Berikut ini cara untuk menentukan himpunan pada sistem persamaan linear dua variabel kecuali

Jakarta -

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang terdiri atas dua variabel. Nah, bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel ini ditulis dengan lambang x dan y. Artikel ini akan memberikan beberapa contoh soal pertidaksamaan linear dua variabel.

Berikut ini adalah bentuk umum penulisan pertidaksamaan linear dua variabel:

ax + by ≤ c;ax + by ≥ c;ax + by < c;

ax + by > c;

Keterangan:
a, b, c adalah bilangan asli.

a dan b adalah koefisien.c adalah konstanta.

x dan y adalah variabel.

Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Dalam e-Modul Matematika Program Linear Dua Variabel yang disusun oleh Yoga Noviyanto, S.Pd., himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel adalah daerah yang dibatasi oleh garis pada sistem koordinat kartesius.

Daerah tersebut dinamakan Daerah Penyelesaian (DP) PtLDV dan dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

1. Metode Uji Titik

Untuk memahami metode ini, perhatikan contoh di bawah ini.

Diketahui pertidaksamaan linear dua variabel adalah ax + by ≤ c.
Langkah yang harus kamu lakukan:

a. Gambarlah grafik ax + by = c

b. Jika tanda ketidaksamaan berupa ≤ atau ≥, garis pembatas digambar penuh. Jika tanda ketidaksamaan berupa < atau >, garis pembatas digambar putus-putus

c. Uji titik. Ambil sembarang titik, misalkan (x1, y1) dengan (x2, y2) di luar garis ax + by = c,

d. Masukkan nilai titik (x1, y1) atau (x2, y2) tersebut ke dalam pertidaksamaan ax + by ≤ c

e. Ada dua kemungkinan, yaitu jika hasil ketidaksamaan ax1 + by1 ≤ c bernilai benar, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (x1,y1) dengan batas garis ax + by = c. Namun, jika ketidaksamaan ax1 + by1 ≤ c bernilai salah, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (x1, y1) dengan batas garis ax + by = c.

2. Memperhatikan Tanda Ketidaksamaan

Daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel dapat ditentukan di kanan atau di kiri garis pembatas dengan cara memperhatikan tanda ketidaksamaan. Berikut ini langkah-langkahnya.

a. Pastikan koefisien x dan pertidaksamaan linear dua variabel tersebut positif. Jika tidak positif, kalikan pertidaksamaan dengan -1. Ingat, jika pertidaksamaan dikali -1, tanda ketidaksamaan berubah.

b. Jika koefisien x dari PtLDV sudah positif. Perhatikan tanda ketidaksamaannya.

- Jika tanda ketidaksamaan <,>

- Jika tanda ketidaksamaan ≤, daerah penyelesaian ada di kiri dan pada garis pembatas.

- Jika tanda ketidaksamaan >, daerah penyelesaian ada di kanan garis pembatas.

- Jika tanda ketidaksamaan ≥, daerah penyelesaian ada di kanan dan pada garis pembatas.

Contoh:

2x + 5y ≥ 7

Jawaban: Daerah penyelesaian ada di kanan dan pada garis 2x + 5y = 7.

-3x + 8y ≥ 15

Jawaban:

= -3x + 8y ≥ 15 dikali -1 agak koefisien x menjadi positif

= 3x - 8y ≤ -15

= Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis -3x + 8y = 15


3. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel atau SPtLDV adalah gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel. Langkah sederhana untuk menyelesaikan SPtLDV, yaitu

a. Cari titik x saat y = 0, begitu juga sebaliknyab. Gambarlah grafik sesuai dengan titik x dan y

c. Arsir daerah yang sesuai dengan tanda pertidaksamaan

Contoh: 4x + 8y ≥ 16

Jawaban:

1. Mencari nilai x= Jika y = 0, maka menjadi 4x = 16= x = 16/4

= x = 4

2. Mencari nilai y= Jika x = 0, maka menjadi 8y = 16= y = 16/8

= y = 2

3. Gambarlah grafik dengan titik x = 4 dan y = 2 atau (4, 2).

4. Arsir daerah sesuai dengan tanda pertidaksamaan

Berikut ini cara untuk menentukan himpunan pada sistem persamaan linear dua variabel kecuali
Daerah penyelesaian pertidaksamaan Foto: IST

Contoh Soal Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Untuk mengasah kemampuanmu dalam memahami pertidaksamaan linear dua variabel, coba kerjakan soal di bawah ini, yuk!

1. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel ini

5x + 6y > 30

Jawaban:

1. Mencari nilai x= Jika y = 0, 5x = 30= x = 30/5

= x = 6

2. Mencari nilai y= Jika x = 0, 6y = 30= y = 30/6

= y = 5

3. Gambarlah grafik dengan titik x = 6 dan y = 5 atau (6, 5)

4. Arsir daerah sesuai dengan tanda pertidaksamaan

Berikut ini cara untuk menentukan himpunan pada sistem persamaan linear dua variabel kecuali
Daerah penyelesaian pertidaksamaan Foto: Ist

2. Diketahui pertidaksamaan linear dua variabel adalah -4x + 2y ≤ 8. Tentukan daerah penyelesaiannya.

Jawaban:1. Kalikan dengan -1, menjadi 4x + 2y ≥ 82. Mencari nilai x= Jika y = 0, 4x = 8= x = 8/4= x = 23. Mencari nilai y= Jika x = 0, 2y = 8= y = 8/2= y = 44. Gambarlah grafik dengan titik x = 2 dan y = 4 atau (2, 4)

5. Arsir daerah sesuai dengan tanda pertidaksamaan

3. Diketahui pertidaksamaan linear dua variabel adalah 8x + 4y ≥ 40. Tentukan daerah penyelesaiannya.

Jawaban:1. Mencari nilai x= Jika y = 0, 8x = 40= x = 40/8= x = 52. Mencari nilai y= Jika x = 0, 4y = 40= y = 40/4= y = 103. Gambarlah grafik dengan titik x = 5 dan y = 10 atau (5, 10)

4. Arsir daerah sesuai dengan tanda pertidaksamaan

4. Sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah ...

Berikut ini cara untuk menentukan himpunan pada sistem persamaan linear dua variabel kecuali
Daerah penyelesaian pertidaksamaan Foto: IST

(0,6) dan (7,0)

6x + 7y = 6.76x + 7y = 42

Lihat daerah yang diarsir berada di sebelah kiri garis 6x + 7y = 42, berarti daerah yang diarsir pertidaksamaannya : 6x + 7y ≤ 42

Kemudian, (0,4) dan (9,0)4x + 9 y = 36

Daerah yang diarsir berada di sebelah kanan, berarti daerah yang diarsir pertidaksamaannya : 4x + 7y ≥ 36

3. x ≥ 0
4. y ≥ 0

Jadi sistem pertidaksamaannya 6x + 7y ≤ 42, 4x + 7y ≥ 36, x ≥ 0, y ≥ 0


5. Contoh soal pertidaksamaan linear dua variabel berikutnya. Buatlah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut x + y ≤ 6, 2x + 3y ≤ 12, x ≥ 1, y ≥ 0 Langkah pertama tentukan titikx + y ≤ 6x + y = 6

(0,6) dan (6,0)

2x + 3y ≤ 122x + 3 y = 12Nilai x : jika y = 0, maka menjadi 2x = 12, x = 6Nilai y : jika x = 0, maka menjadi 3y = 12, y = 4

(0,4) dan (6,0)

Berikut ini cara untuk menentukan himpunan pada sistem persamaan linear dua variabel kecuali
Daerah penyelesaian pertidaksamaan Foto: IST

Simak Video "Momen Jokowi Bertemu Anak-anak Pandai Matematika di Sumut"


[Gambas:Video 20detik]
(pal/pal)

       Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) merupakan salah satu materi matematika yang dipelajari saat tingkat SMP. Untuk memantapkan pemahaman tentang materi ini, berikut disajikan sejumlah soal beserta pembahasannya yang super lengkap dengan tipe berupa soal pemahaman dan soal cerita (aplikasi). Soal juga dapat diunduh melalui tautan berikut: Download (PDF, 367 KB).

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – SPLTV

Quote by Nuril Baskan

Kalau kamu sendirian, kendalikan pikiranmu. Kalau kamu dalam keramaian, kendalikan bicaramu. Kalau kamu dalam masalah, kendalikan emosimu. Kalau kamu dalam kesuksesan, kendalikan egomu.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Persamaan berikut tergolong persamaan linear dua variabel, kecuali $\cdots \cdot$
A. $7x+15=4y$
B. $6x-\dfrac{2y}{3} = 4$
C. $4x-12=3xy$
D. $\dfrac{5x}{2}+\dfrac{3y}{4}=10$

Persamaan $4x-12=3\color{red}{xy}$ tidak tergolong sebagai persamaan linear dua variabel karena memuat suku yang merupakan perkalian antara dua variabel berbeda (ditandai dengan warna merah).
(Jawaban C)

Baca Juga: Soal Cerita dan Pembahasan – Bentuk Aljabar Sederhana

Soal Nomor 2

Himpunan penyelesaian dari persamaan $2x+4y=8$ untuk $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ dan $y \in$ bilangan bulat adalah $\cdots \cdot$
A. $\{(2, 0), (1, 2), (0, 4)\}$
B. $\{(0, 2), (2, 3), (4, 4)\}$
C. $\{(0, -2), (2, -1), (4, 0)\}$
D. $\{(0, 2), (2, 1), (4, 0)\}$

