Apa yang dimaksud dengan himpunan dalam matematika

Hai, Sobat Pintar!
Artikel ini akan membahas tentang materi himpunan matematika, yang akan dibahas meliputi pengertian dari himpunan, jenis-jenisnya, contoh soal dan pembahasannya.

Nah, sebelum kita bahas materi ini, coba deh Sobat Pintar sebutkan contoh-contoh hewan yang berkembang biak dengan cara melahirkan. Misalkan saja ada sapi, kambing, kelinci, kucing, dan yang lainnya. Kumpulan hewan-hewan tersebut bisa kita sebut sebagai himpunan hewan yang berkembang biak dengan cara melahirkan.

Bagaimana kalau himpunan nama bulan dalam setahun yang terdiri dari 25 hari? Tidak ada kan Sobat. Lalu bagaimana cara menuliskan himpunan yang tidak memiliki anggota?

Semua pertanyaan-pertanyaan yang tadi disebutkan akan Sobat ketahui jawabannya pada pembahasan himpunan berikut. Yuk, simak ulasannya di bawah ini!

Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu yang memiliki definisi yang jelas dan dianggap sebagai satu kesatuan.

Coba deh Sobat perhatikan contoh kumpulan himpunan berikut ini:
-Himpunan perempuan berparas cantik
-Himpunan bilangan cacah
-Himpunan orang yang rajin
-Himpunan bilangan bulat positif

Dari contoh kumpulan himpunan di atas, bisakah Sobat Pintar membedakan mana yang merupakan himpunan dan yang bukan himpunan?

Yup benar! Contoh yang merupakan himpunan adalah contoh 2 dan 4, sedangkan contoh 1 dan 3 bukan himpunan. Apa Sobat tahu alasannya?

Buat Sobat Pintar yang masih bingung, begini nih alasannya Sobat.

Pada contoh 2 himpunan bilangan cacah, kita akan memiliki pendapat yang sama tentang bilangan berapa sajakah yang termasuk bilangan cacah, misalnya 0,1,2, dan 3. Semua setuju kan kalau bilangan tersebut termasuk bilangan cacah?

Pada contoh 1 perempuan berparas cantik dan contoh 3 orang yang rajin, keduanya tidak memiliki definisi yang jelas. Kata cantik dan rajin memiliki definisi yang berbeda untuk setiap orang, misalnya Sobat Pintar menganggap peremuan A cantik tapi Sobat Pintar lainnya belum tentu menganggap perempuan A cantik juga, bukan? Oleh karena itu, perempuan cantik dan orang yang rajin bukanlah suatu himpunan.

Nah, berdasarkan contoh kumpulan himpunan di atas, kakak harap Sobat Pintar udah tahu perbedaan himpunan dan bukan himpunan.

Sekarang kita lanjut dengan pembahasan bagaimana cara menyatakan suatu himpunan dan macam-macam himpunan.

Cara Menyatakan Himpunan

Photo by Monstera on pexels.com

Setelah Sobat Pintar memahami pengertian dari himpunan, sekarang kita belajar memahami cara menyatakan himpunan.

Secara umum, himpunan disimbolkan dengan huruf kapital dan jika anggota himpunan tersebut berupa huruf maka anggotanya dituliskan dengan huruf kecil. Berikut ini beberapa cara menyatakan penulisan himpunan, Sobat.

-Kata-kata yaitu menyebutkan semua syarat dari anggota himpunan tersebut di dalam kurung kurawal.
Contoh: D merupakan himpunan bilangan genap antara 4 dan 20
Dapat dituliskan menjadi D = {bilangan genap antara 4 dan 20}

-Notasi pembentuk himpunan yaitu menyebutkan semua sifat dari anggota himpunan dengan anggotanya yang dinyatakan dalam suatu variabel dan dituliskan di dalam kurung kurawal.
Contoh: D merupakan himpunan bilangan genap antara 4 dan 20
Dapat dituliskan menjadi D = {x | 4 < x < 20, x Є bilangan genap}

-Mendaftar anggota-anggotanya yaitu menuliskan semua anggota dari himpunan tersebut di dalam kurung kurawal dengan dibatasi tanda koma diantara anggotanya. Jika anggota dari himpunan tersebut terlalu banyak, Sobat Pintar bisa menuliskan dengan “…”.
Contoh: D merupakan himpunan bilangan genap antara 4 dan 20
Dapat dituliskan menjadi D = {6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

Mungkin Sobat Pintar ada yang masih bingung, apakah semua himpunan dapat dinyatakan dengan ketiga cara tersebut?

Jawabannya adalah tidak Sobat, karena tidak semua himpunan bisa ditulis dengan menyebutkan anggotanya. Contohnya nih ada himpunan bilangan real (riil) yang tidak bisa disajikan dengan menyebutkan semua anggotanya.

Nah, untuk mengukur pemahaman Sobat Pintar, coba deh nih simak contoh soal berikut ini.

Tulislah anggota dari himpunan berikut!

C={bilangan ganjil kurang dari 15}
D={bilangan cacah kurang dari 8}

Pembahasan:

1. C={1,3,5,7,9,11,13}

Bilangan ganjil adalah bilangan asli yang bukan kelipatan dari 2 dan tidak habis dibagi 2. Jadi, anggota himpunan C adalah 1,3,5,7,9,11, dan 13.

2. D={0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Bilangan cacah merupakan bilangan bulat yang tidak negatif yang dimulai dari angka 0. Jadi, anggota himpunan D adalah 0,1,2,3,4,5,6,7, dan 8.

Operasi Himpunan

Berikutnya kita akan membahas tentang operasi himpunan nih, Sobat Pintar. Simak baik-baik ya!

Irisan

Irisan dari dua himpunan X dan Y merupakan himpunan yang anggotanya ada di himpunan X dan juga ada di himpunan Y. Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda “∪”
Contoh:
X = {1,2,3,4}
Y= {2,3,5,6}
Maka X∪Y={1,2,3,4,5,6}

Selisih

X selisih Y merupakan himpunan dari anggota X yang tidak memuat anggota Y. Selisih antara dua buah himpunan ini dinotasikan dengan tanda “-“.
Contoh:
X = {1,2,3,4}
Y= {2,3,5,6}
Maka A – B = {1,4}

Komplemen

Komplemen suatu himpunan adalah himpunan lain yang memuat semua anggota semesta yang tidak dimiliki oleh himpunan tersebut. Komplemen A dinotasikan dengan AC.
Contoh:
A = {a, d, f, h}
S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}
Maka AC = {b, c, e, g, i}

Gimana nih Sobat? Materi himpunan cukup mudah dipahami bukan?

Sekarang Sobat Pintar jadi tahu tentang materi himpunan dari pengertian himpunan, bagaimana cara menyatakannya, dan operasi pada himpunan.

Segini dulu nih artikel tentang materi himpunan Sobat. Semoga artikel ini bermanfaat bagi Sobat Pintar yang membaca ya! Selain materi himpunan, kalian juga bisa belajar tentang materi-materi lainnya melalui aplikasi Aku Pintar di fitur Belajar Pintar mata pelajaran Matematika. Sampai bertemu di pembahasan berikutnya, Sobat Pintar!

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sbg satu kesatuan. Walaupun hal ini adalah ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan adalah salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan sebabnya, studi mengenai yang dibangun probabilitas himpunan dan teori himpunan, sangatlah benar faedahnya.

Irisan dari dua himpunan yang dikatakan dengan diagram Venn

Teori himpunan, yang baru dibuat pada kesudahan masa zaman ke-19, sekarang adalah bidang yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan semenjak tingkat sekolah landasan. Teori ini adalah bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sbg landasan yang mendirikan hampir seluruh bidang dari matematika dan adalah sumber dari mana seluruh matematika dikurangi.

Notasi Himpunan

Hubungan di selang 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf akbar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Metode penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan metode seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

NamaNotasiContoh

Himpunan	Huruf akbar
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika adalah huruf)
Kelas	Huruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan lain-lain, menggunakan notasi yang khusus.

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Lambang

Faedah

atau	Himpunan kosong
	Operasi gabungan dua himpunan
	Operasi irisan dua himpunan
, , ,	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
	Komplemen
	Himpunan kuasa

Himpunan dapat dirumuskan dengan dua metode, yaitu:

Enumerasi, adalah mendaftarkan seluruh anggota himpunan. Jika berlebih tetapi mengikuti pola tertentu, dapat dipergunakan elipsis (...).

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan beragam paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin benar, sebab jika A benar, berarti harus berisi anggota yang bukan adalah anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa berisi anggota tersebut.

Himpunan kosong

Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, adalah bilangan 5 dan 6. Kita boleh memberikan rumusan suatu himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini dikata sbg himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Relasi antar himpunan

Himpunan bidang

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, adalah setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini dikata sbg himpunan bidang dari A. Sah dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bidang dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap berlaku untuk B himpunan kosong. Karenanya

juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

Rumusan di atas juga mencakup probabilitas bahwa himpunan bidang dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sbg himpunan bidangnya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bidang dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang dipergunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Himpunan bidang sejati dari A menunjuk pada himpunan bidang dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, adalah himpunan yang semakin akbar yang mencakup himpunan tersebut.

