Bangun ruang yang Memiliki 2 sisi 1 rusuk dan 1 titik puncak adalah

Table of Contents Show

Pengertian Bangun Ruang
Macam-Macam Bentuk Bangun Ruang
1. Bangun Ruang Sisi Lengkung
2. Bangun Ruang Sisi Datar
Luas selimut
Luas permukaan
Divergensi bidang vektor
Video yang berhubungan

access_timeJanuari 25, 2022

perm_identity Posted by Admin Website

Apakah teman-teman menyadari bahwa benda-benda yang berada di sekeliling kita sebagian ada yang berbentuk bangun ruang. Kali ini kita akan belajar mengenai bangun ruang tiga dimensi, mempelajari jenis bangun ruang dan rumus untuk menghitung volume bangun ruang tersebut.

Pengertian Bangun Ruang

Bangun ruang adalah salah satu bagian dari bidang geometris. Bangun ruang adalah suatu bangunan tiga dimensi yang memiliki ruang atau volume dan juga sisi yang membatasinya. Bangun ruang dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu bangun ruang sisi lengkung dan bangun ruang sisi datar. Bangun ruang sisi lengkung contohnya seperti kerucut, bola dan tabung, sedangkan bangun ruang sisi datar contohnya kubus, balok, limas dan prisma.

Macam-Macam Bentuk Bangun Ruang

Dibawah ini adalah macam-macam bentuk bangun ruang sesuai yang telah dijelaskan sedikit diatas.

1. Bangun Ruang Sisi Lengkung

Ice cream berbentuk kerucut

Apakah kalian tahu ice cream cone yang biasa kita beli di Mall adalah salah satu bentuk bangun ruang? Ya, gagang ice cream cone memiliki bentuk bangun ruang kerucut.

Kerucut merupakan sebuah bangun ruang tiga dimensi yang memiliki alas berbentuk lingkaran dan sisi melengkung sebagai selimut yang memiliki irisan dari lingkaran. Kerucut dengan tabung memiliki kesamaan, yakni sama-sama memiliki alas yang berbentuk lingkaran. Namun memiliki perbedaan dari sisi selimut. Selimut kerucut berbentuk sisi tegak kerucut.

Ciri-ciri bangun ruang kerucut:

– Memiliki 2 (dua) bidang sisi – Memiliki satu buah rusuk yang berbentuk melengkung – Kerucut memiliki satu buah titik sudut sebagai titik puncak

– Kerucut tidak memiliki bidang diagonal

Rumus Menghitung Bangun Ruang Kerucut: Menghitung volume kerucut (V): 1/3 x π × r² × t

Menghitung luas permukaan kerucut (L) = (π × r²) + (π × r × s)

Bangun Ruang Bola

Bangun ruang berbentuk bola adalah sebuah bangun ruang tiga dimensi yang memiliki batasan sisi berbentuk lengkungan. Bola tidak memiliki rusuk dan titik sudut karena bentuknya bundar. Tetapi bola memiliki bidang sisi lengkung sebagai pembatas volume atau ruang. Contoh benda yang biasa kita temui adalah bola yang kita gunakan untuk olahraga sepakbola.

Ciri-ciri bangun ruang bola: – Hanya memiliki satu buah bidang sisi yang membentuk lengkungan – Bola memiliki satu titik inti atau pusat – Bola tidak memiliki rusuk, titik sudut dan bidang diagonal

– Jarak antara dinding ke titik inti atau pusat bola disebut jari-jari

Rumus menghitung bangun ruang bola: Menghitung volume bola (V) = 4/3 × π × r³

Menghitung Luas Permukaan Bola (L) = 4 × π × r²

Bangun Ruang Tabung

Bangun ruang berbentuk tabung adalah sebuah bangun ruang tiga dimensi yang memiliki tutup dan alas berbentuk lingkaran dengan ukuran yang sama dan bidang sisi tegak menyelimuti “badannya” dengan persegi panjang. Contoh benda yang berbentuk tabung seperti susu kaleng, alat musik drum, dll.

Ciri-ciri bangun ruang tabung: o Mempunyai 3 sisi yakni alas & tutup berbentuk lingkaran dan selimut berbentuk persegi panjang

o Tidak mempunyai titik sudut

Rumus menghitung bangun ruang bola: Menghitung volume tabung (V) = π × r² × t

Menghitung Rumus Luas Permukaan Tabung (L) = (2 × luas alas) + (keliling alas × tinggi)

2. Bangun Ruang Sisi Datar

Bangun Ruang Kubus

Bangun ruang kubus merupakan bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh 6 (enam) sisi yang serupa, 12 (dua belas) rusuk sama panjang dan 8 (delapan) titik sudut. Kubus memiliki wujud bujur sangkar dan memiliki kata lain yaitu bidang enam yang beraturan. Contoh kubus seperti kotak kardus yang sama ukuran, dadu, dll.

