Apakah kalian memperhatikan urutan bilangan yang dituliskan pada tempat parkir tersebut?
Berapa selisih urutannya?
Apakah semakin ke kanan urutannya semakin besar atau sebaliknya?
Betul sekali, Sobat! Penulisan bilangan pada tempat parkir tersebut membentuk sebuah barisan bilangan secara urut.
Sobat Pintar sudah pernah mendengar istilah barisan, bukan?
Barisan merupakan suatu runtutan angka atau bilangan dari kiri ke kanan dengan pola serta aturan tertentu. Barisan berkaitan erat dengan deret. Jika barisan adalah kelompok angka atau bilangan yang berurutan, deret merupakan jumlah dari suku-suku pada barisan. Barisan dan deret terbagi menjadi beberapa macam. Namun, kali ini kita hanya akan membahas mengenai barisan dan deret Aritmetika serta Geometri.
Yuk! Kita belajar bersama untuk mengenal barisan dan deret artimetika serta geometri lebih jauh lagi lewat artikel ini.
Barisan dan Deret Aritmetika
Sobat Pintar, pernah dengar istilah aritmetika?
Inget lho, ejaan yang benar adalah “aritmetika” bukan “aritmatika” ya!
Barisan dan Deret Aritmetika berbeda dengan aritmetika sosial, Sobat.
Misalkan seorang pedagang pada hari pertama jualan memperoleh untung sebesar Rp 10.000,-. Setiap harinya, untung yang diperoleh bertambah sebesar Rp 2000,-. Sehingga untung yang diperoleh pedagang tersebut dapat dituliskan dalam sebuah barisan artimetika berikut:
Rp 10.000, Rp 12.000, Rp 14.000, Rp 16.000, …
Barisan aritmetika merupakan barisan bilangan yang memiliki beda atau selisih tetap antara dua suku yang berurutan.
Contoh Barisan Aritmetika:
Rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika:
Rumus untuk mencari beda pada barisan aritmetika:
Berbeda dengan barisan, deret merupakan hasil penjumlahan pada barisan aritmetika. Namun, deret tidak selalu menjumlahkan keseluruhan suku dalam suatu barisan. Rumus deret hanya menjumlahkan barisan aritmetikanya hanya sampai suku yang diperintahkan saja.
Contoh deret aritmetika:
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …
24 + 20 + 16 + 12 + …
Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika:
Contoh :
Diketahui sebuah barisan aritmetika 15, 19, 23, 27, 31, … .
a. Tentukan suku ke 25!
b. Tentukan 10 suku pertama!
Pembahasan :
Barisan dan Deret Geometri
Pernahkah Sobat Pintar mengamati bola yang sedang memantul?
Apakah kamu menyadari bahwa tinggi bola yang memantul semakin lama semakin rendah?
Nah, jika kita mendata tinggi pantulan bola, maka tingginya akan berurutan menjadi semakin rendah dengan rasio yang sama. Misalkan tinggi awal bola dijatuhkan adalah 4 meter, dan pantulan berikutnya adalah ½ dari tinggi sebelumnya, maka barisan geometri yang terbentuk, yaitu
Barisan geometri merupakan barisan bilangan dimana dua suku yang berurutan memiliki perbandingan yang sama. Perbandingan pada barisan geometri disebut sebagai rasio (r).
Contoh barisan geometri:
Rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan geometri:
Rumus untuk mencari rasio pada barisan geometri:
Deret geometri merupakan hasil penjumlahan pada barisan geometri. Rumus deret hanya menjumlahkan suku-suku pada barisan geometri hanya sampai suku yang diperintahkan saja.
Contoh deret geometri:
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …
200 + 100 + 50 + 25 + …
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri:
Contoh :
Diketahui sebuah barisan geometri berikut:
3, 12, 48, 192, …
a. Tentukan suku ke-10 dari barisan geometri tersebut!
b. Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan geometri tersebut!
Pembahasan:
Nah, Sobat, materi dan contoh soal mengenai barisan dan deret aritmetika dan geometri ternyata mudah, bukan? Selain materi barisan dan deret, kalian juga bisa belajar tentang materi-materi lainnya melalui aplikasi Aku Pintar di fitur Belajar Pintar mata pelajaran Matematika. Sampai bertemu di pembahasan berikutnya, Sobat Pintar!
Karena diketahui dua suku, kita harus menggunakan cara eliminasi atau substitusi untuk mendapatkan suku awal dan beda-nya. Dalam soal ini akan dibahas dengan cara substitusi..
