Diketahui vektor a i 2j b 4i 2j dan θ adalah sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b nilai tan θ

Vektor merupakan besaran yang mempunyai panjang dan arah. Contoh : vektor  memiliki titik pangkal P dan titik ujung Q. Sedangkan panjang vektor

dilambangkan dengan . Vektor dapat ditulis dengan huruf kecil misalkan , , . Misalkan pada gambar dibawah ini:

Maka vektor

dapat ditulis . Pada diagram cartesius jika dimisalkan titik A (a1, a2) dan titik B (b1, b2)

Secara geometri penjumlahan vektor

dapat dilakukan dengan dua cara yaitu sebagai berikut

1. Cara segitiga
   titik pangkal vektor
    berimpit ruas dengan titik ujung vektor
   . Jumlah vektor
   dan
    didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor
   ke titik ujung vektor
   . Ruas garis ini diwakili oleh vektor
   . Sehingga
   .
   
2. Aturan jajar genjang
   Titik pangkal vektor
   dan
    harus berimpit.
   
   
   Jika vektor
   dan
    di R2
   
   Jika menggunakan pasangan terurut
   +
    = (a1 + b1, a2 + b2)
   
   
   –
    = (a1 – b1, a2 – b2)

Jika tegak lurus antara vektor

dengan vektor  maka . = 0

Jika vektor

sejajar dengan vektor  kalau = β dengan syarat β ≠ 0

Jika β > 0 dua vektor tersebut searah

Jika β < 0 dua vektor saling berlawanan arah

Jika vector (a1, a2, a3) dan vektor (b1, b2, b3) sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor terbut adalah

Perbandingan PN : NQ = m : n terdapat dua jenis, yaitu:

Soal No.1 (SBMPTN 2017)

Vektor a dan b membentuk sudut α dengan sin α =

. Jika |a| =  dan a.b = maka b.b =…

PEMBAHASAN : Diketahui:

|a| =

a.b =
sin α = menentukan |b| dari rumusan cosinus

|b| =
maka, b.b = |b|2 = ()2 = 7
Jawaban : C

Vektor-vektor u, v, dan w tak nol dan | u | = | v |, Jika | v-w | = | u-w | maka…

PEMBAHASAN : Diketahui: | v – w | = | u – w | Kedua sisi di akarkan

v.v + w.w – 2v.w = u.u + w.w – 2 u.w

|v|2 + |w|2 – 2v.w = |u|2 + |w|2 – 2u.w

Dari soal diketahui | u | = | v | maka v.w = u.w u.w – v.w = 0 (u.w).w = 0 Karena perkaliannya = 0 maka (u-v) tegak lurus w

Jawaban : D

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.4 (SBMPTN 2014)

Vektor – vektor u, v, dan x tidak nol. Vektor u + v tegak lurus u –x , jika …

1. | u + v | = | u – v |
2. | v | = | x |
3. u.u = v.v, v = -x
4. u.u = v.v , v = x
5. u.v = v.v

PEMBAHASAN : Diketahui u + v tegak lurus u – x, maka: (u + v ) . ( u – x ) = 0 u.u –u .x +u.v – v.x = 0 Jika v = x maka u.u – u.v + u.v – v.v = 0 u.u – v.v = 0 u.u = v.v = 0

Jawaban : D

Soal No.5 (UN 2012)

Diketahui vektor

= i +2j –xk,  = 3i – 2j + k, dan  = 2i + j + 2k . Vektor tegak lurus  maka( + ) .( – ) adalah…

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.6 (SBMPTN 2014)

Diberikan limas T.ABC.

Misalkan u =

,v = , w = . Jika P adalah titik berat ΔABC maka =

1. ( u + v + w )
2. ( u + v + w )
3. ( u + v + w )
4. ( u + v + w )
5. u + v + w

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.7 (UN 2005)

Diketahui titik A(6,4,7), B(2,-4,3),dan P(-1,4,2), titik R terletak pada garis AB sehingga AR:RB = 3:1. Panjang vektor PR adalah…

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.8 (SNMPTN 2010)

Diketahui

, dan  vektor dalam dimensi -3 . Jika ⊥  dan ⊥ ( + 2), Maka .(2 – ) adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.9 (SBMPTN 2014)

Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1) dan C(7,5,-3). Jika A, B, dan C segaris (kolinier), perbandingan

….

