Rumus Gradien adalah rumus yang di pakai untuk mengukur pada kemiringan suatu garis, Berikut ini akan kami jelaskan lengkap mengenai rumus gradien yang meliputi pengertian, rumus dan contoh soalnya
Gradien disebut juga sebagai koefisien arah pada garis lurus dan dilambangkan huruf m.. Untuk lebih jelasnya simak pembahasan di bawah ini
Gradien adalah nilai kemiringan pada suatu garis yang membandingkan antara komponen Y dengan komponen X
Rumus Mencari Gradien
Terdapat beberapa kondisi ataupun keadaan untuk mencari gradien garis, perhatika pembahasa berikut ini
1. Gradien Garis Melalui Titik Pusat (0,0) dan Titik (x, y)
Diketahui bahwa persamaan garis yang melalui titik pusat (0,0) dan titik (x, y) adalah
y = mx.
Perhatikan contoh berikut ini.
Mari kita bahas dengan soal dan pembahasannya
Tentukanlah gradien persamaan garis melalui titik pusat dan titik (3, 5)!
Penyelesaian:
Persamaan garis melalui titik (0, 0) dan (3, 5) adalah y = (5/3)x.
Hingga gradiennya yaitu 5/3.
Dari contoh soal tersebut bisa kita simpulkan bahwa gradien dari persaman garis y = mx adalah m.
Kesimpulan perbandingan antara komponen y dengan komponen x pada tiap ruas garis adalah sama. Nilai perbandingan itu dinamakan gradien.
Maka, persamaan garis y = mx mempunyai gradien m dengan m = y/x.
2. Gradien Garis Melalui Dua Buah Titik (x1, y1) dan (x2, y2)
Tidak selalu bahwa sebuah garis tersebut melewati titik pusat (0,0). Jika suatu garis tidak melalui titik pusat (0,0), dapatkah kamu menentukan gradiennya?
Mari kita bahas contoh soal dan pembahasannya
Tentukanlah gradien persamaan garis melalui titik (6, 2) dan titik (3, 5)!
Penyelesaian:
x1 = 6; y1 = 2; x2 = 3; y2 = 5
Jadi, gradien persamaan garisnya adalah -1.
Kesimpulan perbandingan komponen x dan komponen y untuk setiap ruas garis yaitu sama, yaitu 1. Bilangan 1 ini adalah gradien dari persamaan garis y = x + 2.
Maka, persaman garis y = mx, c ≠ 0 mempunyai gradien m dengan;
3. Gradien Garis Sejajar Sumbu-x dan Sumbu-y
Untuk mencari gradien garis yang sejajar sumbu-x dan gradien garis yang sejajar sumbu-y bisa memakai rumus berikut
Perhatikan gambar berikut ini
Garis o sejajar dengan sumbu-x dan garis n sejajar dengan sumbu-y.
Pada gambar tersebut terlihat jelas bahwa garis o melalui titik (-4, 2) dan (5, 2). Gradien garis o yaitu
Maka, gradien garis sejajar sumbu-x adalah 0.
Perhatikan garis n di bawah ini!
Garis n melalui titik (4, 8) dan (4, -5).
Gradien garis n yaitu m = (–5 – 8):(4 – 4) = 13/0 = (tidak didefinisikan).
Maka, gradien garis sejajar sumbu-y tidak didefinisikan.
4. Gradien Garis Yang Saling Sejajar
Gradien garis sejajar sumbu-x yaitu 0. Bagaimana dengan gradien dengan dua buah garis yang sejajar seperti terlihat pada gambar berikut?
Perhatikan gambar tersebut, lalu kemudian lakukan kegiatan di bawah ini guna mencari gradien garis yang sejajar. Apa yang bisa di simpulkan berdasarkan kegiatan itu ?
Carilah gradien ruas garis AB, PQ, MN, dan RS pada gambar tersebut dengan melengkapi titik-titik berikut ini!
