Berapakah besar sudut keliling jika besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama besarnya 130?

Home » Kelas VIII » Sudut Pusat Dan Sudut Keliling Lingkaran

Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, dimana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu yang dimaksud disebut titik pusat. Sebuah lingkaran memiliki beberapa unsur yang membentuk lingkaran tersebut. Unsur-unsur lingkaran antara lain : Busur, Jari-jari, Diameter, Tali busur, Apotema, Juring, dan tembereng Pada tulisan ini hanya akan dibahas mengenai sudut pusat dan sudut keliling pada lingkaran saja. Pengertian sudut pusat dan sudut keliling lingkaran antara lain sebagai berikut.

Sudut pusat adalah sudut yang titik pusatnya adalah titik pusat lingkaran.Sudut keliling adalah sudut yang kaki sudutnya berhimpit dengan tali busur, dan titik pusatnya berhimpit dengan suatu titik pada lingkaran.

Alat dan bahan yang perlu dipersiapkan sebelum kegiatan pembelajaran antara lain potongan kertas berbentuk lingkaran.  Siapkan busur derajat. Perhatikan gambar di bawah ini.

Ayo Kita Menggali Informasi Untuk mengetahui hubungan tersebut, kalian perlu mencarinya. Salah satu cara untuk mencari tahu hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling yang menghadap busur sama adalah dengan kegiatan melipat-lipat kertas. Ikuti kegiatan berikut.

1. Buatlah sketsa dua lingkaran dengan jari-jari sama (misal 5 cm), lalu guntinglah dengan rapi.
2. Lipatlah kedua lingkaran sehingga membentuk sudut pusat 90°. Lalu tandai 2 titik pada busur yang terbentuk misal titik A dan B.
3. Buka salah satu lipatan tersebut, lalu lipat membentuk sudut keliling tertentu yang masing-masing kaki sudutnya melalui titik A dan B. (Keterangan: Misal kaki sudut satu melalui titik A, maka kaki sudut lainnya melalui titik B)
4. Bandingkan besar sudut keliling dengan sudut pusat yang telah kalian buat.
5. Lakukan kembali langkah 1 sampai 4 untuk tiga sudut pusat berbeda.
6. Gunakan busur derajat untuk mengukur besar sudut pusat yang kalian buat.
7. Catatlah hasil percobaan kalian pada tabel berikut.

Ayo Kita Menalar Perhatikan gambar ke enam pada kegiatan Ayo Kita Amati.

1. Pada gambar tersebut sebutkan sudut keliling yang terbentuk. Sudut keliling MEN dan MFN Sudut pusat MON
2. Kedua sudut keliling serta sudut pusat menghadap busur yang sama, yaitu Busur MN
3. Menurut kalian bagaimanakah hubungan antara kedua sudut keliling tersebut? Jelaskan. Kedua sudut keliling besarnya adalah sama, karena menghadap busur MN.
4. Seandainya kalian membuat sebarang sudut keliling baru yang menghadap busur MN. Bagaimanakah hubungan antara sudut keliling baru tersebut dengan sudut keliling MEN dan MFN? Seandainya dibuat sudut keliling lain yang menghadap busur MN, maka besarnya adalah sama dengan sudut keliling MEN dan MFN.
5. Seandainya kalian disuruh membuat semua sudut keliling yang menghadap busur MN. Berapa banyak sudut keliling yang bisa kalian buat? Tak hingga banyak sudut keliling menghadap busur MN yang bisa dibuat.
6. Bagaimanakah hubungan antar semua sudut keliling tersebut? Jelaskan. Semua sudut keliling tersebut besarnya adalah sama, karena menghadap busur yang, yaitu busur MN.
7. Bagaimanakah hubungan antara semua sudut keliling tersebut dengan sudut pusat yang menghadap busur yang sama? Jelaskan. Besar sudut semua sudut keliling tersebut setengah dari sudut pusat MON.
8. Seandainya kalian diberikan suatu kertas yang berbentuk lingkaran. Bagaimanakah cara kalian membuat sudut keliling yang besarnya tepat 90o dengan cara melipat-lipat kertas tersebut Jelaskan langkah kalian. Dengan melipat lingkaran menjadi dua bagian sama, sehingga membentuk diameter lingkaran. Buatlah sudut keliling yang menghadap sudut pusat yang dibentuk oleh diameter. Maka besar sudut keliling tersebut pasti 90o, karena sudut pusat yang dibentuk oleh diameter adalah 180°

Segi Empat Tali Busur Segi empat tali busur adalah segi empat yang keempat titik sudutnya berhimpit dengan suatu lingkaran. Perhatikan segi empat tali busur ABCD berikut.

Dengan kegiatan menalar berikut, diharapkan kalian mampu menemukan hubungan antara dua sudut yang saling berhadapan.