Ciri-ciri bangun ruang kubus: – Mempunyai 6 (enam) buah sisi permukaan – Mempunyai 12 (dua belas) rusuk – Mempunyai 8 (delapan) buah titik sudut – Rusuk kubus sama panjang – Sisi kubus berbentuk persegi – Panjang diagonal ruang mempunyai ukuran yang sama

– Bidang diagonal masing-masing kubus berbentuk persegi panjang

Rumus menghitung bangun ruang kubus: Menghitung Volume Kubus (V) = s × s × s

Menghitung Luas permukaan Kubus (L) = 6 × (s × s)

Bangun Ruang Balok

Bangun ruang balok adalah suatu bangunan ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh 2 (dua) buah persegi dan 4 (empat) buah persegi panjang yang saling tegak lurus. Berbeda dengan kubus yang bentuk sisinya kongruen berbentuk persegi empat, balok memiliki sisi yang berhadapan sama besar ukurannya. Contoh balok di dalam kehidupan kita adalah kotak pensil, lemari pakaian, lemari pendingin, dll.

Ciri-ciri bangun ruang balok: – Sisi balok memiliki dua pasang berbentuk persegi panjang – Rusuk-rusuknya sejajar mempunyai panjang yang sama seperti : AE = BF= CG = DH dan AB = CD = EF GH – Masing-masing diagonal pada bidang sisi yang berhadapan berukuran sama panjang seperti : ABCD = EFGH, ABFE = DCGH, BCFG = ADHE yang memiliki ukuran sama panjangnya.

– Masing-masing diagonal berbentuk persegi panjang

Rumus menghitung bangun ruang balok: Rumus menghitung Volume Balok (V) = p × l × t

Rumus Luas permukaan Balok (L) = 2 × ( pl + lt + pt)

Bangun Ruang Limas

Bangun ruang limas adalah sebuah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi dengan alas berbentuk persegi banyak dan mempunyai sebuah titik puncak. Limas mempunyai banyak jenis seperti limas segi tiga, limas segi empat, limas segi lima, dan lain-lain. Limas dengan alas berbentuk persegi disebut piramida, sedangkan limas dengan alas berbentuk lingkaran disebut kerucut. Contoh benda limas adalah piramida di Mesir dengan alas persegi.

Ciri-ciri bangun ruang limas: – Mempunyai 2n rusuk – Mempunyai banyak sisi tergantung alasnya yaitu: satu sisi berbentuk persegi (bisa segi empat, segi lima, dll) berupa alas, empat sisi lainnya berbentuk segi tiga berdiri tegak dan membentuk sudut – Mempunyai (n+1) bidang sisi

– Mempunyai (n+1) titik sudut

Rumus menghitung limas: Rumus menghitung volume Limas (V) = 1/3 × p × l × t

Rumus menghitung luas permukaan Limas (L) = luas alas + luas selubung limas

Bangun Ruang Prisma

Bangun ruang prisma adalah sebuah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh sisi alas dan sisi tutup berbentuk persegi (bermacam-macam) yang memiliki ukuran yang sama (kongruen). Contoh barang sehari-hari yang kita temui berbentuk prisma adalah atap rumah, tenda camping, dan lainnya.

Ciri-ciri bangun ruang prisma: – Mempunyai (n+2) bidang sisi – Mempunyai 2n titik sudut

– Mempunyai bidang alas dan atap yang bersifat kongruen (sama)

Rumus menghitung prisma: Rumus menghitung volume prisma (V) = luas alas × tinggi

Rumus menghitung luas permukaan prisma (L) = (2 × Luas alas) + (Keliling alas × tinggi)

Demikian pembahasan mengenai bangun ruang tiga dimensi. Ingin belajar lebih dalam mengenai matematika tingkat dasar dengan kurikulum berbasis STEAM, mari bergabung di Sekolah Sampoerna. Informasi lebih lanjut dapat menghubungi disini.

Sumber:
Pulpen.com | Macam-macam bangun ruang
yuksinau.id | bangun ruang

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.
Cari sumber: "Kerucut" – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR

Dalam geometri, kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralas lingkaran. Kerucut memiliki 2 sisi, 1 rusuk, dan 1 titik sudut.

