Dalam pelajaran matematika kita mengenal adanya himpunan, dimana dalam masing-masing himpunan tersebut terdapat anggota dan biasanya lebih dari satu (domain dan kodomain). Untuk memetakan anggota yang tepat pada himpunan lainnya maka kita mengenal korespondensi satu-satu. Apa yang maksudnya?
Korespondensi satu-satu merupakan relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B dan begitupun sebaliknya. Dengan demikian, banyaknya anggota himpunan A dan himpunan B haruslah sama.
Pada hakikatnya semua korespondensi satu-satu termasuk ke dalam relasi, namun sebuah relasi belum tentu bisa termasuk ke dalam korespondensi ini.
Ada beberapa syarat untuk bisa disebut menjadi korespondensi satu satu, yaitu himpunan A dan B memiliki banyak sekali anggota yang sama, ada sebuah relasi yang menggambarkan bahwa masing-masing anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B begitupun sebaliknya, dan masing-masing anggota daerah hasil tidak akan bercabang terhadap daerah asal atau begitu pula sebaliknya.
(Baca juga: Pengertian Garis dalam Matematika)
Jika melihat dari syarata korespondensi satu-satu bahwa banyak anggota domain dan kodomain harus sama maka bisa dirumuskan sebagai berikut : Jika n (A) = n(B) = n, maka banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin adalah : n x (n – 1) x (n – 2) x … x 2 x 1.
Contoh Soal 1 :
Diketahui himpunan A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} dan himpunan B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Maka tentukanlah berapa banyak kemungkinan korespondensi satu satu yang dapat dibentuk dari himpunan A ke himpunan B ?
Penyelesaian Soal :
Banyak anggota himpunan A dan Himpunan B adalah sama, yaitu 6 maka n = 6. Oleh karena itu, banyak kemungkinan korespondensi satu satu yang dapat dibentuk adalah sebagai berikut :
6 x 5 x 4 x 3 x 2x 1 = 720
Maka bisa disimpulkan bahwa terdapat 720 korespondensi satu satu yang dapat dibentuk dari himpunan A ke himpunan B.
Contoh Soal 2 :
Berapakan banyaknya jumlah korespondensi satu-satu yang dapat dibentuk dari himpunan C = (huruf vokal) dan juga D = (bilangan prima yang jumlahnya kurang dari 13) ?
Penyelesaian Soal :
Diketahui : C = Huruf Vokal = a, i, u, e, o
D = Bilangan Prima yang Kurang dari 13 = 2, 3, 5, 7, 11
Karena n (C) dan n (D) = 5 maka untuk jumlah korespondensi satu-satu antara himpunan C dengan D adalah sebagai berikut : 5? = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Maka dapat disimpulkan bahwa jumlah korespondensi satu-satu dari himpunan C (huruf vokal) dan juga D (bilangan prima yang jumlahnya kurang dari 13) adalah 120.
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota A dengan anggota B. Relasi dapat dinyatakan dengan diagram panah, diagram Cartesius dan himpunan pasangan berurutan.
Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Himpunan A disebut daerah asal (domain), himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dan himpunan dari anggota himpunan B yang mempunyai pasangan di A disebut daerah hasil (range).
Berikut ini 17 soal relasi dan fungsi kelas 8
Soal 1
Diketahui:
A = {pensil, pulpen, penghapus, kuas}
B = {menulis, melukis, mengecat}
Aturan yang merelasikan B ke A adalah…
Jawaban:
Aturan yang merelasikan B ke A adalah "menggunakan".
Soal 2
Gambar berikut menunjukkan relasi dua himpunan A dan B.
Salin dan lengkapi diagram panah yang menunjukkan relasi “kurang dari” dari himpunan A ke himpunan B.
Jawaban:
Himpunan A = {2, 3, 5}
Himpunan B = {2, 4, 6}
Soal 3
Diketahui:
M = {2,4,9,15}
N = {2,3,5,6}
Himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi “kelipatan dari” himpunan M ke N adalah…
Jawaban:
M = {2,4,9,15}
N = {2,3,5,6}
{(2,2)(4,2),(9,3),(15,3),(15,5)} merupakan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi “kelipatan dari” himpunan M ke N.
Soal 4
Buatlah diagram panah yang menunjukkan relasi “faktor dari” dari himpunan K = {0, 1, 2} ke himpunan L = {4, 5, 6}
Jawaban:
Himpunan K = {0, 1, 2}
Himpunan L = {4, 5, 6}
Berikut diagram panahnya.
Soal 5
Diagram di atas menunjukkan relasi “gemar bermain” dari himpunan A ke himpunan B.
a. Nyatakan relasi tersebut sebagai himpunan pasangan berurut.
b. Gambarlah diagram Cartesius untuk relasi tersebut.
Jawaban:
a. Relasi yang ditunjukkan dengan diagram panah pada gambar di atas dapat kita nyatakan sebagai himpunan pasangan berurut yaitu:
{(Rian,voli),(Rian,basket),(Arni,basket),(Irna,voli),(Irna,basket),(Irna,tenis),(Niar, basket)}
b. Dapat kita gambarkan diagram Cartesius sebagai berikut:
Soal 6
Diagram di atas menunjukkan pemetaan (fungsi) f dari himpunan A ke B. Tentukan:
a. Daerah asal (domain)
b. Daerah kawan (kodomain)
c. Daerah hasil (range)
Jawaban:
Kita akan menjawabnya satu per satu.
a. Daerah asal atau domain
A = {-2, -1, 0, 1, 2} disebut daerah asal. Jika dilihat pada diagram panah biasanya terletak di sebelah kiri.
b. Daerah kawan atau kodomain
B = {0, 1, 2, 3, 4} disebut daerah kawan. Pada diagram panah letaknya di bagian kanan.
c. Daerah hasil atau range
Daerah hasilnya adalah {0, 1, 4}. Daerah hasil yaitu himpunan anggota-anggota B yang mempunyai pasangan dengan anggota-anggota P.
Soal 7
Sebuah pemetaan dinytakan dalam bentuk R = {(1,a), (2,b), (3,a), (4,b)}. Tentukan domain, kodomain dan rangenya…
Jawaban:
R = {(1,a), (2,b), (3,a), (4,b)}.
Dari R kita peroleh:
Domain = {1,2,3,4)
Kodomain = {a,b}
Range = {a,b}
Soal 8
Diketahui M={2, 3, 4, 5, 6} dan N={a,b}. Relasi R memasangkan setiap bilangan genap pada M dengan a dan setiap bilangan ganjil pada M dengan b.
a. Nyatakan R dengan diagram panah
b. Apakah R merupakan pemetaan dari M ke N
Jawaban:
a. Nyatakan R dengan diagram panah
M={2, 3, 4, 5, 6}
N={a, b}
b. Apakah R merupakan pemetaan dari M ke N
Ya, R merupakan pemetaan dari M ke N. Karena masing-masing anggota M memiliki tepat satu pasangan di N.
Soal 9
Diketahui A = {bilangan ganjil kurang dari 8} dan B = {bilangan prima genap}. Banyak pemetaan dari B ke A adalah…
Jawaban:
A = {bilangan ganjil kurang dari 8}
A = {1,3,5,7}
n(A) = 4
B = {bilangan prima genap}
B = {2}
n(B) = 1
Banyak pemetaan dari B ke A = 4¹ = 4
Soal 10
Berapakah banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari himpunan M = {p, q, r} ke himpunan N = {1, 2, 3, 4}.
Jawaban:
Untuk mengetahui banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi, kita dapat menggunakan rumus berdasarkan banyak anggota domain dan banyak anggota kodomain.
Pada soal:
M = {p, q, r}
N = {1, 2, 3, 4}.
Banyak anggota himpunan M = n(M) = 3
Banyak anggota himpunan N = n(N) = 4
Banyak pemetaan dari M ke N = 4³ = 64 cara
Soal 11
Diantara diagram-diagram panah berikut, manakah yang menunjukkan korespondensi satu-satu antara himpunan A dan himpunan B!
Jawaban:
Himpunan A dikatakan berkorespondensi satu-satu dengan himpunan B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B, dan setiap anggota B dipasangkan dengan tepat satu anggota A. Dengan demikian, banyak anggota himpunan A dan B haruslah sama.
Gambar a menunjukkan korespondensi satu-satu karena setiap anggota A dipasangkan tepat satu anggota B dan setiap anggota B dipasangkan tepat satu anggota A.
Gambar b tidak menunjukkan korespondensi satu-satu karena :
1. Setiap anggota A dipasangkan satu anggota B namun ada anggota di A yang memiliki pasangan yang sama di B.
2. Ada anggota B yang tidak memiliki pasangan di A.
Gambar c menunjukkan korespondensi satu-satu karena setiap anggota A dipasangkan tepat satu anggota B dan setiap anggota B dipasangkan tepat satu anggota A.
Soal 12
Buatlah empat diagram panah yang berlainan untuk korespondensi satu-satu antara himpunan A = {a, b, c, d} dan B={1, 2, 3, 4}
Jawaban:
Berikut ini empat diagram panah yang berlainan untuk korespondensi satu-satu.
Soal 13
1. Buatlah tabel fungsi f : x → x + 1 dari himpunan {0, 1, 2, 3} ke himpunan bilangan bulat.
2. Gambarlah grafik fungsi f tersebut.
3. Pada gambar yang sama, gambarlah grafik fungsi x → x + 1 pada himpunan semua bilangan positif dan nol.
Jawaban:
1. f : x → x + 1 dari himpunan {0, 1, 2, 3} ke himpunan bilangan bulat.
2. Gambarlah grafik fungsi f
3. Pada gambar yang sama, gambarlah grafik fungsi x → x + 1 pada himpunan semua bilangan positif dan nol.
Soal 14
Diketahui fungsi f:x → (2m + 1)x + 7. Jika f(-1) = -4, maka nilai f(m) sama dengan…
Jawaban:
f : x → (2m + 1)x + 7
f (-1) = -4
(2m + 1)(-1) + 7 = -4
-2m – 1 + 7 = -4
-2m + 6 = -4
-2m = -10
m = 5
Karena x = -1, m = 5 maka f(m) yaitu:
f(m) = (2 x 5 + 1)(-1) + 7
= 11(-1) + 7 = -11+7 = -4
Soal 15
Fungsi f : x→2x + 3. Jika nilai f(a) = 17, maka nilai dari a adalah…
Jawaban:
f : x→2x + 3
f(a) = 17
2a + 3 = 17
2a = 14
a = 7
Jadi, nilai dari a adalah 7.
Soal 16
Pada pemetaan f:x→ax+b, jika f(2) = 1 dan f(7) = 16 maka a –b adalah…
Jawaban:
f:x→ax+b
f(2) = 1
2a + b = 1
b = 1 -2a
f(7) = 16
7a + b = 16 (persamaan 1)
Substitusikan b = 1 – 2a ke dalam persamaan 1.
7a + b = 16
7a + (1 – 2a) = 16
7a + 1 – 2a = 16
5a + 1 = 16
5a = 15
a = 3
Karena kita telah peroleh a = 3 maka kita akan mencari nilai b dengan mensubstitusikannya ke dalam b = 1 – 2a sebagai berikut.
b = 1 – 2a
b = 1 – 2(3) = 1 – 6 = -5
Dengan demikian,
a –b = 3 – (-5) = 8
Soal 17
Empat orang anak bernama Erwin, Anggi, Dinda, dan Adam. Erwin berbadan tinggi, sedangkan anak yang lain tidak. Dinda berambut keriting, anak yang lain tidak. Anggi, Dinda dan Adam berkulit kuning, anak yang lain tidak.
a. Buatlah diagram panah yang menghubungkan setiap anak dengan sifatnya.
b. Siapakah yang berbadan tinggi dan berkulit kuning?
c. Siapakah yang berkulit kuning tetapi tidak berambut keriting?
Jawaban:
a. Buatlah diagram panah yang menghubungkan setiap anak dengan sifatnya
Empat orang anak bernama Erwin, Anggi, Dinda, dan Adam sebagai domain.
Tinggi, keriting dan kuning sebagai kodomain.
Diagram panah-nya akan seperti berikut.
b. Anak yang berbadan tinggi dan berkulit kuning adalah Anggi.
c. Anak yang berkulit kuning tetapi tidak berambut keriting adalah Anggi dan Adam.
Pelajari Juga: Relasi dan fungsi SMP