HOME MATEMATIKA SMA TRIGONOMETRI
Luas segitiga dapat dengan mudah ditentukan jika panjang alas dan tingginya diketahui. Lalu bagaimana jika yang diketahui hanya panjang dua sisinya dan besar satu sudutnya? Untuk menentukan luas segitiga jika yang dietahui hanya panjang dua sisi dan besar satu sudutnya saja, maka kita dapat menggunakan konsep trigonometri dengan melihat hubungan antara besar sudut dan panjang sisi dalam segitiga tersebut. Konsep trigonomteri yang akan kita gunakan dalam pembahasan ini adalah nilai sinus sudut. Dalam segitiga dikenal istilah sudut di hadapan, yaitu sudut yang berada di hadapan sisi segitiga dan sudut apit, yaitu sudut yang diapit oleh dua sisi segitiga. Berdasarkan konsep tersebut maka Bahan belajar sekolah akan membahas dua cara menentukan luas segitiga jika panjang dua sisi dan besar salah satu sudutnya diketahui.
Misal diberikan sebuah segitiga ABC dengan panjang sisi masing-masing a, b, dan c. Pada segitiga tersebut, sudut A berada di hadapan sisi a, sudut B berada di hadapan sisi b, dan sudut C berada di hadapan sisi c. Jika diketahui sisi-sudur-sisi itu artinya sudut yang diketahui adalah sudut apit yang berada di antara dua sisi. Pada segitiga ABC diketahui sudut A berada di antara sisi b dan c, sudut B berada di antara sisi a dan c, dan sudut C berada di antara sisi a dan b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah. Pada gambar terlihat jelas hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga. Karena pada segitiga terdapat tiga sisi dan tiga sudut, maka ada tiga kemungkinan untuk kondisi sisi-sudut-sisi yang diketahui, yaitu:
1. Sisi-sudut-sisi : b-A-c
2. Sisi-sudut-sisi : a-B-c
3. Sisi-sudut-sisi : a-C-b
#1 Luas Segitiga Jika b-A-c diketahui Misal diberikan segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b, c dan besar sudut A, B, dan C. Jika panjang sisi b, sisi c, dan besar sudut A diketahui, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus berikut: Dengan : L = luas segitiga b = panjang sisi AC c = panjang sisi AB A = besar sudut yang dibentuk sisi b dan c
Baca juga : Contoh Soal dan Pembahasan Aturan Sinus.
Contoh Soal :
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi b dan sisi c berturut-turut adalah 8 cm dan 10 cm. Jika besar sudut A adalah 37o, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.
Pembahasan :
Dik : b = 8 cm, c = 10 cm, A = 37o Dit : L = ... ? Berdasarkan rumus di atas: ⇒ L = ½ bc sin A
⇒ L = ½ (8)(10) sin 37o
⇒ L = 40 (3/5)⇒ L = 24 cm2
Jadi, luas segitiga ABC tersebut adalah 24 cm2.
#2 Luas Segitiga Jika a-B-c diketahui
Misal diberikan segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b, c dan besar sudut A, B, dan C. Jika panjang sisi a, sisi c, dan besar sudut B diketahui, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus berikut: Dengan : L = luas segitiga a = panjang sisi BC c = panjang sisi AB B = besar sudut yang dibentuk sisi a dan cContoh Soal :
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a dan sisi c berturut-turut adalah 6 cm dan 9 cm. Jika besar sudut B adalah 53o, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.
Pembahasan :
Dik : a = 6 cm, c = 9 cm, B = 53o Dit : L = ... ? Berdasarkan rumus di atas: ⇒ L = ½ ac sin B
⇒ L = ½ (6)(9) sin 53o
⇒ L = 27 (4/5)⇒ L = 21.6 cm2
Jadi, luas segitiga ABC tersebut adalah 21.6 cm2.
#3 Luas Segitiga Jika a-C-b diketahui
Misal diberikan segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b, c dan besar sudut A, B, dan C. Jika panjang sisi a, sisi b, dan besar sudut C diketahui, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus berikut: Dengan : L = luas segitiga a = panjang sisi BC b = panjang sisi AC C = besar sudut yang dibentuk sisi a dan bContoh Soal :
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a adalah 4 cm dan panjang sisi b adalah 12 cm. Jika besar sudut C adalah 30o, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.
Pembahasan :
Dik : a = 4 cm, b = 12 cm, C = 30o Dit : L = ... ? Berdasarkan rumus di atas: ⇒ L = ½ ab sin C
⇒ L = ½ (4)(12) sin 30o
⇒ L = 24 (0,5)⇒ L = 12 cm2
Jadi, luas segitiga ABC tersebut adalah 12 cm2.
Baca juga : Menentukan Panjang Sisi Segitiga dengan Aturan Sinus.