• Titik A (1, 4) ; B (6, 11)
Gradien AB = (11 – 4):(6 – 1) = 7/5
• Titik P (2,2) ; Q (7,9)
Gradien PQ = (9 – 2):(7 – 2) = 7/5
• Titik M (6,3); N (11,10)
Gradien MN = (10 – 3):(11–6) = 7/5
• Titik R (1,4); S (6,11)
Gradien RS = (11 – 7):(6 – 1) = 7/5
Maka, gradien garis AB = PQ = MN = RS = 7/5 .
5. Gradien Garis Saling Tegak Lurus
Selain kedudukan 2 buah garis sejajar, ada juga kedudukan 2 garis yang saling tegak lurus. Bagaimana gradien garis yang tegak lurus? Apakah gradiennya sama?
Gradien 2 buah garis yang tegak lurus jika dikalikan hasilnya sama dengan –1.
Maka, jika l adalah sebuah garis tegak lurus dengan garis p maka berlaku ml × mp = –1.
Contoh Soal
Untuk memudahkan dala pemahaman, sima beberapa contoh soal dibawah ini
Soal No.1
Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut ini:
a) y = 3x + 2
b) 10x − 6y + 3 = 0
Jawab :
a) y = 3x + 2
Pola persamaan garis pada soal a adalah y = mx + C
Hingga mudah menemukan gradien garisnya m = 3
b) 18x − 6y + 24 = 0
Ubah persamaan b jadi pola y = mx + c
18x − 6y + 24 = 0 18x + 24 = 6y 6y = 18x + 24 bagi dengan 6 y = 3x + 4
hingga m = 3
Pada postingan sebelumnya sudah dibahas bahwa gradien suatu garis adalah perbandingan antara komponen y dan komponen x ruas garis yang terletak pada garis tersebut (silahkan baca cara menentukan gradien garis yang melalui titik pusat). Sekarang bagaimana menentukan gradien suatu garis jika garis tersebut melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2) tanpa melalui titik pusat?
Untuk menentukan gradien suatu garis jika garis
tersebut melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2) silahkan perhatikan gambar
berikut ini.
Perhatikan garis AB pada gambar di atas. Garis AB tersebut melalui dua titik yaitu titik ujung bawah (x1, y1) dan titik ujung atas (x2, y2). Seperti yang dijelaskan sebelumnya bahwa gradien suatu garis dapat dicari dengan menggunakan perbandingan komponen y dan komponen x ruas garis tersebut. Untuk komponen yAB ruas garis tersebut didapat:
yAB = y2 – y1
dan untuk komponen xAB ruas garis tersebut didapat:
xAB = x2 – x1
maka perbandingan komponen y dan x adalah:
yAB/xAB = (y2 – y1)/( x2 – x1)
yAB/xAB = mAB
yAB/xAB = ∆y/∆x
Berdasarkan hal tersebut maka dapat ditarik kesimpulan bahwa gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) dapat dirumuskan:
m = ∆y/∆x = (y2 – y1)/(x2 – x1)
dimana:
∆y = y2 – y1
∆x = x2 – x1
(∆ dibaca delta, merupakan selisih antara x2 dengan x1 atau y2 dengan y1)
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang gradien suatu garis jika garis tersebut melalui dua buah titik tanpa melalui titik pusat, silahkan simak contoh soal di bawah ini.
Contoh Soal 1
Tentukan gradien garis yang melalui titik.
a. A(1, 2) dan B(–2, 3)
b. C(7, 0) dan D(–1, 5)
c. E(1, 1) dan F(–3, –4)
d. G(5, 0) dan H(0, 4)
e. I(2, 0) dan J(0, –4)
Penyelesaian:
Gradien garis tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus:
m = (y2 – y1)/(x2 – x1), maka:
a. A(1, 2) dan B(–2, 3)
<=> m = (yB – yA)/(xB – xA)
<=> m = (3 – 2)/(–2 – 1)
<=> m = 1/–3
<=> m = –1/3
b. C(7, 0) dan D(–1, 5)
<=> m = (yD – yC)/(xD – xC)
<=> m = (5 – 0)/(–1 – 7)
<=> m = 5/–8
<=> m = –5/8
c. E(1, 1) dan F(–3, –4)
<=> m = (yF – yE)/(xF – xE)
<=> m = (–4 – 1)/(–3 – 1)
<=> m = –5/–4
<=> m = 5/4
d. G(5, 0) dan H(0, 4)
<=> m = (yH – yG)/(xH – xG)
<=> m = (4 – 0)/(0 – 5)
<=> m = 4/–5
<=> m = –4/5
e. I(2, 0) dan J(0, –4)
<=> m = (yJ – yI)/(xJ – xI)
<=> m = (–4 – 0)/(0 – 2)
<=> m = –4/–2
<=> m = 2
Contoh Soal 2
Diketahui persamaan garis y = mx + c. Tentukan nilai m dan c jika garis tersebut melalui titik.