Soal :
1. Dalam sebuah deret aritmetika diketahui U3 = 10 dan U6 = 19. Berapakah nilai dari U10? Rumus untuk deret aritmetika adalah : Un = a + (n-1)b
- Un = suku ke-n
- a = suku awal
- n = deret suku
- b = beda
Dalam soal ada dua suku yang diketahui, kita ubah yang pertama..
Mengubah U3 Un = a + (n-1)b
U3 = a + (n-1)b
- karena U3, maka n diganti dengan 3 juga
U3 = a + (3-1)b
U3 = a + (2)b
U3 = a + 2b
- ganti U3 dengan 10 (lihat pada soal)
10 = a + 2b
- pindahkan 2b ke ruas kiri sehingga menjadi -2b
10 - 2b = a
a = 10 - 2b .......(1)
Ok, persamaan satu sudah diketahui, sekarang kita bisa mencari persamaan kedua.
Mengubah U6 Un = a + (n-1)b
U6 = a + (n-1)b
- karena U6, maka n diganti dengan 6 juga
U6 = a + (6-1)b
U6 = a + (5)b
U6 = a + 5b
- ganti U6 dengan 19 (lihat pada soal)
19 = a + 5b ....(2)
Melakukan substitusi Kita sudah mendapatkan dua persamaan, yaitu (1) dan (2). Sekarang kita tulis dulu persamaan dua, nanti persamaan satu akan dimasukkan ke dalamnya. Mari perhatikan lagi.. 19 = a + 5b
- masukkan persamaan (1) dengan mengganti "a"
19 = 10 - 2b + 5b
19 = 10 + 3b
- pindahkan 10 ke ruas kiri sehingga menjadi -10
19 - 10 = 3b
9 = 3b
- untuk mendapatkan b, bagi 9 dengan 3
b = 9 : 3
b = 3.
Mencari "a" Setelah mendapatkan "b", kita bisa mencari "a". Caranya masukkan nilai b ke persamaan (1) atau (2). Kita gunakan saja persamaan (1). a = 10 - 2b
a = 10 - 2 × 3
a = 10 - 6
a = 4
Mencari "U10" Gunakan rumus Un aritmetika.. Un = a + (n -1) b
U10 = a + (n -1) b
- "n" diganti dengan 10, karena mencari U10
- a diganti dengan 4
- b diganti dengan 3
U10 = 4 + (10 -1).3
U10 = 4 + (9).3
U10 = 4 + 27
U10 = 31
Jadi suku ke-10 pada deret di atas adalah 31.
Soal :
2. Dalam sebuah deret aritmetika diketahui U2 = 9 dan U4 = 17. Berapakah nilai dari U6? Kita masih menggunakan cara yang sama dengan soal pertama..
Suku ke-2 harus diubah dulu untuk mendapatkan "a", kemudian disubstitusikan ke persamaan selanjutnya.
Mengubah U2 Un = a + (n-1)b
U2 = a + (n-1)b
- karena U2, maka n diganti dengan 2 juga
U2 = a + (2-1)b
U2 = a + (1)b
U2 = a + b
- ganti U2 dengan 9 (lihat pada soal)
9 = a + b
- pindahkan b ke ruas kiri sehingga menjadi -b
9 - b = a
a = 9 - b .......(1)
Mengubah U4 Un = a + (n-1)b
U4 = a + (n-1)b
- karena U4, maka n diganti dengan 4 juga
U4 = a + (4-1)b
U4 = a + (3)b
U4 = a + 3b
- ganti U4 dengan 17 (lihat pada soal)
17 = a + 3b ....(2)
Melakukan substitusi 17 = a + 3b
- masukkan persamaan (1) dengan mengganti "a"
17 = 9 - b + 3b
17 = 9 + 2b
- pindahkan 9 ke ruas kiri sehingga menjadi -9
17 - 9 = 2b
8 = 2b
- untuk mendapatkan b, bagi 8 dengan 2
b = 8 : 2
b = 4.
Mencari "a" Setelah mendapatkan "b", kita bisa mencari "a". Kita gunakan saja persamaan (1). a = 9 - b
a = 9 - 4
a = 5
Mencari "U6" Gunakan rumus Un aritmetika.. Un = a + (n -1) b
U6 = a + (n -1) b
- "n" diganti dengan 6, karena mencari U6
- a diganti dengan 5
- b diganti dengan 4
U6 = 5 + (6 -1).4
U6 = 5 + (5).4
U6 = 5 + 20
U6 = 25
Jadi suku ke-6 pada deret di atas adalah 25.
Baca juga :