Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemukan bentuk pola-pola bilangan yang bisa digunakan untuk menarik kesimpulan dari berbagai kejadian. Salah satu pola bilangan yang terkenal adalah barisan aritmatika. Berdasarkan laman wikipedia aritmatika ditemukan oleh matematikawan bernama Johann Carl Friedrich Gauß (juga dieja Gauss) pada abad ke-18.
Operasi aritmatika dasar digunakan untuk kegiatan sehari-hari seperti berdagang, bertransaksi, dan lain-lain. Aritmatika kompleks atau rumit digunakan untuk merancang bangunan dan alat-alat lain. Nah, apa itu barisan dan deret aritmatika?
Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika adalah barisan yang tersusun atas suku-suku yang memiliki selisih tetap.
Misalkan ada dua pola bilangan yaitu
(a) 1, 3, 9, 27, …
(b) 1, 3, 5, 7, …
Pada barisan (pola bilangan) di atas, barisan (a) bukan merupakan barisan aritmatika karena jarak (selisih) antar sukunya tidak tetap, suku pertama dengan suku kedua selisihnya 2 sedangkan suku kedua dengan suku ketiga selisihnya 6, sedangkan barisan (b) merupakan barisan aritmatika karena selisih tiap sukunya sama yaitu 2.
Suku pertama dinotasikan dengan “a” dan selisih antara dua suku yang berurutan dinotasikan dengan “b”. Adapun barisan aritmetika dapat dirumuskan sebagai berikut.
a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + (n – 1)b)
Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat dihitung dengan rumus berikut.
- Tentukan suku ke-20 dari barisan berikut 8, 12, 16, 20, 24, …
Penyelesaian:
Pada barisan 8, 12, 16, 20, 24, … diketahui bahwa suku pertama (a) = 8,
dan beda antar dua suku yang berurutan (b) = 12 – 8 = 16 – 12 = 4
Maka, suku ke-20:
Jadi, suku ke-20 dari barisan berikut 8, 12, 16, 20, 24, … adalah 84.
2. Rumus suku ke-n dari barisan 5, -2, -9, -16, … adalah …
Penyelesaian:
Diketahui a = 5 dan b = -2 – 5 = -7
Maka,
Jadi, rumus suku ke-n dari barisan 5, -2, -9, -16, … adalah
Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari barisan aritmatika. Penjumlahan suku-suku dari suku pertama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung dengan rumus:
atau
- Tentukan jumlah sampai suku ke-20 dari deret aritmetika 2 + 5 + 8 + 11 + …
Penyelesaian:
Pada deret aritmetika 2 + 5 + 8 + 11 + … diperoleh a = 2, b = 3, dan dari pertanyaan diperoleh n = 20 sehingga:
Jadi, jumlah sampai suku ke-20 dari deret aritmetika 2 + 5 + 8 + 11 + … adalah 610.
2. Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 24, dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …
Penyelesaian:
Diketahui
Ditanya:
Jawab:
Sebelum kita mencari nilai dari
Kita ingat lagi,
Sehingga, U3 = a + 2b dan U6 = a + 5b
Lakukan eliminasi:
Kemudian, untuk mendapatkan nilai a, substitusi nilai b ke salah satu persamaan.
Pada pembahasan ini kita ambil persamaan (1) sehingga diperoleh:
Setelah kita peroleh, a = 16, dan b = 4, maka rumus deret menjadi
Jadi, jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah 660.
Hai adik-adik, kalian juga bisa belajar materi ini dalam mode komik atau video lho. Klik saja tautan di bawah ini ya!
Komik Barisan dan Deret Aritmatika
Video Barisan dan Deret Aritmatika
Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah B.
Rumus suku ke- barisan aritmetika adalah sebagai berikut.
dengan .
Diketahui: dan
Diperoleh dua persamaan berikut.
Beda barisan aritmetika tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.
Substitusi nilai ke salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai .
Suku ke- barisan tersebut, yaitu:
Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah B.