Diketahui $2x + 4y = 8$.
Persamaan ini dapat disederhanakan dan diubah bentuknya seperti berikut.
$\begin{aligned} 2x + 4y & = 8 \\ \text{Bagi kedua ruas}&~\text{dengan}~2 \\ x + 2y & = 4 \\ 2y & = 4-x \\ y & = \dfrac{4-x}{2} \end{aligned}$
Jika $x = 0$, maka $y = \dfrac{4-0}{2} = 2$.
Jika $x = 1$, maka $y = \dfrac{4-1}{2} = \dfrac32$.
Jika $x = 2$, maka $y = \dfrac{4-2}{2} = 1$.
Jika $x = 3$, maka $y = \dfrac{4-3}{2} = \dfrac12$.
Jika $x = 4$, maka $y = \dfrac{4-4}{2} = 0$.
Jika $x = 5$, maka $y = \dfrac{4-5}{2} = -\dfrac12$.
Karena $y \in$ bilangan bulat, maka himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah $\{(0, 2), (2, 1), (4, 0)\}$.
(Jawaban D)

Soal Nomor 3

Penyelesaian dari sistem persamaan $2x-3y=-13$ dan $x+2y=4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-2$ dan $y=-3$
B. $x=-2$ dan $y=3$
C. $x=2$ dan $y=-3$
D. $x=2$ dan $y=3$

Diketahui SPLDV: $\begin{cases} 2x-3y & = -13 && (\cdots 1) \\ x+2y & = 4 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x-3y & = 13 \\ x + 2y & = 4 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x-3y & = -13 \\ 2x+4y & = 8 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -7y & = -21 \\ y & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $y = 3$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} x+2\color{red}{y} & = 4 \\ x+2(3) & = 4 \\ x+6 & = 4 \\ x & = -2 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $x=-2$ dan $y=3$.
(Jawaban B)

Soal Nomor 4

Jika $x$ dan $y$ merupakan penyelesaian sistem persamaan $2x-y=7$ dan $x+3y=14$, maka nilai $x+2y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$                        C. $11$
B. $9$                        D. $13$         

Diketahui SPLDV $\begin{cases} 2x-y & = 7 && (\cdots 1) \\ x+3y& = 14 && (\cdots 2) \end{cases}$

Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.


$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x -y & = 7 \\ x + 3y & = 14 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6x -3y & = 21 \\ x+3y & = 14 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 7x & = 35 \\ x & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x = 5$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2\color{red}{x} -y & = 7 \\ 2(5) -y & = 7   \\  10 -y & = 7 \\ y & = 3  \end{aligned}$
Diperoleh nilai $y = 3$ sehingga $\boxed{x+2y=5+2(3)=11}$
(Jawaban C)

Soal Nomor 5

Jika $x$ dan $y$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan $2x+3y=3$ dan $3x-y=10$, maka nilai $2x-y = \cdots \cdot$ A. $3$                         C. $5$

B. $4$                         D. $7$

Diberikan SPLDV $\begin{cases} 2x+3y & = 3 && (\cdots 1) \\ 3x-y & = 10 && (\cdots 2) \end{cases}$ Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.

$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + 3y & = 3 \\ 3x -y & = 10 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x+3y & = 3 \\~9x-3y & = 30 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 11x & = 33 \\ x & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$


Substitusi $x = 3$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2\color{red}{x} + 3y & = 3 \\ 2(3) + 3y & = 3 \\ 6 + 3y & = 3 \\ 3y & = -3 \\ y & = -1 \end{aligned}$
Diperoleh nilai $y = -1$ sehingga $\boxed{2x-y = 2(3)-(-1) = 7}$
(Jawaban D)

Soal Nomor 6

Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel $\begin{cases} 7x+3y=-5 \\ 5x+2y=1 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{(13,-32)\}$                     

B. $\{(-13,-32)\}$ C. $\{(32,-13)\}$

D. $\{(-32,-13)\}$               

Diketahui SPLDV $\begin{cases} 7x+3y & =-5 && (\cdots 1) \\ 5x+2y & =1 && (\cdots 2) \end{cases}$

Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.


