Diketahui ada 5 pria dan 3 wanita duduk mengelilingi meja bundar

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui 6 siswa dan 3 siswi duduk berdiskusi mengelilingi meja bundar, maka peluang jika tidak ada siswi berdampingan adalah ....
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{1}{5} \, $ C). $ \frac{5}{14} \, $ D). $ \frac{2}{5} \, $ E). $ \frac{3}{8} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang *). Rumus peluang kejadian A : $ \, \, \, \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $ Keterangan : $ P(A) = \, $ peluang kejadian A, $ n(A) = \, $ banyaknya kejadian yang diharapkan, $ n(S) = \, $ semua kemungkinan (Ruang sampel). *). Permutasi Siklis : Jika ada $ n $ orang duduk melingkar, maka total cara duduk adalah $ (n-1)!$. *). Permutasi unsur berbeda : Misalkan ada $ r $ orang mau duduk pada $ n $ kursi

total cara duduk $ = P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $

$\clubsuit $ Pembahasan *). Menentukan $ n(S) $ : Ada 6 siswa dan 3 siswi ( total ada 9 orang) duduk melingkar, sehingga total cara duduk yaitu $ n(S) = (9-1)! = 8! $. *). Misalkan A menyatakan kejadian tidak ada siswi berdampingan. *). Menentukan $ n(A) $ : Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

-). Agar dijamin siswi tidak berdampingan, maka posisi duduk siswi harus ada pada tempat yang kosong (kotak warna orange) dimana setiap kotak kosong hanya diisi oleh satu siswi. -). Pertama, kita hitung banyak cara duduk siswa yaitu $ (6-1)! = 5! $. -). Kedua, permutasi siklis sudah kita terapkan pada siswa, maka posisi duduk siswi tidak perlu siklis lagi karena secara otomatis posisi duduk siswi tinggal mengikuti saja. Banyak cara duduk siswi yaitu : $ P_3^6 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6.5.4 $ -). Total cara duduk siswi tidak berdampingan : $ 5! \times 6.5.4 $ *). Menentukan peluang kejadian A : $ \begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5! \times 6.5.4}{8!} = \frac{6.5.4}{8.7.6} = \frac{5}{14} \end{align} $

Jadi, peluangnnya adalah $ \frac{5}{14} . \, \heartsuit $

Artikel Terkait

Misalkan kita mempunyai tiga orang a, b, dan c. jika mereka duduk berjajar tiga orang, maka susunan duduk menjadi : abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Tetapi sekarang mereka duduk mengelilingi meja bundar. Berapakah banyak semua kemungkinan susunan posisi duduk mereka?.

Perhatikan bahwa dalam melingkar, posisi abc, cab, bca (menggeser semua simbol secara bersama) hanya memberikan satu posisi. Demikian pula posisi acb, cba, bac juga memberikan satu posisi. sehingga posisi tiga orang duduk melingkar hanya ada dua, yaitu posisi abc, dan acb saja. Posisi duduk melingkar ini disebut dengan permutasi siklis.

Secara matematis, banyaknya permutasi (posisi) siklis dari n unsur adalah :

$latex P_{siklis}\left(n\right)=\frac{n!}{n}=\left(n-1\right)!$

Loh…rumus itu dapat darimana ?. baiklah biar teman – teman tidak bingung dengan keberadaan rumus tersebut. mari kita simak uraian berikut !

Penjelasan :

Seperti pada permutasi dengan unsur yang sama, kita hitung dahulu permutasi dari n unsur yaitu n!. Selanjutnya satu posisi akan sama dengan posisi yang lain jika mereka hanya pergeseran saja. Banyaknya pergeseran ini sama dengan banyaknya kemungkinan satu orang duduk di n kursi. jadi ada n permutasi yang akan sama di permutasi siklis. Oleh karena itu banyaknya permutasi siklis adalah $latex P_{siklis}\left(n\right)=\frac{n!}{n}=\left(n-1\right)!$ .

Contoh 1:

Diketahui ada 5 pemuda dan 3 pemudi duduk mengelilingi meja bundar. Tentukan banyaknya kemungkinan susunan mereka jika :

1. Mereka duduk bebas
2. Pemuda pertama dan Pemudi Pertama tidak duduk berdampingan
3. Tidak ada putri yang berdampingan

Jawab :

1. Banyaknya susunan untuk mereka duduk bebas adalah $latex P_{8}$ (siklis) = 7 !
2. Dengan tanpa menghitung pemudi pertama, banyaknya susunan mereka duduk adalah $latex P_{siklis}$ (7) = 6!. Setelah mereka duduk, maka pilihan duduk pemudi pertama ada 5. Dengan demikian banyaknya susunan lengkap adalah 6! x 5 = 3600 kemungkinan.
3. Setelah 5 pemuda duduk (yang lebih banyak), pemudi pertama mempunyai pilihan sebanyak 5 posisi. Tetapi karena dua pemudi tidak dapat duduk berdampingan, maka pemudi kedua hanya mempunyai 4 kemungkinan posisi dan pemudi ketiga hanya mempunyai 3 kemungkinan posisi. Dengan demikian jumlah semua kemungkinan adalah 4! x 5 x 4 x 3 = 1440.

Sekarang perhatikan kembali soal nomor dua. Soal ini dapat juga dicari dengan cara berikut. Pertama, asumsikan sebaliknya, yaitu pemuda pertama dan pemudi pertama harus berdampingan. Oleh karena itu dapat kita anggap sebagai satu kesatuan. Dengan demikian jumlah orang yang terlibat adalah 7 orang. Banyaknya kemungkinan susunan ini adalah 6! x 2 = 1440 karena urutan duduk pemuda pertama dan pemudi pertama. Sedangkan banyaknya kemungkinan 8 orang duduk melingkar ada 7!.  Dengan demikian banyaknya susunan duduk dengan pemuda pertama dan pemudi pertama duduk tidak berdampingan adalah 7! – 1440 = 3600.

Contoh 2 :

Carilah banyaknya kemungkinan susunan duduk n pasang suami istri di meja bundar sehingga :

1. Pria dan Wanita duduk berselang seling
2. Setiap wanita duduk berdampingan dengan suaminya.

Jawab :

1. Pertama, n wanita duduk. Dalam hal ini ada (n – 1)! kemungkinan. Kemudian, pria pertama mempunyai n posisi kemungkinan, pria kedua mempunyai n – 1 posisi kemungkinan dan seterusnya. jumlah semua susunan adalah (n – 1) ! x n!
2. Setiap pasangan kita anggap sebagai satu kesatuan. jadi ada (n – 1)! tetapi setiap pasang mempunyai dua posisi. Dengan demikian jumlah semua kemungkinan adalah $latex (n – 1 )! x 2^{n}$.

Anak laki-laki : 5 orang

Anak Perempuan : 3 orang

Karena anak perempuan selalu berkumpul kita anggap satu kesatuan.

Banyak cara duduk melingkar:  cara

Banyak susunan anak perempuan:  cara

Jadi, banyak cara semua anak duduk melingkar dengan anak perempuan selalu berdekatan adalah  cara.