a. (2, 1) dan (–3, –1);
b. (2, 0) dan (0, –4);
c. (–4, 2) dan (3, –3);
d. (0, 2) dan (5, 0).
Penyelesaian:
Untuk menjawab soal tersebut Anda harus mencari m yang merupakan gradien garis, kemudian dengan memasukan salah satu titik maka akan didapatkan nilai c, yakni:
a. (2, 1) dan (–3, –1)
<=> m = (y2 – y1)/(x2 – x1)
<=> m = (–1 – 1)/( –3 – 2)
<=> m = –2/–5
<=> m = 2/5
Substitusi salah satu titik ke persamaan y = mx + c, misal titik (2,1), maka:
<=> y = mx + c
<=> 1 = (2/5).2 + c
<=> 1 = 4/5 + c
<=> c = 1 – 4/5
<=> c = 5/5 – 4/5
<=> c = 1/5
Misalkan juga kita masukan titik (–3, –1) maka:
<=> y = mx + c
<=> –1 = (2/5).(–3) + c
<=> –1 = –6/5 + c
<=> c = –1 + 6/5
<=> c = –5/5 + 6/5
<=> c = 1/5
Ternyata jika memasukan titik (–3, –1) atau titk (2,1) akan menghasilkan nilai c yang sama.
Jadi nilai m dan c jika garis tersebut melalui titik (–3, –1) dan titik (2,1) adalah 2/5 dan 1/5.
b. (2, 0) dan (0, –4)
<=> m = (y2 – y1)/(x2 – x1)
<=> m = (–4 – 0)/( 0 – 2)
<=> m = –4/–2
<=> m = 2
Substitusi titik (2, 0) ke persamaan y = mx + c maka:
<=> y = mx + c
<=> 0 = 2.2 + c
<=> 0 = 4 + c
<=> c = 0 – 4
<=> c = – 4
Jadi nilai m dan c jika garis tersebut melalui titik (2, 0) dan titik (0, –4) adalah 2 dan – 4.
c. (–4, 2) dan (3, –3)
<=> m = (y2 – y1)/(x2 – x1)
<=> m = (–3 – 2)/( 3 – (–4))
<=> m = –5/7
Substitusi titik (–4, 2) ke persamaan y = mx + c maka:
<=> y = mx + c
<=> 2 = (–5/7).( –4) + c
<=> 2 = 20/7 + c
<=> c = 2 – 20/7
<=> c = 14/7 – 20/7
<=> c = –6/7
Jadi nilai m dan c jika garis tersebut melalui titik (–4, 2) dan titik (3, –3) adalah –5/7 dan –6/7.
d. (0, 2) dan (5, 0)
<=> m = (y2 – y1)/(x2 – x1)
<=> m = (0 – 2)/(5 –0)
<=> m = –2/5
Substitusi titik (0, 2) ke persamaan y = mx + c maka:
<=> y = mx + c
<=> 2 = (–2/5).0 + c
<=> 2 = 0 + c
<=> c = 2
Jadi nilai m dan c jika garis tersebut melalui titik (–4, 2) dan titik (3, –3) adalah –2/5 dan 2.
Demikian postingan Mafia Online tentang cara menentukan gradien suatu garis melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2). Mohon maaf jika ada kata-kata atau hitungan yang salah dalam postingan di atas. Salam Mafia.