$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7x+3y & = -5 \\ 5x+2y & = 1 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~14x+6y & = -10 \\~15x+6y & = 3 \end{aligned} \\ & \rule{3.2 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -x & = -13 \\ x & = 13 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x = 13$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 7\color{red}{x}+3y & = -5 \\ 7(13) + 3y & = -5 \\ 3y & = -96 \\ y & = -32 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah $\boxed{\{(13, -32)\}}$
(Jawaban A)

Soal Nomor 7

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
$\begin{cases} x- y & = 5 \\ 3x -5y & = 5 \end{cases}$
adalah $\cdots \cdot$

A. $\{(-2,9)\}$                   C. $\{(-5, 10)\}$ B. $\{(10,5)\}$                    D. $\{(5, 10)\}$

Diketahui SPLDV $\begin{cases} x- y & = 5 && (\cdots 1) \\ 3x -5y & = 5 && (\cdots 2) \end{cases}$

Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.


$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-y & = 5 \\ 3x -5y & = 5 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x-3y & = 15 \\~3x-5y & = 5 \end{aligned} \\ & \rule{2.7 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 2y & = 10 \\ y & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $y = 5$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} x-\color{red}{y} & = 5 \\ x-5 & = 5 \\ x & = 10 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah $\boxed{\{(10, 5)\}}$
(Jawaban B)

Soal Nomor 8

Penyelesaian dari sistem persamaan $\dfrac{p}{2}+\dfrac{q}{4} = 1\dfrac34$ dan $\dfrac{p}{4}+\dfrac{q}{3} = \dfrac14$ adalah $\cdots \cdot$
A. $p=5$ dan $q=3$
B. $p=5$ dan $q=-3$
C. $p=-5$ dan $q=3$
D. $p=-5$ dan $q=-3$

Diketahui SPLDV: $\begin{cases} \dfrac{p}{2}+\dfrac{q}{4} & = \dfrac74 && (\cdots 1) \\ \dfrac{p}{4}+\dfrac{q}{3} & = \dfrac14 && (\cdots 2) \end{cases}$
Kedua ruas dikalikan $4$ pada persamaan pertama, sedangkan kedua ruas dikalikan $12$ pada persamaan kedua sehingga kita peroleh
$\begin{cases} 2p + q & = 7 && (\cdots 1) \\ 3p+4q & = 3 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2p+q & = 7 \\ 3p+4q & = 3 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~8p+4q & = 28 \\ 3p+4q & = 3 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 5p & = 25 \\ p & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $p=5$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2\color{red}{p}+q & = 7 \\ 2(5)+q & = 7 \\ 10+q & = 7 \\ q & = -3 \end{aligned}$

Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $p=5$ dan $q=-3.$
(Jawaban B)

Soal Nomor 9

Akar dari sistem persamaan
$\begin{cases} \dfrac{x+3}{4}-\dfrac{y-2}{3} & = 3\dfrac{1}{12} \\ \dfrac{x-3}{2}-\dfrac{y+4}{3} & = -\dfrac16 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-2$ dan $y=4$
B. $x=2$ dan $y=4$
C. $x=4$ dan $y=-2$
D. $x=4$ dan $y=2$

Diketahui SPLDV: $\begin{cases} \dfrac{x+3}{4}-\dfrac{y-2}{3} & = \dfrac{37}{12} && (\cdots 1) \\ \dfrac{x-3}{2}-\dfrac{y+4}{3} & = -\dfrac16 && (\cdots 2) \end{cases}$
Pada persamaan $(1)$, kalikan $12$ pada kedua ruasnya untuk memperoleh
$\begin{aligned} 3(x+3)-4(y-2) & = 37 \\ 3x+9-4y+8 & = 37 \\ 3x-4y+17 & = 37 \\ 3x-4y & = 20 \end{aligned}$
Pada persamaan $(2)$, kalikan $6$ pada kedua ruasnya untuk memperoleh
$\begin{aligned} 3(x-3)-2(y+4) & = -1 \\ 3x-9-2y-8 & = -1 \\ 3x-2y-17 & = -1 \\ 3x-2y & = 16 \end{aligned}$
Kita peroleh SPLDV yang lebih sederhana.
$\begin{cases} 3x-4y & = 20 && (\cdots 1) \\ 3x-2y & = 16 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $x$ pada kedua persamaan di atas sehingga kita dapatkan
$\begin{aligned} -4y-(-2y) & = 20-16 \\ -2y & = 4 \\ y & = -2 \end{aligned}$
Substitusi $y=-2$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 3x-2\color{red}{y} & = 16 \\ 3x-2(-2) & = 16 \\ 3x+4 & = 16 \\ 3x & = 12 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, akar (penyelesaian) sistem persamaan tersebut adalah $x = 4$ dan $y = -2.$
(Jawaban C)

Soal Nomor 10

Jika $p$ dan $q$ adalah akar dari sistem persamaan $2p+3q=2$ dan $4p-q=18$, maka $5p-2q^2 = \cdots \cdot$
A. $4$                          C. $28$
B. $12$                       D. $36$

