Topik Bahasan integral,
volume
Soal 1. Hitunglah volume benda putar jika daerah yang dibatasi $f(x)=x^2+x-6$ dan x+y=2 di putar 360 derajat terhadap sumbu x. Pembahasan:
Fungsi fungsi
$f(x)=x^2+x-6$
x+y=2 ==> y=2-x ==> f(x)=2-x
Berikutnya kita cari titik potong dengan antara kurva dengan garis sebagai batas integral.
y=y
$2-x=x^2+x-6$.
$x^2+2x-48=0$
(x+4)(x-2)=0
x=-4 dan x=2
Rumus Mencari Volume Benda Putar terhadap Sumbu x
$V= \pi \int_{x_1}^{x_2} f^2(x)-g^2(x)dx$
Soal 2. Hitunglah Volume benda putar di bawah ini jika diputar 360 derajat terhadap sumbu x.
Tambahkan titik potong kurva dengan sumbu x=-3 |
Persamaan garis: jika garis berpotongan di (a,0) dan (0,b) maka persamaan garis tersebut ay+bx=ab Persamaan kurva:
Jika kurva senyum a positif - kurva manyun a negatif. Lalu (x-titipotongsumbux1)(x-titikpotongsumbux2).
. Pada soal anda Persamaan garis (2,0) dan (0,2) 2y+2x=4 (bagi 2) y=2-x Persamaan kurva: Kurva memotong sumbu x di -2 dan 3. y=(x-(-3))(x-2) = $x^2+x-6$. Karena kurva 'senyum', maka nilai koefisien x kuadrat (a) harus positif. Maka persamaan kurva menjadi y= $x^2+x-6$. anda telah menemukan persamaan. Ternyata persamaannya sama dengan soal nomer satu. Silakan ikuti penyelesaian soal nomor satu di atas..Cari Soal dan Pembahasan tentang integral, volume
Aplikasi integral yang pada umumnya dipelajari adalah mengenai menghitung luas daerah yang dibatasi kurva serta menghitung volume benda putar. Pada artikel ini akan dibahas salah satunya yaitu mengenai aplikasi integral untuk menghitung volume benda putar yang disertai contoh soal volume benda putar dan pembahasannya. Namun sebelum membahasnya, ada materi prasyarat yang harus dipahami terlebih dahulu yaitu integral tentu. Karena, penyelesaian dari volume benda putar ini hampir sama dengan pembahasan integral tentu.
Volume Benda Putar yang Mengelilingi Sumbu x
Contoh 1
Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 3, sumbu x, x = 0, dan x = 3 diputar 360$^o$ mengelilingi sumbu x. Besar volume benda putar yang terjadi adalah ...Penyelesaian
V = 𝜋$\int_{0}^{3}(x + 3)^2 dx$ V = 𝜋$\int_{0}^{3}(x^2 + 6x + 3) dx$ V = 𝜋$[(\frac{1}{3}x^3+ 3x^2 + 3x)]_{0}^{3}$ V = 𝜋$[(\frac{1}{3}(2)^3 + 3(2)^2 + 3(2))$-$(\frac{1}{3}(0)^3 + 3(0)^2 + 3(0))]$ V = 𝜋$[(\frac{8}{3} + 12 + 6) - 0]$ V = 𝜋$[\frac{8}{3} + 18]$ V = $\frac{62}{3}$𝜋 Jadi, volume benda putar tersebut adalah $\frac{62}{3}$𝜋 satuan volumeVolume Benda Putar yang Mengelilingi Sumbu y
Contoh 2
Hitunglah volume benda putar dari daerah yang dibatasi ole garis y = $\frac{1}{3}x$, sumbu y, y = 1 dan y = 2, diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu y!Penyelesaian
Pertama kita ubah dulu persamaan y = $\frac{1}{3}x$ menjadi x = 3y V = 𝜋$\int_{1}^{2}(3y)^2 dy$ V = 𝜋$\int_{1}^{2}9y^2 dy$ V = 𝜋$[\frac{9}{3}y^3] _{1}^{2}$ V = 𝜋$[3y^3] _{1}^{2}$ V = 𝜋$[3(2)^3-3(1)^3]$ V = 𝜋$[24-3]$ V = 21𝜋 Jadi, volume benda putar tersebut adalah 21𝜋 satuan volumeVolume Benda Putar Suatu Daerah antara Dua Kurva
