Tentukan unsur unsur yang belum diketahui pada segitiga abc jika diketahui a=70° c=50° dan b=30cm

Academia.edu no longer supports Internet Explorer.

To browse Academia.edu and the wider internet faster and more securely, please take a few seconds to upgrade your browser.

Kita tahu bahwa, segitiga terdiri dari 3 sisi dan 3 sudut, dengan jumlah ketiga sudut adalah sebesar 180°. Untuk segitiga siku-siku, cukup dengan 1 sisi dan 1 sudut (tidak termasuk sudut siku-siku) ataupun 2 sisi diketahui, kita telah dapat menentukan sisi dan sudut lainnya, yaitu dengan menggunakan phythagoras ataupun perbandingan trigonometri yang telah dipelajari sebelumnya. Sedangkan untuk segitiga sembarang, minimal dibutuhkan 3 unsur yang diketahui, yaitu

• sisi, sudut, sudut
• sudut, sisi, sisi
• sisi, sisi, sisi

Kemudian dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menggunakan aturan sinus atau aturan cosinus untuk menentukan sisi-sisi ataupun sudut-sudut yang lain.

Perhatikan segitiga berikut !

sisi di depan sudut A adalah BC = a

sisi di depan sudut B adalah AC = b
sisi di depan sudut C adalah AB = c

Aturan Sinus

Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sinya a, b dan c, dengan
A adalah sudut di depan sisi a
B adalah sudut di depan sisi b
C adalah sudut di depan sisi c berlaku $$\mathrm{\frac{\mathit{a}}{sin\,A}=\frac{\mathit{b}}{sin\,B}=\frac{\mathit{c}}{sin\,C}}$$

Contoh 1

Diketahui segitiga ABC dengan ∠A = 45°, ∠B = 30° dan panjang AC  = 6. Tentukan panjang BC !

Jawab :

\(\mathrm{\frac{BC}{sin\,45^{\circ}}=\frac{6}{sin\,30^{\circ}}}\) BC = \(\mathrm{\frac{6\times sin\,45^{\circ}}{sin\,30^{\circ}}}\)

BC = \(\mathrm{\frac{6\times \frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}}\)

BC = 6√2 Jadi, panjang BC adalah 6√2

Contoh 2

Tentukan besar sudut θ dari segitiga berikut

Jawab :
\(\mathrm{\frac{8}{sin\,\theta}=\frac{4\sqrt{6}}{sin\,60^{\circ}}}\) sin θ = \(\mathrm{\frac{8\times sin\,60^{\circ}}{4\sqrt{6}}}\)

sin R = \(\mathrm{\frac{8\times \frac{1}{2}\sqrt{3}}{4\sqrt{6}}}\) (rasionalkan)

sin R = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)√2 ⇒ θ = 45° Jadi, besar sudut θ adalah 45°

Aturan Cosinus

Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b dan c, dengan C adalah sudut di depan sisi c, berlaku $$\mathrm{\mathit{c}^{2}=\mathit{a}^{2}+\mathit{b}^{2}-2\mathit{ab}.cos\,C}$$ atau dapat pula ditulis $$\mathrm{cos\,C=\frac{\mathit{a}^{2}+\mathit{b}^{2}-\mathit{c}^{2}}{2\mathit{ab}}}$$
Contoh 3 Tentukan x dari segitiga berikut !

Jawab : Dengan aturan cosinus :

x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. cos 60°

x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. \(\frac{1}{2}\)
x2 = 28 x = \(\sqrt{28}\) = 2√7 Jadi, nilai x adalah 2√7

Contoh 4

Diketahui segitiga PQR dengan PQ = 2√3, QR = 1 dan PR = √7. Jika  ∠Q = θ, tentukan θ ! Jawab :

Dengan aturan cosinus :
(√7)2 = (1)2 + (2√3)2 − 2. 1. 2√3. cos θ 7 = 1 + 12 − 4√3. cos θ 4√3. cos θ = 6

cos θ = \(\frac{6}{4\sqrt{3}}\) (rasionalkan)

cos θ = \(\frac{1}{2}\)√3 ⇒ θ = 30° atau cos θ = \(\frac{1^{2}+(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{7})^{2}}{2.\,1.\,2\sqrt{3}}\) cos θ = \(\frac{1+12-7}{4\sqrt{3}}\)

cos θ = \(\frac{6}{4\sqrt{3}}\) (rasionalkan)

cos θ = \(\frac{1}{2}\)√3 ⇒ θ = 30°

Tips

Gunakan aturan sinus jika sisi dan sudut yang saling berhadapan diketahui. Perhatikan contoh 1, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 6 dan 30°. Perhatikan contoh 2, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 4√6 dan 60°. Gunakan aturan cosinus jika sudut dan 2 sisi yang mengapit sudut tersebut diketahui atau ketiga sisi diketahui. Perhatikan contoh 3, sudut apit 60° dan sisi yang mengapit 4 dan 6. Perhatikan contoh 4, ketiga sisinya diketahui.