Diketahui SPLDV: $\begin{cases} 2p+3q & = 2 && (\cdots 1) \\ 4p-q & = 18 && (\cdots 2) \end{cases}$.
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2p+3q & = 2 \\ 4p-q & = 18 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4p+6q & = 4 \\ 4p-q & = 18 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 7q & = -14 \\ q & = -2 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $q = -2$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 4p-\color{red}{q} & = 18 \\4p-(-2) & = 18 \\ 4p & = 16 \\ p & = 4 \end{aligned}$
Jadi, akar (penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $p=4$ dan $q=-2$.
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{\begin{aligned} 5p-2q^2 & =5(4)-2(-2)^2 \\ & =20-8=12 \end{aligned}}$
(Jawaban B)

Soal Nomor 11

Jika $x$ dan $y$ adalah akar dari sistem persamaan $x^2-2y^2=-2$ dan $3x^2+y^2=57$, maka nilai $2x^2-3y^2=\cdots \cdot$
A. $-30$                      C. $5$
B. $-5$                        D. $30$

Sistem persamaan di atas memang bukan termasuk SPLDV, tetapi dapat dibuat sebagai SPLDV dengan memisalkan $x^2 = a$ dan $y^2 = b$ sehingga diperoleh
$\begin{cases} a-2b &= -2 && (\cdots 1) \\ 3a+b & = 57 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-2b & = -2 \\ 3a+b & = 57 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~a-2b & = -2 \\~6a+2b & = 114 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 7a & = 112 \\ a & = 16 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $a = 16$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 3\color{red}{a}+b & = 57 \\ 3(16) + b & = 57 \\ b & = 9 \end{aligned}$
Untuk itu, nilai dari $\boxed{\begin{aligned} 2x^2-3y^2 & = 2a-3b \\ & = 2(16)-3(9) \\ &= 32-27=5 \end{aligned}}$
(Jawaban C)

Soal Nomor 12

Diketahui $a$ dan $b$ memenuhi sistem persamaan berikut.
$\begin{cases} \dfrac{7}{a+b}+\dfrac{6}{a-b} & = 3 \\ \dfrac{7}{a+b}-\dfrac{3}{a-b} & = 0 \end{cases}$
Nilai dari $a^2-b^2=\cdots \cdot$
A. $-29$                      C. $21$
B. $-21$                      D. $29$

Misalkan $x = \dfrac{1}{a+b}$ dan $y = \dfrac{1}{a-b}$ sehingga kita peroleh SPLDV
$\begin{cases} 7x+6y & = 3 && (\cdots 1) \\ 7x-3y & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$
Kita akan mencari nilai dari $a^2-b^2=(a+b)(a-b) = \dfrac{1}{xy}$, yang mengharuskan kita untuk mencari masing-masing nilai $x$ dan $y$ terlebih dahulu.
Dari SPLDV di atas, kita dapat langsung mengeliminasi $x$ dengan mengurangkan kedua persamaan.
$\begin{aligned} (7x+6y)-(7x-3y) & = 3-0 \\ 9y & = 3 \\ y & = \dfrac13 \end{aligned}$
Substitusi $y = \dfrac13$ pada salah satu persamaan, misalnya pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 7x-3\color{red}{y} & = 0 \\ 7x-3\left(\dfrac13\right) & = 0 \\ 7x-1 & = 0 \\ x & = \dfrac17 \end{aligned}$
Dengan demikian, kita akan peroleh $\dfrac{1}{xy} = \dfrac{1}{\frac17 \cdot \frac13} = 21$. Jadi, nilai dari $\boxed{a^2-b^2=21}$
(Jawaban C)

Soal Nomor 13

Perhatikan grafik berikut.

Berikut ini cara untuk menentukan himpunan pada sistem persamaan linear dua variabel kecuali
Titik $(1, 2)$ merupakan titik potong dua garis. Dengan kata lain, titik tersebut akan menjadi penyelesaian dari sistem persamaan $\cdots \cdot$
A. $x+2y=-3$ dan $2x-y=-4$
B. $x-2y=-3$ dan $2x-y=-4$
C. $x+2y=-3$ dan $2x+y=4$
D. $x-2y=-3$ dan $2x+y=4$

Kita akan menentukan dua persamaan garis yang ada pada gambar di atas.
Garis pertama melalui titik $(2, 0)$ dan $(0, 4)$. Karena kita tahu koordinat titik potong terhadap sumbu koordinat, maka kita akan lebih mudah menentukan persamaan garisnya.
Persamaan garis pertama adalah $2x + y = 4$.

Garis kedua melalui titik $(-3, 0)$ dan $(1, 2)$. Untuk mencari persamaan garisnya, bisa menggunakan cara kece berikut.