Sebuah kerucut dengan tinggi (

t

) dan garis pelukis (

s

)

Sisi tegak kerucut tidak berupa segitiga tapi berupa bidang miring yang disebut selimut kerucut.

Keliling dasar kerucut disebut "directrix", dan masing-masing segmen garis antara directrix dan apex adalah "generatrix" atau "garis pembangkit" dari permukaan lateral. (Untuk hubungan antara pengertian istilah "directrix" dan directrix dari bagian kerucut, lihat Dandelin spheres .)

"Jari-jari dasar" dari kerucut lingkaran adalah jari - jari alasnya; sering kali ini hanya disebut jari-jari kerucut. The aperture kerucut melingkar tepat adalah sudut maksimum antara dua garis generatrix; jika generatrix membuat sudut θ ke sumbu, aperture adalah 2 θ.

Ilustrasi dari Problemata Mathematica ... diterbitkan dalam Acta Eruditorum , 1734

Sebuah kerucut dengan daerah termasuk puncaknya dipotong oleh pesawat disebut " kerucut terpotong "; jika bidang pemotongan sejajar dengan basis kerucut, itu disebut frustum.[1] "Kerucut elips" adalah kerucut dengan dasar elips.[1] "Kerucut umum" adalah permukaan yang dibuat oleh sekumpulan garis yang melewati titik dan setiap titik pada batas (juga lihat lambung visual).

$s = r 2 + t 2 {\displaystyle s={\sqrt {r^{2}+t^{2}}}}$

Luas alas

$L = π r 2 {\displaystyle L=\pi r^{2}}$

Luas selimut

$L = π r s {\displaystyle L=\pi rs}$
$= π r r 2 + t 2 {\displaystyle =\pi r{\sqrt {r^{2}+t^{2}}}}$

Luas permukaan

$L = L a + L s {\displaystyle L=L_{a}+L_{s}}$
$= π r 2 + π r s {\displaystyle =\pi r^{2}+\pi rs}$ , atau
$= π r ⋅ ( r + s ) {\displaystyle =\pi r\cdot (r+s)}$
$= π r ⋅ ( r + r 2 + t 2 ) {\displaystyle =\pi r\cdot (r+{\sqrt {r^{2}+t^{2}}})}$

Volume

Volume kerucut dapat dirumuskan sebagai berikut

V = 1 3 ⋅ π r 2 ⋅ t {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot \pi r^{2}\cdot t}

dimana $r {\displaystyle r}$ dan $h {\displaystyle h}$ masing-masing melambangkan jari-jari dan tinggi kerucut.

Untuk membuktikan rumus volume kerucut di atas, berikut ini merupakan pembuktian di antaranya:

Kerucut yang di dalamnya adalah segitiga (Merah), sebagai bentuk revolusi

Bukti volume kerucut melalui kalkulus

Misal $y = r x h {\displaystyle y={\frac {rx}{h}}}$ (anggap $r > 0 {\displaystyle r>0}$ , $h > 0 {\displaystyle h>0}$ ), sumbu- $x {\displaystyle x}$ , dan $x = h {\displaystyle x=h}$ adalah garis yang membatasi daerah. Daerah tersebut diputar di sumbu- $x {\displaystyle x}$ . Untuk membuktikannya, kita cukup mengiriskan benda yang diputar. Aproksimasikan

Δ V = π ( r h x ) 2 Δ x {\displaystyle \Delta V=\pi \left({\frac {r}{h}}x\right)^{2}\,\Delta x}

lalu, mengintegrasikannya

V = π r 2 h 2 ∫ 0 h x 2 d x = π r 2 h 2 [ x 3 3 ] 0 h = 1 3 π r 2 h {\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{h}={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}

.[2]

Kerucut bundar padat yang tepat dengan tinggi $h {\displaystyle h}$ dan aperture $2 θ {\displaystyle 2\theta }$ , yang porosnya adalah $z {\displaystyle z}$ sumbu koordinat dan yang puncaknya adalah asalnya, digambarkan secara parametrik sebagai

F ( s , t , u ) = ( u tan ⁡ s cos ⁡ t , u tan ⁡ s sin ⁡ t , u ) {\displaystyle F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)}

dimana $s , t , u {\displaystyle s,t,u}$ berkisar $[ 0 , θ ) {\displaystyle [0,\theta )}$ , $[ 0 , 2 π ) {\displaystyle [0,2\pi )}$ , dan $[ 0 , h ] {\displaystyle [0,h]}$ , masing-masing.

