Nilai minimum dari f(x,y)=4x+5y yang memenuhi pertidaksamaan 2x y ≥ 7x,y ≥ 5x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah

Hallo Gengs.. apa kabar? Pada kesempatan kali ini kita akan berlatih mengerjakan soal tentang sistem pertidaksamaan linear. Sebelum berlatih mengerjakan soal, ada baiknya Gengs pelajari terlebih dahulu materinya. Nahhh setelah kita kuasai materinya, mari kita latihan mengerjakan soal-soal untuk mengukur pemahaman kita. Contoh 1 Perhatikan pertidaksamaan berikut: 4x+5y˂20 Dari pertidaksamaan tersebut, gambar dan arsirlah daerah penyelesaiannya pada bidang koordinat cartesius kuadran 1. Jawaban Yang perlu kita garis bawahi yaitu KUADRAN 1 Langkah 1 Ganti tanda pertidaksamaan menjadi persamaan: 4x+5y˂20 4x+5y=20 Saat x=0 maka 4(0)+5y=20 5y=20 y=4 titik potong : (0,4) saat y=0 maka 4x+5(0)=20 4x=20 x=5 Titik potongnya yaitu (5,0) Langkah 2 Grafik berdasarkan titik (0,4) dan (5,0) yaitu

Langkah 3 Ambil titik uji untuk mendapatkan daerah penyelesaian dan pertidaksamaan. Misalnya: (0,0) 4x+5y˂20 4(0)+5(0)˂20 0˂20 [BENAR] Langkah 4 Grafik daerah penyelesaiannya Karena pada langkah 4 0˂20 [benar] maka daerah penyelesaiannya akan ada di sebelah kiri garis. Seperti gambar berikut:

Contoh 2 Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear berikut pada bidang koordinat cartesius! 5x+3y≤15 2x+5y≥10 x≥0 y≥0 Jawaban Langkah 1 Ubah pertidaksamaan 5x+3y≤15 dan 2x+5y≥10 menjadi persamaan: 5x+3y=15 2x+5y=10 Persamaan 5x+3y=15 Saat x=0 maka 5(0)+3y=15 3y=15 y=5 Titik potongnya: (0,5) Saat y=0 maka 5x+3(0)=15 5x=15 x=3 Titik potongnya: (3,0) Persamaan 2x+5y=10 Saat x=0 maka 2(0)+5y=10 5y=10 y=2 Titik potongnya: (0,2) Saat y=0 maka 2x+5(0)=10 2x=10 x=5 Titik potongnya: (5,0) Langkah 2 Buat grafik dari titik-titik yang dihasilkan persamaan 5x+3y=15 dan 2x+5y=10

Langkah 3 Ambil titik uji Misalkan: (0,0) Pertidaksamaan: 5x+3y≤15 5(0)+3(0)≤15 0≤15 [benar] Pertidaksamaan: 2x+5y≥10 2(0)+5(0)≥10 0≥0 [salah] Langkah 4 Grafik daerah penyelesaian Untuk pertidaksamaan 5x+3y≤15 daerah penyelesaiannya berada di sebelah kiri garis karena 0≤15[benar] sedangkan untuk pertidaksamaan 2x+5y≥10 daerah penyelesaiannya berada di kanan garis karena 0≥10 [salah]. Berikan arsir yang berbeda untuk kedua pertidaksamaan agar kita dapat melihat daerah penyelesaiaanya. Perhatikan gambar berikut:

Dengan demikian, daerah penyelesaian pada bidang kordinat cartesiusnya adalah sebagai berikut:

Contoh 3 Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear berikut pada bidang koordinat cartesius! 3x-2y≤12 2x+y≤6 x≥0 y≥0 jawaban Langkah 1 Ubah pertidaksamaan 3x-2y≤12 dan 2x+y≤6 menjadi persamaan: 3x-2y=12 2x+y=6 Persamaan 3x-2y=12 Saat x=0 maka 3(0)-2y=12 -2y=12 y=-6 Titik potongnya: (0,-6) Saat y=0 maka 3x-2(0)=12 3x=12 x=4 Titik potongnya: (4,0) Persamaan 2x+y=6 Saat x=0 maka 2(0)+y=6 y=6 Titik potongnya: (0,6) Saat y=0 maka 2x+0=6 2x=6 x=3 Titik potongnya: (3,0) Langkah 2 Buat grafik dari titik-titik yang dihasilkan persamaan 3x-2y=12 dan 2x+y=6

Langkah 3 Ambil titik uji Misalkan: (0,0) Pertidaksamaan: 3x-2y≤12 3(0)-2(0)≤12 0≤12 [benar] Pertidaksamaan: 2x+y≤6 2(0)+0≤6 0≤6 [benar] Langkah 4 Grafik daerah penyelesaian Untuk pertidaksamaan 3x-2y≤12 daerah penyelesaiannya berada di sebelah kiri garis karena 0≤12[benar] demikian pula untuk pertidaksamaan 2x+y≤6 daerah penyelesaiannya berada di kiri garis karena 0≤6 [benar]. Berikan arsir yang berbeda untuk kedua pertidaksamaan agar kita dapat melihat daerah penyelesaiaanya. Perlu kita perhatikan juga bahwa pada soal diberikan x≥0 dan y≥0. Perhatikan gambar berikut:

Dengan demikian, daerah penyelesaian pada bidang kordinat cartesiusnya adalah sebagai berikut:

Contoh 4 Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah yang diarsir pada bidang koordinat cartesius berikut!