Kecocokan dua himpunan

Himpunan A dan B dikata sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Rumusan di atas sangat benar faedahnya untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kesudahan buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bidang dari A. Notasinya adalah

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, karenanya

{ { },
{apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},
{apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},
{jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},
{apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang},
{apel, jeruk, mangga, pisang} }

Jumlahnya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat jumlahnya anggota A.

Kelas

Suatu himpunan dikata sbg kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan

adalah suatu keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, karenanya himpunan kuasanya,

adalah suatu keluarga himpunan.

Contoh berikut,

bukanlah suatu kelas, sebab berisi anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Kardinalitas dari suatu himpunan dapat difahami sbg ukuran jumlahnya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut. Jumlahnya anggota himpunan

adalah 4. Himpunan

juga memiliki anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau diistilahkan memiliki kardinalitas yang sama.

Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Sebab dengan mudah kita menciptakan fungsi

yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, karenanya kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.

Himpunan Denumerabel

Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan

, adalah himpunan bilangan asli, karenanya himpunan tersebut dikata denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut dikata sbg kardinalitas

Himpunan seluruh bilangan genap positif adalah himpunan denumerabel, sebab memiliki korespondensi satu-satu selang himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dikatakan oleh

Himpunan Berhingga

Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas

, karenanya himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan Tercacah

Himpunan dikata tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel

Himpunan yang tidak tercacah dikata himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan seluruh bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini dikata sbg kardinalitas

. Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.

Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas

, sebab terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah suatu anggota terdapat dalam suatu himpunan atau tidak.

Jika

maka:

Terdapat korespondensi satu-satu selang himpunan kuasa

dengan himpunan dari seluruh fungsi karakteristik dari S. Hal ini berakibat kita dapat menuliskan himpunan sbg barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan benar tidaknya suatu anggota dalam himpunan tersebut.

Representasi Biner

Jika konteks pembicaraan adalah pada suatu himpunan semesta S, karenanya setiap himpunan bidang dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau dikata juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap letak bit dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut benar, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut tidak benar. Dengan kata lain, masing-masing bit adalah fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sbg contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:

Himpunan Representasi Biner ---------------------------- ------------------- a b c d e f g S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1 A = { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0 B = { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0

Metode menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melaksanakan operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan), interseksi (irisan), dan komplemen (pelengkap), sebab kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melaksanakannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal dan juga Delphi.

Opersai landasan

Gabungan

Gabungan selang himpunan A dan B.

Dua himpunan atau semakin yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah seluruh anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat landasan gabungan:

A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
A ⊆ (A ∪ B).
A ∪ A = A.
A ∪ ∅ = A.
A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.

Irisan

Irisan selang himpunan A dan B.

Operasi irisan A ∩ B setara dengan A dan B. Irisan adalah himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama selang dua atau semakin himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = ∅, karenanya A dan B dapat diistilahkan disjoint (terpisah).

Contoh:

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
{Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
{Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat landasan irisan:

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ∩ B ⊆ A.
A ∩ A = A.
A ∩ ∅ = ∅.
A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen

Komplemen B terhadap A.

Komplemen A terhadap U.

Diferensi simetris himpunan A dan B.

Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen adalah operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

Contoh:

{1, 2} {1, 2} = ∅.
{1, 2, 3, 4} {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat landasan komplemen:

A B ≠ B A untuk A ≠ B.
A ∪ A′ = U.
A ∩ A′ = ∅.
(A′)′ = A.
A A = ∅.
U′ = ∅ dan ∅′ = U.
A B = A ∩ B′.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B berproduksi

Contohnya, diferensi simetris antara:

{7,8,9,10} dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}.
{Ana,Budi,Dedi,Felix} dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah {Ana,Cici,Ela,Felix}.

Hasil Kali Kartesian

Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.

Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan adalah operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan selang A dan B dirumuskan dengan A × B. Anggota himpunan | A × B | adalah pasangan terurut (a,b) dimana a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B.

Contoh:

{1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.
{1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Beberapa sifat landasan himpunan perkalian:

A × ∅ = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Pustaka

Lipschutz, S. Set Theory. McGraw-Hill
Delphi 5 Memory Management

Bacaan lanjutan

Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
Velleman, Daniel, How To Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4

Tautan luar

edunitas.com

Page 2

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan sebabnya, studi mengenai yang dibangun probabilitas himpunan dan teori himpunan, sangatlah benar faedahnya.

Irisan dari dua himpunan yang diberitahukan dengan diagram Venn

Teori himpunan, yang baru dibuat pada kesudahan masa zaman ke-19, sekarang merupakan bidang yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah landasan. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai landasan yang mendirikan hampir semua bidang dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika dikurangi.

Notasi Himpunan

Hubungan di selang 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

NamaNotasiContoh

Himpunan	Huruf akbar
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)
Kelas	Huruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dsb-nya, menggunakan notasi yang khusus.

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Lambang

Faedah

atau	Himpunan kosong
	Operasi gabungan dua himpunan
	Operasi irisan dua himpunan
, , ,	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
	Komplemen
	Himpunan kuasa

Himpunan dapat dirumuskan dengan dua metode, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika berlebih tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin benar, sebab jika A benar, berarti harus berisi anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa berisi anggota tersebut.

Himpunan kosong

Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh memberikan definisi suatu himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini dikata sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Relasi antar himpunan

Himpunan bidang

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini dikata sebagai himpunan bidang dari A. Sah dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bidang dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap berlaku untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

Definisi di atas juga mencakup probabilitas bahwa himpunan bidang dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bidangnya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bidang dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Himpunan bidang sejati dari A menunjuk pada himpunan bidang dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih akbar yang mencakup himpunan tersebut.

Kecocokan dua himpunan

Himpunan A dan B dikata sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Definisi di atas sangat benar faedahnya untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kesudahan buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bidang dari A. Notasinya adalah .

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

Kelas

Suatu himpunan dikata sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan adalah suatu keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, adalah suatu keluarga himpunan.

Contoh berikut, bukanlah suatu kelas, sebab berisi anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Kardinalitas dari suatu himpunan dapat difahami sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan adalah 4. Himpunan juga memiliki anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau diistilahkan memiliki kardinalitas yang sama.

Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Sebab dengan mudah kita membuat fungsi yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.

Himpunan Denumerabel

Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut dikata denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut dikata sebagai kardinalitas .

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, sebab memiliki korespondensi satu-satu selang himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang diberitahukan oleh .

Himpunan Berhingga

Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan Tercacah

Himpunan dikata tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel

Himpunan yang tidak tercacah dikata himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini dikata sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.

Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas , sebab terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah .

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah suatu anggota terdapat dalam suatu himpunan atau tidak.

Jika maka:

Terdapat korespondensi satu-satu selang himpunan kuasa dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan benar tidaknya suatu anggota dalam himpunan tersebut.

Representasi Biner

Jika konteks pembicaraan adalah pada suatu himpunan semesta S, maka setiap himpunan bidang dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau dikata juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap letak bit dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut benar, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut tidak benar. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:

Metode menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan), interseksi (irisan), dan komplemen (pelengkap), sebab kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal dan juga Delphi.

Opersai landasan

Gabungan

Gabungan selang himpunan A dan B.

Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat landasan gabungan:

A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
A ⊆ (A ∪ B).
A ∪ A = A.
A ∪ ∅ = A.
A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.

Irisan

Irisan selang himpunan A dan B.

Operasi irisan A ∩ B setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama selang dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = ∅, maka A dan B dapat diistilahkan disjoint (terpisah).

Contoh:

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
{Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
{Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat landasan irisan:

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ∩ B ⊆ A.
A ∩ A = A.
A ∩ ∅ = ∅.
A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen

Komplemen B terhadap A.

Komplemen A terhadap U.

Diferensi simetris himpunan A dan B.

Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

Contoh:

{1, 2} {1, 2} = ∅.
{1, 2, 3, 4} {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat landasan komplemen:

A B ≠ B A untuk A ≠ B.
A ∪ A′ = U.
A ∩ A′ = ∅.
(A′)′ = A.
A A = ∅.
U′ = ∅ dan ∅′ = U.
A B = A ∩ B′.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B berproduksi

Contohnya, diferensi simetris antara:

{7,8,9,10} dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}.
{Ana,Budi,Dedi,Felix} dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah {Ana,Cici,Ela,Felix}.

Hasil Kali Kartesian

Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.

Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan selang A dan B dirumuskan dengan A × B. Anggota himpunan | A × B | adalah pasangan terurut (a,b) dimana a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B.