Latihan Soal

Latihan 1

Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 8 dan AC = 5. Jika ∠A = 60°, tentukan : - panjang BC - ∠B - ∠C

Jawab :

Dengan aturan cosinus

BC2 = 52 + 82 − 2. 5. 8. cos 60°

BC2 = 25 + 64 − 80. \(\frac{1}{2}\)
BC2 = 49
BC = 7 Dengan aturan sinus \(\mathrm{\frac{7}{sin\,60^{\circ}}=\frac{5}{sin\,B}}\) sin B = \(\mathrm{\frac{5.\,sin\,60^{\circ}}{7}}\) sin B = \(\mathrm{\frac{5.\,\frac{1}{2}\sqrt{3}}{7}}\) sin B = 0,6186

B = sin-1(0,6186)  (gunakan kalkulator)

B = 38,21° A + B + C = 180° 60° + 38,21° + ∠C = 180°

C = 81,79°

diperoleh - panjang BC = 7 - ∠B = 38,21° - ∠C = 81,79°

Latihan 2

Suatu segitiga dengan panjang sisi berturut-turut adalah 3, 5 dan 7. Jika θ adalah sudut yang berada di depan sisi yang panjangnya 7, tentukan sin θ dan tan θ !

Jawab :

Dengan aturan cosinus : cos θ = \(\frac{3^{2}+5^{2}-7^{2}}{2.\,3.\,5}\) cos θ = \(-\frac{1}{2}\) Karena cos θ bernilai negatif, maka θ adalah sudut tumpul (kuadran II) θ = 180° − 60° θ = 120° sin θ = sin 120° sin θ = sin (180° − 60°) sin θ = sin 60°  (K.II sinus positif)

sin θ = \(\frac{1}{2}\)√3

tan θ = tan 120° tan θ = tan (180° − 60°) tan θ = −tan 60°  (K.II tangen negatif)

tan θ = −√3

Latihan 3

Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A menuju pelabuhan B dengan arah 030° sejauh 20 mil. Kemudian berlayar lagi dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan arah 150° sejauh 40 mil. Jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah...

Jawab :

Utara = 000°

∠BAU dan ∠ABS merupakan sudut dalam berseberangan, sehingga

∠BAU = ∠ABS = 30°

∠CBU dan ∠CBS saling berpelurus, sehingga ∠CBU + ∠CBS = 180° 150° + ∠CBS = 180°

∠CBS = 30°

Jadi, ∠B pada segitiga ABC adalah 60° Dengan aturan cosinus

AC2 = 202 + 402 − 2. 20. 40. cos 60°

AC2 = 400 + 1600 − 1600. \(\frac{1}{2}\)
AC2 = 1200 AC = \(\sqrt{400.\,3}\) AC = 20√3 Jadi, jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah 20√3 mil.

Latihan 4

Diketahui segi-8 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 10 cm. Keliling segi-8 tersebut adalah...

Jawab :

θ = \(\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45° Perhatikan segitiga AOB

s2 = 102 + 102 − 2. 10. 10. cos 45°

s2 = 200 − 200. \(\frac{1}{2}\)√2
s2 = 200 − 100√2
s2 = 100(2 − √2) s = 10\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) K = 8s K = 8. 10\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) K = 80\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) Jadi, keliling segi-8 tersebut adalah 80\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) cm.

Latihan 5

Diketahui titik-titik A, B, C dan D terletak pada lingkaran dengan AB = 2√5 cm, BC = 5√2 cm, CD = 6 cm dan AD = 3√10 cm. Tentukan panjang diagonal BD !

Jawab :

ABCD merupakan segiempat tali busur sehingga jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah 180° A + C = 180° C = 180° − A cos C = cos(180° − A) cos C = −cos A Perhatikan segitiga ABD

BD2 = (3√10)2 + (2√5)2 − 2. 3√10. 2√5 cos A

BD2 = 110 − 60√2 cos A  ......................(1) Perhatikan segitiga BCD

BD2 = (6)2 + (5√2)2 − 2. 6. 5√2 cos C

BD2 = 86 − 60√2 (−cos A)
BD2 = 86 + 60√2 cos A  .........................(2) Dari persamaan (1) dan (2) 86 + 60√2 cos A = 110 − 60√2 cos A 120√2 cos A = 24 cos A = \(\frac{1}{5\sqrt{2}}\) Dari persamaan (1)

BD2 = 110 − 60√2 cos A

BD2 = 110 − 60√2. \(\frac{1}{5\sqrt{2}}\)
BD2 = 98 BD = \(\sqrt{49.\,2}\) BD = 7√2 Jadi, panjang BD adalah 7√2 cm