/3√6 cm.

Baca juga: Sistematika Surat Lamaran Pekerjaan (Pembahasan Modul Kelas 12) Bahasa Indonesia Bagian 2

Nah, itulah sedikit pembahasan seputar modul matematika umum kelas 12 tentang jarak titik ke garis dalam ruang bidang datar. Jadi, intinya jarak titik ke garis adalah ruas garis yang tegak lurus atau terpendek dari sebuah titik terhadap sebuah garis. Semoga bermanfaat!! Untuk mengetahui pembahasan lainnya kalian bisa terus mengunjungi Bintang Sekolah Indonesia. Seperti biasa, tetap semangat ya Sobat Bintang!!

Sumber:

Modul Matematika Umum Kelas XII KD 3.1
@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 7

Abdur Rahman As’ari, dkk. 2018. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XII. Jakarta: Kemendikbud.

Sukino. 2019. Matematika SMA/MA Kelas XII IA (IPA). Sidoarjo: PT. Masmedia Buasa Pustaka.

Untung Trisna Suwaji, Himmawati. 2018. Geometri dan Irisan Kerucut. Modul Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan Guru Matematika SMA. Yogyakarta: PPPPTK Matematika.