Contoh:

{1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.
{1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Beberapa sifat landasan himpunan perkalian:

A × ∅ = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Pustaka

Lipschutz, S. Set Theory. McGraw-Hill
Delphi 5 Memory Management

Bacaan lanjutan

Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
Velleman, Daniel, How To Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4

Pranala luar

edunitas.com

Page 3

Irisan dari dua himpunan yang diberitahukan dengan diagram Venn

Teori himpunan, yang baru dibuat pada belakang masa zaman ke-19, sekarang merupakan anggota yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah landasan. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai landasan yang mendirikan nyaris semua bidang dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika dikurangi.

Notasi Himpunan

Hubungan di selang 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

NamaNotasiContoh

Himpunan	Huruf akbar
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)
Kelas	Huruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dsb-nya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan

Notasi

Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Lambang

Faedah

atau	Himpunan kosong
	Operasi gabungan dua himpunan
	Operasi irisan dua himpunan
, , ,	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
	Komplemen
	Himpunan kuasa

Himpunan dapat dirumuskan dengan dua metode, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika berlebih tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin benar, sebab jika A benar, berarti harus berisi anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa berisi anggota tersebut.

Himpunan kosong

Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh memberikan rumusan suatu himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini dikata sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Relasi antar himpunan

Himpunan anggota

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini dikata sebagai himpunan anggota dari A. Sah dapat dirumuskan:

B adalah himpunan anggota dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap berlaku untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

Rumusan di atas juga mencakup probabilitas bahwa himpunan anggota dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan anggotanya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan anggota dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Himpunan anggota sejati dari A menunjuk pada himpunan anggota dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang semakin akbar yang mencakup himpunan tersebut.

Kecocokan dua himpunan

Himpunan A dan B dikata sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Rumusan di atas sangat benar faedahnya untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kesudahan buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan anggota dari A. Notasinya adalah .

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :

Jumlahnya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat jumlahnya anggota A.

Kelas

Contoh berikut, bukanlah suatu kelas, sebab berisi anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Kardinalitas dari suatu himpunan dapat difahami sebagai ukuran jumlahnya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut. Jumlahnya anggota himpunan adalah 4. Himpunan juga memiliki anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau diistilahkan memiliki kardinalitas yang sama.

Himpunan Denumerabel

Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut dikata denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut dikata sebagai kardinalitas .

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, sebab memiliki korespondensi satu-satu selang himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang diberitahukan oleh .

Himpunan Berhingga

Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan Tercacah

Himpunan dikata tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah suatu anggota terdapat dalam suatu himpunan atau tidak.

Jika maka:

Representasi Biner

Jika konteks pembicaraan adalah pada suatu himpunan semesta S, maka setiap himpunan anggota dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau dikata juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap letak bit dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut benar, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut tidak benar. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:

Metode menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk memainkan operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan), interseksi (irisan), dan komplemen (pelengkap), sebab kita tinggal menggunakan operasi bit untuk memainkannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal dan juga Delphi.

Opersai landasan

Gabungan

Gabungan selang himpunan A dan B.

Dua himpunan atau semakin yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat landasan gabungan:

A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
A ⊆ (A ∪ B).
A ∪ A = A.
A ∪ ∅ = A.
A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.

Irisan

Irisan selang himpunan A dan B.

Operasi irisan A ∩ B setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama selang dua atau semakin himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = ∅, maka A dan B dapat diistilahkan disjoint (terpisah).

Contoh:

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
{Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
{Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat landasan irisan:

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ∩ B ⊆ A.
A ∩ A = A.
A ∩ ∅ = ∅.
A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen

Komplemen B terhadap A.

Komplemen A terhadap U.

Diferensi simetris himpunan A dan B.

Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

Contoh:

{1, 2} {1, 2} = ∅.
{1, 2, 3, 4} {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat landasan komplemen:

A B ≠ B A untuk A ≠ B.
A ∪ A′ = U.
A ∩ A′ = ∅.
(A′)′ = A.
A A = ∅.
U′ = ∅ dan ∅′ = U.
A B = A ∩ B′.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B berproduksi

Contohnya, diferensi simetris antara:

{7,8,9,10} dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}.
{Ana,Budi,Dedi,Felix} dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah {Ana,Cici,Ela,Felix}.

Hasil Kali Kartesian

Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.

Contoh:

{1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.
{1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Beberapa sifat landasan himpunan perkalian:

A × ∅ = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Pustaka

Lipschutz, S. Set Theory. McGraw-Hill
Delphi 5 Memory Management

Bacaan lanjutan

Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
Velleman, Daniel, How To Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4

Pranala luar

edunitas.com

Page 4

Irisan dari dua himpunan yang diberitahukan dengan diagram Venn

Notasi Himpunan

Hubungan di selang 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

NamaNotasiContoh

Himpunan	Huruf akbar
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)
Kelas	Huruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dsb-nya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan

Notasi

Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Lambang

Faedah

atau	Himpunan kosong
	Operasi gabungan dua himpunan
	Operasi irisan dua himpunan
, , ,	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
	Komplemen
	Himpunan kuasa

Himpunan dapat dirumuskan dengan dua metode, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika berlebih tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin benar, sebab jika A benar, berarti harus berisi anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa berisi anggota tersebut.

Himpunan kosong

Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh memberikan rumusan suatu himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini dikata sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Relasi antar himpunan

Himpunan anggota

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini dikata sebagai himpunan anggota dari A. Sah dapat dirumuskan:

B adalah himpunan anggota dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap berlaku untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

Rumusan di atas juga mencakup probabilitas bahwa himpunan anggota dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

Himpunan anggota sejati dari A menunjuk pada himpunan anggota dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang semakin akbar yang mencakup himpunan tersebut.

Kecocokan dua himpunan

Himpunan A dan B dikata sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Rumusan di atas sangat benar faedahnya untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kesudahan buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan anggota dari A. Notasinya adalah .

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :

Jumlahnya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat jumlahnya anggota A.

Kelas

Contoh berikut, bukanlah suatu kelas, sebab berisi anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Himpunan Denumerabel

Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut dikata denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut dikata sebagai kardinalitas .

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, sebab memiliki korespondensi satu-satu selang himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang diberitahukan oleh .

Himpunan Berhingga

Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan Tercacah

Himpunan dikata tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah suatu anggota terdapat dalam suatu himpunan atau tidak.

Jika maka:

Representasi Biner

Opersai landasan

Gabungan

Gabungan selang himpunan A dan B.

Dua himpunan atau semakin yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat landasan gabungan:

A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
A ⊆ (A ∪ B).
A ∪ A = A.
A ∪ ∅ = A.
A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.

Irisan

Irisan selang himpunan A dan B.

Contoh:

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
{Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
{Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat landasan irisan:

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ∩ B ⊆ A.
A ∩ A = A.
A ∩ ∅ = ∅.
A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen

Komplemen B terhadap A.

Komplemen A terhadap U.

Diferensi simetris himpunan A dan B.

Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

Contoh:

{1, 2} {1, 2} = ∅.
{1, 2, 3, 4} {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat landasan komplemen:

A B ≠ B A untuk A ≠ B.
A ∪ A′ = U.
A ∩ A′ = ∅.
(A′)′ = A.
A A = ∅.
U′ = ∅ dan ∅′ = U.
A B = A ∩ B′.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B berproduksi

Contohnya, diferensi simetris antara:

{7,8,9,10} dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}.
{Ana,Budi,Dedi,Felix} dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah {Ana,Cici,Ela,Felix}.

Hasil Kali Kartesian

Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.

Contoh:

{1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.
{1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Beberapa sifat landasan himpunan perkalian:

A × ∅ = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Pustaka

Lipschutz, S. Set Theory. McGraw-Hill
Delphi 5 Memory Management

Bacaan lanjutan

Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
Velleman, Daniel, How To Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4

Pranala luar

edunitas.com

Page 5

Irisan dari dua himpunan yang diberitahukan dengan diagram Venn

Notasi Himpunan

Hubungan di selang 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

NamaNotasiContoh

Himpunan	Huruf akbar
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)
Kelas	Huruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dsb-nya, menggunakan notasi yang khusus.

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Lambang

Faedah

atau	Himpunan kosong
	Operasi gabungan dua himpunan
	Operasi irisan dua himpunan
, , ,	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
	Komplemen
	Himpunan kuasa

Himpunan dapat dirumuskan dengan dua metode, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika berlebih tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin benar, sebab jika A benar, berarti harus berisi anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa berisi anggota tersebut.

Himpunan kosong

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Relasi antar himpunan

Himpunan bidang

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini dikata sebagai himpunan bidang dari A. Sah dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bidang dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap berlaku untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

Definisi di atas juga mencakup probabilitas bahwa himpunan bidang dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

Himpunan bidang sejati dari A menunjuk pada himpunan bidang dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih akbar yang mencakup himpunan tersebut.