Dalam bentuk tersirat , padatan yang sama didefinisikan oleh ketidaksetaraan

{ F ( x , y , z ) ≤ 0 , z ≥ 0 , z ≤ h } , {\displaystyle \{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},}

dimana

F ( x , y , z ) = ( x 2 + y 2 ) ( cos ⁡ θ ) 2 − z 2 ( sin ⁡ θ ) 2 . {\displaystyle F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,}

Lebih umum, kerucut melingkar kanan dengan titik pada asal, sumbu sejajar dengan vektor $2 θ {\displaystyle 2\theta }$ , diberikan oleh persamaan vektor implisit $F ( u ) = 0 {\displaystyle F(u)=0}$ dimana

F ( u ) = ( u ⋅ d ) 2 − ( d ⋅ d ) ( u ⋅ u ) ( cos ⁡ θ ) 2 {\displaystyle F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}}

atau

F ( u ) = u ⋅ d − | d | | u | cos ⁡ θ {\displaystyle F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta }

dimana $u = ( x , y , z ) {\displaystyle u=(x,y,z)}$ , dan $u ⋅ d {\displaystyle u\cdot d}$ menunjukkan produk titik.

Permukaan quartic dan elips

Dalam sistem koordinat Kartesius,sebuah kerucut elips adalah lokus dari persamaan bentuk [3]

x 2 a 2 + y 2 b 2 = z 2 . {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=z^{2}.}

Ini adalah sebuah gambar affine dari unit lingkaran kanan dengan persamaan $x 2 + y 2 = z 2 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\ .}$ Dari fakta, bahwa gambar affine dari bagian kerucut adalah bagian kerucut dari jenis yang sama (elips, parabola, ...) orang mendapat:

Setiap bagian pesawat kerucut elips adalah bagian kerucut.

Jelas, setiap kerucut melingkar kanan berisi lingkaran. Ini juga benar, tetapi kurang jelas, dalam kasus umum

Representasi parameter kerucut dapat dijelaskan sebagai berikut. Dengan gambar $P → {\displaystyle {\overrightarrow {P}}}$ koordinat kerucut dapat dikonversi menjadi Koordinat kartesius. Dengan gambar $Q → {\displaystyle {\overrightarrow {Q}}}$ Koordinat kartesius dapat dikonversi menjadi koordinat kerucut.

$P → ( γ , φ , χ ) = ( x y z ) = χ ⋅ ( γ cos ⁡ ( φ ) γ sin ⁡ ( φ ) 1 ) Q → ( x , y , z ) = ( γ φ χ ) = ( 1 z x 2 + y 2 arctan ⁡ 2 ( y , x ) z ) {\displaystyle {\overrightarrow {P}}(\gamma ,\varphi ,\chi )={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=\chi \cdot {\begin{pmatrix}\gamma \cos(\varphi )\\\gamma \sin(\varphi )\\1\end{pmatrix}}\quad \quad \quad {\overrightarrow {Q}}(x,y,z)={\begin{pmatrix}\gamma \\\varphi \\\chi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{z}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\arctan 2(y,x)\\z\end{pmatrix}}}$

Segmen kerucut dengan tinggi h dan jari-jari r1 dan r2

Keliling segmen kerucut diberikan oleh (lihat ilustrasi di bawah):

r 1 ≤ r ≤ r 2 0 ≤ φ ≤ 2 π h = z 2 − z 1 {\displaystyle r_{1}\leq r\leq r_{2}\quad \quad \quad 0\leq \varphi \leq 2\pi \quad \quad \quad h=z_{2}-z_{1}}

Maka batasnya dapat dinyatakan dalam keliling kerucut sebagai berikut:

γ 1 = r 2 − r 1 h χ 1 = r 1 γ 1 = h ⋅ r 1 r 2 − r 1 χ 2 = r 2 γ 1 = h ⋅ r 2 r 2 − r 1 {\displaystyle \gamma _{1}={\frac {r_{2}-r_{1}}{h}}\quad \quad \chi _{1}={\frac {r_{1}}{\gamma _{1}}}=h\cdot {\frac {r_{1}}{r_{2}-r_{1}}}\quad \quad \chi _{2}={\frac {r_{2}}{\gamma _{1}}}=h\cdot {\frac {r_{2}}{r_{2}-r_{1}}}}

Keliling segmen kerucut padat karenanya berkisar:

0 ≤ γ ≤ γ 1 0 ≤ φ ≤ 2 π χ 1 ≤ χ ≤ χ 2 {\displaystyle 0\leq \gamma \leq \gamma _{1}\quad \quad \quad 0\leq \varphi \leq 2\pi \quad \quad \quad \chi _{1}\leq \chi \leq \chi _{2}}