1. 1 : 2
2. 2 : 1
3. 2 : 5
4. 5 : 7
5. 7 : 5

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.10 (SNMPTN 2012)

Diketahui |u| = 1 dan |v| = 2. Jika

dan membentuk sudut 30° maka ( + ). =….

4. 3
5. 5

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.11 (EBTANAS 1989)

Titik R adalah terletak di antara titik P(2,7,8) dan Q(-1,1,-1) yang membagi garis PQ di dalam perbandingan 2:1 maka koordinat R adalah….

1. (0,9,6)
2. (0,3,2)
5. (1,8,7)

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.12 (SIMAK UI 2010)

Diketahui:

dan dan vektor  merupakan proyeksi ortogonal vektor terhadap . Jika vektor memiliki panjang yang sama dengan vektor , maka nilai dari x adalah….

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.13 (UN 2014)

Diketahui vektor-vektor

= bi – 12j + ak dan = ai + aj – bk. Sudut antara vektor dan vektor  dan vektor  adalah θ dengan cos θ = . Proyeksi vektor  pada adalah  = -4i-4j+4k. Nilai dari b =…..

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.14 (SIMAK UI 2010 IPA)

Diketahui vektor-vektor

= (2, 2, z), = (-8, y, -5) , = (x, 4y, 4) dan = (2x, 22, -z, 8). Jika vektor tegak lurus dengan vektor dan vektor sejajar dengan  maka (y+z) =

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.15 (UN 2013)

Diketahui

dan apabila α adalah sudut yang di bentuk antara vektor  dan vektor  maka tan α =….

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.16 (SIMAK UI 2010)

Vektor

, ,  adalah vektor-vektor unit yang masing-masing membentuk sudut 60o dengan vektor lainnya. Maka ( – )( – ) adalah….

1. -¼
2. -½
4. ¼
5. ½

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.17 (UN 2011)

Diketahui segitiga ABC dengan A(2,1,2), B(6,1,2), dan C(6,5,2). Jika

mewakili  dan mewakili  maka sudut yang dibentuk oleh vector  dan  adalah…

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.18 (UM UGM 2010 IPA)

vektor

 = (x, y, 1) sejajar = (-1, 3, z) , jika  tegak lurus (3, -2, 3) maka y = ….

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.19 (EBTANAS 2001)

Diketahui |

|||dan | – | berturut-turut adalah 4, 6 dan nilai | + | =…

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.20 (UMB PTN 2009)

Jika vektor

dan  merupakan ( + ). = 12 , || = 2 dan || = 3 maka sudut antara dan  adalah….

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.21 (UN 2009)

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan koordinat titik sudut A (3,0,0), C(0,

,0), D(0,0,0), F(3, , 4) dan H(0,0,4). Besar sudut antara vektor dan  adalah….

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.22 (SNMPTN 2009)

Diketahui segi tiga ABC. Titik p di tengah AC dan Q pada BC sehingga BQ = QC. Jika

 = ,  = dan  = maka  =…..

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.23 (UMPTN 2001)

Jika

= (2, k) dan  = (3, 5) dan ∠( ,) =  maka konstanta positif k adalah…..

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.24 (UN 2014)

Diketahui vektor

= 2i – 2pj + 4k dan  = i – 3j + 4k. Jika panjang proyeksi vektor pada  adalah . nilai p =….

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.25 (UMPTN 2004)

Bila panjang proyeksi vektor

 = i – 2j pada vektor  = xi + yj dengan x,y > 0 adalah 1 maka nilai 4x – 3y + 1=…..

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.26 (UN 2009)

Diketahui titik A(2,7,8), B(-1,1-1) dan C(0,3,2). Jika

 wakil dan  wakil  maka proyeksi orthogonal vektor pada  adalah …

1. -3i – 6j – 9k
2. i + 2j + 3k
3. i +
   j + k
4. -9i – 18j – 27k
5. 3i + 6j +9k

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.27 (SNMPTN 2011)

Diketahui vektor

= (a3 – 2a2, -9, -1+ b ),  = (3, -a + b, 9) dengan -4 < a < 4. Nilai maksimum . adalah….

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.28 (UN 2006)

Vektor z adalah proyeksi vektor x = (-

, 3, 1) pada vektor y = (, 2, 3). Panjang vektor z =…

1. ½
2. 1
4. 2

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.29 (SBMPTN 2013)

Diketahui A (4,0,0), B(0,-4,0), dan C (0,0,8) Panjang vektor proyeksi

 ke vektor  adalah…..