1. Segi empat tali busur ABCD tersusun atas dua pasang sudut keliling yang saling berhadapan. Tuliskan kedua pasang sudut keliling tersebut. ∠ABC berhadapan dengan ∠ADC, ∠DAB berhadapan dengan ∠DCB
2. Amati busur yang dihadapi oleh masing-masing sudut keliling yang saling berhadapan Bagaimanakah kedua busur tersebut? Gabungan busur-busur yang dihadapi oleh masing-masing sudut keliling yang saling berhadapan adalah lingkaran.
3. Kaitkan dengan hubungan sudut keliling dan sudut pusat yang telah kalian temukan. Lalu simpulkan hubungan antara dua sudut yang saling berhadapan pada segi empat tali busur tersebut. Kesimpulan : Pada segiempat tali busur, jumlah sudut yang berhadapan adalah 180o.

Ayo Kita Berlatih 1. Suatu sudut keliling dan sudut pusat menghadap busur yang sama. Jika sudut pusat berukuran 130° maka besar sudut keliling tersebut adalah ... Sudut pusat = 2 x sudut keliling 130 = 2 x sudut keliling sudut keliling = 130 : 2 = 65 Jadi besar sudut keliling = 65° 2. Diketahui sudut pusat POQ dan sudut keliling PAQ. Besar sudut PAQ adalah 130°. Tentukan besar sudut POQ. Diketahui : Sudut pusat = POQ Sudut keliling = PAQ = 130° Ditanya : Sudut pusat POQ ? Dijawab : Sudut pusat = 2 x sudut keliling = 2 x 130° = 260° 3. Perhatikan gambar di bawah.

Diketahui besar ∠MAN adalah 160°. Tentukan besar ∠MON. ∠MON = 2 x ∠MAN (karena ∠MAN adalah sudut keliling) = 2 x 160° = 320° 4. Perhatikan segi empat PQRS di bawah.

Diketahui m ∠ PQR = 125°, m ∠ QRS= 78° Tentukan m ∠ SPQ dan m ∠ RSP. ∠QRS + ∠SPQ = 180 78 + ∠SPQ = 180 ∠SPQ = 180 - 78 ∠SPQ = 102° ∠PQR + ∠RSP = 180 125 + ∠RSP = 180 ∠RSP = 180 - 125 ∠RSP = 55° 5. Perhatikan lingkaran O di bawah.

Diketahui m ∠ BAD = x + 20°, m ∠ BCD = 3x Tentukan m ∠BOD minor dan m ∠ BOD mayor . ∠BOD minor = 2 (x + 20) = 2x + 40 ∠BOD mayor = 2 (3x) = 6x ∠BOD minor + ∠BOD = 360 2x + 40 + 6x = 360 2x + 6x = 360 - 40 8x = 320 x = 320/8 x = 40 ∠BOD minor = 2x + 40 = 2(40) + 40 = 120° ∠BOD mayor = 6x = 6(40)

= 240°

Posted by Nanang_Ajim

Mikirbae.com Updated at: 3:35 PM

Sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran memiliki hubungan yang dapat dinyatakan dalam suatu persamaan. Hubungan tersebut terdapat pada sudut pusat dan keliling yang menghadap busur lingkaran yang sama. Di mana, hubungan sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran dinyatakan dalam persamaan sudut pusat sama dengan dua kali sudut keliling. Dengan catatan kedua sudut tersebut menghadap busur yang sama.

Jika sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran tidak menghadap busur yang sama maka hubungan tersebut tidak berlaku. Busur lingkaran adalah bagian lingkaran yang melengkung yang panjangnya merupakan bagian dari panjang keliling lingkaran.

Bagian mana yang disebut dengan sudut pusat lingkaran? Bagian mana yang disebut sudut keliling lingkaran? Apa hubungan sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran yang menghadap busur sama? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

Sudut Pusat pada Suatu Lingkaran

Sudut pusat adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh pusat lingkaran dan dua titik yang terletak pada busur lingkaran. Misalkan lingkaran dengan pusat O dan dua titik A dan B terletak pada busur lingkaran, maka sudut terkecil yang dibetuk dari ∠AOB merupakan sudut pusat yang menghadap busur AB.

Contoh lain, lingkaran dengan pusat O dan dua titik A dan B terletak pada busur lingkaran, maka sudut terkecil yang dibetuk dari ∠AOB merupakan sudut pusat yang menghadap busur CD.

Gambar di bawah akan menunjukkan letak sudut pusat secara lebih jelas.

 

 

Baca Juga: Jumlah Sudut-Sudut pada Segitiga

Keterangan:

• ∠AOB merupakan sudut pusat yang menghadap busur AB
• ∠COD merupakan sudut pusat yang menghadap busur CD

Sudut Keliling pada Suatu Lingkaran

Sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh tiga titik yang terletak pada busur lingkaran. Sebagai contoh, terdapat tiga buah titik yaitu titik A, B, dan C yang terletak pada busur lingkaran dengan pusat O. Dua tali busur dibentuk dengan menghubungkan titik A dengan C dan B dengan C. Sehingga dibentuk sebuah sudut dari pertemuan dua tali busur tersebut yaitu ∠BCA yang menghadap busur AB.

Contoh lain, titik X, Y, dan Z terletak pada busur lingkaran dengan pusat O. Dua tali busur dibentuk dengan menghubungkan titik X dengan Z dan Y dengan Z. Sehingga terbentuk sebuah sudut dari pertemuan dua tali busur tersebut yaitu ∠XZY yang menghadap busur XY.