Representasi keliling berikut ini berlaku untuk permukaan lateral yang sesuai dari segmen kerucut ini:

γ = γ 1 0 ≤ φ ≤ 2 π χ 1 ≤ χ ≤ χ 2 {\displaystyle \gamma =\gamma _{1}\quad \quad \quad 0\leq \varphi \leq 2\pi \quad \quad \quad \chi _{1}\leq \chi \leq \chi _{2}}

Vektor normal permukaan adalah ortogonal ke permukaan kerucut. Diperlukan untuk B. melakukan perhitungan aliran melalui permukaan lateral. Luas permukaan lateral dapat dihitung sebagai integral ganda menggunakan norma vektor normal permukaan. $n → = ∂ P → ∂ φ × ∂ P → ∂ χ = χ γ ⋅ ( cos ⁡ ( φ ) sin ⁡ ( φ ) − γ ) {\displaystyle {\overrightarrow {n}}={\frac {\partial {\overrightarrow {P}}}{\partial \varphi }}\times {\frac {\partial {\overrightarrow {P}}}{\partial \chi }}=\chi \gamma \cdot {\begin{pmatrix}\cos(\varphi )\\\sin(\varphi )\\-\gamma \end{pmatrix}}}$

Vektor satuan dalam komponen kartesius diperoleh dengan normalisasi pada vektor tangen dari parameterisasi tersebut. Vektor tangen dihasilkan dari turunan parsial pertama menurut masing-masing variabel. Ketiga vektor satuan ini membentuk basis normal. Ini bukan basis ortonormal karena tidak semua vektor satuan ortogonal satu sama lain. $e γ → = ∂ γ P → ‖ ∂ γ P → ‖ = ( cos ⁡ ( φ ) sin ⁡ ( φ ) 0 ) e φ → = ∂ φ P → ‖ ∂ φ P → ‖ = ( − sin ⁡ ( φ ) cos ⁡ ( φ ) 0 ) e χ → = ∂ χ P → ‖ ∂ χ P → ‖ = 1 1 + γ 2 ( γ cos ⁡ ( φ ) γ sin ⁡ ( φ ) 1 ) {\displaystyle {\overrightarrow {e_{\gamma }}}={\frac {\partial _{\gamma }{\overrightarrow {P}}}{\left\|\partial _{\gamma }{\overrightarrow {P}}\right\|}}={\begin{pmatrix}\cos(\varphi )\\\sin(\varphi )\\0\end{pmatrix}}\quad \quad {\overrightarrow {e_{\varphi }}}={\frac {\partial _{\varphi }{\overrightarrow {P}}}{\left\|\partial _{\varphi }{\overrightarrow {P}}\right\|}}={\begin{pmatrix}-\sin(\varphi )\\\cos(\varphi )\\0\end{pmatrix}}\quad \quad {\overrightarrow {e_{\chi }}}={\frac {\partial _{\chi }{\overrightarrow {P}}}{\left\|\partial _{\chi }{\overrightarrow {P}}\right\|}}={\frac {1}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}{\begin{pmatrix}\gamma \cos(\varphi )\\\gamma \sin(\varphi )\\1\end{pmatrix}}}$

Matriks fungsional dan kebalikannya diperlukan untuk kemudian mengubah turunan parsial. $J f = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( γ , φ , χ ) = ( ∂ γ x ∂ φ x ∂ χ x ∂ γ y ∂ φ y ∂ χ y ∂ γ z ∂ φ z ∂ χ z ) = ( χ cos ⁡ ( φ ) − χ γ sin ⁡ ( φ ) γ cos ⁡ ( φ ) χ sin ⁡ ( φ ) χ γ cos ⁡ ( φ ) γ sin ⁡ ( φ ) 0 0 1 ) {\displaystyle J_{f}={\frac {\partial \left(x,y,z\right)}{\partial \left(\gamma ,\varphi ,\chi \right)}}={\begin{pmatrix}\partial _{\gamma }x&\partial _{\varphi }x&\partial _{\chi }x\\\partial _{\gamma }y&\partial _{\varphi }y&\partial _{\chi }y\\\partial _{\gamma }z&\partial _{\varphi }z&\partial _{\chi }z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\chi \cos(\varphi )&-\chi \gamma \sin(\varphi )&\gamma \cos(\varphi )\\\chi \sin(\varphi )&\chi \gamma \cos(\varphi )&\gamma \sin(\varphi )\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