Berikut ini cara untuk menentukan himpunan pada sistem persamaan linear dua variabel kecuali

Persamaan garis kedua adalah $x-2y=-3.$
Jadi, titik $(1, 2)$ merupakan penyelesaian sistem persamaan $x-2y=-3$ dan $2x+y=4$.
(Jawaban D)

Baca: Soal dan Pembahasan – Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Soal Nomor 14

Jumlah dua bilangan cacah adalah $27$ dan selisih kedua bilangan itu adalah $3$. Hasil kali kedua bilangan itu adalah $\cdots \cdot$
A. $81$                          C. $180$
B. $176$                       D. $182$

Misalkan bilangan cacah itu adalah $a$ dan $b$, dengan $a > b$ sehingga diperoleh SPLDV
$\begin{cases} a+b & = 27 && (\cdots 1) \\ a-b & = 3 && (\cdots 2) \end{cases}$
Jumlahkan keduanya dan kita peroleh $2a = 30$, berarti $a = 15$, dan $b = 12$.
Hasil kali $a$ dan $b$ adalah $ab = 15(12) = 180$.
Jadi, hasil kali dua bilangan tersebut adalah $\boxed{180}$
(Jawaban C)

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Soal Nomor 15

Harga $5$ pensil dan $2$ buku adalah Rp26.000,00, sedangkan harga $3$ pensil dan $4$ buku Rp38.000,00. Jika harga $1$ pensil dinyatakan dengan $a$ dan harga $1$ buku dinyatakan dengan $b$, maka sistem persamaan linear dua variabel yang tepat sesuai masalah di atas adalah $\cdots \cdot$

  1. $5a+2b=26.000$ dan $4a+3b=38.000$
  2. $5a+2b=26.000$ dan $3a+4b=38.000$
  3. $2a+5b=26.000$ dan $3a+4b=38.000$
  4. $2a+5b=26.000$ dan $4a+3b=38.000$

Harga $5$ pensil dan $2$ buku adalah Rp26.000,00, kita tulis $5a + 2b = 26.000.$
Harga $3$ pensil dan $4$ buku adalah Rp38.000,00, kita tulis $3a + 4b = 38.000.$
Jadi, SPLDV yang sesuai adalah
$\begin{cases} 5a+2b=26.000 \\ 3a+4b=38.000 \end{cases}$ 
(Jawaban B)

Soal Nomor 16

Andi membeli $2$ buku tulis dan $3$ pensil seharga Rp8.500,00, sedangkan Didit membeli $3$ buku tulis dan $2$ pensil seharga Rp9.000,00. Jika Anita membeli $1$ buku dan $1$ pensil, maka ia harus membayar sebesar $\cdots \cdot$
A. Rp5.000,00              C. Rp4.000,00
B. Rp4.500,00             D. Rp3.500,00

Misalkan $x$ = harga $1$ buku tulis dan $y$ = harga $1$ pensil sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut. $\begin{cases} 2x + 3y & = 8.500 && (\cdots 1) \\ 3x + 2y & = 9.000 && (\cdots 2) \end{cases}$ Jumlahkan persamaan $(1)$ dan $(2)$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 8.500 \\ 3x+2y & = 9.000 \end{aligned} \\ \rule{3.4 cm}{0.6pt} + \\  \! \begin{aligned} 5x + 5y& = 17.500 \\ x + y & = 3.500 \end{aligned} \end{aligned}$ Dengan demikian, Anita harus membayar Rp3.500,00 untuk membeli $1$ buku tulis dan $1$ pensil.

(Jawaban D) 

Soal Nomor 17

Umur Amar $\dfrac23$ kali umur Bondan. Enam tahun mendatang, jumlah umur mereka $42$ tahun. Selisih umur Amar dan Bondan adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ tahun                       C. $4$ tahun
B. $3$ tahun                       D. $6$ tahun

Misalkan umur Amar = $A$ dan umur Bondan = $B$.
Kita peroleh SPLDV berikut.
$$\begin{cases} A & = \dfrac23B && (\cdots 1) \\ (A+6)+(B+6) & = 42 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusi persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} (\color{red}{A}+6)+(B+6) & = 42 \\ \dfrac23B+6+B+6 & = 42 \\ \dfrac53B & = 30 \\ B & = 30 \times \dfrac35 = 18 \end{aligned}$
Umur Bondan saat ini $18$ tahun, berarti umur Amar sekarang adalah $\dfrac23(18) = 12$ tahun.
Selisih umur mereka berdua adalah $\boxed{18-12=6~\text{tahun}}$
(Jawaban D)

Soal Nomor 18

Harga $5$ kg gula pasir dan $30$ kg beras adalah Rp410.000,00, sedangkan harga $2$ kg gula pasir dan $60$ kg beras adalah Rp740.000,00. Harga $2$ kg gula pasir dan $5$ kg beras adalah $\cdots \cdot$
A. Rp154.000,00                             