Perhatikan gambar berikut untuk mengetahui letak sudut keliling dalam sebuah ligkaran.

 

 

Baca Juga: Garis Singgung Lingkaran bagian Dalam dan Luar

Keterangan:

• ∠BCA merupakan sudut pusat yang menghadap busur AB
• ∠XZY merupakan sudut pusat yang menghadap busur XY

Hubungan Besar Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Persamaan yang menyatakan hubungan sudut pusat dan sudut keliling adalah besar sudut pusat sama dengan dua kali besar sudut keliling. Atau hubungan juga dapat dinnyatakan dalam persamaan sudut keliling sama dengan setengah sudut pusat. Sehingga, dengan mengetahui besar sudut pusat dari suatu lingkaran dapat diketahi besar setiap sudut keliling yang menghadap busur yang sama dengan sudut pusat.

Sedangkan untuk setiap sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama pula.

Perhatikan penjelasan hubungan sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran seperti gambar di bawah.

Perhatikan bahwa pada keliling lingkaran tersebut terdapat dua sudut keliling dan satu sudut pusat. Ketiga sudut yang terbentuk pada lingkaran tersebut sama-sama menghadap busur yang sama. Sehingga, antara ketiga sudut tersebut dapat diperoleh hubungan yang dinyatakan seperti persamaan-persamaan di bawah.

• Hubungan besar sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama:
  m∠AOB = 2× m∠APB = = 2× m∠AQB
• Besar sudut keliling adalah setengah dari besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama:
  m∠APB = 1/2× m∠AOB
  m∠AQB = 1/2× m∠AOB
• Besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama:
  m∠APB = m∠AQB

Baca Juga: Lingkaran (Unsur-Unusr, Keliling, dan Luas)

Contoh Soal Sudut Pusat dan Keliling Lingkaran dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman basahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Perhatikan gambar berikut!

Jika besar ∠AOB adalah 40o maka besar ∠ACD adalah ….
A. 70o
B. 72o
C. 80o
D. 83o  

Pembahasan:

Garis DB merupakan garis lurus (Ingat!!! Besar sudut pada garis lurus adalah 180o), sehingga dapat diperoleh persamaan seperti berikut.

∠AOD + ∠AOB = 180o
∠ AOD + 40^{o} = 180o
Jadi, besar ∠AOD = 180o ‒ 40o = 140o

Selanjutnya, perhatikan bahwa ∠ACD dan ∠AOD berturut-turut merupakan sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu AD, sehingga

∠ACD = 1/2 × ∠AOD
∠ACD = 1/2 × 140o = 70o

Jadi, besar ∠ACD adalah 70o.

Jawaban: A

Contoh 2 – Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Pembahasan:

Perhatikan bahwa ∠ABE, ∠ACE, dan ∠ADE merupakan tiga sudut keliling yang menghadap busur yang sama. Sehingga ketiga sudut tersebut memiliki besar yang sama. Misalka besar ketiga sudut sama dengan x maka besar ketiga sudut tersebut dapat dihitung melalui perhitungan di bawah.

m∠ABE + m∠ACE + m∠ADE = 102o
x + x + x = 102o
3x = 102o
x = 102o : 3 = 34o

Gambar pada soal menunjukkan bahwa ∠AOE adalah sudut pusat yang menghadap busur sama dengan ∠ABE, ∠ACE, dan ∠ADE . Sehingga, besar ∠AOE sama dengan besar dari salah sudut tersebut.

m∠AOE = 2 × ∠ABE
m∠AOE = 2 × 34o = 68o

Jadi, besar ∠AOE adalah 68o

Jawaban: D

Contoh 3 – Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling 2

Perhatikan gambar lingkaran di bawah!

Jika besar ∠OBC adalah 65o maka besar ∠AOC adalah ….
A. 50o
B. 65o
C. 70o
D. 130o

Pembahasan:

Panjang OB = OC = jari-jari lingkaran sehingga segitiga BOC adalah segitiga sama kaki. Besar sudut ∠OBC = ∠OCB = 65o.

Ingat!!! Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180o, sehingga dapat diperoleh persamaan seperti di bawah.

∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180o
65o + 65o + ∠BOC = 180o
130o + ∠BOC = 180o
∠BOC = 180o ‒ 130o = 50o

Perhatikan bahwa garis AC merupakan garis lurus sehingga jumlah ∠BOC dan ∠AOC sama dengan 180o.

∠BOC + ∠AOC = 180o
50o + ∠AOC = 180o
∠AOC = 180o ‒ 50o = 130o 

Trik!!! CARA CEPAT menentukan besar sudut pelurus sudut dengan diketahui besar nilai dusut keliling.

Jadi, Jika besar ∠OBC adalah 65o maka besar ∠AOC adalah 130o.

Jawaban: D

Sekian pembahasan mengenai sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran, serta hubungan antara sudut pusat dan keliling lingkaran. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Sudut pada Segi Empat Tali Busur