$J f − 1 = ∂ ( γ , φ , χ ) ∂ ( x , y , z ) = ( ∂ x γ ∂ y γ ∂ z γ ∂ x φ ∂ y φ ∂ z φ ∂ x χ ∂ y χ ∂ z χ ) = ( cos ⁡ ( φ ) χ sin ⁡ ( φ ) χ − γ χ − sin ⁡ ( φ ) χ γ cos ⁡ ( φ ) χ γ 0 0 0 1 ) {\displaystyle J_{f}^{-1}={\frac {\partial \left(\gamma ,\varphi ,\chi \right)}{\partial \left(x,y,z\right)}}={\begin{pmatrix}\partial _{x}\gamma &\partial _{y}\gamma &\partial _{z}\gamma \\\partial _{x}\varphi &\partial _{y}\varphi &\partial _{z}\varphi \\\partial _{x}\chi &\partial _{y}\chi &\partial _{z}\chi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\cos(\varphi )}{\chi }}&{\frac {\sin(\varphi )}{\chi }}&-{\frac {\gamma }{\chi }}\\-{\frac {\sin(\varphi )}{\chi \gamma }}&{\frac {\cos(\varphi )}{\chi \gamma }}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Matriks transformasi diperlukan untuk mentransformasikan unit vektor dan bidang vektor. Matriks ini terdiri dari vektor satuan dari parameterisasi sebagai vektor kolom. Rincian lebih lanjut dapat ditemukan di bawah artikel Basiswechsel. $S = ( e γ → e φ → e χ → ) = ( cos ⁡ ( φ ) − sin ⁡ ( φ ) γ cos ⁡ ( φ ) 1 + γ 2 sin ⁡ ( φ ) cos ⁡ ( φ ) γ sin ⁡ ( φ ) 1 + γ 2 0 0 1 1 + γ 2 ) S − 1 = ( cos ⁡ ( φ ) sin ⁡ ( φ ) − γ − sin ⁡ ( φ ) cos ⁡ ( φ ) 0 0 0 1 + γ 2 ) {\displaystyle S={\begin{pmatrix}{\overrightarrow {e_{\gamma }}}&{\overrightarrow {e_{\varphi }}}&{\overrightarrow {e_{\chi }}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\varphi )&-\sin(\varphi )&{\frac {\gamma \cos(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\\\sin(\varphi )&\cos(\varphi )&{\frac {\gamma \sin(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\\0&0&{\frac {1}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\end{pmatrix}}\quad \quad \quad \quad S^{-1}={\begin{pmatrix}\cos(\varphi )&\sin(\varphi )&-\gamma \\-\sin(\varphi )&\cos(\varphi )&0\\0&0&{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\end{pmatrix}}}$

Turunan parsial dapat ditransformasikan dengan matriks Jacobi terbalik

$( ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ) T = ( J f − 1 ) T ⋅ ( ∂ ∂ γ ∂ ∂ φ ∂ ∂ χ ) T {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}^{T}=(J_{f}^{-1})^{T}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial \chi }}\end{pmatrix}}^{T}}$

Hasilnya adalah:

$∂ ∂ x = cos ⁡ ( φ ) χ ∂ ∂ γ − sin ⁡ ( φ ) γ χ ∂ ∂ φ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\cos(\varphi )}{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}-{\frac {\sin(\varphi )}{\gamma \chi }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}}$

$∂ ∂ y = sin ⁡ ( φ ) χ ∂ ∂ γ + cos ⁡ ( φ ) γ χ ∂ ∂ φ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}={\frac {\sin(\varphi )}{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}+{\frac {\cos(\varphi )}{\gamma \chi }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}}$

$∂ ∂ z = ∂ ∂ χ − γ χ ∂ ∂ γ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {\partial }{\partial \chi }}-{\frac {\gamma }{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}}$

Vektor satuan dapat ditransformasikan dengan matriks transformasi terbalik. $( e x → e y → e z → ) = ( e γ → e φ → e χ → ) ⋅ S − 1 {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overrightarrow {e_{x}}}&{\overrightarrow {e_{y}}}&{\overrightarrow {e_{z}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\overrightarrow {e_{\gamma }}}&{\overrightarrow {e_{\varphi }}}&{\overrightarrow {e_{\chi }}}\end{pmatrix}}\cdot S^{-1}}$

Hasilnya adalah:

$e x → = cos ⁡ ( φ ) ⋅ e γ → − sin ⁡ ( φ ) ⋅ e φ → {\displaystyle {\overrightarrow {e_{x}}}=\cos(\varphi )\cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}-\sin(\varphi )\cdot {\overrightarrow {e_{\varphi }}}}$

