Diketahui sebuah barisan geometri 3 15 75 375 1875 berapakah rasio barisan geometri tersebut adalah

Barisan merupakan daftar urutan suatu bilangan yang tersusun secara sistematis dari kiri ke kanan berdasarkan karakteristik atau pola tertentu. Setiap anggota bilangan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, dan seterusnya. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan. Suku ke-n dari suatu barisan dinotasikan

dan pembeda antara suatu suku dengan suku selanjutnya yang dinotasikan dengan . Secara umum, kita dapat membagi barisan menjadi barisan aritmatika dan barisan geometri.

Barisan Aritmatika

Barisan Aritmatika merupakan barisan dengan pembeda antar sukunya memiliki besar yang sama.

Contoh:

• 4, 9, 14, 19, 24, 29 (pembeda = 5)
• 92, 82, 72, 62, 52 (pembeda = -10)
• 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 (pembeda = 2)

Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah barisan dapat dihitung melalui suatu rumus. Dalam membentuk rumus yang dimaksud, kita dapat menggunakan contoh di atas. Dalam contoh tersebut, nilai suku pertama

atau adalah 4 dan pembedanya adalah 5.

……..

…….

sehingga dari beberapa langkah di atas, kita bisa membentuk pola

sebagai suku pertama

sebagai pembeda

sebagai indeks suku

Contoh

Jika kita punya barisan aritmatika 4, 9, 14, 19, 24, 29, . . . . maka suku ke-15 dan suku ke-42 dengan suku pertama adalah 4 serta pembeda suku sebesar 5 meliputi sebagai berikut

Apabila terdapat barisan aritmatika yang memiliki banyak suku (n) ganjil, suku pertama

, dan juga suku terakhir maka suku tengah dari barisan tersebut ialah sebagai berikut.

atau dapat mencarinya berdasarkan

ke persamaan suku barisan aritmatika.

2.Barisan Geometri

Barisan Geometri ialah barisan dimana perubahan antar suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah barisan geometri dinamakan pengganda atau rasio

, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku di depannya .

Contoh:

• 4, 8, 16, 32, 64 (pengganda = 2)
• 3, 15, 75, 375, 1875 (pengganda = 5)
• 512, 256, 128, 64, 32 (pengganda = 0,5)

Untuk dapat membentuk rumus penghitungan suku tertentu dari sebuah barisan geometri berdasarkan contoh pertama di atas dapat disajikan dalam bentuk

…..

…..

sehingga dari beberapa langkah di atas, kita bisa membentuk pola

dengan

merupakan suku pertama

merupakan pengganda atau rasio

merupakan indeks suku.

Contoh

Jika kita punya barisan geometri 4, 8, 16, 32, 64, . . . maka suku ke-15 dengan suku pertama adalah 4 serta pengganda atau rasio sebesar 2 meliputi sebagai berikut

Apabila terdapat barisan geometri yang memiliki banyak suku (n) ganjil, suku pertama

, dan juga suku terakhir maka suku tengah dari barisan tersebut ialah

atau kita dapat mencarinya dengan menggunakan

ke persamaan suku barisan geometri.

Deret

Deret merupakan penjumlahan suatu bilangan yang terdiri atas suku-suku barisan bilangan dari kiri ke kanan berdasarkan karakteristik atau pola tertentu. Seperti halnya barsisan, secara umum deret terdiri dari deret aritmatika dan deret geometrik.

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari barisan aritmatika. Penjumlah sebuah deret aritmatika sampai dengan suku tertentu

tak lain merupakan penjumlahan nilai suku-sukunya dari suku atau sampai dengan suku ke-n .

….

….

Berdasarkan rumus

, masing-masing pada perhitungan di atas dapat dijabarkan menjadi

……

…..

Kemudian, masing-masing

di atas dapat disederhanakan atau ditulis ulang menjadi

…..

……

sehingga, perhitungan di atas membentuk sebuah pola dimana pola tersebut dapat kita bentuk menjadi

Dengan demikian, secara sederhana apabila kita akan menghitung jumlah sebuah deren sampai pada suku ke-n, kita dapat menggunakan

atau

Contoh

Jika kita punya deret aritmatika 4, 9, 14, 19, 24, 29, . . . . . maka deret suku ke-10 dan deret suku ke-15 dengan suku pertama adalah 4 serta pembeda suku sebesar 5 meliputi sebagai berikut

• dengan

Deret Geometri

Deret geometri atau deret ukur adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.

Contoh

• 5+10+ 20+ 40+ 80+ 160+……+
• 512+ 256+ 128+ 64+ 32+ 16+ ………+

Seperti halnya dalam deret aritmatika, jumlah sebuah barisan geometri sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n.

dari rumus di atas, kita bisa uraikan menjadi

Apabila persamaan di atas dikalikan dengan pengganda , maka

dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama, diperoleh selisih antara kedua persamaan ini yaitu:

Sehingga dapat dibentuk rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n:

untuk

atau

untuk atau

Persamaan di atas dapat kita balik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret aritmatika

Contoh

Jika kita punya deret geometri 4+ 8+ 16+ 32+ 64+ . . . . maka deret suku ke-15 dan deret suku ke-10 dengan suku pertama adalah 4 serta pengganda atau rasio sebesar 2 meliputi sebagai berikut

Jika kita punya deret geometri 512+ 256+ 128+ 64+ 32+ 16+ ………+ maka deret suku ke-10, adalah sebagai berikut

Deret Geometri Tak Hingga

Suatu deret geometri merupakan suatu penjumlakan suku-suku barisan geometri sampai menuju tak hingga.

atau

Deret geometri tak hingga terdiri dari dua macam kondisi yaitu konvergen dan divergen. Deret geometri tak hingga bersifat konvergen merupakan penjumlahan dari suku-sukunya dimana hasilnya menuju atau mendekati suatu bilangaan tertentu. Ciri lain dari deret geometri tak hingga

. Dan, divergen merupakan penjumlahan dari suku-sukunya dimana hasilnya menuju bilangan tidak terbatas atau bisa kita temukan deert dengan atau . Nilai deret geometri tak hingga dapat diperoleh dengan mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri adalah:

Untuk

yang memenuhi sifat konvergen.

Unsur

merupakan unsur yang terpengaruh oleh jumlah suku n didalam perhitungannya. Jika , maka untuk menentukan nilai dapat menggunakan limit. Untuk , sebuah limit dari dinyatakan sebagai

Kemudian hasil limit di atas, kita substitusikan ke persamaan deret geometri dengan

sebagai

sehingga, persamaan yang tepat untuk menyatakan deret geometri tak hingga adalah

Referensi

1. Dumairy. 2015. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta:
2. BPFE.Kalangi, Josep B. 2011. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: Salemba
3. Empat.Rianto A, Nur. 2013. Matematika Terapan untuk Ekonomi. Bandung: Pustaka Setia

Lain-lain

Video penjelasan materi di atas, penulis mereferensikan video dari channel youtube “BIG Course” sebagai berikut

Barisan dan Deret Aritmatika Bagian 1

Barisan dan Deret Geometri Bagian 2