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.30 (UN 2013)

Diketahui vektor

= i – 2j + k dan = 3i + j – 2k. Vektor  mewakili vektor hasil proyeksi orthogonal vektor  pada vektor maka vektor  = …

1. (i – 2j + k)
2. (3i – 2j + 2k)
3. (i – 2j + k)
4. (3i – j + 2k)
5. (i – 2j + k)

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.31 (UN 2004)

Diketahui vektor

dan vektor . Jika proyeksi skalar orthogonal pada arah vektor sama dengan setengah panjang vektor  maka nilai p = ….

1. -4 atau -2
2. -4 atau 2
3. 4 atau -2
4. 8 atau -1
5. -8 atau 1

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.32

Diketahui titik P (4, 0, -2) dan P(2, 3, -4), tentukan:

1. vektor
2. panjang vektor 
3. vektor satuan dari vektor 

PEMBAHASAN :

1. = (2, 3, -4) – (4, 0, -2) = (-2, 3, -2)

   = -2

   +3
   -2

2. panjang vektor 
   
   
3. vektor satuan dari vektor 
   
   

Soal No.33 

Tentukan nilai c agar panjang vector

adalah 4!

1. ±
2. ±
3. ±
4. ±10
5. ±5

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.34 

Jika

,, dan berturut-turut adalah vektor posisi titik-titik sudut jajar genjang ABCD dengan AB sejajar CD, maka  …

1. +
   –
2. –
   +
3. –
   –
4. +
   +
5. –
   +
   –

PEMBAHASAN :
ABCD adalah jajar genjang, maka berlaku hubungan:

Jawaban : B

Soal No.35 

O merupakan titik awal dengan

 adalah vektor posisi dari titik P,  adalah vektor posisi dari titik Q,  adalah vektor posisi dari titik R. = , dan = , jadi vektor posisi titik A adalah …

1. + 2
   –
2. –
   – 2
   –
3. – 2
   +
4. –
   + 2
   +
5. + 2
   +

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.36 

Diketahui vektor

= 2 + 3 – ,  = + 2, dan  = 2 – . Vektor yang mewakili 3 + + 2 adalah …

1. 3
   +
   – 2
2. 7
   +
   + 2
3. 7
   + 13
   – 3
4. + 3
   – 2
5. 3
   +
   + 2

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.37 

Diketahui |

| = 3, || = 1, dan sudut (,) = 60o, maka |2 + | = ….

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.38 

Diketahui besar sudut antara vektor

dan  adalah 600 . Jika Panjang a dan b masing-masing 8 dan 4, maka panjang vektor ( – ) adalah …

1. 5
2. 6
3. 2
4. 4
5. 3

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.39 

Terdapat ΔABC, jika T titik berat ΔABC, U titik tengah AC,

= , dan = . Maka TU adalah …

1. –
2. +
3. –
   –
4. –
5. +

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.40 

Jika persegi Panjang OPQR dan S titik tengah OP, RS memotong diagonal PQ di T dengan

= dan = , maka adalah…

1. – 
2. + 
3. –
   +
4. –
   – 
5. +

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.41 

Diketahui titik-titik A(3,-5,4) dan B(3,-5,12) dengan P pada ruas garis AB dan

= 3, maka vektor posisi titik P adalah …

1. (1, -2, 15)
2. (-3, -2, 1)
3. (2, 5, 12)
4. (3, -2, 10)
5. (3, -5, 10)

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.42 

Diketahui vektor

 = (2,3) dan vektor  = (1,2) dengan titik T terletak pada RS sehingga RT : TS = 2 : 3, maka Panjang vektor  adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.42 

Diketahui vektor

= (2, x, 3) dan = (y, 4, 6). Kedua vektor tersebut adalah segaris, maka nilai yang seharusnya dari x + y adalah …

PEMBAHASAN :
Syarat vektor segaris yaitu

= k

Perhatikan persamaan (3) dapat diketahui bahwa k = ½ Dengan k = ½ Persamaan (1) → y = 4 Persamaan (2) → x = 2 Maka x + y = 2 + 4 = 6

Jawaban : A

Soal No.43 

Jika

= 2 + 3,  = 3 – , dan = -5 – 4 dengan = k – m. Sehingga k – m adalah …

PEMBAHASAN : Perhatikan persamaan berikut:

Persamaan (1) → – 5 = 2k – 3m                                  → – 5 = 2k – 3m Persamaan (2) kalikan (- 3) → 12 = – 9k – (- (-3)) → 12 = – 9k + 3m .                                                                                                7 = -7k .                                                                                                k = – 1 -5 = 2k – 3m -5 = 2(-1) – 3m -5 = -2 – 3m 3m = -2 + 5 3m = 3 m = 1 maka k – m = – 1 – 1 = – 2

Jawaban : C

Soal No.44 

Diketahui

dan  adalah vektor satuan yang membentuk sudut 450 , maka ( – )  adalah …

PEMBAHASAN : Perhatikan persamaan berikut:

Persamaan (1) → – 5 = 2k – 3m                                  → – 5 = 2k – 3m Persamaan (2) kalikan (- 3) → 12 = – 9k – (- (-3)) → 12 = – 9k + 3m .                                                                                                7 = -7k .                                                                                                k = – 1 -5 = 2k – 3m -5 = 2(-1) – 3m -5 = -2 – 3m 3m = -2 + 5 3m = 3 m = 1 maka k – m = – 1 – 1 = – 2

Jawaban : C

Soal No.45 

Diketahui

dan  adalah vektor satuan yang membentuk sudut 450, maka ( – ) adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.46 

Jika vektor

dengan vektor ( + ) tegak lurus terhadap vektor . Maka nilai 3x adalah …

1. 9 atau -1½
2. 3 atau -½
3. 1 atau ½
4. 9 atau -½
5. 3 atau 1

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.47 

Jika titik A (1, 2, 2), B (5, 4, 2), dan C (0, – 3, 5) maka sudut antara vektor

dengan  = …

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.48

Diketahui

= (4,2p) dan  = (2,2) dan ∠(,) = 60o. Maka konstanta p adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.49

Jika

 =0,6 + a dan vektor  = b + 2. Vektor  tegak lurus vektor , maka a.b adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.50

Jika vektor

 = (6a, 1, a3) dan  = (1, 5a2 , 1)  Sehingga untuk .  nilai a = …

1. 1 dan 2
2. 2 dan -3
3. -2 dan -3
4. 4 dan -1
5. -1 dan -3

PEMBAHASAN : Diketahui:

 = (6a, 1, a3)

= (1, 5a2 , 1)
. = (6a)(1) + (1)(5a2 ) + (a3 )(1)
F (a) = 6a + 5a2 + a3 Syarat stasioner, sebagai berikut: F(a) = 0

6a + 5a2 + a3 = 0 (dibagi a)

6 + 5a + a2 = 0 (a + 3)(a + 2) = 0

Jawaban : C

Soal No.51

Jika diketahui titik-titik sudut suatu segitiga ABC adalah A = (3, 8, 2), B = (4, 1, -2), dan C = (-1, 3, 5). Luas dari segitiga ABC tersebut adalah….

PEMBAHASAN :

Jika dimisalkan

Vektor

=

.                 = (4, 1, -2) – (3, 8, 2) = (1, -7, -4)

Vektor

=

.                = (-1, 3, 5) – (3, 8, 2) = (-4, -5, 3)

.        = ((-7).3 – (-5).(-4)) + ((-4).(-4) – 3.1) + (1.-5 – (-7).(-4))
.        =(-21 – 20) + (16 – 3) + (-5 – 28)
.        =(-41) + 13 -33

Jawaban : C

Soal No.52

Jika vektor

= 10 + +  dan = 3 + 2 + 2. Proyeksi ortogonal untuk vektor  dan  adalah …

1. 4
   + 2
   + 3
2. -4
   – 
   + 3
3. 6
   + 3
   + 2
4. + 4
   – 6
5. 6
   + 4
   + 4

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.53

Terdapat kubus OABCDEFG dengan

= (1, 0, 2), = (0, 2, 1), dan = (0, 1, 2). Proyeksi vektor ke  adalah …

1. (1, 1, 1)
2. (1, 3, 5)
3. (3, 1, 1)
4. (3, 1, 2)
5. (1, 1, 3)

PEMBAHASAN : Perhatikan gambar kubus OABCDEFG! Gambar

Jawaban : B

Soal No.54

Jika P(-2, 0, 0), Q(0, 2, 0), dan R(0, 0, 1). Maka panjang proyeksi vektor

 ke  = …

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.55

Jika panjang proyeksi vektor

= 4 – 2 terhadap vector = p + q dengan (p,q) > 0 yaitu 2. Maka nilai dari 3p – 4q – 4 = …..