$e y → = sin ⁡ ( φ ) ⋅ e γ → + cos ⁡ ( φ ) ⋅ e φ → {\displaystyle {\overrightarrow {e_{y}}}=\sin(\varphi )\cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}+\cos(\varphi )\cdot {\overrightarrow {e_{\varphi }}}}$

$e z → = 1 + γ 2 ⋅ e χ → − γ ⋅ e γ → {\displaystyle {\overrightarrow {e_{z}}}={\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\cdot {\overrightarrow {e_{\chi }}}-\gamma \cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}}$

Bidang vektor dapat ditransformasikan oleh perkalian matriks dengan matriks transformasi. $( F x F y F z ) = S ⋅ ( F γ F φ F χ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}=S\cdot {\begin{pmatrix}F_{\gamma }\\F_{\varphi }\\F_{\chi }\end{pmatrix}}}$

Hasilnya adalah:

$F x = cos ⁡ ( φ ) ⋅ F γ − sin ⁡ ( φ ) ⋅ F φ + γ cos ⁡ ( φ ) 1 + γ 2 ⋅ F χ {\displaystyle F_{x}=\cos(\varphi )\cdot F_{\gamma }-\sin(\varphi )\cdot F_{\varphi }+{\frac {\gamma \cos(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\cdot F_{\chi }}$

$F y = sin ⁡ ( φ ) ⋅ F γ + cos ⁡ ( φ ) ⋅ F φ + γ sin ⁡ ( φ ) 1 + γ 2 ⋅ F χ {\displaystyle F_{y}=\sin(\varphi )\cdot F_{\gamma }+\cos(\varphi )\cdot F_{\varphi }+{\frac {\gamma \sin(\varphi )}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\cdot F_{\chi }}$

$F z = 1 1 + γ 2 ⋅ F χ {\displaystyle F_{z}={\frac {1}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}\cdot F_{\chi }}$

Diferensial volume dapat ditentukan menggunakan determinan dari matriks Jacobi. Ini menawarkan kemungkinan z. B. untuk menghitung volume kerucut menggunakan triple integral. $d V = det J f ⋅ d γ d χ d φ = χ 2 γ ⋅ d γ d χ d φ {\displaystyle dV=\det J_{f}\cdot d\gamma d\chi d\varphi =\chi ^{2}\gamma \cdot d\gamma d\chi d\varphi }$

Diferensial permukaan dapat ditentukan dengan norma dari vektor normal permukaan. Jadi kamu bisa z. B. tentukan luas permukaan lateral dengan integral ganda. $d A = ‖ n → ‖ ⋅ d χ d φ = χ γ 1 + γ 2 ⋅ d χ d φ atau γ = const. {\displaystyle dA=\|{\overrightarrow {n}}\|\cdot d\chi d\varphi =\chi \gamma {\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\cdot d\chi d\varphi \quad {\text{atau}}\quad \gamma ={\text{const.}}}$

Representasi Operator Nabla dalam koordinat kerucut dapat diperoleh dengan memasukkan vektor satuan transformasi dan turunan parsial dalam operator kartesius Nabla:

∇ = ( 1 + γ 2 χ ∂ ∂ γ − γ ∂ ∂ χ ) ⋅ e γ → + ( 1 γ χ ∂ ∂ φ ) ⋅ e φ → + 1 + γ 2 ( ∂ ∂ χ − γ χ ∂ ∂ γ ) ⋅ e χ → {\displaystyle \nabla =\left({\frac {1+\gamma ^{2}}{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}-\gamma {\frac {\partial }{\partial \chi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}+\left({\frac {1}{\gamma \chi }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\varphi }}}+{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial \chi }}-{\frac {\gamma }{\chi }}{\frac {\partial }{\partial \gamma }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\chi }}}}

Gradien

Gradien dalam koordinat kerucut diperoleh dengan menerapkan transformasi Operator Nabla ke medan skalar dalam koordinat kerucut.

grad ⁡ ϕ = ∇ ϕ = ( 1 + γ 2 χ ∂ ϕ ∂ γ − γ ∂ ϕ ∂ χ ) ⋅ e γ → + ( 1 γ χ ∂ ϕ ∂ φ ) ⋅ e φ → + 1 + γ 2 ( ∂ ϕ ∂ χ − γ χ ∂ ϕ ∂ γ ) ⋅ e χ → {\displaystyle \operatorname {grad} \phi =\nabla \phi =\left({\frac {1+\gamma ^{2}}{\chi }}{\frac {\partial \phi }{\partial \gamma }}-\gamma {\frac {\partial \phi }{\partial \chi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\gamma }}}+\left({\frac {1}{\gamma \chi }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\varphi }}}+{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial \chi }}-{\frac {\gamma }{\chi }}{\frac {\partial \phi }{\partial \gamma }}\right)\cdot {\overrightarrow {e_{\chi }}}}

