08 Jan, 2014
Pada artikel kali ini kita akan mempelajari materi yang berkaitan dengan kaidah pencacahan yaitu menentukan banyaknya cara dalam menyusun suatu percobaan. Kaidah pencacahan terdiri dari aturan perkalian dan aturan penjumlahan, permutasi dan kombinasi.
Untuk khusus pada kesempatan ini, kita akan membahas lebih mendetail tentang Aturan Perkalian, Aturan Penjumlahan, dan Faktorial. Materi faktorial digunakan untuk masalah permutasi dan kombinasi.
Aturan Perkalian pada kaidah pencacahan
Jika terdapat $ n \, $ unsur yang tersedia, $k_1 = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur pertama $ k_2 = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusun $ k_3 = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun dan seterusnya sampai $k_n = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur ke-$n$ setelah objek $ n - 1 $ unsur sebelumnya tersusun Maka banyak cara untuk menyusun $ n \, $ unsur yang tersedia adalah: $ k_1 \times k_2 \times k_3 \times ... \times k_n $ Catatan :
Aturan perkalian biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang semuanya "SEKALIGUS TERJADI" dan biasanya menggunakan kata penghubung "DAN"
Contoh soal penggunaan aturan perkalian : 1). Budi mempunyai 3 buah baju berwarna putih, cokelat, dan batik. Ia juga memiliki 2 buah celana warna hitam dan putih yang berbeda. Ada berapa pasang baju dan celana dapat dipakai dengan pasangan yang berbeda? Penyelesaian : *). Cara I : Mendaftarkan semua pasangan dengan diagram Berikut diagram kemungkinan pasangan baju dan celana.Aturan Penjumlahan pada kaidah pencacahan
Jika terdapat $ n \, $ peristiwa yang saling lepas, $k_1 = \, $ banyak cara pada peristiwa pertama $ k_2 = \, $ banyak cara pada peristiwa kedua $ k_3 = \, $ banyak cara pada peristiwa ketiga dan seterusnya sampai $k_n = \, $ banyak cara pada peristiwa ke-$n$ Maka banyak cara untuk $ n \, $ buah peristiwa secara keseluruhan adalah: $ k_1 + k_2 + k_3 + ... + k_n $ Catatan :
Aturan penjumlahan biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang "TIDAK SEKALIGUS TERJADI" artinya yang terjadi hanya salah satu saja atau bisa dibilang "PILIHAN" dan biasanya menggunakan kata penghubung "ATAU"
Contoh soal aturan penjumlahan : 6). Di rumahnya Wati terdapat 3 jenis sepeda berbeda, 2 jenis sepeda motor berbeda, dan 2 mobil yang berbeda. Jika Wati ingin berpergian, ada berapa cara Wati menggunakan kendaraan yang ada di rumahnya? Penyelesaian : Pada kasus ini, ada tiga pilihan kendaraan yaitu sepeda, sepeda motor, dan mobil. Wati tidak mungkin menggunakan SEKALIGUS ketiga jenis kendaraan tersebut yang artinya Wati harus memilih salah satu jenis kendaraan saja. Sehingga kita bisa menggunakan aturan penjumlahan pada kasus ini. *). Menentukan banyak cara menggunakan kendaraan Total cara $ = 3 + 2 + 2 = 7 \, $ cara. Jadi, ada 7 cara pilihan kendaraan yang bisa digunakan oleh Wati. 7). Dari Kota A menuju kota D dapat melalui beberapa jalur pada gambar di bawah ini. Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D?Definisi dan Notasi Faktorial
Misalkan ada $ n \, $ bilangan asli, Notasi faktorial adalah $ n! \, $ dibaca "$n \, $ faktorial". Cara penghitungannya : $ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times ... \times 3 \times 2 \times 1 $
dengan $ 0! = 1 $.
Contoh soal faktorial : 8). Tentukan nilai faktorial berikut ini, a). 5! b). 3! c). 6! d). $ \frac{7!}{5!} $ e). $ 3! \times 2 ! $ f). $ \frac{8!}{3! \times 6!} $ Penyelesaian : a). $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $ b). $ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $ c). $ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 $ d). $ \frac{7!}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!} = 7 \times 6 = 42 $ e). $ 3! \times 2 ! = (3 \times 2 \times 1 ) \times ( 2 \times 1) = 6 \times 2 = 12 $ f). $ \frac{8!}{3! \times 6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{(3 \times 2 \times 1) \times 6!} = \frac{8 \times 7 }{(3 \times 2 \times 1) } = \frac{28}{3} $ 9). Nyatakan bentuk berikut dalam bentuk faktorial : a). $ 4 \times 5 \times 6 $ b). $ \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3 \times 4} $ Penyelesaian : a). $ \begin{align} 4 \times 5 \times 6 = \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6}{1 \times 2 \times 3 } = \frac{6!}{3!} \end{align} $ b). $ \begin{align} \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(1 \times 2 \times 3 \times 4) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) } = \frac{8!}{4! \times 4!} \end{align} $ 10). Hitunglah nilai faktorial dari $ \frac{5}{7!} - \frac{1}{6!} + \frac{24}{8!} $ Penyelesaian : *). Karena penyebutnya ada tiga jenis, maka kemunngkinan jawabannya ada 3 bentuk yang nilainya tetap sama. $ \begin{align} \frac{5}{7!} - \frac{1}{6!} + \frac{10}{8!} & = \frac{8 \times 5}{8 \times 7!} - \frac{8 \times 7 \times 1 }{8 \times 7 \times 6!} + \frac{24}{8!} \\ & = \frac{40}{8!} - \frac{56 }{8!} + \frac{24}{8!} \\ & = \frac{40 - 56 + 24}{8!} \\ & = \frac{8}{8!} \\ & = \frac{8}{8 \times 7!} \\ & = \frac{1}{7!} \\ & = \frac{1}{7 \times 6!} \\ \end{align} $ Jadi hasilnya adalah $ \frac{8}{8!} \, $ atau $ \frac{1}{7!} \, $ atau $ \frac{1}{7 \times 6!} $. 11). Tentukan nilai $ n \, $ , jika $ \frac{n! - (n-2)!}{(n-1)!} = 1 $ Penyelesaian : $ \begin{align} \frac{n! - (n-2)!}{(n-1)!} & = 1 \\ \frac{n \times (n-1) \times (n-2)! - (n-2)!}{(n-1) \times (n-2)!} & = 1 \\ \frac{n \times (n-1) - 1}{(n-1) } & = 1 \\ \frac{(n^2 - n ) - 1}{(n-1) } & = 1 \\ n^2 - n - 1 & = n - 1 \\ n^2 - 2n & = 0 \\ n(n-2) & = 0 \\ n = 0 \vee n = 2 \end{align} $ Yang memenuhi adalah untuk $ n = 2 $ .Jadi, diperoleh nilai $ n = 2 $.