Untuk volume benda putar dari suatu daerah yang dibatasi dua kurva dibagi menjadi dua pula yaitu yang mengelilingi sumbu x dan mengelilingi sumbu y.Mengelilingi Sumbu x
Contoh 3
Penyelesaian
V = 𝜋$\int_{0}^{2}((x + 1)^2 - x^2) dx$ V = 𝜋$\int_{0}^{2}(x^2 + 2x + 1 - x^2) dx$ V = 𝜋$\int_{0}^{2}(2x + 1) dx$ V = 𝜋$[(x^2 + x)]_{0}^{2}$ V = 𝜋$(2^2 + 2) - (0^2 + 0)$ V = 𝜋(6 - 0) V = 6𝜋 Jadi, volume benda putar tersebut adalah 6𝜋 satuan volumeMengelilingi Sumbu y
Contoh 4
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi garis y - x = 1, y = x, y = 1, dan y = 4 menglilingi sumbu y sejauh 360$^o$!Penyelesaian
y - x = 1 ⟶ x = y - 1 V = 𝜋$\int_{1}^{4}((y - 1)^2 - y^2) dy$ V = 𝜋$\int_{1}^{4}(y^2 - 2y + 1 - y^2) dy$ V = 𝜋$\int_{1}^{4}( - 2y + 1) dy$ V = 𝜋$[(-y^2 + y)]_{1}^{4}$ V = 𝜋$[( -(4)^2 + 4) - ( -(1)^2 + 1)]$ V = 𝜋[-12 - 0] V= -12𝜋 V = 12𝜋 (volume selalu bernilai positif) Jadi, volume benda putar tersebut adalah 12𝜋 satuan volume Ada kalanya batas bawah dan batas atas dari volume tidak diketahui, hal ini berarti yang digunakan sebagai batas atas dan batas bawah adalah titik potong kedua kurva atau dengan sumbu yang dilalui oleh kurva. Untuk jelasnya perhatikan contoh soal volume benda putar dan pembahasannya berikut ini.Contoh 5
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh kurva parabola y = x$^2$ + 1 dan garis y = x + 3, diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu x!Penyelesaian
Batas atas dan batas bawah dari integralnya adalah perpotongan dari kedua kurva yaitu x$^2$ + 1 = x + 3 x$^2$ + 1 - x - 3 = 0 x$^2$ - x - 2 = 0 (x + 1)(x - 2) = 0 x = -1 atau x = 2 V = 𝜋$\int_{-1}^{2}((x + 3)^2$ $- (x^2 + 1)^2) dx$ V = 𝜋$\int_{-1}^{2}((x^2 + 6x + 9)$ $- (x^4 + 2x^2 + 1)) dx$ V = 𝜋$\int_{-1}^{2}(x^2 + 6x + 9$ $- x^4 - 2x^2 - 1)) dx$ V = 𝜋$\int_{-1}^{2}(- x^4 - x^2 + 6x + 8) dx$ V = 𝜋$[(\frac{-1}{5} x^5 - \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 8x)] _{-1}^{2}$ V = 𝜋$[(\frac{-1}{5} (2)^5 - \frac{1}{3}(2)^3 + 3(2)^2 + 8(2))$ $-(\frac{-1}{5} (-1)^5 - \frac{1}{3}(-1)^3 + 3(-1)^2 + 8(-1)] $ V = 𝜋$[(\frac{-32}{5}- \frac{8}{3} + 12 + 16)$ $-(\frac{1}{5} - \frac{-1}{3} + 3 - 8)] $ V = 𝜋$[(\frac{-32}{5}- \frac{8}{3} + 28)$ $-(\frac{1}{5} - \frac{-1}{3} - 5)] $ V = 𝜋$[(\frac{-96}{15}- \frac{40}{15} + \frac{420}{15})$ $-(\frac{3}{15} + \frac{5}{15} - \frac{75}{15})] $ V = 𝜋$[\frac{284}{15}+ \frac{67}{15})] $ V = 𝜋$\frac{351}{15} $ V = $\frac{117}{5} $𝜋 Jadi, volume benda putar tersebut adalah $\frac{117}{5} $𝜋 satuan volumeDengan konsep volume benda putar ini pula kita dapat menemukan aplikasi integral lainnya yaitu dalam menentukan atau membuktikan rumus volume kerucut dan bola. Nah demikianlah mengenai menghitung volume benda puatr dengan integral semoga dapat dipahami dan bermanfaat.
Page 2
Pada laman Site Map ini, anda dapat mengetahui semua konten yang ada pada situs www.madematika.id. Semua konten atau artikel disajikan secara mendaftar dalam tabel berikut, sehingga anda dapat dengan mudah menjelajahi semua artikel yang ada pada situs ini