Divergensi bidang vektor

Operator untuk divergensi bidang vektor dapat diperoleh dengan menerapkan operator Nabla ke bidang vektor dalam koordinat kerucut:

div ⁡ F → = ∇ ⋅ F → = 1 γ χ ⋅ ( ∂ ( F γ ⋅ γ ) ∂ γ + ∂ F φ ∂ φ ) + 1 χ 2 1 + γ 2 ∂ ( F χ ⋅ χ 2 ) ∂ χ {\displaystyle \operatorname {div} {\overrightarrow {F}}=\nabla \cdot {\overrightarrow {F}}={\frac {1}{\gamma \chi }}\cdot \left({\frac {\partial \left(F_{\gamma }\cdot \gamma \right)}{\partial \gamma }}+{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)+{\frac {1}{\chi ^{2}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}}{\frac {\partial \left(F_{\chi }\cdot \chi ^{2}\right)}{\partial \chi }}}

Definisi kerucut dapat diperluas ke dimensi yang lebih tinggi (lihat kerucut cembung ). Dalam hal ini, salah satu mengatakan bahwa cembung set C di nyata vektor ruang R n adalah kerucut (dengan puncaknya pada titik asal) jika untuk setiap vektor x di C dan setiap non-negatif bilangan real a , vektor kapak di C.[4] Dalam konteks ini, analog kerucut bundar biasanya tidak istimewa; bahkan orang sering tertarik pada kerucut polihedral.

Frustum adalah sebuah tabung besar dikurangi sebuah tabung kecil.

$V = 1 3 ⋅ π ( r 2 + r R + R 2 ) ⋅ t {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot \pi (r^{2}+rR+R^{2})\cdot t}$

Bukti:

Andaikan sebuah tabung besar memiliki jari-jari r serta potongan tinggi t sedangkan kecil jari-jari R dan tinggi T.

V = V b − V k {\displaystyle V=V_{b}-V_{k}}

V = 1 3 ⋅ π ( r 2 ⋅ ( t + T ) − R 2 ⋅ T ) {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot \pi (r^{2}\cdot (t+T)-R^{2}\cdot T)}

untuk mencari h dengan membandingkan sbb:

t + T T = r R {\displaystyle {\frac {t+T}{T}}={\frac {r}{R}}}

t + T = r T R {\displaystyle t+T={\frac {rT}{R}}}

lalu

V = 1 3 ⋅ π ( r 2 ⋅ ( r T R ) − R 2 ⋅ T ) {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot \pi (r^{2}\cdot ({\frac {rT}{R}})-R^{2}\cdot T)}

V = 1 3 ⋅ π ⋅ T ( r 3 − R 3 R ) {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot T({\frac {r^{3}-R^{3}}{R}})}

untuk mencari T sbb:

t + T T = r R {\displaystyle {\frac {t+T}{T}}={\frac {r}{R}}}

R ⋅ t + R ⋅ T = r ⋅ T {\displaystyle R\cdot t+R\cdot T=r\cdot T}

R ⋅ t = ( r − R ) ⋅ T {\displaystyle R\cdot t=(r-R)\cdot T}

T = R ⋅ t r − R {\displaystyle T={\frac {R\cdot t}{r-R}}}

dimana $r 3 − R 3 = ( r − R ) ( r 2 + r R + R 2 ) {\displaystyle r^{3}-R^{3}=(r-R)(r^{2}+rR+R^{2})}$

V = 1 3 ⋅ π ⋅ R ⋅ t r − R ⋅ ( ( r − R ) ( r 2 + r R + R 2 ) R ) {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot {\frac {R\cdot t}{r-R}}\cdot ({\frac {(r-R)(r^{2}+rR+R^{2})}{R}})}

V = 1 3 ⋅ π ( r 2 + r R + R 2 ) ⋅ t {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot \pi (r^{2}+rR+R^{2})\cdot t}

Persamaan Parametrik
Pi ( $π {\displaystyle \pi }$ )

Base (geometri)

Integral Fresnel

^ a b Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama :1
^ Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 282. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
^ (Protter & Morrey 1970, hlm. 583)
^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama grunbaum