B. Rp80.000,00 C. Rp74.000,00

D. Rp32.000,00                           

Misalkan $x$ = harga gula pasir per kg dan $y$ = harga beras per kg sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut. $\begin{cases} 5x + 30y & = 410.000 && (\cdots 1) \\ 2x + 60y & = 740.000 && (\cdots 2) \end{cases}$ Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x+30y & = 410.000 \\ 2x+60y & = 740.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 10x+60y & = 820.000 \\ 2x+60y & = 740.000 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 8x & = 80.000 \\ x & = 10.000 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $x = 10.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$. $\begin{aligned} 5\color{red}{x} +30y & = 410.000 \\ 5(10.000) + 30y & = 410.000 \\ 50.000 + 30y & = 410.000 \\ 30y & = 360.000 \\ y & = 12.000 \end{aligned}$ Jadi, harga $1$ kg gula pasir adalah Rp10.000,00 dan harga $1$ kg beras adalah Rp12.000,00. Dengan demikian, harga $2$ kg gula pasir dan $5$ kg beras adalah $2 \times 10.000 + 5 \times 12.000 =$ $\boxed{\text{Rp}80.000,00}$

(Jawaban B) 

Soal Nomor 19

Harga $2$ kg gula pasir dan $3$ kg beras adalah Rp27.000,00, sedangkan harga $3$ kg gula pasir dan $3$ kg beras adalah Rp33.000,00. Harga $1$ kg gula pasir dan $1$ kg beras (masing-masing) adalah $\cdots \cdot$
A. Rp6.000,00 dan Rp5.000,00
B. Rp5.000,00 dan Rp6.000,00
C. Rp5.000,00 dan Rp7.000,00
D. Rp7.000,00 dan Rp5.000,00

Misalkan $x$ = harga gula pasir per kg dan $y$ = harga beras per kg sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut. $\begin{cases} 2x + 3y & = 27.000 && (\cdots 1) \\ 3x + 3y & = 33.000 && (\cdots 2) \end{cases}$ Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 27.000 \\ 3x+3y & = 33.000 \end{aligned} \\  \rule{3.3 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} -x & = -6.000 \\ x & = 6.000 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $x = 6.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(1)$. $\begin{aligned} 2\color{red}{x} +3y & = 27.000 \\ 2(6.000) + 3y & = 27.000 \\ 12.000 + 3y & = 27.000 \\ 3y & = 15.000 \\ y & = 5.000 \end{aligned}$ Jadi, harga $1$ kg gula pasir adalah Rp6.000,00 dan harga $1$ kg beras adalah Rp5.000,00.

(Jawaban A)

Soal Nomor 20

Keliling lapangan yang berbentuk persegi panjang adalah $58$ meter. Jika selisih panjang dan lebarnya $9$ meter, maka luas lapangan tersebut adalah $\cdots~\text{m}^2$.
A. $95$                          C. $261$
B. $190$                       D. $380$

Diketahui keliling persegi panjang 58 meter, berarti ditulis
$2(p + l) = 58 \Leftrightarrow p + l = 29.$
Diketahui juga bahwa selisih panjang dan lebar 9 meter, berarti ditulis $p -l = 9.$
Dengan demikian, diperoleh SPLDV
$\begin{cases} p + l  &= 29 && (\cdots 1) \\ p -l & = 9 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $l$ dari persamaan $(1)$ dan $(2).$
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} p + l & = 29 \\ p -l& = 9 \end{aligned} \\ \rule{2.3 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 2p & = 38 \\ p & = 19 \end{aligned} \end{aligned}$
Untuk $p=19$, diperoleh $19-l = 9$, yang berarti $l = 10$. 
Jadi, luasnya adalah $\boxed{L = pl = 19(10) = 190~\text{m}^2}$ 
(Jawaban B)

Soal Nomor 21

Sukardi membeli kue untuk merayakan acara ulang tahun pacarnya. Kue yang dibeli ada $2$ jenis, yaitu kue nastar dan kue keju. Harga $1$ kaleng kue nastar sama dengan dua kali harga $1$ kaleng kue keju. Jika harga $3$ kaleng kue nastar dan $2$ kaleng kue keju adalah Rp480.000,00, maka uang yang harus dibayar Sukardi apabila ia memutuskan untuk membeli $2$ kaleng kue nastar dan $3$ kaleng kue keju adalah $\cdots \cdot$
A. Rp480.000,00                      