Kecocokan dua himpunan

Himpunan A dan B dikata sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Definisi di atas sangat benar faedahnya untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kesudahan buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bidang dari A. Notasinya adalah .

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

Kelas

Contoh berikut, bukanlah suatu kelas, sebab berisi anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Himpunan Denumerabel

Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut dikata denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut dikata sebagai kardinalitas .

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, sebab memiliki korespondensi satu-satu selang himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang diberitahukan oleh .

Himpunan Berhingga

Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan Tercacah

Himpunan dikata tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah suatu anggota terdapat dalam suatu himpunan atau tidak.

Jika maka:

Representasi Biner

Opersai landasan

Gabungan

Gabungan selang himpunan A dan B.

Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat landasan gabungan:

A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
A ⊆ (A ∪ B).
A ∪ A = A.
A ∪ ∅ = A.
A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.

Irisan

Irisan selang himpunan A dan B.

Contoh:

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
{Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
{Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat landasan irisan:

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ∩ B ⊆ A.
A ∩ A = A.
A ∩ ∅ = ∅.
A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen

Komplemen B terhadap A.

Komplemen A terhadap U.

Diferensi simetris himpunan A dan B.

Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

Contoh:

{1, 2} {1, 2} = ∅.
{1, 2, 3, 4} {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat landasan komplemen:

A B ≠ B A untuk A ≠ B.
A ∪ A′ = U.
A ∩ A′ = ∅.
(A′)′ = A.
A A = ∅.
U′ = ∅ dan ∅′ = U.
A B = A ∩ B′.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B berproduksi

Contohnya, diferensi simetris antara:

{7,8,9,10} dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}.
{Ana,Budi,Dedi,Felix} dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah {Ana,Cici,Ela,Felix}.

Hasil Kali Kartesian

Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.

Contoh:

{1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.
{1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Beberapa sifat landasan himpunan perkalian:

A × ∅ = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Pustaka

Lipschutz, S. Set Theory. McGraw-Hill
Delphi 5 Memory Management

Bacaan lanjutan

Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
Velleman, Daniel, How To Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4

Pranala luar

edunitas.com

Page 6

Dalam matematika, grup adalah suatu kumpulan, beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan, yang memenuhi beberapa aksioma yang diuraikan di bawah ini. Misalnya, kumpulan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup.

Asal-usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan persoalan persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup semakin jumlah dipelajari secara kongkrit, dalam bangun permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori bentuk-bentuk kuadrat.

Jumlah sekali obyek yang dipelajari dalam matematika ternyata berupa grup. Hal ini mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan nyata, dan bilangan kompleks terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan nyata, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat-sifat sistem-sistem ini dan bermacam sistem lain bagi dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara lebar. Teori grup juga adalah sumber kaya bermacam teorema yang berlangsung dalam lingkup grup.

Sejarah

Lihat teori grup.

Ciri utama dasar

Suatu grup (G, *) adalah suatu kumpulan tak-kosong beserta satu operasi biner *: G * G ® G, yang memenuhi sejumlah aksioma. "a * b" menyalakan hasil penerapan operasi * terhadap pasangan terurut (a,b) unsur-unsur G. Aksioma-aksioma tersebut adalah

Sifat Tertutup. Bagi semua a,b elemen G,a*b juga elemenG
Sifat asosiatif. Bagi semua a, b dan c dalam G, (a * b) * c = a * (b * c).
Unsur identitas. Terdapat satu unsur e dalam G sedemikian sehingga bagi semua a dalam G, e * a = a * e = a
Unsur invers. Bagi semua a dalam G, terdapat suatu unsur dalam G sedemikian sehingga a * b = b * a = e, dimana e adalah unsur identitas dari aksioma sebelumnya.

Notasi grup

Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan bagi analog dari perkalian, dan operasi grup ditulis secara perkalian. Yaitu:

Kita menulis "a · b", atau bahkan "ab", bagi a * b.
Kita menulis "1" bagi unsur identitas dan menyebutnya unsur satuan.
Kita menulis "a-1" bagi invers a dan menyebutnya kebalikan dari a.

Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan bagi analog dari penjumlahan dan ditulis secara jumlah:

Kita menulis " bagi a * b dan menyebutnya jumlah a dan b.
Kita menulis "0" bagi unsur identitas dan menyebutnya unsur nol.
Kita menulis "-a" bagi invers a dan menyebutnya lawan dari a.

Biasanya, hanya grup abelian yang ditulis dalam bangun penjumalahan walaupun grup dapat juga ditulis dalam bangun perkalian. Ketika bersifat “noncommittal”, kita dapat menggunakan notasi (dengan “*”) dan istilah yang dikatakan dalam ciri utama menggunakan notasi “a”-1 bagi invers dari “a”.

Jika “S” adalah sub kumpulan dari “G” dan “x” elemen dari “G” maka notasi perkalian, “x””S” adalah kumpulan dari semua hasil perkalian {“x””s”} bagi “s” dalam “S”. Hal yang sama juga dapat diperhatikan pada notasi “S””x” = {“s””x” : “s” in “S”} ; dan bagi dua sub kumpulan “S” dan “T” dari “G” kita dapat menulis “S””T” bagi {“s””t” : bagi semua “s” dalam “S”, dan “t” dalam “T”}. Dalam notasi penjumlahan, kita menuliskan “x” + “S”, “S” + “x”, dan “S” + “T” bagi masing-masing pasangan.

Beberapa contoh elemen dan bukan contoh

Suatu grup abelian : bilangan bulat terhadap penjumlahan

Contoh grup yang pernah diperkenalkan saat di sekolah dasar salah satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan. Misalkan “’Z”’ adalah kumpulan bilangan bulat, {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} dan simbol “+” bagi operasi penjumlahan. Dengan demikian, (“’Z”’,+) adalah suatu grup.

Bukti :

* Jika “a” dan “b” adalah bilangan bulat maka “a” + “b” juga adalah bilangan bulat. *Jika “a”, “ b”, dan “c” adalah bilangan bulat maka (“a” + “b”) + “c” = “ a” + (“b”+”c”) (sifat asosiatif) *0 adalah bilangan bulat dan bagi setiap bilangan bulat “a”, 0 +” a” = “a”. (elemen identitas) *Jika “a” suatu bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat “b” = -“a” sedemikian sehingga “a” + “b” = “b” +” “a = 0 (elemen invers)

Grup ini juga adalah abelian : “a” +” b” = “b” + “a”.

Bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian membentuk susunan aljabar cincin yang semakin kompleks. Sebenarnya, elemen dari cincin apa saja membentuk suatu grup abelian terhadap penjumlahan yang disebut “grup penjumlahan” dari cincin.

“Bukan” grup : bilangan bulat terhadap perkalian

Bilangan bulat terhadap perkalian yang dilambangkan dengan “ “’ ×’” ” Maka (“’Z’”, “’ ×’” ) bukan suatu grup :

*Jika “a” dan “b” bilangan bulat maka “a” “’ ×’” “b” adalah bilangan bulat *Jika “a”, “b”, dan “c” bilangan bulat maka (“a”“’ ×’” “b”) “’ ×’” “c” = “a”“’ ×’” (“b”“’ ×’” “c”) (sifat asosiatif) *1 adalah bilangan bulat dan bagi setiap bilangan bulat “a”, 1 “’ ×’” “a” = “a”“’ ×’” 1 = “a” (elemen identitas) *Tetapi, jika “a” sebaramg bilangan bulat bukan 0 maka tidak mempunyai bilangan bulat bukan 0 yang memenuhi “a””b” = “b””a” = 1. Bagi contoh, misalkan “a” = 2 maka berapapun “b” (bilangan bulat bukan 0) maka |”a””b”| = |2”b”| ³2 > 1. (elemen invers tidak memenuhi)

Karena tidak semua elemen dari (“’Z’”, “’ ×’”) mempunyai invers maka (“’Z’”, “’ ×’”) bukan adalah grup. Kita dapat menyebut (“’Z’”, “’ ×’”) suatu monoid komutatif.

Suatu grup abelian : bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalian

Misalkan “’Q’” bagi kumpulan bilangan rasional, yaitu bilangan yang dapat dikatakan dengan “a”/”b” dengan “a” dan “b” adalah bilangan bulat dan”b” bukan nol. Misalkan pula operasi perkalian dikatakan dengan simbol ““’ ×’” ”. Karena bilangan rasional 0 tidak mempunyai invers bagi perkalian maka (“’Q’”, “’ ×’”), sebagaimana juga (“’Z’”, “’ ×’”) bukan suatu grup.

Akan tetapi, sekiranya kita menggunakan kumpulan “’Q’” {0}, yang mencakup setiap bilangan rasional “kecuali nol “ maka (“’Q’”{0},“’ ×’”) adalah grup abelian. Invers “a”/”b” adalah “b”/”a” dan aksioma grup lainnya mudah diperiksa kebenarannya. Kita tidak kehilangan closure dengan menghilangkan nol karena hasil kali dua bilangan rasional tidak nol tidak akan pernah nol.