Rumus sebelumnya digunakan jika sudut yang dikathui adalah sudut di antara dua sisi yang diketahui. Lalu bagaimana jika sudut yang diketahui adalah sudut yang berada di hadapan salah satu sisi yang diketahui. Misal diketahui sisi a, sisi b, dan sudut B (sudut B berada di hadapan sisi b). Jika yang diketahui adalah sisi-sisi-sudut, maka kita harus mencari besar sudut di antara kedua sisi yang diketahui terlebih dahulu. Misal yang diketahui sisi a dan sisi b, maka kita harus mencari besar sudut C terlebih dahulu. Setelah itu luas segitiga dihitung dengan rumus Sisi-Sudut-Sisi yang bersesuaian.
Contoh Soal :
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a dan b berturut-turut adalah 5 cm dan 6 cm. Jika besar sudut A adalah 30o, maka tentukan luas segitiga tersebut.
Pembahasan :
Dik : a = 5 cm, b = 6 cm, A = 30o Dit : L = ... ? Pertama kita tentukan besar sudut B dengan aturan sinus: ⇒ a /sin A = b /sin B ⇒ a sin B = b sin A ⇒ sin B = b/a sin A
⇒ sin B = 6/5 sin 30o
⇒ sin B = 6/5 (0,5) ⇒ sin B = 3/5⇒ sin B = 37o
Selanjutnya kita tentukan besar sudut C:⇒ A + B + C = 180o
⇒ C = 180o - (A + B)
⇒ C = 180o - (30o + 37o)
⇒ C = 180o - 67o
⇒ C = 113o Hitung luas segitiga dengan rumus a-C-b : ⇒ L = ½ ab sin C
⇒ L = ½ (5)(6) sin 113o
⇒ L = 15 (0,92)⇒ L = 13,8 cm2
Jadi, luas segitiga tersebut adalah 13,8 cm2.
Baca juga : Menentukan Besar Sudut Segitiga dengan Aturan Sinus.
MENU MATEMATIKA SMA TRIGONOMETRI
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.
Loading Preview
Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.
Dalam dunia trigonometri tentu kalian tidak asing dengan sinus, cosinus, dan tangen. Tahukah kalian bahwa sinus dan cosinus memiliki aturan yang khusus dan diterapkan dalam segitiga?
Lalu apa saja aturannya? Mari kita lihat penjelasan lebih lanjut dibawah ini.
Aturan Sinus
Aturan sinus berbunyi bahwa perbandingan panjang sisi sebuah segitiga dengan sinus sudut yang menghadapnya memiliki nilai yang sama.
Lebih jelasnya pada gambar dibawah ini
Keterangan
- A = besar sudut di hadapan sisi a
- a = panjang sisi a
- B = besar sudut di hadapan sisi b
- b = panjang sisi b
- C = besar sudut di hadapan sisi c
- c = panjang sisi c
- AP ┴ BC
- BQ ┴ AC
- CR ┴ AB
Perhatikan segitiga ACR
Sin A = CR/b maka CR = b sin A …(1)
Perhatikan segitiga BCR
Sin B = CR/a maka CR = a sin B …. (2)
Perhatikan segitiga ABP
Sin B = AP/c maka AP = c sin B … (3)
Perhatikan segitiga APC
Sin C = AP/b maka AP = b sin C …(4)
Berdasarkan persamaan (1) dan (2) didapat
CR = b sin A = a sin B maka a/sin A = b/sin B …(5)
Berdasarkan persamaan (3) dan (4) didapat
AP = c sin B = b sin C maka b/sin B = c/sin C …(6)
Kemudian, berdasarkan persamaan (5) dan (6) diperoleh
a/sin A = b/sin B = c/sin C
Persamaan ini yang kemudian disebut dengan aturan sinus.
Baca juga Persegi Panjang.
Contoh Soal Aturan Sinus
1. Andi sedang mengukur mainan segitiganya yang tiap sudutnya dikodekan dengan A, B, dan C, kemudian diketahui segitiga tersebut memiliki sudut A = 30º, sisi a = 6cm dan sisi b = 8cm. Hitung besar sudut B!
Pembahasan
Akan dicari besar sudut B
sin B = (b sin A)/a
sin B = 8/6 sin 30̊
sin B = 2/3
B = arc sin B
B = arc sin (2/3)
B = 41,8̊
Jadi, besar sudut B adalah 41,8̊ atau 180̊ – 41,8̊ = 138,2̊
2. Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AC = 4 cm. Jika besar ∠ ABC = 60o dan ∠BAC = 30o, maka panjang BC = … cm.
Pembahasan
AC/sin ∠ABC = BC/sin∠BAC
4cm/sin 60 = BC/sin30
4cm/½√3 = BC/½
BC = ½ × 4cm/½√3
BC = 4cm/√3
BC = 4/3 √3 cm
Jadi, panjang BC adalah BC4/3 √3cm.
3. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan panjang AB = 9cm dan BC = 12cm. Jika besar ∠ ABC = 30o, tentukan luas segitiga ABC!
Pembahasan
L = ½ a t
- Misal a = AB, maka t adalah garis tegak lurus AB ke titik C berhadapan dengan ∠ ABC, maka
Sin ∠ABC = t/BC
t = BC × Sin ∠ABC
Sehingga diperoleh
L = ½ a t
L = ½ × AB × BC × Sin ∠ABC
L = ½ × 9cm × 12cm × Sin 30o
L = ½ × 9cm × 12cm × ½
L = 27cm2
- Misal a = BC, maka t adalah garis tegak lurus BC ke titik A berhadapan dengan ∠ ABC, maka
Sin ∠ABC = t/AB
t = AB × Sin ∠ABC
Sehingga diperoleh
L = ½ a t
L = ½ × BC × AB × Sin ∠ABC
L = ½ × 12cm × 9cm × Sin 30o
L = ½ × 12cm × 9cm × ½
L = 27cm2
Jadi, luas segitiga ABC adalah 27cm2.
4. Diketahui sebuah segitiga PQR memiliki luas sebesar 96cm2. Jika panjang PR = 12cm dan besar ∠PRQ = 60o, tentukan panjang QR!
Pembahasan
L = ½ × PR × QR × Sin ∠PRQ
96cm2 = ½ × 12cm × QR × Sin 60o
96cm2 = ½ × 12cm × QR × ½√3
96cm2 = 4√3cm × QR
QR = 96cm2 ÷ 4√3cm
QR = 24/√3 cm
QR = 8√3cm
Jadi, panjang QR adalah 8√3cm.
5. Sebuah segitiga XYZ memiliki panjang XZ = 6cm dan YZ = 2√3cm. Jika besar ∠ XYZ = 60o, tentukan besar ∠YXZ !
Pembahasan
XZ/sin ∠XYZ = YZ/sin∠YXZ
6cm/sin 60 = 2√3cm/sin∠YXZ
6cm/½√3 = 2√3cm/sin∠YXZ
sin∠YXZ = 2√3cm × ½√3 ÷ 6cm
sin∠YXZ = 3/6
sin∠YXZ = ½
YXZ = arc sin (½)
YXZ = 30o
Jadi, besar ∠YXZ adalah 30o.
6. Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki luas sebesar 6cm2. Jika panjang AB = 3cm dan BC = 4cm, tentukan besar ∠ABC!
Pembahasan
L = ½ × AB × BC × Sin ∠ABC
6cm2 = ½ × 3cm × 4cm × Sin ∠ABC
6cm2 = 6cm2 × Sin ∠ABC
Sin ∠ABC = 1
ABC = arc sin (1)
ABC = 90o
Jadi, besar ∠ABC adalah 90o.
Aturan Cosinus
Aturan cosinus menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut pada segitiga.
Lebih jelasnya pada gambar dibawah ini.
Keterangan
- A = besar sudut di hadapan sisi a
- a = panjang sisi a
- B = besar sudut di hadapan sisi b
- b = panjang sisi b
- C = besar sudut di hadapan sisi c
- c = panjang sisi c
- AP ┴ BC
- BQ ┴ AC
- CR ┴ AB
Perhatikan segitiga BCR
Sin B = CR/a maka CR = a sin B
Cos B = BR/a maka BR = a cos B
AR = AB – BR = c – a cos B
Perhatikan segitiga ACR
b2 = AR2 + CR2
b2 = (c – a cos B)2 + (a sin B)2
b2 = c2 – 2ac cos B + a2 cos2 B + a2 sin2 B
b2 = c2 – 2ac cos B + a2 (cos2 B + sin2 B)
b2 = c2 + a2– 2ac cos B
Menggunakan analogi yang sama, kemudian diperoleh aturan cosinus untuk segitiga ABC sebagai berikut
a2 = c2 + b2– 2bc cos A
b2 = a2+ c2 – 2ac cos B
c2 = a2+ b2 – 2ab cos C
Baca juga Teorema Phytagoras.
Contoh Soal Aturan Cosinus
Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki sisi dengan panjang
a = 10 cm
c = 12 cm
besar sudut B = 60̊.
Hitung panjang sisi b!
Pembahasan
b2 = a2+ c2 – 2ac cos B
b2 = 100+144 – 44 cos 60̊
b2 = 244 – 44(0,5)
b2 = 244 – 22
b2 = 222
b = 14,8997
Jadi, panjang sisi b adalah 14,8997 cm
Kesimpulan
Demikian pembahasan tentang aturan sinus dan cosinus. Semoga bermanfaat. Baca juga Bilangan Desimal.
Kembali ke Materi Matematika