B. Rp420.000,00 C. Rp360.000,00

D. Rp180.000,00                    

Misalkan $x =$ harga satu kaleng kue nastar dan $y =$ harga satu kaleng kue keju. Dengan demikian, diperoleh SPLDV
$\begin{cases} x & = 2y \\ 3x + 2y & = 480.000 \end{cases}$ 
Substitusi $2y = x$ pada persamaan $2$ sehingga ditulis
$\begin{aligned} 3x + \color{red}{x} & = 480.000 \\ 4x & = 480.000 \\ x & = 120.000 \end{aligned}$
Ini berarti, $y = \dfrac{1}{2} \cdot 120.000 = 60.000$ 
Harga $2$ kaleng kue nastar dan $3$ kaleng kue keju adalah
$\begin{aligned} 2x + 3y & = 2(120.000) + 3(60.000) \\ & = 240.000 + 180.000 \\ & = 420.000 \end{aligned}$
Jadi, uang yang harus dibayar Sukardi adalah Rp420.000,00.
(Jawaban B)

Soal Nomor 22

Budi dan Joko membeli buku tulis dan pulpen di toko Pak Umar. Budi membeli $10$ buku tulis dan $4$ pulpen dengan harga Rp36.000,00. Joko membeli $5$ buku tulis dan $8$ pulpen dengan harga Rp27.000,00. Harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen masing-masing adalah $\cdots \cdot$               
A. Rp2.000,00 dan Rp2.000,00              

B. Rp2.500,00 dan Rp2.750,00 C. Rp3.000,00 dan Rp1.750,00 D. Rp3.000,00 dan Rp1.500,00

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen sehingga terbentuk SPLDV $\begin{cases} 10x + 4y & = 36.000 && (\cdots 1) \\ 5x + 8y & = 27.000 && (\cdots 2) \end{cases}$ Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 10x + 4y & = 36.000 \\ 5x + 8y & = 27.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \div 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~5x+2y & = 18.000 \\~5x+8y & = 27.000 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 6y & = 9.000 \\ y & = 1.500 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 1.500$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama. $\begin{aligned} 5x + 2\color{red}{y} & = 18.000 \\ 5x + 2(1.500) & = 18.000 \\ 5x + 3.000 & = 18.000 \\ 5x & = 15.000 \\ x & = 3.000 \end{aligned}$ Jadi, harga $1$ buku tulis dan $1$ pulpen berturut-turut adalah Rp3.000,00 dan Rp1.500,00.

(Jawaban D)

Soal Nomor 23

Perhatikan gambar berikut.

Berikut ini cara untuk menentukan himpunan pada sistem persamaan linear dua variabel kecuali
Gambar a dan b masing-masing menunjukkan potongan struk belanjaan Lucky dan Claresta di Indo April Alun-alun Pacitan. Jika pada hari yang sama, Audrey memiliki uang Rp165.000,00 dan ingin membeli buku tulis 10’s dan pensil 2B dengan kuantitas terbanyak, maka barang yang dapat dibeli olehnya adalah $\cdots \cdot$

  1. empat buku tulis 10’s dan enam pensil 2B
  2. enam buku tulis 10’s dan empat pensil 2B
  3. sepuluh buku tulis 10’s dan enam pensil 2B
  4. enam buku tulis 10’s dan delapan pensil 2B

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan harga 1 buku tulis 10’s dan 1 pensil sehingga terbentuk SPLDV $\begin{cases} 2x + 3y & = 80.000 && (\cdots 1) \\ x + y & = 35.000 && (\cdots 2) \end{cases}$ Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + 3y & = 80.000 \\ x + y & = 35.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x + 3y & = 80.000 \\~2x + 2y & = 70.000 \end{aligned} \\ & \rule{3.6 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} y & = 10.000  \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 10.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $(2)$. $\begin{aligned} x + \color{red}{y} & = 35.000 \\ x + 10.000 & = 35.000 \\ x & = 25.000  \end{aligned}$ Ini berarti, harga $1$ buku tulis 10’s dan $1$ pensil berturut-turut adalah Rp25.000,00 dan Rp10.000,00.

Cek alternatif jawaban:

  1. empat buku tulis 10’s dan enam pensil 2B
    $\begin{aligned} 4x + 6y & = 4(25.000) + 6(10.000) \\ & = 160.000 \end{aligned}$
  2. enam buku tulis 10’s dan empat pensil 2B $\begin{aligned} 6x + 4y & = 6(25.000) + 4(10.000) \\ & = 190.000 \end{aligned}$

    (kelebihan)

  3. sepuluh buku tulis 10’s dan enam pensil 2B
    $\begin{aligned} 10x + 6y & = 10(25.000) + 6(10.000) \\ & = 310.000 \end{aligned}$
    (kelebihan)
  4. enam buku tulis 10’s dan delapan pensil 2B
    $\begin{aligned} 6x + 8y & = 6(25.000) + 8(10.000) \\ & = 230.000 \end{aligned}$
    (kelebihan)
    (Jawaban A)