Sama seperti bilangan bulat yang membentuk cincin, demikian juga bilangan rasional yang membentuk susunan aljabar dari segi. Sebenarnya, elemen bukan nol dari ajang apapun akan membentuk grup terhadap perkalian yang disebut “grup perkalian” dari segi.

Grup bukan belian tertentu : permutasi dari kumpulan

Misalkan tiga buah blok berwarna (merah, hijau, dan biru) yang mula-mula ditempatkan dengan susunan MHB. Misalkan “a” adalah gerakan “menukarkan blok pertama dan blok kedua” dan “b” gerakan “menukarkan blok kedua dan ketiga”.

Dalam bangun perkalian, kita menuliskan “x””y” bagi gerakan “pertama kali lakukan “y” yang belakang sekali lakukan “x” ” sehingga “a””b” adalah gerakan MHB ®MBH®BMH yaitu “ambil blok terakhir dan pindahkan ke depan”. Jika kita menuliskan “e” bagi gerakan “ biarkan blok sebagaimana adanya” (aksi identitas) maka kita dapat menulis enam permutasi dari kumpulan tiga blok bagi berikut :

* e : MHB ® MHB * a : MHB ® HMB *b : MHB ® MBH * ab : MHB ® BMH *ba : MHB ® HBM *aba : MHB ® BHM

Perhatikan bahwa gerakan “a””a” akan mengakibatkan MHB ® HMB ® MHB atau gerakan tersebut sama saja dengan gerakan “biarkan blok sebagaimana adanya”. Dengan demikian, kita dapat menuliskan “a””a” = “e”. Demikian pula,

* “b””b” = “e” *(“a””b””a”)(“a””b””a”) = “e” dan *(“a””b”)(“b””a”) = (“b””a”)(“a””b”) = “e”.

Jadi, tiap gerakan di atas mempunyai suatu invers.

Dengan menyelidiki, kita juga dapat memilihkan sifat asosiatif dan closure. Bagi contoh perhatikan,

*(“a””b”)”a” = “a”(“b””a’) = “a””b””a”, dan *(“b””a”)”b” = “b”(“a””b”) = “a””b””a”.

Grup ini disebut simetri grup pada tiga huruf, atau “S”3. Grup tersebut mempunyai orde 6 ( atau 3 “faktorial”), dan bukan adalah grup abelian (karena bagi contoh “a””b” ≠ “b””a”). Karena “S”3 dibangun dari gerakan dasar “a” dan “b” maka kita dapat mengatakan bahwa kumpulan {“a”,”b”} membangun “S”3.

Setiap grup dapat diungkapkan dalam grup permutasi seperti “S”3. Hasilnya adalah Teorema Cayley dan dipelajari sebgai anggota dari subyek gerakan grup.

Contoh lanjutan

Bagi beberapa contoh lanjutan dari grup bagi bermacam aplikasi lihat contoh-contoh grup dan daftar grup kecil.

Teori sederhana

*Suatu grup mempunyai hanya satu elemen identitas. *Setiap elemen mempunyai hanya satu invers. *Kita dapat membagi grup yaitu elemen grup “a” dan “b” dari grup “G”, hanya mempunyai satu solusi “x” dalam “G” terhadap persamaan “x”*”a” =”b” dan hanya satu solusi “y” dalam “G” bagi persamaan “a”*”y” = “b”. *Ungkapan “ “a”1*”a”2*...”a”n ” tidak ambigius karena hasilnya akan sama dimana saja kita menempatkan tanda kurung. *Invers perkalian adalah hasil kali invers dalam susunan terbalik : (“a”*”b”)-1 = “b”-1 *”a”-1.

Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlangsung bagi semua grup tertentu yang membentuk segi dari teori grup elementer.

Membuat grup baru dari suatu grup tertentu

Jika suatu sub kumpulan “H” dari grup (“G”,*)
Hasil kali dari dua grup (“G”,*) dan (“H”, “’ ×’”) adalah kumpulan “G”x”H” bersama dengan operasi (“g”1,”h”1)(“g”2,”h”2) = (“g”1*”g”2,”h”1 “’ ×’” “h”2)
“Penjumlahan eksternal secara langsung” dari anggota grup adalah sub grup perkalian yang diwakilkan oleh elemen-elemen yang mempunyai sejumlah anggota bukan nol. Jika anggota bersifat tertentu maka penjumlahan langsung dan perkalian adalah sama.
Grup tertentu “G” dan suatu sub grup normal “N”, maka quotient group adalah kumpulan dari kohimpunan dari “G”/”N” terhadap operasi (“g””N”)(“h””N”) = “g””h”N”.

Rujukan

Group (mathematics) dari Wikipedia bicara Inggris.

edunitas.com

Page 7

Sejarah

Lihat teori grup.

Ciri utama dasar

Sifat Tertutup. Bagi semua a,b elemen G,a*b juga elemenG
Sifat asosiatif. Bagi semua a, b dan c dalam G, (a * b) * c = a * (b * c).
Unsur identitas. Terdapat satu unsur e dalam G sedemikian sehingga bagi semua a dalam G, e * a = a * e = a
Unsur invers. Bagi semua a dalam G, terdapat suatu unsur dalam G sedemikian sehingga a * b = b * a = e, dimana e adalah unsur identitas dari aksioma sebelumnya.

Notasi grup

Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan bagi analog dari perkalian, dan operasi grup ditulis secara perkalian. Yaitu:

Kita menulis "a · b", atau bahkan "ab", bagi a * b.
Kita menulis "1" bagi unsur identitas dan menyebutnya unsur satuan.
Kita menulis "a-1" bagi invers a dan menyebutnya kebalikan dari a.

Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan bagi analog dari penjumlahan dan ditulis secara jumlah:

Kita menulis " bagi a * b dan menyebutnya jumlah a dan b.
Kita menulis "0" bagi unsur identitas dan menyebutnya unsur nol.
Kita menulis "-a" bagi invers a dan menyebutnya lawan dari a.

Beberapa contoh elemen dan bukan contoh

Suatu grup abelian : bilangan bulat terhadap penjumlahan

Bukti :

Grup ini juga adalah abelian : “a” +” b” = “b” + “a”.

“Bukan” grup : bilangan bulat terhadap perkalian

Bilangan bulat terhadap perkalian yang dilambangkan dengan “ “’ ×’” ” Maka (“’Z’”, “’ ×’” ) bukan suatu grup :

Suatu grup abelian : bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalian

Grup bukan belian tertentu : permutasi dari kumpulan

* e : MHB ® MHB * a : MHB ® HMB *b : MHB ® MBH * ab : MHB ® BMH *ba : MHB ® HBM *aba : MHB ® BHM

* “b””b” = “e” *(“a””b””a”)(“a””b””a”) = “e” dan *(“a””b”)(“b””a”) = (“b””a”)(“a””b”) = “e”.

Jadi, tiap gerakan di atas mempunyai suatu invers.

Dengan menyelidiki, kita juga dapat memilihkan sifat asosiatif dan closure. Bagi contoh perhatikan,

*(“a””b”)”a” = “a”(“b””a’) = “a””b””a”, dan *(“b””a”)”b” = “b”(“a””b”) = “a””b””a”.

Setiap grup dapat diungkapkan dalam grup permutasi seperti “S”3. Hasilnya adalah Teorema Cayley dan dipelajari sebgai anggota dari subyek gerakan grup.

Contoh lanjutan

Bagi beberapa contoh lanjutan dari grup bagi bermacam aplikasi lihat contoh-contoh grup dan daftar grup kecil.

Teori sederhana

Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlangsung bagi semua grup tertentu yang membentuk segi dari teori grup elementer.

Membuat grup baru dari suatu grup tertentu

Jika suatu sub kumpulan “H” dari grup (“G”,*)
Hasil kali dari dua grup (“G”,*) dan (“H”, “’ ×’”) adalah kumpulan “G”x”H” bersama dengan operasi (“g”1,”h”1)(“g”2,”h”2) = (“g”1*”g”2,”h”1 “’ ×’” “h”2)
“Penjumlahan eksternal secara langsung” dari anggota grup adalah sub grup perkalian yang diwakilkan oleh elemen-elemen yang mempunyai sejumlah anggota bukan nol. Jika anggota bersifat tertentu maka penjumlahan langsung dan perkalian adalah sama.
Grup tertentu “G” dan suatu sub grup normal “N”, maka quotient group adalah kumpulan dari kohimpunan dari “G”/”N” terhadap operasi (“g””N”)(“h””N”) = “g””h”N”.

Rujukan

Group (mathematics) dari Wikipedia bicara Inggris.

edunitas.com

Page 8

Sejarah

Lihat teori grup.