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.56

Jika vektor

= 6 + 2 – dan vektor = 4 + 2 – 2. Maka proyeksi vektor orthogonal vektor  pada vektor  adalah …

1. 3
   + 2
   + 2,5
2. 5
   + 2,5
   – 2,5
3. 5
   + 1,5
   – 2
4. 3
   – 2
   + 5
5. 3
   + 1,5
   – 1,5

PEMBAHASAN : Diketahui:

Vektor orthogonal vektor

 pada vektor =

Vektor = 6 + 2 –
Vektor = 4 + 2 – 2 Dapat menggunakan rumus sebagai berikut:

Jawaban : B

Soal No.57

Jika vektor-vektor

= + –  dan = + – . Maka sudut antara vektor  dan  adalah …

PEMBAHASAN : Diketahui:

Vektor

= + –

Vektor = + –

Dapat menggunakan rumus perkalian skalar sebagai berikut:

. = ||.|| cos α

Sudut

 dan misalkan adalah α, maka:
1 + 2 + 3 = 6 = 6 → cos a cos a = 1

α = 00

Jawaban : A

Soal No.58

Jika titik P(2,3,5) , Q(1, -2, 1) , dan R(3,0,1) dengan

= dan =  dan  maka proyeksi orthogonal vektor  dan  adalah …

1. 3
   – 6
   +
2. -3
   + 6
   +
3. -3
   + 6
4. 3
   + 6
5. -3
   – 6

PEMBAHASAN : Diketahui: P(2,3,5) Q(1, -2, 1) R(3,0,1)

= dan = 

Jawaban : E

Soal No.59

Jika vektor-vektor

= + p + 2, = 2 + 2 + , dan = – 2 + 3 dengan  tegak lurus . Maka (2 + )  adalah …

PEMBAHASAN : Diketahui:

= + p + 2, = 2 + 2 + , dan = – 2 + 3

 tegak lurus  berlaku .   = 0 1.2 + 2.p + 2.1 = 0 2 + 2p + 2 = 0 4 + 2p = 0 2p = – 4

p = – 2 →

= – 2 + 2

Jawaban : D

Soal No.60

Jika vektor

= (2, p, -3) dan  = (1, 4, 2p) dengan vektor  tegak lurus pada  maka nilai p adalah …

PEMBAHASAN : Diketahui:

vektor

 = (2, p, -3) dan  = (1, 4, 2p)

vektor tegak lurus pada

Maka berlaku

. = 0 (2.1) + (p.4) + (-3.2p) = 0 2 + 4p -6p = 0 -2p = -2 p = 1

Jawaban : B

Soal No.61

Diketahui persegi panjang OPRQ. S adalah titik tengah OP dan C titik potong RS dengan diagonal PQ. Jika

 dan  maka  adalah …

PEMBAHASAN : Diketahui:

Persegi panjang OPRQ S adalah titik tengah OP C titik potong RS dengan diagonal PQ

dan

RC : SC = 2 : 1 Maka:

Jawaban : C

Soal No.62

Jika titik A(2, 4, 8) dan B(2, 4, -4) dengan titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 3 : 1. Maka panjang

 adalah …

PEMBAHASAN : Titik A(2, 4, 8) dan B(2, 4, -4) Titik P membagi AB dengan perbandingan 3 : 1

Menghitung vektor P sebagai berikut:

Maka panjang  = ||

Jawaban : C

Soal No.63

Jika vektor

= 2 + 3 – , = a – 2 + 2 dan = -3 + – . Vektor  tegak lurus  vektor maka ( + ) = ….

1. –
   +
2. –
   +
   +
3. +
   + 2
4. 3
   –
   –
5. 2
   – 5
   +

PEMBAHASAN : Diketahui:

vektor

= 2 + 3 –

vektor = a – 2 + 2
vektor = -3 + –
Vektor tegak lurus vektor

Jawaban : A

Soal No.64

Jika

= 2 + 3 –  dan = a – 2 + 2 saling tegak lurus, maka nilai a adalah …

PEMBAHASAN : Diketahui:

= 2 + 3 –

= a – 2 + 2

Vektor saling tegak lurus

. = 0 ⇒ 3.2 + a.4 + (-2).1 = 0 ⇒ 6 + 4a – 2 = 0 ⇒ 4a = – 4 ⇒ a = – 1

Jawaban : B

Soal No.65

Jika

= 3 + 2 + , = + + . Nilai bilangan positif p agar panjang proyeksi vektor p pada vektor  sama dengan 8 adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : D