Permutasi
Sebelum membahas pengertian permutasi, lebih dahulu kita pelajari pengertian faktorial.
Faktorial
Faktorial dinotasikan atau dilambangkan dengan n! (dibaca n faktorial). n! adalah hasil perkalian semua bilangan asli dari 1 sampai n, sehingga didefinisikan sebagai berikut:
Contoh 1 :
Tentukan nilai dari :
Penyelesaian :
- 5! = 5 4 3 2 1 = 120
- 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040
- 10! = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 3628800
Contoh 2:
Tentukan nilai dari:
- $latex \frac{81!}{71!}$
- $latex \frac{100!}{98!}$
- $latex \frac{n!}{(n-1)!}$
Peyelesaian:
- $latex \frac{81!}{71!}=\frac{8.7.6.5.4.3.2.1}{7.6.5.4.3.2.1}=8$
atau :
$latex \frac{8!}{7!}=\frac{8.7!}{7!}=8$
- $latex \frac{100!}{98!}=\frac{100.99.98!}{98!}=9900$
- $latex \frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n.(n-1).(n-2)….3.2.1}{(n-1).(n-2)….3.2.1}=n$
atau
$latex \frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n(n-1)!}{(n-1)!}=n$
Permutasi :
Permutasi dapat dikelompokkan menjadi beberapa macam.
Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen.
Contoh 1:
Tentukan banyaknya permutasi jika tiga buah unsur {a, b, c} dipermutasikan tiga-tiga tiap kelompok.
Penyelesaiannya :
Unsur yang tersedia ada tiga dan setiap pengambilan tiga unsur, maka dengan pengisian tempat diperoleh:
Contoh 2:
Dari 6 orang akan duduk pada 6 kursi yang diatur berderet. Ada berapa cara urutan duduk yang berbeda yang dapat dilakukan?
Penyelesaian :
Jumlah urutan duduk yang berbeda.
P(6, 6) = 6!
= 6 5 4 3 2 1
= 720 cara
Permutasi n elemen, tiap permutasi terdiri dari r unsur dengan r < n.
Contoh 1:
Tentukan banyaknya permutasi jika empat buah unsur {a, b, c, d} dipermutasikan tiga-tiga tiap kelompok!
Penyelesaian:
Unsur yang tersedia ada empat dan setiap pengambilan tiga unsur, maka dengan pengisian tempat diperoleh.
Atau $latex P_{(4,3)}=\frac{4!}{(4-3)!}=24$
yaitu : abc, bac, cab, dab, acd, bad, cbd, dbc, abd, bad, cad, dac, adb, bda, cda, dcb, acb, bca, cba, dba, adc, bdc, cdb, dca.
Contoh 2:
Jika tersedia angka-angka 2, 4, 6, dan 8 akan dibentuk bilangan asli yang terdiri dari dua angka yang berbeda. Berapakah banyaknya bilangan asli yang terjadi?
Penyelesaiannya :
n = 4 dan r = 2
banyaknya bilangan asli yang terjadi.
Permutasi dari n unsur yang mengandung dan r unsur yang sama
Untuk : n = banyaknya elemen seluruhnya
P = banyaknya elemen kelompok 1 yang lama
q = banyaknya elemen kelompok 2 yang sama
r = banyaknya elemen kelompok 3 yang sama
Contoh :
Tentukan banyaknya susunan huruf-huruf yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata “SURAKARTA”!
Penyelesaian :
Terdapat 9 huruf, huruf S sebanyak 1, huruf U sebanyak 1, huruf R sebanyak 2, huruf A sebanyak 3, huruf K sebanyak 1 dan T sebanyak 1.
Banyaknya susunan huruf adalah:
Permutasi siklis
Permutasi siklis adalah permutasi melingkar (urutan melingkar).
Contoh 1:
Jika ada tiga macam kunci, misal x, y, z. berapa banyaknya permutasi apabila:
- kunci ditempatkan pada tempat yag sebaris
- kunci ditempatkan melingkar
Penyelesaian :
- kunci diletakkan pada tempat yang sebaris
- kunci ditempatkan melingkar
Contoh 2:
Pada suatu pertemuan terdapat 8 orang yang duduk dalam posisi melingkar. Tentukan banyaknya cara duduk tersebut?
Penyelesaian:
Banyaknya cara duduk: P(8) = (8–1)!
= 7!
= 5040 cara
Permutasi berulang dari n unsur, tipa permutasi terdiri dari k unsur
Contoh:
Dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5, jika kita akan membentuk suatu bilangan yang terdiri dari 4 angka dan diperbolehkan ada angka berulang, tentukan banyaknya bilangan yang terjadi!
Penyelesaian:
dengan metode perkalian
angka yang terbentuk 4 angka, berarti ribuan maka:
dengan rumus
n = 5 dan k = 4
$latex P_{5}=(5)^{4}=625$ bilangan