Ciri utama dasar

Sifat Tertutup. Bagi semua a,b elemen G,a*b juga elemenG
Sifat asosiatif. Bagi semua a, b dan c dalam G, (a * b) * c = a * (b * c).
Unsur identitas. Terdapat satu unsur e dalam G sedemikian sehingga bagi semua a dalam G, e * a = a * e = a
Unsur invers. Bagi semua a dalam G, terdapat suatu unsur dalam G sedemikian sehingga a * b = b * a = e, dimana e adalah unsur identitas dari aksioma sebelumnya.

Notasi grup

Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan bagi analog dari perkalian, dan operasi grup ditulis secara perkalian. Yaitu:

Kita menulis "a · b", atau bahkan "ab", bagi a * b.
Kita menulis "1" bagi unsur identitas dan menyebutnya unsur satuan.
Kita menulis "a-1" bagi invers a dan menyebutnya kebalikan dari a.

Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan bagi analog dari penjumlahan dan ditulis secara jumlah:

Kita menulis " bagi a * b dan menyebutnya jumlah a dan b.
Kita menulis "0" bagi unsur identitas dan menyebutnya unsur nol.
Kita menulis "-a" bagi invers a dan menyebutnya lawan dari a.

Beberapa contoh elemen dan bukan contoh

Suatu grup abelian : bilangan bulat terhadap penjumlahan

Bukti :

Grup ini juga adalah abelian : “a” +” b” = “b” + “a”.

“Bukan” grup : bilangan bulat terhadap perkalian

Bilangan bulat terhadap perkalian yang dilambangkan dengan “ “’ ×’” ” Maka (“’Z’”, “’ ×’” ) bukan suatu grup :

Suatu grup abelian : bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalian

Grup bukan belian tertentu : permutasi dari kumpulan

* e : MHB ® MHB * a : MHB ® HMB *b : MHB ® MBH * ab : MHB ® BMH *ba : MHB ® HBM *aba : MHB ® BHM

* “b””b” = “e” *(“a””b””a”)(“a””b””a”) = “e” dan *(“a””b”)(“b””a”) = (“b””a”)(“a””b”) = “e”.

Jadi, tiap gerakan di atas mempunyai suatu invers.

Dengan menyelidiki, kita juga dapat memilihkan sifat asosiatif dan closure. Bagi contoh perhatikan,

*(“a””b”)”a” = “a”(“b””a’) = “a””b””a”, dan *(“b””a”)”b” = “b”(“a””b”) = “a””b””a”.

Setiap grup dapat diungkapkan dalam grup permutasi seperti “S”3. Hasilnya adalah Teorema Cayley dan dipelajari sebgai anggota dari subyek gerakan grup.

Contoh lanjutan

Bagi beberapa contoh lanjutan dari grup bagi bermacam aplikasi lihat contoh-contoh grup dan daftar grup kecil.

Teori sederhana

Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlangsung bagi semua grup tertentu yang membentuk segi dari teori grup elementer.

Membuat grup baru dari suatu grup tertentu

Jika suatu sub kumpulan “H” dari grup (“G”,*)
Hasil kali dari dua grup (“G”,*) dan (“H”, “’ ×’”) adalah kumpulan “G”x”H” bersama dengan operasi (“g”1,”h”1)(“g”2,”h”2) = (“g”1*”g”2,”h”1 “’ ×’” “h”2)
“Penjumlahan eksternal secara langsung” dari anggota grup adalah sub grup perkalian yang diwakilkan oleh elemen-elemen yang mempunyai sejumlah anggota bukan nol. Jika anggota bersifat tertentu maka penjumlahan langsung dan perkalian adalah sama.
Grup tertentu “G” dan suatu sub grup normal “N”, maka quotient group adalah kumpulan dari kohimpunan dari “G”/”N” terhadap operasi (“g””N”)(“h””N”) = “g””h”N”.

Rujukan

Group (mathematics) dari Wikipedia bicara Inggris.

edunitas.com

Page 9

Sejarah

Lihat teori grup.

Ciri utama dasar

Sifat Tertutup. Bagi semua a,b elemen G,a*b juga elemenG
Sifat asosiatif. Bagi semua a, b dan c dalam G, (a * b) * c = a * (b * c).
Unsur identitas. Terdapat satu unsur e dalam G sedemikian sehingga bagi semua a dalam G, e * a = a * e = a
Unsur invers. Bagi semua a dalam G, terdapat suatu unsur dalam G sedemikian sehingga a * b = b * a = e, dimana e adalah unsur identitas dari aksioma sebelumnya.

Notasi grup

Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan bagi analog dari perkalian, dan operasi grup ditulis secara perkalian. Yaitu:

Kita menulis "a · b", atau bahkan "ab", bagi a * b.
Kita menulis "1" bagi unsur identitas dan menyebutnya unsur satuan.
Kita menulis "a-1" bagi invers a dan menyebutnya kebalikan dari a.

Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan bagi analog dari penjumlahan dan ditulis secara jumlah:

Kita menulis " bagi a * b dan menyebutnya jumlah a dan b.
Kita menulis "0" bagi unsur identitas dan menyebutnya unsur nol.
Kita menulis "-a" bagi invers a dan menyebutnya lawan dari a.

Beberapa contoh elemen dan bukan contoh

Suatu grup abelian : bilangan bulat terhadap penjumlahan

Bukti :

Grup ini juga adalah abelian : “a” +” b” = “b” + “a”.

“Bukan” grup : bilangan bulat terhadap perkalian

Bilangan bulat terhadap perkalian yang dilambangkan dengan “ “’ ×’” ” Maka (“’Z’”, “’ ×’” ) bukan suatu grup :

Suatu grup abelian : bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalian

Grup bukan belian tertentu : permutasi dari kumpulan

* e : MHB ® MHB * a : MHB ® HMB *b : MHB ® MBH * ab : MHB ® BMH *ba : MHB ® HBM *aba : MHB ® BHM

* “b””b” = “e” *(“a””b””a”)(“a””b””a”) = “e” dan *(“a””b”)(“b””a”) = (“b””a”)(“a””b”) = “e”.

Jadi, tiap gerakan di atas mempunyai suatu invers.

Dengan menyelidiki, kita juga dapat memilihkan sifat asosiatif dan closure. Bagi contoh perhatikan,

*(“a””b”)”a” = “a”(“b””a’) = “a””b””a”, dan *(“b””a”)”b” = “b”(“a””b”) = “a””b””a”.

Setiap grup dapat diungkapkan dalam grup permutasi seperti “S”3. Hasilnya adalah Teorema Cayley dan dipelajari sebgai anggota dari subyek gerakan grup.

Contoh lanjutan

Bagi beberapa contoh lanjutan dari grup bagi bermacam aplikasi lihat contoh-contoh grup dan daftar grup kecil.

Teori sederhana

Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlangsung bagi semua grup tertentu yang membentuk segi dari teori grup elementer.

Membuat grup baru dari suatu grup tertentu

Jika suatu sub kumpulan “H” dari grup (“G”,*)
Hasil kali dari dua grup (“G”,*) dan (“H”, “’ ×’”) adalah kumpulan “G”x”H” bersama dengan operasi (“g”1,”h”1)(“g”2,”h”2) = (“g”1*”g”2,”h”1 “’ ×’” “h”2)
“Penjumlahan eksternal secara langsung” dari anggota grup adalah sub grup perkalian yang diwakilkan oleh elemen-elemen yang mempunyai sejumlah anggota bukan nol. Jika anggota bersifat tertentu maka penjumlahan langsung dan perkalian adalah sama.
Grup tertentu “G” dan suatu sub grup normal “N”, maka quotient group adalah kumpulan dari kohimpunan dari “G”/”N” terhadap operasi (“g””N”)(“h””N”) = “g””h”N”.

Rujukan

Group (mathematics) dari Wikipedia bicara Inggris.

edunitas.com

Page 10

Irisan dari dua himpunan yang diberitahukan dengan diagram Venn

Notasi Himpunan

Hubungan di selang 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

NamaNotasiContoh

Himpunan	Huruf akbar
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)
Kelas	Huruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dsb-nya, menggunakan notasi yang khusus.

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Lambang

Faedah

atau	Himpunan kosong
	Operasi gabungan dua himpunan
	Operasi irisan dua himpunan
, , ,	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
	Komplemen
	Himpunan kuasa

Himpunan dapat dirumuskan dengan dua metode, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika berlebih tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin benar, sebab jika A benar, berarti harus berisi anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa berisi anggota tersebut.

Himpunan kosong

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Relasi antar himpunan

Himpunan bidang

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini dikata sebagai himpunan bidang dari A. Sah dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bidang dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap berlaku untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

Definisi di atas juga mencakup probabilitas bahwa himpunan bidang dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

Himpunan bidang sejati dari A menunjuk pada himpunan bidang dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih akbar yang mencakup himpunan tersebut.

Kecocokan dua himpunan

Himpunan A dan B dikata sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Definisi di atas sangat benar faedahnya untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kesudahan buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bidang dari A. Notasinya adalah .

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

Kelas

Contoh berikut, bukanlah suatu kelas, sebab berisi anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Himpunan Denumerabel

Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut dikata denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut dikata sebagai kardinalitas .

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, sebab memiliki korespondensi satu-satu selang himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang diberitahukan oleh .

Himpunan Berhingga

Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan Tercacah

Himpunan dikata tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah suatu anggota terdapat dalam suatu himpunan atau tidak.

Jika maka:

Representasi Biner

Opersai landasan

Gabungan

Gabungan selang himpunan A dan B.

Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat landasan gabungan:

A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
A ⊆ (A ∪ B).
A ∪ A = A.
A ∪ ∅ = A.
A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.

Irisan

Irisan selang himpunan A dan B.

Contoh:

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
{Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
{Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat landasan irisan:

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ∩ B ⊆ A.
A ∩ A = A.
A ∩ ∅ = ∅.
A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen

Komplemen B terhadap A.

Komplemen A terhadap U.

Diferensi simetris himpunan A dan B.

Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

Contoh:

{1, 2} {1, 2} = ∅.
{1, 2, 3, 4} {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat landasan komplemen:

A B ≠ B A untuk A ≠ B.
A ∪ A′ = U.
A ∩ A′ = ∅.
(A′)′ = A.
A A = ∅.
U′ = ∅ dan ∅′ = U.
A B = A ∩ B′.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B berproduksi

Contohnya, diferensi simetris antara:

{7,8,9,10} dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}.
{Ana,Budi,Dedi,Felix} dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah {Ana,Cici,Ela,Felix}.

Hasil Kali Kartesian

Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.

Contoh:

{1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.
{1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Beberapa sifat landasan himpunan perkalian:

A × ∅ = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Pustaka

Lipschutz, S. Set Theory. McGraw-Hill
Delphi 5 Memory Management

Bacaan lanjutan

Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
Velleman, Daniel, How To Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4

Pranala luar

edunitas.com

Page 11

Irisan dari dua himpunan yang diberitahukan dengan diagram Venn

Notasi Himpunan

Hubungan di selang 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

NamaNotasiContoh

Himpunan	Huruf akbar
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)
Kelas	Huruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dsb-nya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan

Notasi

Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Lambang

Faedah

atau	Himpunan kosong
	Operasi gabungan dua himpunan
	Operasi irisan dua himpunan
, , ,	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
	Komplemen
	Himpunan kuasa

Himpunan dapat dirumuskan dengan dua metode, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika berlebih tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin benar, sebab jika A benar, berarti harus berisi anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa berisi anggota tersebut.

Himpunan kosong

Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh memberikan rumusan suatu himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini dikata sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Relasi antar himpunan

Himpunan anggota

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini dikata sebagai himpunan anggota dari A. Sah dapat dirumuskan:

B adalah himpunan anggota dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap berlaku untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

Rumusan di atas juga mencakup probabilitas bahwa himpunan anggota dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

Himpunan anggota sejati dari A menunjuk pada himpunan anggota dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang semakin akbar yang mencakup himpunan tersebut.

Kecocokan dua himpunan

Himpunan A dan B dikata sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Rumusan di atas sangat benar faedahnya untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kesudahan buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan anggota dari A. Notasinya adalah .

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :

Jumlahnya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat jumlahnya anggota A.

Kelas

Contoh berikut, bukanlah suatu kelas, sebab berisi anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Himpunan Denumerabel

Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut dikata denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut dikata sebagai kardinalitas .

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, sebab memiliki korespondensi satu-satu selang himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang diberitahukan oleh .

Himpunan Berhingga

Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan Tercacah

Himpunan dikata tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah suatu anggota terdapat dalam suatu himpunan atau tidak.

Jika maka:

Representasi Biner

Opersai landasan

Gabungan

Gabungan selang himpunan A dan B.

Dua himpunan atau semakin yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat landasan gabungan:

A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
A ⊆ (A ∪ B).
A ∪ A = A.
A ∪ ∅ = A.
A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.

Irisan

Irisan selang himpunan A dan B.

Contoh:

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
{Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
{Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat landasan irisan:

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ∩ B ⊆ A.
A ∩ A = A.
A ∩ ∅ = ∅.
A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen

Komplemen B terhadap A.

Komplemen A terhadap U.

Diferensi simetris himpunan A dan B.

Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

Contoh:

{1, 2} {1, 2} = ∅.
{1, 2, 3, 4} {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat landasan komplemen:

A B ≠ B A untuk A ≠ B.
A ∪ A′ = U.
A ∩ A′ = ∅.
(A′)′ = A.
A A = ∅.
U′ = ∅ dan ∅′ = U.
A B = A ∩ B′.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B berproduksi

Contohnya, diferensi simetris antara:

{7,8,9,10} dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}.
{Ana,Budi,Dedi,Felix} dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah {Ana,Cici,Ela,Felix}.

Hasil Kali Kartesian

Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.

Contoh:

{1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.
{1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Beberapa sifat landasan himpunan perkalian:

A × ∅ = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Pustaka

Lipschutz, S. Set Theory. McGraw-Hill
Delphi 5 Memory Management

Bacaan lanjutan

Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
Velleman, Daniel, How To Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4

Pranala luar

edunitas.com

Page 12

Irisan dari dua himpunan yang diberitahukan dengan diagram Venn

Notasi Himpunan

Hubungan di selang 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

NamaNotasiContoh

Himpunan	Huruf akbar
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)
Kelas	Huruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dsb-nya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan

Notasi

Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Lambang

Faedah

atau	Himpunan kosong
	Operasi gabungan dua himpunan
	Operasi irisan dua himpunan
, , ,	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
	Komplemen
	Himpunan kuasa

Himpunan dapat dirumuskan dengan dua metode, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika berlebih tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin benar, sebab jika A benar, berarti harus berisi anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa berisi anggota tersebut.

Himpunan kosong

Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh memberikan rumusan suatu himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini dikata sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Relasi antar himpunan

Himpunan anggota

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini dikata sebagai himpunan anggota dari A. Sah dapat dirumuskan:

B adalah himpunan anggota dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap berlaku untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

Rumusan di atas juga mencakup probabilitas bahwa himpunan anggota dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

Himpunan anggota sejati dari A menunjuk pada himpunan anggota dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang semakin akbar yang mencakup himpunan tersebut.

Kecocokan dua himpunan

Himpunan A dan B dikata sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Rumusan di atas sangat benar faedahnya untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kesudahan buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan anggota dari A. Notasinya adalah .

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :

Jumlahnya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat jumlahnya anggota A.

Kelas

Contoh berikut, bukanlah suatu kelas, sebab berisi anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Himpunan Denumerabel

Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut dikata denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut dikata sebagai kardinalitas .

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, sebab memiliki korespondensi satu-satu selang himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang diberitahukan oleh .

Himpunan Berhingga

Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan Tercacah

Himpunan dikata tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah suatu anggota terdapat dalam suatu himpunan atau tidak.

Jika maka:

Representasi Biner

Opersai landasan

Gabungan

Gabungan selang himpunan A dan B.

Dua himpunan atau semakin yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat landasan gabungan:

A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
A ⊆ (A ∪ B).
A ∪ A = A.
A ∪ ∅ = A.
A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.

Irisan

Irisan selang himpunan A dan B.

Contoh:

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
{Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
{Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat landasan irisan:

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ∩ B ⊆ A.
A ∩ A = A.
A ∩ ∅ = ∅.
A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen

Komplemen B terhadap A.

Komplemen A terhadap U.

Diferensi simetris himpunan A dan B.

Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

Contoh:

{1, 2} {1, 2} = ∅.
{1, 2, 3, 4} {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat landasan komplemen:

A B ≠ B A untuk A ≠ B.
A ∪ A′ = U.
A ∩ A′ = ∅.
(A′)′ = A.
A A = ∅.
U′ = ∅ dan ∅′ = U.
A B = A ∩ B′.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B berproduksi

Contohnya, diferensi simetris antara:

{7,8,9,10} dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}.
{Ana,Budi,Dedi,Felix} dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah {Ana,Cici,Ela,Felix}.

Hasil Kali Kartesian

Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.

Contoh:

{1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.
{1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Beberapa sifat landasan himpunan perkalian:

A × ∅ = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Pustaka

Lipschutz, S. Set Theory. McGraw-Hill
Delphi 5 Memory Management

Bacaan lanjutan

Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
Velleman, Daniel, How To Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4

Pranala luar

edunitas.com

Page 13

Irisan dari dua himpunan yang diberitahukan dengan diagram Venn

Notasi Himpunan

Hubungan di selang 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

NamaNotasiContoh

Himpunan	Huruf akbar
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)
Kelas	Huruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dsb-nya, menggunakan notasi yang khusus.