Jawaban: Langkah 1 [Garis 1] Mencari Persamaan Garis 1 Garis 1 melalui titik (3,0) dan (0,2) sehingga persamaan garisnya yaitu: ax+by=ab Diketahui: a=2 dan b=3 maka: 2x+3y=6 Karena daerah penyelesaian berada di kanan titik (3,0) dan (0,2) dan garisnya tidak putus-putus maka pertidaksamaannya yaitu 2x+3y≥6 Langkah 2 [Garis 2] Mencari Persamaan Garis 2 Garis 1 melalui titik (3,0) dan (0,4) sehingga persamaan garisnya yaitu: ax+by=ab Diketahui: a=4 dan b=3 maka: 4x+3y=12 Karena daerah penyelesaian berada di kiri titik (3,0) dan (0,2) dan garisnya tidak putus-putus maka pertidaksamaannya yaitu 4x+3y≤12 Langkah 4 Daerah penyelesaiannya berada di KUADRAN 1 maka daerah penyelesaian pertidaksamaannya yaitu x≥0 dan y≥0 Langkah 5 Dengan demikian sistem pertidaksamaan linear untuk daerah yang di arsir pada grafik diatas yaitu: 2x+3y≥6 4x+3y≤12 x≥0 y≥0 Contoh 5 Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah yang diarsir pada bidang koordinat cartesius berikut!

Jawaban: Langkah 1 [Garis 1] Mencari Persamaan Garis 1 Garis 1 melalui titik (3,0) dan (0,6) sehingga persamaan garisnya yaitu: ax+by=ab Diketahui: a=6 dan b=3 maka: 6x+3y=18 2x+y=6 Karena daerah penyelesaian berada di kiri titik (3,0) dan (0,6) dan garisnya tidak putus-putus maka pertidaksamaannya yaitu 2x+y≤6 Langkah 2 [Garis 2] Mencari Persamaan Garis 2 Garis 1 melalui titik (5,0) dan (0,2) sehingga persamaan garisnya yaitu: ax+by=ab Diketahui: a=2 dan b=5 maka: 2x+5y=10 Karena daerah penyelesaian berada di kiri titik (3,0) dan (0,2) dan garisnya tidak putus-putus maka pertidaksamaannya yaitu 2x+5y≤10 Langkah 4 Daerah penyelesaiannya berada di KUADRAN 1 maka daerah penyelesaian pertidaksamaannya yaitu x≥0 dan y≥0 Langkah 5 Dengan demikian sistem pertidaksamaan linear untuk daerah yang di arsir pada grafik diatas yaitu: 2x+y≤6 2x+5y≤10 x≥0 y≥0

Semoga Bermanfaat

Postingan ini membahas contoh soal nilai optimum fungsi objektif dan pembahasannya. Nilai optimum adalah nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi yang diberikan dalam suatu daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Untuk memahami bagaimana cara menentukan nilai optimum fungsi objektif, perhatikan daerah penyelesaian (daerah yang diarsir) sistem pertidaksamaan linear x + 2y ≤ 10, x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 dibawah ini.

Daerah penyelesaian pertidaksamaan

Misalkan fungsi objektif f (x,y) = 3x + 4y, maka untuk menentukan nilai optimum subtitusikan titik-titik O (0,0); A (8,0); B (6,2) dan C (0,5) ke fungsi f(x,y) = 3x + 4y dan diperoleh data sebagai berikut:

Cara menentukan nilai optimum

Berdasarkan tabel diatas diperoleh nilai minimum f(x,y) = 0 dan nilai maksimum f(x,y) = 26. Jadi nilai optimum fungsi objektif tersebut adalah 0 dan 26. Untuk lebih jelasnya, dibawah ini diberikan beberapa contoh soal nilai optimum dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut.

Contoh soal 1 nilai optimum fungsi objektif

Nilai maksimum fungsi objektif f(x,y) = 3x + 2y untuk daerah yang diarsir diatas adalah…A. 0B. 18

C. 8

D. 9

E. 8

Pembahasan

Berdasarkan grafik diatas diperoleh persamaan garis sebagai berikut:

• 4x + 3y ≤ 12 … (persamaan 1)
• 2x + 6y ≤ 12 atau x + 3y ≤ 6 (persamaan 2)

Cara menentukan persamaan garis diatas sebagai berikut:

Menentukan persamaan garis pertidaksamaan

Kemudian tentukan titik potong kedua garis dengan cara subtitusi persamaan 2 ke persamaan 1:

• x + 3y = 6 atau x = 6 – 3y
• 4x + 3y = 12
• 4 (6 – 3y) + 3y = 12
• 24 – 12y + 3y = 12
• -9y = 12 – 24 = -12
• y =
  =
• x = 6 – 3y = 6 – 3 .
  = 6 – 4 = 2

Titik potong daerah yang diarsir sebagai berikut (0,0) ; (0,2) ; (3,0) dan (2,

). Kemudian subtitusi titik-titik potong tersebut ke fungsi objektif sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

Pembahasan soal 1 nilai optimum

Nilai terbesar data diatas adalah 9. Jadi nilai maksimumnya 9. Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 2

Nilai minimum fungsi f(x,y) = 8x + 6y pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear 2x + y ≥ 30, x + 2y ≥ 24, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah…A. 192B. 180C. 142D. 132

E. 72

Pembahasan

Buat titik koordinat persamaan 2x + y = 30 dan x + 2y = 24 dengan cara subtitusi x = 0 dan y = 0.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan diatas ditunjukkan gambar dibawah ini:

Himpunan penyelesaian soal nilai optimum

Berdasarkan gambar tersebut, HP diliputi 3 titik yaitu (12, 6), (0, 30) dan (24, 0). Titik-titik tersebut disubtitusi ke fungsi objektif f(x,y) = 8x + 6y dan diperoleh data sebagai berikut:

Pembahasan soal nilai minimum

Nilai minimumnya = 180 karena nilai terkecil. Jadi soal ini jawabannya B.

Contoh soal 3

Nilai maksimum fungsi objektif z = 4x + 5y dengan syarat x, y ≥ 0, x + 2y ≤ 10, x + y ≤ 7 adalah…A. 34B. 33C. 32D. 31

E. 30

Pembahasan

Tentukan titik koordinat persamaan x + 2y = 10 dan x + y = 7 dengan cara subtitusi x = 0 dan y = 0 dan diperoleh data sebagai berikut:

• x + 2y = 10 titik koordinatnya (0, 5) dan (10, 0)
• x + y = 7 titik koordinatnya (0, 7) dan (7 , 0)

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.

Pembahasan soal 3 nilai optimum

Titik koordinat himpunan penyelesaian adalah (0, 0) ; (0 , 5) ; (7 , 0) dan (4 , 3) lalu subtitusikan ke z = 4x + 5y sehingga diperoleh data sebagai berikut:

Pembahasan soal 3 nilia optimum

Jadi nilai maksimumnya = 31 karena yang terbesar. Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 4

Nilai maksimum z = 3x + 6y yang memenuhi 4x + y ≥ 20, x + y ≤ 20, x + y ≥ 10, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah…A. 180B. 150C. 120 D. 60

E. 50

Pembahasan

Buat titik koordinat ketiga persamaan diatas dengan cara subtitusi x = 0 dan y = 0 dan diperoleh hasil:

• 4x + y = 20 titik koordinatnya (0, 20) dan (5, 0)
• x + y = 20 titik koordinatnya (0, 20) dan (20, 0)
• x + y = 10 titik koordinatnya (0, 10) dan (10, 0)

Himpunan penyelesaian ketiga pertidaksamaan sebagai berikut.

Pembahasan soal 4 nilai optimum

Titik koordinat himpunan penyelesaian yaitu (0 , 20) ; (10 , 0) ; (20 , 0) dan (10/3 ; 20/3). Subtitusikan titik titik tersebut ke fungsi objektif z = 3x + 6y dan diperoleh data sebagai berikut:

Pembahasan soal nilai optimum

Nilai maksimum berdasarkan data diatas = 120. Soal ini jawabannya C.

Selanjutnya dibawah ini diberikan beberapa contoh soal nilai optimum lainnya tetapi tanpa pembahasan, sebagai latihan soal.

Soal 1 – Nilai minimum fungsi objektif f(x,y) = 20.000x + 10.000y yang memenuhi x + 2y ≥ 10, 3x + y ≥ 15, x,y ≥ 0 adalah …A. 0B. 30.000C. 140.000D. 110.000

E. 150.000

Soal 2 – Nilai maksimum fungsi objektif z = 8x + 6y, dengan syarat 4x + 2y ≤ 60, 2x + 4y ≤ 48. x ≥ 0, y ≥ 0 adalah…A. 132B. 134C. 136D. 144

E. 164

Soal 3 – Nilai maksimum fungsi tujuan z = 8x + y dengan syarat 4x + 2y ≤ 60, 2x + 4y ≤ 48, x ≤ 0, y ≥ 0 adalah…A. 120B. 108C. 102D. 64

E. 12

Soal 4 – Nilai maksimum fungsi z = 400x + 300y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 5x + 2y ≤ 30, 2x + 4y ≤ 28, y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah…A. 3.000B. 3.100C. 3.200D. 3.300

E. 3.400

Soal 5 – Jika A = x + y dan B = 5x + y, nilai maksimum A dan B yang memenuhi sistem pertidaksamaan x + 2y ≤ 12, 2x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 berturut-turut adalah…A. 8 dan 30B. 6 dan 6C. 6 dan 24D. 30 dan 6

E. 8 dan 24