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Lambang

Faedah

atau	Himpunan kosong
	Operasi gabungan dua himpunan
	Operasi irisan dua himpunan
, , ,	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
	Komplemen
	Himpunan kuasa

Himpunan dapat dirumuskan dengan dua metode, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika berlebih tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin benar, sebab jika A benar, berarti harus berisi anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa berisi anggota tersebut.

Himpunan kosong

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

Relasi antar himpunan

Himpunan bidang

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

{apel, jeruk}
{jeruk, pisang}
{apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini dikata sebagai himpunan bidang dari A. Sah dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bidang dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap berlaku untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

Definisi di atas juga mencakup probabilitas bahwa himpunan bidang dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

Himpunan bidang sejati dari A menunjuk pada himpunan bidang dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

Superhimpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih akbar yang mencakup himpunan tersebut.

Kecocokan dua himpunan

Himpunan A dan B dikata sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Definisi di atas sangat benar faedahnya untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kesudahan buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bidang dari A. Notasinya adalah .

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

Kelas

Contoh berikut, bukanlah suatu kelas, sebab berisi anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas

Himpunan Denumerabel

Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut dikata denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut dikata sebagai kardinalitas .

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, sebab memiliki korespondensi satu-satu selang himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang diberitahukan oleh .

Himpunan Berhingga

Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan Tercacah

Himpunan dikata tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah suatu anggota terdapat dalam suatu himpunan atau tidak.

Jika maka:

Representasi Biner

Opersai landasan

Gabungan

Gabungan selang himpunan A dan B.

Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat landasan gabungan:

A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
A ⊆ (A ∪ B).
A ∪ A = A.
A ∪ ∅ = A.
A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.

Irisan

Irisan selang himpunan A dan B.

Contoh:

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
{Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
{Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat landasan irisan:

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ∩ B ⊆ A.
A ∩ A = A.
A ∩ ∅ = ∅.
A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.

Komplemen

Komplemen B terhadap A.

Komplemen A terhadap U.

Diferensi simetris himpunan A dan B.

Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

Contoh:

{1, 2} {1, 2} = ∅.
{1, 2, 3, 4} {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat landasan komplemen:

A B ≠ B A untuk A ≠ B.
A ∪ A′ = U.
A ∩ A′ = ∅.
(A′)′ = A.
A A = ∅.
U′ = ∅ dan ∅′ = U.
A B = A ∩ B′.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B berproduksi

Contohnya, diferensi simetris antara:

{7,8,9,10} dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}.
{Ana,Budi,Dedi,Felix} dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah {Ana,Cici,Ela,Felix}.

Hasil Kali Kartesian

Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.

Contoh:

{1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.
{1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Beberapa sifat landasan himpunan perkalian:

A × ∅ = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Pustaka

Lipschutz, S. Set Theory. McGraw-Hill
Delphi 5 Memory Management

Bacaan lanjutan

Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
Velleman, Daniel, How To Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4

Pranala luar

edunitas.com

Page 14

Tags (tagged): 2 Title of articles, 2002 FIFA World Cup Qualifying, European Zone Group 5, 2002 FIFA World Cup Qualifying, European Zone Group 7, 2002 FIFA World Cup Qualifying, European Zone Group 8, 2002 FIFA World Cup Qualifying, European Zone Group 9, 2006 FIFA World Cup Qualifying, Final Round Zone North, Central America and the Caribbean, 2006 FIFA World Cup Qualifying, First round African Zone, 2006 FIFA World Cup Qualifying, First round of Asian Zone, 2006 FIFA World Cup Qualifying, Qualifying Zone North, Central America and the Caribbean, 2011 AFC Cup, 2011 Asian Cup, 2011 CONCACAF Gold Cup, 2011 Copa America squad, 2014 FIFA World Cup Qualifying, Second Round Zone North, Central America and the Caribbean, 2014 FIFA World Cup Qualifying, Third Round Zone North, Central America and the Caribbean, 2014 FIFA World Cup squads, 2014 Winter Olympics, 27 September, 270, 273 BC, 28, 2 Title of articles, p2k.unkris.ac.id Program Kuliah Pegawai, Kelas Weekend, 2 Title of articles, Unkris, Center of Studies, Kelas Eksekutif, Indonesian Encyclopedia, encyclopedia worldp2k.unkris.ac.id

Page 15

Page 16

Tags (tagged): F Title of articles, F/A-18 Hornet, F1 2011 European Grand Prix, F1 Brazilian Grand Prix 2003, F1 Brazilian Grand Prix 2009, FC Sion, FC Slavyansky Slavyansk-na-Kubani, FC Slovan Liberec, FC Smena Komsomolsk-na-Amure, FIFA Ballon d' Or 2011, FIFA Ballon d'Or, FIFA Ballon d'Or 2012, FIFA Ballon d'Or 2013, Flag of Slovakia, Flag of Slovenia, Flag of Solomon Islands, Flag of Somalia, foster brother, Fotodiode, Fouad Rachid, Foued Kadir, F Title of articles, p2k.unkris.ac.id Program Kuliah Pegawai, Kelas Weekend, F Title of articles, Unkris, Center of Studies, Kelas Eksekutif, Indonesian Encyclopedia, encyclopedia worldp2k.unkris.ac.id

Page 17

Page 18

Tags (tagged): G Title of articles, Gary Andrew Stevens, Gary Breen, Gary Cahill, Gary Caldwell, Georginio Wijnaldum, Georgios George Koumantarakis, Georgios Karagounis, Georgios Samaras, Giuseppe Wilson, giussano, Givi Chokheli, Givi Dmitriyevich Chokheli, Granze, graph, grapheme, graphic, Gunter Friesenbichler, Gunungkidul Persig, Gunungsitoli, Gupta script, G Title of articles, p2k.unkris.ac.id Program Kuliah Pegawai, Kelas Weekend, G Title of articles, Unkris, Center of Studies, Kelas Eksekutif, Indonesian Encyclopedia, encyclopedia worldp2k.unkris.ac.id

Page 19

Page 20

Tags (tagged): H Title of articles, Half-Blood Prince (character), Hali, halide, Halil Altintop, Harut and Marut, harvest, Harvesters combination, harvesting, Henk Bos (football player), Henk Ngantung, Henk Pellikaan, Henk Sneevliet, Hirofumi Moriyasu, Hirohito, Hiroki Sakai, Hiroshi Kiyotake, Houssine Kharja, Houston, Houston Dynamo, Houston Texans, H Title of articles, p2k.unkris.ac.id Program Kuliah Pegawai, Kelas Weekend, H Title of articles, Unkris, Center of Studies, Kelas Eksekutif, Indonesian Encyclopedia, encyclopedia worldp2k.unkris.ac.id

Page 21

Page 22

Tags (tagged): I Title of articles, Ibrahima Traore, Ibrox Stadium, Ibu Kota Beijing International Airport, Ibu Tien, Independiente, Index Kompas100, Index of Economic Freedom, India, Indonesian Young, Indonesian Youth Party, Indonesian ZALORA, Indonesias Got Talent, Internet Movie Database, Internet protocol, Internet protocol suite, Internet protocol television, ISO 3166-2, ISO 3166-2 : PH, ISO 3166-2 GB, ISO 4217, I Title of articles, p2k.unkris.ac.id Program Kuliah Pegawai, Kelas Weekend, I Title of articles, Unkris, Center of Studies, Kelas Eksekutif, Indonesian Encyclopedia, encyclopedia worldp2k.unkris.ac.id

Page 23

Page 24

Tags (tagged): J Title of articles, Jabu Mahlangu, Jabu Pule, Jaca, Jacatra, January, January 1, January 10, January 11, Jens Bertelsen, Jens Hegeler, Jens Janse, Jens Jeremies, Johan Devrindt, Johan Djourou, Johan Elmander, Johan Hendrik Caspar Kern, Jorge Larrionda, Jorge Lobo Carrascosa, Jorge Luis Burruchaga, Jorge Luis Pinto, J Title of articles, p2k.unkris.ac.id Program Kuliah Pegawai, Kelas Weekend, J Title of articles, Unkris, Center of Studies, Kelas Eksekutif, Indonesian Encyclopedia, encyclopedia worldp2k.unkris.ac.id

Page 25

Page 26

Tags (tagged): K Title of articles, Karl Erik Algot Almgren, Karl Gosta Herbert Lofgren, Karl Henry, Karl Hohmann, Kerkrade, Kermes ilicis, Kern County, California, Kernel (computer science), King of Bahrain Cup 2012, King of Bandits Jing, King Osanga, King Power Stadium, Konstantinos Mitroglou, Konstanz, Konya, Koo Ja-Cheol, Kwandang, North Gorontalo, Kwasi Appiah, KY, Kyai, K Title of articles, p2k.unkris.ac.id Program Kuliah Pegawai, Kelas Weekend, K Title of articles, Unkris, Center of Studies, Kelas Eksekutif, Indonesian Encyclopedia, encyclopedia worldp2k.unkris.ac.id